이번 글에서 \(A\)는 noetherian이고 \(M\)이 finitely generated \(A\)-module임을 가정한다.
으뜸부분가군
정의 1 \(M\)의 submodule \(N\)이 primary submodule으뜸부분가군인 것은 \(\Ass(M/N)\)이 하나의 prime ideal로만 구성된 것이다. 이 때, \(\Ass(M/N)=\{\mathfrak{p}\}\)라면 \(N\)을 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule이라 부른다. 만일 \(\Ass(M)\)이 하나의 prime ideal로만 이루어져 있다면 \(M\)을 coprimary submodule쌍대으뜸부분가군이라 부른다.
즉, \(M/N\)이 coprimary submodule이라면 \(N\)은 primary submodule이 된다. 또, §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5로부터 임의의 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule들의 유한한 교집합은 \(\mathfrak{p}\)-primary인 것을 안다.
이제 다음이 성립한다.
명제 2 Ring \(A\)와 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- \(A\)-module \(M\)이 \(\mathfrak{p}\)-coprimary module이다.
- \(\mathfrak{p}\)는 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal들 중에서 minimal이며, \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.
- 적당한 \(k\)에 대하여 \(\mathfrak{p}^k\)가 \(M\)을 annihilate하며, \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.
증명
우선 첫 번째 조건이 성립한다 하면, 정의에 의하여 \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 유일한 associated prime ideal이다. 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 1번 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\)는 반드시 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이어야 하며, 2번 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.
이제 두 번째 조건이 성립한다 가정하자. 그럼 \(A\setminus \mathfrak{p}\)의 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니므로, localization \(M_\mathfrak{p}\)에서 주어진 주장을 증명하면 충분하다. 즉 \((A, \mathfrak{p})\)가 local ring이라 가정할 수 있고, 이제 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(M)\)에 대해 minimal하다는 가정과 §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8로부터 원하는 결과를 얻는다.
마지막으로 세 번째 조건이 성립한다 하면 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann M\)을 포함하는 prime ideal들 가운데 minimal하다는 것은 자명하며, 따라서 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\)는 \(M\)의 associated prime ideal이다. 또, \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 모두 zero divisor가 아니므로, 다시 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 둘때 조건에 의하여 임의의 associated prime은 항상 \(\mathfrak{p}\) 안에 속한다는 것을 안다. 즉, \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 유일한 associated prime ideal이다.
으뜸분해
이번 글에서 우리의 목표는 다음 정리를 보이는 것이다.
정리 3 (Primary decomposition) \(M\)의 임의의 submodule \(M'\)은 primary submodule들의 교집합이다. 즉, prime ideal들 \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_n\)과 \(\mathfrak{p}_k\)-primary submodule들 \(M_k\)에 대하여, \(M'=\bigcap_{k=1}^n M_k\)으로 적을 수 있다. 이를 primary decomposition으뜸분해이라 부르며, 그럼 다음이 성립한다.
- \(M/M'\)의 associated prime은 \(\mathfrak{p}_k\)들 중 하나이다.
- 만일 \(M'\)을 표현할 때, \(M_k\)들 중 불필요한 것이 없다면 \(\mathfrak{p}_i\)들은 정확히 \(M/M'\)의 associated prime이다.
- 만일 \(M'\)을 표현하는 방식 중 더 적은 \(M_k\)들을 이용하는 방식이 없다면, \(M/M'\)의 associated prime들은 정확히 index 하나 당 하나의 \(\mathfrak{p}_k\)가 된다. 만일 여기에 더해 \(\mathfrak{p}_i\)가 \(M/M'\)의 annihilator ideal을 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이라면 \(M_i\)는 \(M'\)의 \(\mathfrak{p}_i\)-primary component가 된다.
-
주어진 minimal primary decomposition에 대하여, \(A\)의 임의의 multiplicative subset \(S\)에 대해, \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_m\)들이 \(S\)와 만나지 않는 prim ideal들이라 하자. 그럼
\[S^{-1}M'=\bigcap_{i=1}^m S^{-1}M_i\]은 \(S^{-1}A\)에 대한 \(S^{-1}M\)의 minimal primary decomposition이다.
이를 증명하기 위해, 우선 우리는 module의 irreducible decomposition을 정의한다.
정의 4 \(A\)-module \(M\)의 임의의 submodule \(N\)이 irreducible기약이라는 것은 \(N=N_1\cap N_2\)이도록 하는 \(N_1,N_2\supsetneq N\)이 존재하지 않는 것이다.
그럼 다음이 성립한다.
보조정리 5 (Noether) \(M\)의 임의의 submodule은 irreducible submodule들의 교집합으로 나타난다.
증명
귀류법을 사용하자. 그럼 \(M\)이 noetherian이므로, irreducible submodule들의 교집합으로 나타나지 않는 submodule들 중 maximal한 것을 택할 수 있다. 이를 \(N\)이라 하자. 그럼 \(N\)은 irreducible submodule이 아니므로, \(N=N_1\cap N_2\)이도록 하는 \(N_1,N_2\supsetneq N\)이 존재한다. 그런데 \(N\)의 maximality에 의하여 \(N_1,N_2\)는 모두 irreducible submodule의 교집합으로 나타나고, 따라서 \(N\)도 그러하므로 모순이다.
이로부터 우리는 \(M\)의 임의의 submodule \(M'\)에 대하여, \(M'\)의 irreducible decomposition기약분해
\[M'=\bigcap_{k=1}^n M_k,\qquad \text{$M_k$ irreducible}\]이 항상 존재한다는 것을 안다.
보조정리 6 위의 irreducible decomposition은 primary decomposition이다.
증명
이를 위해서는 임의의 irreducible submodule \(P\)이 primary submodule임을 보이면 충분하고, 이는 \(M/P\)가 coprimary submodule인 것을 보이는 것과 같다. 결론에 반하여 \(M/P\)가 두 개의 associated prime \(\mathfrak{p},\mathfrak{q}\)를 갖는다 가정하자. 그럼 \(M/P\)는 \(A/\mathfrak{p}\), \(A/\mathfrak{q}\)와 각각 isomorphic한 submodule들을 갖는다. 그럼 정의에 의해 \(A/\mathfrak{p}\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소의 annihilator는 \(\mathfrak{p}\)이고, \(A/\mathfrak{q}\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소의 annihilator는 \(\mathfrak{q}\)이므로 이들은 오직 \(0\)만을 공통의 원소로 갖는다. 즉, \(M/P\)의 zero submodule \(0\)은 reducible submodule이다. 이로부터 \(M\)에서는 \(P\)이 reducible submodule이 되어 모순이 얻어진다.
따라서 \(M\)의 임의의 submodule은 항상 primary decomposition을 갖는다. 이제 정리 3의 나머지 부분을 증명해야 한다. 앞선 보조정리의 증명과 마찬가지로, 이들을 증명할 때는 \(M/M'\)에 대해 증명하면 충분하므로, 일반성을 잃지 않고 \(M'=0\)으로 가정해도 충분하다.
정리 3의 증명
우선 첫째 결과를 보이기 위해, \(M\)의 zero submodule \(0\)의 primary decomposition
\[0=\bigcap_{k=1}^n M_k\]이 주어졌다 하자. 그럼 [다중선형대수학] §완전열, ⁋명제 7의 exact sequence를 일반화한 것으로부터
\[M\subseteq \bigoplus_{k=1}^n M/M_k\]이므로, §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5로부터 \(\Ass M\)의 임의의 prime들이 \(\mathfrak{p}_k\)들 가운데에서 얻어지는 것을 안다.
이제 둘째 결과를 보이자. 그럼 특히 각각의 \(j\)에 대하여,
\[\bigcap_{k\neq j} M_k\neq 0\]이 성립한다. 그럼 \(M_j\cap \bigcap_{k\neq j}M_k=0\)이므로,
\[\bigcap_{k\neq j} M_k=\left(\bigcap_{k\neq j} M_k\right)\bigg/\left(M_k\cap \bigcap_{k\neq j}M_k\right)\cong \left(\bigcap_{k\neq j} M_k + M_j\right)\bigg/M_j\subseteq M/M_j\]가 되어 \(\bigcap_{k\neq j} M_k\)는 \(\mathfrak{p}_j\)-coprimary이다. 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
이제 세 번째 결과를 보이자. 일반적으로 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule들의 교집합 또한 \(\mathfrak{p}\)-primary이므로, 주어진 조건을 만족하기 위해서는 \(\mathfrak{p}_k\)들이 모두 다른 prime ideal들이어야 한다. 이제 \(\mathfrak{p}_k\)들이 annihilator ideal을 포함하는 것 중 minimal한 것이라 가정하고, \(\Ass(M/M_k)=\{\mathfrak{p}_k\}\)임을 보이자. 이를 위해서는 \(0\)이 아닌 임의의 \(x+M_k\in M/M_k\)에 대하여 \(\ann(x)=\mathfrak{p}_k\)가 성립해야 하는 것을 보여야 하므로, §국소화, ⁋명제 5에 의하여 이는 \(\varepsilon: M \rightarrow M_{\mathfrak{p}_k}\)의 kernel이 \(M_k\)임을 보이면 충분하다.
이제 다음의 commutative diagram
을 생각하자. 그럼 \(M \rightarrow M/M_k\)의 kernel이 \(M_k\)이므로, 원하는 주장을 보이기 위해서는 \(M_{\mathfrak{p}_k}\rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\) 그리고 \(M/M_k \rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)가 모두 injective임을 보이면 충분하다. 우선 \(M/M_k \rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)이 injective인 것은 \(M_k\)가 \(\mathfrak{p}_k\)-primary라는 것으로부터 자명하다. 그럼 맨 처음 살펴본 것과 같이
\[M \rightarrow \bigoplus_{k=1}^n M/M_k\]이 injective이며, 따라서 이 함수의 localization
\[M_{\mathfrak{p}_k} \rightarrow \left(\bigoplus_{k=1}^n M/M_k\right)_{\mathfrak{p}_k}\]또한 injective이다. 한편, 각각의 \(j\neq k\)에 대하여 \(M/M_j\)는 \(\mathfrak{p}_j\)-coprimary이고, minimality로부터 \(\mathfrak{p}_j\)는 \(\mathfrak{p}_i\)에 속하지 않아야 하므로 \((M/M_j)_{\mathfrak{p}_k}=0\)이 성립하게 되고, 이렇게 얻어지는 함수가 정확히 \(M_{\mathfrak{p}_k}\rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)이므로 원하는 결과를 얻는다.
마지막 주장은 거의 자명하다.
으뜸분해와 인수분해
한편, 다음 정리는 primary decomposition이 우리가 알고 있던 인수분해의 개념을 일반화한 것임을 보여준다.
정리 7 Noetherian domain \(A\)에 대해 다음이 성립한다.
- \(f\in A\)가 다음 식 \(f=u p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\)으로 인수분해된다 하자. 여기서 \(u\)는 unit이고 \(p_i\)는 \((p_i)\)들이 서로 다른 prime ideal이도록 하는 원소들이다. 그럼 \((f)=\bigcap(p_i^{e_i})\)가 \((f)\)의 minimal primary decomposition이다.
- \(A\)가 UFD인 것과, principal ideal에 대한 minimal prime ideal들이 모두 principal인 것이 동치이다.
증명
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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