행렬식
앞선 글에서 우리는 임의의 free \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)이 basis \((e_i)_{i\in I}\)를 갖는다면 다음의 식
\[e_J=e_{j_1}\wedge e_{j_2}\wedge\cdots\wedge e_{j_k},\qquad j_1<\cdots < j_k, \quad J=\{j_1,\ldots, j_k\}\]의 꼴로 나타나는 원소 \(e_J\)들이 \(\bigwedge(M)\)의 basis가 되는 것을 확인했다. 특히, \(\lvert J\rvert=n\)을 만족하는 \(J\)들을 모아둔다면 이들은 \(\bigwedge^n(M)\)의 basis가 된다.
이제 \(M\)이 유한한 basis \(e_1,\ldots, e_n\)을 갖는다 하자. 그럼 \(\bigwedge^n(M)\)의 basis는 단 하나의 원소 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\) 뿐이다. 한편 임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여, \(\bigwedge\)의 functoriality로부터 \(\bigwedge^n(u):\bigwedge^n(M)\rightarrow\bigwedge^n(M)\)이 유도되며, 위의 논의로부터 이 linear map은 반드시 \(x\mapsto \alpha x\)의 꼴로 쓰여야 한다.
정의 1 Free \(A\)-module \(M\)이 basis \((e_i)_{i\in I}\)를 갖는다 하자. 그럼 임의의 \(u:M \rightarrow M\)에 대하여, 위의 논의에서 얻어지는 \(\alpha\in A\)를 \(u\)의 행렬식determinant이라 부르고 \(\det u\)로 적는다.
그럼 정의로부터 다음 명제가 자명하다.
명제 2 다음이 성립한다.
- 임의의 \(u,v\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여, \(\det(u\circ v)=(\det u)(\det v)\)가 성립한다.
- \(\det(\id_M)=1\)이다.
- 임의의 \(u\in\Aut_\rMod{A}(M)\)에 대하여, \(\det u\)는 \(A\)에서 곱셈에 대한 역원이 존재하며 그 값은 \(\det(u)^{-1}=\det(u^{-1})\)과 같다.
따름정리 3 유한차원 free \(A\)-module \(M\)과 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여 다음이 동치이다.
- \(u\)가 bijective이다.
- \(\det u\)가 \(A\)에서 가역이다.
증명
2번 조건을 가정하고 1번 조건을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 \(x_i=u(e_i)\)로 정의하여
\[x_1\wedge \cdots\wedge x_n=\det(u) e_1\wedge\cdots\wedge e_n\]를 얻은 후, 양 변에 \(\det(u)^{-1}\)을 곱한 후 그 식으로부터 얻어지는 기저변환을 생각하면 된다.
Free \(A\)-module \(M\)과 그 basis \(e_1,\ldots, e_n\)을 고정하면, 임의의 \(M\)의 원소들 \(x_1,\ldots, x_n\)에 대하여
\[x_1\wedge \cdots\wedge x_n=\alpha e_1\wedge\cdots\wedge e_n\]이도록 하는 \(\alpha\)가 존재하며, 이를 \(\det(x_1,\ldots, x_n)\)과 같이 적는다. 이 값을 실제로 계산하기 위해서는 \(x_i\)들 각각을 \(e_1,\ldots, e_n\)에 대한 linear combination으로 나타낸 후 \(e_i\wedge e_i=0\)과 \(e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i\)를 이용하여 이를 모두 정리해주면 된다. \(A=\mathbb{K}\)인 경우 이는 이미 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)에서 살펴본 것이다. 조금 더 자세히 설명하자면, 임의의 \(X\in\Mat_n(A)\)를 열벡터들을 이용해 \(X=(x_1,\ldots, x_n)\)으로 적을 경우, \(u(e_i)=x_i\)를 만족하는 유일한 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여 \(\det(u)\)가 잘 정의되며, 이는 따름정리 3의 증명에서 나온 식과 비교해보면 \(\det (x_1,\ldots, x_n)=\det(u)\)이다. 그럼 이로부터 명제 2의 행렬 버전의 명제를 만들 수 있으며, 이를 계산하는 과정이 곧 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)이 된다. 특히 이로부터 \(\det(u^\ast)=\det(u)\)인 것을 알 수 있다.
행렬의 소행렬식
한편 행렬식을 계산하는 방법 중, 라플라스 전개를 이용하는 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, ⁋정리 13이 있었는데, 이 계산 자체는 이미 다루었으므로 반복하지 않지만, 여기에서 등장했던 \(\det A^{(i,j)}\)들을 일반화할 수 있다.
이를 위해 임의의 \(X=(\xi_{ij})\in\Mat_{I\times J}\)가 주어졌다 하자. \(I\)와 \(J\) 위에 정의된 total ordering를 하나 고정하면, 임의의 유한한 부분집합 \(H\subseteq I\), \(K\subseteq J\)가 주어질 때마다 이들로 만들어진 부분행렬 \(X_{H,K}=(\xi_{i,j})_{i\in H,j\in K}\)의 index에도 total order가 주어진다. 특히 만일 \(\lvert H\rvert=\lvert K\rvert\)인 경우를 생각하자. 그럼 다음의 보조정리는 자명하다.
보조정리 4 Free \(A\)-module \(M\)의 basis \((e_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하고, \(I\)의 total ordering을 하나 고정하자. 또, 임의의 자연수 \(p\)에 대하여, \(\bigwedge^p(M)\)의 basis
\[(e_J=e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p})_{\lvert J\rvert=p}\]를 생각하자. \(M\)의 임의의 \(p\)개의 원소 \(x_1,\ldots, x_p\)가 주어졌다 하고, 이들을
\[x_j=\sum_{i\in I} \xi_{ij}e_i\]의 꼴로 쓴 후 행렬 \(X=(\xi_{ij})_{(i,j)\in I\times p}\in\Mat_{I\times p}(A)\)를 정의하자. 그럼 다음의 식
\[x_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_p=\sum_{\lvert J\rvert=p}\det X_{I,J}e_J\]이 성립한다.
명제 5 두 free \(A\)-moduile \(M,N\)과 이들의 유한한 basis \((e_i)_{1\leq i\leq m}\), \((f_j)_{1\leq j\leq n}\)가 각각 주어졌다 하자. 이제 \(\min(m,n)\)보다 작은 자연수 \(p\)에 대하여, \(\bigwedge^p(u):\bigwedge^p(M) \rightarrow\bigwedge^p(N)\)을 basis \((e_I)_{\lvert I\rvert=p}\), \((f_J)_{\lvert J\rvert=p}\)에 대하여 행렬로 표현한 것은 \((\det(X_{J,I}))\)로 주어진다.
증명
주어진 상황에서 \(I\)의 원소들을 \(i_1<\cdots i_p\)로 크기 순으로 나열하자. 그럼 \(\bigwedge^p(u)\)의 정의에 의하여
\[{\bigwedge}^p(u)=u(e_{i_1})\wedge\cdots\wedge u(e_{i_p})\]이므로, 앞선 보조정리를 적용하면 된다.
따름정리 6 Free \(A\)-module \(M\)이 유한한 basis \((e_i)_{1\leq i\leq n}\)을 갖는다 하자. 그럼 임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)과 \(\alpha,\beta\in A\)에 대하여 다음 식
\[\det(\alpha\cdot\id_M+\beta u)=\sum_{k\geq 0}\tr\left({\bigwedge}^k(u)\right)\alpha^{n-k}\beta^k\]를 얻는다.
증명
좌변은 다음의 wedge
\[(\alpha e_1+\beta u(e_1))\wedge\cdots\wedge(\alpha e_n+\beta u(e_n))\]를 \(e_1\wedge\cdots\wedge e_n\)의 배수로 되돌려 놓으며 생긴다. 위의 식을 전부 전개하면, 이는 \(0\leq p\leq n\)을 만족하는 정수 \(p\), \(\lvert P\rvert=p\)를 만족하는 \(\{1,\ldots, n\}\)의 부분집합 \(P\), 그리고 다음의 식
\[x_i=\begin{cases}u(e_i)&\text{if $i\in P$}\\e_i&\text{otherwise}\end{cases}\]으로 정의된 \(x_i\)들로 정의한 \(\bigwedge^n(M)\)의 원소 \(x_P=x_1\wedge\cdots\wedge x_n\)에 대하여 \(\alpha^{n-p}\beta^p x_P\)들을 다 더한 것과 같다.
위의 꼴의 \(x_P\)를 단순화하기 위해, \(\{1,\ldots, n\}\setminus P=Q\)라 하고, \(P,Q\)의 원소들을 각각 크기별로 배열하여
\[P=\{i_1< i_2<\cdots< i_p\},\qquad Q=\{j_1< j_2<\cdots < j_{n-p}\}\]라 하자. 그럼 \(P\)의 원소들과 \(Q\)의 원소들의 순서를 각각 바꾸어
\[x_P=\gamma_{P,Q}e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_{n-p}}\wedge u(e_{i_1})\wedge\cdots u(e_{i_{n-p}})\]로 쓸 수 있다. 여기서 \(\gamma_{P,Q}\)는 이들의 순서를 바꾸며 생기는 부호이며, 구체적으로는 다음 식
\[\gamma_{P,Q}=(-1)^{\lvert A\rvert},\qquad A=\{(p,q)\in P\times Q\mid p>q\}\]으로 주어진다. 그럼 \(X\)의 정의와 보조정리 4에 의해
\[u(e_{i_1})\wedge\cdots\wedge u(e_{i_p})=\sum_{\lvert I\rvert=p}\det(X_{I,Q})e_Q\]이므로, 이를 대입하면
\[x_P=\gamma_{P,Q}\sum_{\lvert I\rvert=p}\det X_{I,P} e_Q\wedge e_I\]를 얻는다. 그런데 \(\lvert I\rvert=p\)이고 \(\lvert Q\rvert=n-p\)이므로, 이들은 \(I=P\)가 아닌 이상 항상 겹치는 \(e_i\)를 갖고 따라서 위의 식은
\[x_P=\det (X_{P,P} )e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_n\]으로 쓸 수 있다. 명제 5에 의하여, 고정된 \(p\)에 대해 \(\lvert P\rvert=p\)를 만족하는 모든 \(p\)에 대해 \(\det(X_{p,p})\)를 모두 더한 것이 \(\tr\left(\bigwedge^k(u)\right)\)이므로 이로써 증명이 완료된다.
특히 \(\alpha=\beta=1\)로 두면 \(\tr(\bigwedge(u))=\det(\id_M+u)\)를 얻는다.
특성다항식
이제 우리는 특성다항식을 정의한다.
Polynomial algebra \(A[\x]\)와 canonical inclusion \(\iota: A \hookrightarrow A[\x]\)를 생각하면, extension of scalar를 통해 \(\iota_!M=A[\x]\otimes_A M\) 위에 \(A[\x]\)-module의 구조가 정의된다. ([대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋정의 3) 뿐만 아니라, 임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)이 주어질 때마다 \(\iota_!u\in\End_\rMod{A[\x]}(\iota_!M)\) 또한 정의된다.
임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여, 다음 표기법
\[u^k=\underbrace{u\circ\cdots\circ u}_\text{$k$ times}\]을 도입하자. 그럼 임의의 \(p\in A[\x]\)에 대해서 \(p(u)\)를 \(\End_\rMod{A}(M)\)의 원소로 생각할 수 있으며, 이 경우 임의의 \(p,q\in A[\x]\)에 대하여
\[(pq)(u)=p(u)\circ q(u)=q(u)\circ p(u)\]가 성립한다. 따라서, \(M\) 위에 \(A[\x]\)-action을 다음 식
\[p\bullet x=p(u)(x)\]으로 정의하면 이는 \(M\) 위에 \(A[\x]\)-module 구조를 준다. 즉, 방금 정의한 스칼라곱에 의하여
\[\rho: A[\x]\otimes_A M \rightarrow M;\qquad p\otimes_A x\mapsto p\bullet x\tag{1}\]이 정의되며, 이는 \(A\)-linear이다. 뿐만 아니라 \(\rho\)는 \(A[\x]\)-linear map이다. 임의의 \(p\in A[\x]\)와 \(q\otimes x\in \iota_!M\)에 대하여,
\[\rho(p(q\otimes_Ax))=\rho((pq)\otimes_Ax)=(pq)\bullet x=(pq)(u)(x)=p(u)(q(u)x)=p\bullet\rho(q\otimes_Ax)\]이기 때문이다.
혼동을 피하기 위해, \(M\)을 \(A[\x]\)-module로 취급한 것을 \(M_u\)라 적자. 이제 \(u\)를 \(M_u\)에서 \(M_u\)로의 함수로 보면 다음의 식
\[u(p\bullet x)=u(p(u)(x))=(\x p)\bullet x=(p\x)\bullet x=p\bullet(u(x))\]이 성립하므로 \(u\)는 \(A[\x]\)-module endomorphism이 된다. 그럼 위의 식과 (1)로부터 다음의 식
\[\rho\circ(\iota_!u)=u\circ\rho\]이 성립하는 것을 안다.
명제 7 위와 같은 상황에서, \(A[\x]\)-endomorphism \(\psi=\x-\iota_!u\)를 다음 식
\[\psi(p\otimes_Ax)=(\x p)\otimes_Ax -p\otimes_A u(x)\]으로 정의하자. 그럼 다음의 \(A[\x]\)-module들의 exact sequence
\[\iota_!M\overset{\psi}{\longrightarrow}\iota_!M\overset{\rho}{\longrightarrow}M_u\longrightarrow 0\]이 exact이다.
증명
\(\ker\rho\subseteq \im\psi\)인 것만 보이면 충분하다. \(z\in\ker\rho\)가 임의로 주어졌다 하자. 그럼 \(z\)를 \(p\otimes_A x\)의 꼴의 원소들의 합으로 분해한 후, 다시 \(p\)들을 \(1,\x,\x^2,\ldots\)들의 일차결합으로 생각하여 분해한 후 \(\x^k\)들에 맞추어 합을 다시 쓰는 방식으로
\[z=\sum_k \x^k\otimes_A x_k,\qquad x_k\in M\]으로 적어줄 수 있다. 그럼 \(z\in\ker\rho\)라는 조건으로부터,
\[\rho(z)=\sum_k u^k(\x_k)=0\]을 얻는다. 이제 \(\sum 1\otimes u^k(x_k)=0\)이므로, 이로부터
\[z=\sum_k (\x^k\otimes_A x_k-1\otimes_A u^k(x_k))=\sum_k (\x^k-\iota_!u^k))(1\otimes x_k)\]인데, 어차피 \(\iota_!M=A[\x]\otimes_A M\)에서 \(\x\)는 \(A[\x]\) 부분에 작용하고, \(\iota_!u\)는 \(M\)에 작용하므로 이들의 곱셈은 순서를 바꿀 수 있다. 즉 위의 식을
\[\sum_k (\x-\iota_!u)\circ\left(\sum_{j=0}^{k-1} \x^j (\iota_!u)^{k-j-1}\right)\]으로 쓸 수 있으므로 증명이 완료된다.
한편, \(\psi\)의 행렬식을 생각하면 따름정리 6으로부터
\[\det (\x-\iota_!u)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\tr\left({\bigwedge}^j(\iota_!u)\right)\x^{n-k}\]을 얻는다. 한편 \(u\)의 행렬표현 \([u]_\mathcal{B}^\mathcal{B}\)는, \(M[\x]\)의 \(A[\x]\)-basis \(\mathcal{B}'=(1\otimes e_i)_{1\leq i\leq n}\)에 대한 \(\iota_!u\)의 행렬표현 \([\iota_!u]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}''}\)와 같으므로 위의 식은
\[\det (\x-\iota_!u)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\tr\left({\bigwedge}^j(u)\right)\x^{n-k}\]으로 쓸 수 있다.
정의 8 위에서 정의한 다항식 \(\det(\x-\iota_!u)\)를 \(u\)의 characteristic polynomial특성다항식이라 부르고 \(\chi_u(\x)\)로 적는다.
그럼 앞선 식으로부터, characteristic polynomial에서 \(\x^n\)의 계수는 \(1\), \(\x^{n-1}\)의 계수는 \(-\tr(u)\)이며 상수항은 \((-1)^n\det(u)\)임을 알 수 있다.
명제 9 (Cayley-Hamilton) \(\chi_u(u)=0\).
증명
보여야 할 것은 임의의 \(x\in M\)에 대하여 \(\chi_u(u)(x)=0\)인 것을 보여야 한다. 그런데 \(\chi_u(u)(x)\)는, 식 (1)을 사용하면, \(\rho(\chi_u(\x)\otimes_Ax)\)와 같다. 이제
\[\chi_u(\x)\otimes_Ax=\chi_u(\x)(1\otimes_Ax)=\det(\x-\iota_!u)(1\otimes_Ax)\]이다. 그런데 라플라스 전개를 생각하면 임의의 행렬 \(X\)와 \(X\)의 cofactor \(Y\)에 대해 \(XY^t=(\det X)I\)가 성립하므로, 적당한 \(v\in\End_\rMod{A[\x]}(\iota_!M)\)이 존재하여
\[\det(\x-\iota_!u)(1\otimes_Ax)=(\x-\iota_!u)(v(1\otimes_A x))\]으로 쓸 수 있고 따라서 명제 7에 의해 원하는 결과를 얻는다.
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