사교다양체

[MS]에서는 symplectic vector space를 소개한 후, 시간을 좀 더 들여서 Maslov class를 소개하는 등등의 일을 한다. 우리는 이를 나중에 Floer theory를 다루며 필요할 때 소개하기로 하고, [Cd]를 따라 우선 symplectic manifold를 정의한다.

정의 1 Manifold $M$ 위에 정의된 symplectic form_사교형식 $\omega$는 $d\omega=0$이고 모든 $p\in M$에 대하여 $\omega_p:T_pM\times T_pM\rightarrow \mathbb{R}$이 linear symplectic form이도록 하는 differential $2$-form을 뜻한다. 이 때 $(M,\omega)$를 symplectic manifold_{사교다양체}라 부른다.

Symplectic manifold $(M,\omega)$에 대하여, 벡터공간 $T_pM$에는 linear symplectic form $\omega_p$가 주어져 있으므로 $\dim T_pM$은 짝수이고, 따라서 $M$ 또한 짝수차원이어야 한다.