수반함자

수반함자의 정의

Adjoint functor의 개념은 처음 카테고리를 배울 때에는 잘 와닿지 않지만, 생각하면 할수록 모든 곳에 등장하는 개념이라는 것을 알 수 있다.

정의 1 두 카테고리 $\mathcal{A},\mathcal{B}$와 functor들 $F:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B},G:\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{A}$를 생각하자. 다음 조건이 만족되면 $F$가 $G$의 left adjoint_{왼쪽 수반함자}, $G$가 $F$의 right adjoint_{오른쪽 수반함자}라 하고, 이를 $F\dashv G$로 적는다.

임의의 $A\in\obj(\mathcal{A}),B\in\obj(\mathcal{B})$에 대하여 isomorphism

\[\Hom_\mathcal{B}(F(A),B)\cong\Hom_\mathcal{A}(A,G(B))\]

이 항상 성립하며, 이 isomorphism은 $A$와 $B$ 각각의 성분에 대하여 naturality를 갖는다. 즉, 만일 $f:A’\rightarrow A$가 주어졌다면, 다음의 diagram

이 commute하며, 비슷하게 $B$에 대해서도 naturality가 성립한다.

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참고문헌

[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.

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