K

Grad. student in mathematics

행렬식Permalink

앞선 글에서 우리는 임의의 free AA-module MM에 대하여, MM이 basis (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}를 갖는다면 다음의 식

eJ=ej1∧ej2∧⋯∧ejk,j1<⋯<jk,J={j1,…,jk}e_J=e_{j_1}\wedge e_{j_2}\wedge\cdots\wedge e_{j_k},\qquad j_1<\cdots < j_k, \quad J=\{j_1,\ldots, j_k\}

의 꼴로 나타나는 원소 eJe_J들이 ⋀(M)\bigwedge(M)의 basis가 되는 것을 확인했다. 특히, ∣J∣=n\lvert J\rvert=n을 만족하는 JJ들을 모아둔다면 이들은 ⋀n(M)\bigwedge^n(M)의 basis가 된다.

이제 MM이 유한한 basis e1,…,ene_1,\ldots, e_n을 갖는다 하자. 그럼 ⋀n(M)\bigwedge^n(M)의 basis는 단 하나의 원소 e1∧⋯∧ene_1\wedge\cdots\wedge e_n 뿐이다. 한편 임의의 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)에 대하여, ⋀\bigwedge의 functoriality로부터 ⋀n(u):⋀n(M)→⋀n(M)\bigwedge^n(u):\bigwedge^n(M)\rightarrow\bigwedge^n(M)이 유도되며, 위의 논의로부터 이 linear map은 반드시 x↦αxx\mapsto \alpha x의 꼴로 쓰여야 한다.

정의 1 Free AA-module MM이 basis (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}를 갖는다 하자. 그럼 임의의 u:M→Mu:M \rightarrow M에 대하여, 위의 논의에서 얻어지는 α∈A\alpha\in A를 uu의 행렬식determinant이라 부르고 det⁡u\det u로 적는다.

그럼 정의로부터 다음 명제가 자명하다.

명제 2 다음이 성립한다.

  1. 임의의 u,v∈End⁡ModA(M)u,v\in\End_\rMod{A}(M)에 대하여, det⁡(u∘v)=(det⁡u)(det⁡v)\det(u\circ v)=(\det u)(\det v)가 성립한다.
  2. det⁡(idM)=1\det(\id_M)=1이다.
  3. 임의의 u∈Aut⁡ModA(M)u\in\Aut_\rMod{A}(M)에 대하여, det⁡u\det u는 AA에서 곱셈에 대한 역원이 존재하며 그 값은 det⁡(u)−1=det⁡(u−1)\det(u)^{-1}=\det(u^{-1})과 같다.

따름정리 3 유한차원 free AA-module MM과 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)에 대하여 다음이 동치이다.

  1. uu가 bijective이다.
  2. det⁡u\det u가 AA에서 가역이다.
증명

2번 조건을 가정하고 1번 조건을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 xi=u(ei)x_i=u(e_i)로 정의하여

x1∧⋯∧xn=det⁡(u)e1∧⋯∧enx_1\wedge \cdots\wedge x_n=\det(u) e_1\wedge\cdots\wedge e_n

를 얻은 후, 양 변에 det⁡(u)−1\det(u)^{-1}을 곱한 후 그 식으로부터 얻어지는 기저변환을 생각하면 된다.

Free AA-module MM과 그 basis e1,…,ene_1,\ldots, e_n을 고정하면, 임의의 MM의 원소들 x1,…,xnx_1,\ldots, x_n에 대하여

x1∧⋯∧xn=αe1∧⋯∧enx_1\wedge \cdots\wedge x_n=\alpha e_1\wedge\cdots\wedge e_n

이도록 하는 α\alpha가 존재하며, 이를 det⁡(x1,…,xn)\det(x_1,\ldots, x_n)과 같이 적는다. 이 값을 실제로 계산하기 위해서는 xix_i들 각각을 e1,…,ene_1,\ldots, e_n에 대한 linear combination으로 나타낸 후 ei∧ei=0e_i\wedge e_i=0과 ei∧ej=−ej∧eie_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i를 이용하여 이를 모두 정리해주면 된다. A=KA=\mathbb{K}인 경우 이는 이미 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)에서 살펴본 것이다. 조금 더 자세히 설명하자면, 임의의 X∈Mat⁡n(A)X\in\Mat_n(A)를 열벡터들을 이용해 X=(x1,…,xn)X=(x_1,\ldots, x_n)으로 적을 경우, u(ei)=xiu(e_i)=x_i를 만족하는 유일한 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)에 대하여 det⁡(u)\det(u)가 잘 정의되며, 이는 따름정리 3의 증명에서 나온 식과 비교해보면 det⁡(x1,…,xn)=det⁡(u)\det (x_1,\ldots, x_n)=\det(u)이다. 그럼 이로부터 명제 2의 행렬 버전의 명제를 만들 수 있으며, 이를 계산하는 과정이 곧 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, 식 (2)이 된다. 특히 이로부터 det⁡(u∗)=det⁡(u)\det(u^\ast)=\det(u)인 것을 알 수 있다.

행렬의 소행렬식Permalink

한편 행렬식을 계산하는 방법 중, 라플라스 전개를 이용하는 [선형대수학] §행렬식의 존재성과 유일성, ⁋정리 13이 있었는데, 이 계산 자체는 이미 다루었으므로 반복하지 않지만, 여기에서 등장했던 det⁡A(i,j)\det A^{(i,j)}들을 일반화할 수 있다.

이를 위해 임의의 X=(ξij)∈Mat⁡I×JX=(\xi_{ij})\in\Mat_{I\times J}가 주어졌다 하자. II와 JJ 위에 정의된 total ordering를 하나 고정하면, 임의의 유한한 부분집합 H⊆IH\subseteq I, K⊆JK\subseteq J가 주어질 때마다 이들로 만들어진 부분행렬 XH,K=(ξi,j)i∈H,j∈KX_{H,K}=(\xi_{i,j})_{i\in H,j\in K}의 index에도 total order가 주어진다. 특히 만일 ∣H∣=∣K∣\lvert H\rvert=\lvert K\rvert인 경우를 생각하자. 그럼 다음의 보조정리는 자명하다.

보조정리 4 Free AA-module MM의 basis (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}가 주어졌다 하고, II의 total ordering을 하나 고정하자. 또, 임의의 자연수 pp에 대하여, ⋀p(M)\bigwedge^p(M)의 basis

(eJ=ej1∧⋯∧ejp)∣J∣=p(e_J=e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p})_{\lvert J\rvert=p}

를 생각하자. MM의 임의의 pp개의 원소 x1,…,xpx_1,\ldots, x_p가 주어졌다 하고, 이들을

xj=∑i∈Iξijeix_j=\sum_{i\in I} \xi_{ij}e_i

의 꼴로 쓴 후 행렬 X=(ξij)(i,j)∈I×p∈Mat⁡I×p(A)X=(\xi_{ij})_{(i,j)\in I\times p}\in\Mat_{I\times p}(A)를 정의하자. 그럼 다음의 식

x1∧x2∧⋯∧xp=∑∣J∣=pdet⁡XI,JeJx_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_p=\sum_{\lvert J\rvert=p}\det X_{I,J}e_J

이 성립한다.

명제 5 두 free AA-moduile M,NM,N과 이들의 유한한 basis (ei)1≤i≤m(e_i)_{1\leq i\leq m}, (fj)1≤j≤n(f_j)_{1\leq j\leq n}가 각각 주어졌다 하자. 이제 min⁡(m,n)\min(m,n)보다 작은 자연수 pp에 대하여, ⋀p(u):⋀p(M)→⋀p(N)\bigwedge^p(u):\bigwedge^p(M) \rightarrow\bigwedge^p(N)을 basis (eI)∣I∣=p(e_I)_{\lvert I\rvert=p}, (fJ)∣J∣=p(f_J)_{\lvert J\rvert=p}에 대하여 행렬로 표현한 것은 (det⁡(XJ,I))(\det(X_{J,I}))로 주어진다.

증명

주어진 상황에서 II의 원소들을 i1<⋯ipi_1<\cdots i_p로 크기 순으로 나열하자. 그럼 ⋀p(u)\bigwedge^p(u)의 정의에 의하여

⋀p(u)=u(ei1)∧⋯∧u(eip){\bigwedge}^p(u)=u(e_{i_1})\wedge\cdots\wedge u(e_{i_p})

이므로, 앞선 보조정리를 적용하면 된다.

따름정리 6 Free AA-module MM이 유한한 basis (ei)1≤i≤n(e_i)_{1\leq i\leq n}을 갖는다 하자. 그럼 임의의 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)과 α,β∈A\alpha,\beta\in A에 대하여 다음 식

det⁡(α⋅idM+βu)=∑k≥0tr(⋀k(u))αn−kβk\det(\alpha\cdot\id_M+\beta u)=\sum_{k\geq 0}\tr\left({\bigwedge}^k(u)\right)\alpha^{n-k}\beta^k

를 얻는다.

증명

좌변은 다음의 wedge

(αe1+βu(e1))∧⋯∧(αen+βu(en))(\alpha e_1+\beta u(e_1))\wedge\cdots\wedge(\alpha e_n+\beta u(e_n))

를 e1∧⋯∧ene_1\wedge\cdots\wedge e_n의 배수로 되돌려 놓으며 생긴다. 위의 식을 전부 전개하면, 이는 0≤p≤n0\leq p\leq n을 만족하는 정수 pp, ∣P∣=p\lvert P\rvert=p를 만족하는 {1,…,n}\{1,\ldots, n\}의 부분집합 PP, 그리고 다음의 식

xi={u(ei)if i∈Peiotherwisex_i=\begin{cases}u(e_i)&\text{if $i\in P$}\\e_i&\text{otherwise}\end{cases}

으로 정의된 xix_i들로 정의한 ⋀n(M)\bigwedge^n(M)의 원소 xP=x1∧⋯∧xnx_P=x_1\wedge\cdots\wedge x_n에 대하여 αn−pβpxP\alpha^{n-p}\beta^p x_P들을 다 더한 것과 같다.

위의 꼴의 xPx_P를 단순화하기 위해, {1,…,n}∖P=Q\{1,\ldots, n\}\setminus P=Q라 하고, P,QP,Q의 원소들을 각각 크기별로 배열하여

P={i1<i2<⋯<ip},Q={j1<j2<⋯<jn−p}P=\{i_1< i_2<\cdots< i_p\},\qquad Q=\{j_1< j_2<\cdots < j_{n-p}\}

라 하자. 그럼 PP의 원소들과 QQ의 원소들의 순서를 각각 바꾸어

xP=γP,Qej1∧⋯∧ejn−p∧u(ei1)∧⋯u(ein−p)x_P=\gamma_{P,Q}e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_{n-p}}\wedge u(e_{i_1})\wedge\cdots u(e_{i_{n-p}})

로 쓸 수 있다. 여기서 γP,Q\gamma_{P,Q}는 이들의 순서를 바꾸며 생기는 부호이며, 구체적으로는 다음 식

γP,Q=(−1)∣A∣,A={(p,q)∈P×Q∣p>q}\gamma_{P,Q}=(-1)^{\lvert A\rvert},\qquad A=\{(p,q)\in P\times Q\mid p>q\}

으로 주어진다. 그럼 XX의 정의와 보조정리 4에 의해

u(ei1)∧⋯∧u(eip)=∑∣I∣=pdet⁡(XI,Q)eQu(e_{i_1})\wedge\cdots\wedge u(e_{i_p})=\sum_{\lvert I\rvert=p}\det(X_{I,Q})e_Q

이므로, 이를 대입하면

xP=γP,Q∑∣I∣=pdet⁡XI,PeQ∧eIx_P=\gamma_{P,Q}\sum_{\lvert I\rvert=p}\det X_{I,P} e_Q\wedge e_I

를 얻는다. 그런데 ∣I∣=p\lvert I\rvert=p이고 ∣Q∣=n−p\lvert Q\rvert=n-p이므로, 이들은 I=PI=P가 아닌 이상 항상 겹치는 eie_i를 갖고 따라서 위의 식은

xP=det⁡(XP,P)e1∧e2∧⋯∧enx_P=\det (X_{P,P} )e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_n

으로 쓸 수 있다. 명제 5에 의하여, 고정된 pp에 대해 ∣P∣=p\lvert P\rvert=p를 만족하는 모든 pp에 대해 det⁡(Xp,p)\det(X_{p,p})를 모두 더한 것이 tr(⋀k(u))\tr\left(\bigwedge^k(u)\right)이므로 이로써 증명이 완료된다.

특히 α=β=1\alpha=\beta=1로 두면 tr(⋀(u))=det⁡(idM+u)\tr(\bigwedge(u))=\det(\id_M+u)를 얻는다.

특성다항식Permalink

이제 우리는 특성다항식을 정의한다.

Polynomial algebra A[x]A[\x]와 canonical inclusion ι:A↪A[x]\iota: A \hookrightarrow A[\x]를 생각하면, extension of scalar를 통해 ι!M=A[x]⊗AM\iota_!M=A[\x]\otimes_A M 위에 A[x]A[\x]-module의 구조가 정의된다. ([대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋정의 3) 뿐만 아니라, 임의의 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)이 주어질 때마다 ι!u∈End⁡ModA[x](ι!M)\iota_!u\in\End_\rMod{A[\x]}(\iota_!M) 또한 정의된다.

임의의 u∈End⁡ModA(M)u\in\End_\rMod{A}(M)에 대하여, 다음 표기법

uk=u∘⋯∘u⏟k timesu^k=\underbrace{u\circ\cdots\circ u}_\text{$k$ times}

을 도입하자. 그럼 임의의 p∈A[x]p\in A[\x]에 대해서 p(u)p(u)를 End⁡ModA(M)\End_\rMod{A}(M)의 원소로 생각할 수 있으며, 이 경우 임의의 p,q∈A[x]p,q\in A[\x]에 대하여

(pq)(u)=p(u)∘q(u)=q(u)∘p(u)(pq)(u)=p(u)\circ q(u)=q(u)\circ p(u)

가 성립한다. 따라서, MM 위에 A[x]A[\x]-action을 다음 식

p∙x=p(u)(x)p\bullet x=p(u)(x)

으로 정의하면 이는 MM 위에 A[x]A[\x]-module 구조를 준다. 즉, 방금 정의한 스칼라곱에 의하여

ρ:A[x]⊗AM→M;p⊗Ax↦p∙x(1)\rho: A[\x]\otimes_A M \rightarrow M;\qquad p\otimes_A x\mapsto p\bullet x\tag{1}

이 정의되며, 이는 AA-linear이다. 뿐만 아니라 ρ\rho는 A[x]A[\x]-linear map이다. 임의의 p∈A[x]p\in A[\x]와 q⊗x∈ι!Mq\otimes x\in \iota_!M에 대하여,

ρ(p(q⊗Ax))=ρ((pq)⊗Ax)=(pq)∙x=(pq)(u)(x)=p(u)(q(u)x)=p∙ρ(q⊗Ax)\rho(p(q\otimes_Ax))=\rho((pq)\otimes_Ax)=(pq)\bullet x=(pq)(u)(x)=p(u)(q(u)x)=p\bullet\rho(q\otimes_Ax)

이기 때문이다.

혼동을 피하기 위해, MM을 A[x]A[\x]-module로 취급한 것을 MuM_u라 적자. 이제 uu를 MuM_u에서 MuM_u로의 함수로 보면 다음의 식

u(p∙x)=u(p(u)(x))=(xp)∙x=(px)∙x=p∙(u(x))u(p\bullet x)=u(p(u)(x))=(\x p)\bullet x=(p\x)\bullet x=p\bullet(u(x))

이 성립하므로 uu는 A[x]A[\x]-module endomorphism이 된다. 그럼 위의 식과 (1)로부터 다음의 식

ρ∘(ι!u)=u∘ρ\rho\circ(\iota_!u)=u\circ\rho

이 성립하는 것을 안다.

명제 7 위와 같은 상황에서, A[x]A[\x]-endomorphism ψ=x−ι!u\psi=\x-\iota_!u를 다음 식

ψ(p⊗Ax)=(xp)⊗Ax−p⊗Au(x)\psi(p\otimes_Ax)=(\x p)\otimes_Ax -p\otimes_A u(x)

으로 정의하자. 그럼 다음의 A[x]A[\x]-module들의 exact sequence

ι!M⟶ψι!M⟶ρMu⟶0\iota_!M\overset{\psi}{\longrightarrow}\iota_!M\overset{\rho}{\longrightarrow}M_u\longrightarrow 0

이 exact이다.

증명

ker⁡ρ⊆im⁡ψ\ker\rho\subseteq \im\psi인 것만 보이면 충분하다. z∈ker⁡ρz\in\ker\rho가 임의로 주어졌다 하자. 그럼 zz를 p⊗Axp\otimes_A x의 꼴의 원소들의 합으로 분해한 후, 다시 pp들을 1,x,x2,…1,\x,\x^2,\ldots들의 일차결합으로 생각하여 분해한 후 xk\x^k들에 맞추어 합을 다시 쓰는 방식으로

z=∑kxk⊗Axk,xk∈Mz=\sum_k \x^k\otimes_A x_k,\qquad x_k\in M

으로 적어줄 수 있다. 그럼 z∈ker⁡ρz\in\ker\rho라는 조건으로부터,

ρ(z)=∑kuk(xk)=0\rho(z)=\sum_k u^k(\x_k)=0

을 얻는다. 이제 ∑1⊗uk(xk)=0\sum 1\otimes u^k(x_k)=0이므로, 이로부터

z=∑k(xk⊗Axk−1⊗Auk(xk))=∑k(xk−ι!uk))(1⊗xk)z=\sum_k (\x^k\otimes_A x_k-1\otimes_A u^k(x_k))=\sum_k (\x^k-\iota_!u^k))(1\otimes x_k)

인데, 어차피 ι!M=A[x]⊗AM\iota_!M=A[\x]\otimes_A M에서 x\x는 A[x]A[\x] 부분에 작용하고, ι!u\iota_!u는 MM에 작용하므로 이들의 곱셈은 순서를 바꿀 수 있다. 즉 위의 식을

∑k(x−ι!u)∘(∑j=0k−1xj(ι!u)k−j−1)\sum_k (\x-\iota_!u)\circ\left(\sum_{j=0}^{k-1} \x^j (\iota_!u)^{k-j-1}\right)

으로 쓸 수 있으므로 증명이 완료된다.

한편, ψ\psi의 행렬식을 생각하면 따름정리 6으로부터

det⁡(x−ι!u)=∑k=0n(−1)ktr(⋀j(ι!u))xn−k\det (\x-\iota_!u)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\tr\left({\bigwedge}^j(\iota_!u)\right)\x^{n-k}

을 얻는다. 한편 uu의 행렬표현 [u]BB[u]_\mathcal{B}^\mathcal{B}는, M[x]M[\x]의 A[x]A[\x]-basis B′=(1⊗ei)1≤i≤n\mathcal{B}’=(1\otimes e_i)_{1\leq i\leq n}에 대한 ι!u\iota_!u의 행렬표현 [ι!u]B′B′′[\iota_!u]_{\mathcal{B}’}^{\mathcal{B}’’}와 같으므로 위의 식은

det⁡(x−ι!u)=∑k=0n(−1)ktr(⋀j(u))xn−k\det (\x-\iota_!u)=\sum_{k=0}^n (-1)^k\tr\left({\bigwedge}^j(u)\right)\x^{n-k}

으로 쓸 수 있다.

정의 8 위에서 정의한 다항식 det⁡(x−ι!u)\det(\x-\iota_!u)를 uu의 characteristic polynomial특성다항식이라 부르고 χu(x)\chi_u(\x)로 적는다.

그럼 앞선 식으로부터, characteristic polynomial에서 xn\x^n의 계수는 11, xn−1\x^{n-1}의 계수는 −tr(u)-\tr(u)이며 상수항은 (−1)ndet⁡(u)(-1)^n\det(u)임을 알 수 있다.

명제 9 (Cayley-Hamilton) χu(u)=0\chi_u(u)=0.

증명

보여야 할 것은 임의의 x∈Mx\in M에 대하여 χu(u)(x)=0\chi_u(u)(x)=0인 것을 보여야 한다. 그런데 χu(u)(x)\chi_u(u)(x)는, 식 (1)을 사용하면, ρ(χu(x)⊗Ax)\rho(\chi_u(\x)\otimes_Ax)와 같다. 이제

χu(x)⊗Ax=χu(x)(1⊗Ax)=det⁡(x−ι!u)(1⊗Ax)\chi_u(\x)\otimes_Ax=\chi_u(\x)(1\otimes_Ax)=\det(\x-\iota_!u)(1\otimes_Ax)

이다. 그런데 라플라스 전개를 생각하면 임의의 행렬 XX와 XX의 cofactor YY에 대해 XYt=(det⁡X)IXY^t=(\det X)I가 성립하므로, 적당한 v∈End⁡ModA[x](ι!M)v\in\End_\rMod{A[\x]}(\iota_!M)이 존재하여

det⁡(x−ι!u)(1⊗Ax)=(x−ι!u)(v(1⊗Ax))\det(\x-\iota_!u)(1\otimes_Ax)=(\x-\iota_!u)(v(1\otimes_A x))

으로 쓸 수 있고 따라서 명제 7에 의해 원하는 결과를 얻는다.

댓글남기기