앞선 글에서 우리는 임의의 free A-module M에 대하여, M이 basis (ei)i∈I를 갖는다면 다음의 식
eJ=ej1∧ej2∧⋯∧ejk,j1<⋯<jk,J={j1,…,jk}
의 꼴로 나타나는 원소 eJ들이 ⋀(M)의 basis가 되는 것을 확인했다. 특히, ∣J∣=n을 만족하는 J들을 모아둔다면 이들은 ⋀n(M)의 basis가 된다.
이제 M이 유한한 basis e1,…,en을 갖는다 하자. 그럼 ⋀n(M)의 basis는 단 하나의 원소 e1∧⋯∧en 뿐이다. 한편 임의의 u∈EndModA(M)에 대하여, ⋀의 functoriality로부터 ⋀n(u):⋀n(M)→⋀n(M)이 유도되며, 위의 논의로부터 이 linear map은 반드시 x↦αx의 꼴로 쓰여야 한다.
정의 1 Free A-module M이 basis (ei)i∈I를 갖는다 하자. 그럼 임의의 u:M→M에 대하여, 위의 논의에서 얻어지는 α∈A를 u의 행렬식determinant이라 부르고 detu로 적는다.
그럼 정의로부터 다음 명제가 자명하다.
명제 2 다음이 성립한다.
임의의 u,v∈EndModA(M)에 대하여, det(u∘v)=(detu)(detv)가 성립한다.
det(idM)=1이다.
임의의 u∈AutModA(M)에 대하여, detu는 A에서 곱셈에 대한 역원이 존재하며 그 값은 det(u)−1=det(u−1)과 같다.
따름정리 3 유한차원 free A-module M과 u∈EndModA(M)에 대하여 다음이 동치이다.
u가 bijective이다.
detu가 A에서 가역이다.
증명
2번 조건을 가정하고 1번 조건을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 xi=u(ei)로 정의하여
x1∧⋯∧xn=det(u)e1∧⋯∧en
를 얻은 후, 양 변에 det(u)−1을 곱한 후 그 식으로부터 얻어지는 기저변환을 생각하면 된다.
Free A-module M과 그 basis e1,…,en을 고정하면, 임의의 M의 원소들 x1,…,xn에 대하여
x1∧⋯∧xn=αe1∧⋯∧en
이도록 하는 α가 존재하며, 이를 det(x1,…,xn)과 같이 적는다. 이 값을 실제로 계산하기 위해서는 xi들 각각을 e1,…,en에 대한 linear combination으로 나타낸 후 ei∧ei=0과 ei∧ej=−ej∧ei를 이용하여 이를 모두 정리해주면 된다. A=K인 경우 이는 이미 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)에서 살펴본 것이다. 조금 더 자세히 설명하자면, 임의의 X∈Matn(A)를 열벡터들을 이용해 X=(x1,…,xn)으로 적을 경우, u(ei)=xi를 만족하는 유일한 u∈EndModA(M)에 대하여 det(u)가 잘 정의되며, 이는 따름정리 3의 증명에서 나온 식과 비교해보면 det(x1,…,xn)=det(u)이다. 그럼 이로부터 명제 2의 행렬 버전의 명제를 만들 수 있으며, 이를 계산하는 과정이 곧 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)이 된다. 특히 이로부터 det(u∗)=det(u)인 것을 알 수 있다.
한편 행렬식을 계산하는 방법 중, 라플라스 전개를 이용하는 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, ⁋정리 13이 있었는데, 이 계산 자체는 이미 다루었으므로 반복하지 않지만, 여기에서 등장했던 detA(i,j)들을 일반화할 수 있다.
이를 위해 임의의 X=(ξij)∈MatI×J가 주어졌다 하자. I와 J 위에 정의된 total ordering를 하나 고정하면, 임의의 유한한 부분집합 H⊆I, K⊆J가 주어질 때마다 이들로 만들어진 부분행렬 XH,K=(ξi,j)i∈H,j∈K의 index에도 total order가 주어진다. 특히 만일 ∣H∣=∣K∣인 경우를 생각하자. 그럼 다음의 보조정리는 자명하다.
보조정리 4 Free A-module M의 basis (ei)i∈I가 주어졌다 하고, I의 total ordering을 하나 고정하자. 또, 임의의 자연수 p에 대하여, ⋀p(M)의 basis
(eJ=ej1∧⋯∧ejp)∣J∣=p
를 생각하자. M의 임의의 p개의 원소 x1,…,xp가 주어졌다 하고, 이들을
xj=i∈I∑ξijei
의 꼴로 쓴 후 행렬 X=(ξij)(i,j)∈I×p∈MatI×p(A)를 정의하자. 그럼 다음의 식
x1∧x2∧⋯∧xp=∣J∣=p∑detXI,JeJ
이 성립한다.
명제 5 두 free A-moduile M,N과 이들의 유한한 basis (ei)1≤i≤m, (fj)1≤j≤n가 각각 주어졌다 하자. 이제 min(m,n)보다 작은 자연수 p에 대하여, ⋀p(u):⋀p(M)→⋀p(N)을 basis (eI)∣I∣=p, (fJ)∣J∣=p에 대하여 행렬로 표현한 것은 (det(XJ,I))로 주어진다.
증명
주어진 상황에서 I의 원소들을 i1<⋯ip로 크기 순으로 나열하자. 그럼 ⋀p(u)의 정의에 의하여
⋀p(u)=u(ei1)∧⋯∧u(eip)
이므로, 앞선 보조정리를 적용하면 된다.
따름정리 6 Free A-module M이 유한한 basis (ei)1≤i≤n을 갖는다 하자. 그럼 임의의 u∈EndModA(M)과 α,β∈A에 대하여 다음 식
det(α⋅idM+βu)=k≥0∑tr(⋀k(u))αn−kβk
를 얻는다.
증명
좌변은 다음의 wedge
(αe1+βu(e1))∧⋯∧(αen+βu(en))
를 e1∧⋯∧en의 배수로 되돌려 놓으며 생긴다. 위의 식을 전부 전개하면, 이는 0≤p≤n을 만족하는 정수 p, ∣P∣=p를 만족하는 {1,…,n}의 부분집합 P, 그리고 다음의 식
xi={u(ei)eiif i∈Potherwise
으로 정의된 xi들로 정의한 ⋀n(M)의 원소 xP=x1∧⋯∧xn에 대하여 αn−pβpxP들을 다 더한 것과 같다.
위의 꼴의 xP를 단순화하기 위해, {1,…,n}∖P=Q라 하고, P,Q의 원소들을 각각 크기별로 배열하여
P={i1<i2<⋯<ip},Q={j1<j2<⋯<jn−p}
라 하자. 그럼 P의 원소들과 Q의 원소들의 순서를 각각 바꾸어
xP=γP,Qej1∧⋯∧ejn−p∧u(ei1)∧⋯u(ein−p)
로 쓸 수 있다. 여기서 γP,Q는 이들의 순서를 바꾸며 생기는 부호이며, 구체적으로는 다음 식
Polynomial algebra A[x]와 canonical inclusion ι:A↪A[x]를 생각하면, extension of scalar를 통해 ι!M=A[x]⊗AM 위에 A[x]-module의 구조가 정의된다. ([대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋정의 3) 뿐만 아니라, 임의의 u∈EndModA(M)이 주어질 때마다 ι!u∈EndModA[x](ι!M) 또한 정의된다.
임의의 u∈EndModA(M)에 대하여, 다음 표기법
uk=k timesu∘⋯∘u
을 도입하자. 그럼 임의의 p∈A[x]에 대해서 p(u)를 EndModA(M)의 원소로 생각할 수 있으며, 이 경우 임의의 p,q∈A[x]에 대하여
(pq)(u)=p(u)∘q(u)=q(u)∘p(u)
가 성립한다. 따라서, M 위에 A[x]-action을 다음 식
p∙x=p(u)(x)
으로 정의하면 이는 M 위에 A[x]-module 구조를 준다. 즉, 방금 정의한 스칼라곱에 의하여
ρ:A[x]⊗AM→M;p⊗Ax↦p∙x(1)
이 정의되며, 이는 A-linear이다. 뿐만 아니라 ρ는 A[x]-linear map이다. 임의의 p∈A[x]와 q⊗x∈ι!M에 대하여,
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