Jordan-Hölder 정리
이제 다음을 정의한다.
정의 1 \(A\)-module \(M\)이 simple단순이라는 것은 \(M\neq 0\)이며, \(M\)의 submodule이 오직 \(0\)과 \(M\) 뿐인 것이다.
Simple module은 반드시 하나의 원소 \(x\in M\)으로 생성되어야 함이 자명하지만 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)를 생각하면 그 역은 성립하지 않는다. 한편 simple module \(M\)이 \(x\)로 생성된다면, \(A\)-module homomorphism \(A \rightarrow M\)을 \(1\mapsto x\)로 주면 isomorphism
\[A/\ann(M)=A/\ann(x)\cong M\]을 얻는다. 만일 \(\ann(M)\)이 maximal ideal이 아니라면, \(\ann(M)\)을 포함하는 \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여 \(\mathfrak{m}/\ann(M)\)이 \(M\)의 submodule이 될 것이므로 \(\ann(M)\)은 반드시 \(A\)의 maximal ideal이 되어야 함도 자명하다.
정의 2 \(A\)-module \(M\)을 고정하자. \(M\)의 submodule들의 decreasing sequence
\[M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq \cdots\supsetneq M_n=0\]을 길이 \(n\)의 chain이라 부른다. 이 chain이 composition series합성열이라는 것은 모든 \(k\)에 대하여 \(M_k/M_{k+1}\)이 simple module인 것이다. 이러한 composition series들의 길이 중 가장 작은 것을 \(M\)의 length길이라 부르고 \(\length(M)\)으로 적는다. 만일 \(M\)의 composition series가 존재하지 않는다면 \(\length(M)=\infty\)로 정의한다.
그럼 다음 정리는 module 버전의 Jordan-Hölder 정리라 할 수 있다.
정리 3 \(A\)-module \(M\)이 유한한 composition series를 갖는 것은 \(M\)이 artinian인 동시에 noetherian인 것과 동치이다. 이 조건이 만족되어 길이 \(n\)짜리 composition series
\[M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq \cdots\supsetneq M_n=0\]가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.
- 길이가 \(n\) 이하인 \(M\)의 임의의 submodule들의 chain들은 모두 composition series로의 refinement를 갖는다.
- \(M_k/M_{k+1}\cong A/\mathfrak{m}\)이도록 하는 \(k\)가 존재하는 maximal ideal들의 모임에 대하여, isomorphism \(M\cong\bigoplus_{\mathfrak{m}}M_\mathfrak{m}\)이 존재한다.
- 만일 어떤 \(k\)에 대하여 \(\mathfrak{p}^k\)가 \(M\)을 annihilate한다면 \(M=M_\mathfrak{p}\)이다.
증명
우선 \(M\)이 artinian인 동시에 noetherian이라 하자. 우선 \(M\)이 noetherian이라는 조건으로부터 \(M\)의 적당한 maximal proper submodule \(M_1\)을 찾을 수 있다. 한편 noetherian module의 submodule은 반드시 noetherian이어야 함이 자명하므로, 이를 반복하여 \(M_k\)의 maximal proper submodule \(M_{k+1}\)을 찾을 수 있다. 그런데 이렇게 정의한 chain
\[M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq \cdots\]은 artinian 조건으로부터 그 길이가 유한하며, \(M_{k+1}\)이 \(M_k\)의 maximal proper submodule인 것으로부터 이 chain이 composition series임을 안다.
첫 번째 결과는 Jordan-Hölder 정리와 동일하게 증명하므로 별도로 증명하지 않는다. 이제 이를 받아들이고 나면, 임의의 chain이 주어질 때마다 이 chain을 composition series로 refine할 수 있고, 따라서 앞선 동치관계의 반대 방향까지 보일 수 있다.
이제 두 번째 결과를 보인다. 주어진 chain의 유한성으로부터 조건을 만족하는 maximal ideal들 또한 유한하다는 것을 알고, 따라서 \(\bigoplus_\mathfrak{m} M_\mathfrak{m}\)은 \(\prod_\mathfrak{m} M_\mathfrak{m}\)으로 볼 수 있으며 이 때 주어진 함수는 \(M \rightarrow M_\mathfrak{m}\)들에 direct product의 universal property를 적용하여 얻어진다. 이 함수가 isomorphism이 된다는 것을 보이려면 §국소화의 성질들, ⁋명제 4를 적용하여 maximal ideal에서의 localization을 보면 충분하다.
이를 위해 우선 \(M\cong R/\mathfrak{m}\)이라면 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}'\)에 대하여
\[M_{\mathfrak{m}'}=\begin{cases}M&\text{if $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}'$,}\\0&\text{otherwise.}\end{cases}\]이다. 이로부터 \(M\)의 composition series
\[M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq \cdots\supsetneq M_n=0\]가 주어졌다면, 이를 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에서 localization을 하면
\[M_\mathfrak{m}=(M_0)_\mathfrak{m}\supsetneq (M_1)_\mathfrak{m}\supsetneq \cdots\supsetneq (M_n)_\mathfrak{m}=0\]을 얻는다. 그런데 localization functor가 exact functor인 것과 (§국소화의 성질들, ⁋명제 2) 방금 전의 계산을 종합하면,
\[(M_k)_\mathfrak{m}/(M_{k+1})_\mathfrak{m}\cong (M_k/M_{k+1})_\mathfrak{m}=\begin{cases}M_k/M_{k+1}&\text{if $M_k/M_{k+1}\cong A/\mathfrak{m}$,}\\0&\text{otherwise}\end{cases}\]이 성립한다. 이로부터 두 번째 결과를 얻으며, 세 번째 결과는 위의 계산과 유사하게 증명할 수 있다.
아틴환과 뇌터환의 성질들
정리 4 Ring \(A\)에 대해 다음이 모두 동치이다.
- \(A\)가 noetherian이고 임의의 prime ideal이 maximal이다.
- \(A\)는 \(A\)-module로서 유한한 length를 갖는다.
- \(A\)는 artinian이다.
증명
우선 첫째 조건을 가정하고 둘째 조건을 보이자. 결론에 반하여 \(A\)가 첫째 조건을 만족하지만, finite length가 아니라 하자. 이제 \(\mathfrak{a}\)를 \(A/\mathfrak{a}\)가 finite length가 아니도록 하는 \(A\)의 ideal들 중 maximal인 것이라 하자. 그럼 만일 \(ab\in \mathfrak{a}\)이고 \(a\not\in \mathfrak{a}\)라면, 다음의 short exact sequence
\[0\longrightarrow A/(\mathfrak{a}:a)\overset{a}{\longrightarrow}A/\mathfrak{a}\longrightarrow A/(\mathfrak{a}+(a))\longrightarrow 0\]을 생각할 수 있다. (§기본 개념들, §§기본 정의들) 이제 \(\mathfrak{a}+(a)\)는 \(\mathfrak{a}\)를 strict하게 포함하는 ideal이므로, 정의에 의해 \(A/(\mathfrak{a}+(a))\)는 finite length여야 한다. 한편 정의로부터 \(\mathfrak{a}\subseteq (\mathfrak{a}:(a))\)인데, 만일 \(b\not\in \mathfrak{a}\)라면 \(\mathfrak{a}\subsetneq (\mathfrak{a}:(a))\)가 되므로, 마찬가지로 \(\mathfrak{a}\)의 정의에 의해 \(A/(\mathfrak{a}:a)\)는 finite lenngth여야 한다. 따라서 이들 composition series들을 통해 \(A/\mathfrak{a}\)의 composition series를 얻고, 이는 \(A\)가 finite length가 아니라는 가정에 모순이므로 \(b\in \mathfrak{a}\)이다. 즉 \(\mathfrak{a}\)는 prime ideal이다. 이제 1번 조건의 가정에 의해 \(\mathfrak{a}\)는 maximal이므로, \(A/\mathfrak{a}\)는 field이고 이는 \(A/\mathfrak{a}\)가 finite length가 아니라는 가정에 다시 모순이므로 원하는 결과를 얻는다.
이제 둘째 조건을 가정하면 셋째 조건은 정리 3으로부터 자명하다. 따라서 셋째 조건을 가정하고 첫째 조건을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(A\)의 maximal ideal들의 곱으로 얻어지는 ideal들의 모임을 생각하자. 그럼 \(A\)가 artinian이므로, 이 모임에서의 minimal한 ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재한다. 그럼 \(\mathfrak{a}=0\)이고, 따라서 zero ideal은 maximal ideal들의 곱 \(0=\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_k\)으로 적을 수 있다.
이 주장을 보이기 위해 우선, 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 minimality는 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여 \(\mathfrak{m}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}\)인 것을 의미한다는 것을 관찰하자. 즉, \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{m}\)이다. 비슷한 논리로 \(\mathfrak{a}^2\)는 maximal ideal들의 곱이므로 \(\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}\)도 성립한다. 이제 결론에 반하여 \(\mathfrak{a}\neq 0\)이라 가정하면, \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\neq 0\)이도록 하는 ideal이 존재하며, 다시 \(A\)가 artinian이라는 가정으로부터 \(\mathfrak{b}\)를 이러한 성질을 만족하는 ideal들 중 minimal한 것으로 택할 수 있다. 그럼
\[(\mathfrak{b}\mathfrak{a})\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\mathfrak{a}^2=\mathfrak{b}\mathfrak{a}\neq 0\]이므로, \(\mathfrak{b}\)의 minimality로부터 \(\mathfrak{b}\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\)여야 함을 안다.
이제 \(\mathfrak{b}\)의 정의로부터, 적당한 \(y\in \mathfrak{b}\)에 대해 \(y \mathfrak{a}\neq 0\)이여야 함을 알고, \(\mathfrak{b}\)의 minimality로부터 \(\mathfrak{b}=(y)\)여야 함을 안다. 이제 위의 등식 \(\mathfrak{b}\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\)로부터 적당한 \(x\in \mathfrak{a}\)에 대하여 \(xy=y\)가 성립해야 함을 안다. 즉, \((1-x)y=0\)이어야 한다. 그런데 \(x\in \mathfrak{a}\)이고, \(\mathfrak{a}\)는 임의의 maximal ideal에 포함되므로 \(1-x\)는 어떠한 maximal ideal에도 포함되지 않는다. 즉 \(1-x\)는 unit이며, 이로부터 \(y=0\)이고 이는 \(\mathfrak{b}\)의 정의에 모순이다. 즉, \(\mathfrak{a}=0\)이고 따라서 zero ideal을 maximal ideal들의 곱 \(0=\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_k\)으로 적을 수 있다.
이제 각각의 \(l=1,\ldots, k-1\)에 대하여, \(\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_l/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_{l+1}\)을 \(A/\mathfrak{m}_{l+1}\)-vector space로 보면 이 vector space의 submodule은 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_{l+1}\) 꼴의 submodule, 즉 \(A\)의 ideal 중 \(\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_{l+1}\)를 포함하는 ideal로 생각할 수 있으며, \(A\)는 artinian이므로 이로부터 \(\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_l/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_{l+1}\)가 유한차원임을 안다. 이제 이들을 모두 모아두면 \(A\)의 composition series를 얻고, 따라서 정리 3에 의해 \(A\)는 noetherian이다.
남은 조건을 보이기 위해 \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)를 택하면,
\[\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_k=0\subseteq \mathfrak{p}\]인 것으로부터 어떠한 \(l\)에 대해서는 \(\mathfrak{m}_l\subseteq \mathfrak{p}\)가 성립해야 함을 알고 따라서 \(\mathfrak{m}_l=\mathfrak{p}\)이다. 이로부터 첫째 조건이 모두 성립한다.
이로부터 임의의 artinian ring은 local artinian ring들의 유한한 product임을 보일 수 있다. Noetherian ring에 대해서는 다음이 성립한다.
정리 5 Noetherian ring \(A\)에 대하여, \(A\)가 domain들의 유한한 product인 것은 \(A\)의 임의의 maximal ideal에 대하여 \(A_\mathfrak{m}\)이 domain인 것과 동치이다.
증명
우선 \(A\)가 domain의 유한한 product \(A=\prod A_i\)라 하자. 그럼 \(A\)의 임의의 prime ideal은 \(A_i\)의 unit \(e_i\)를 포함할 수 없으므로 multiplicative subset에 들어가며, 이 원소 \(e_i\)는 \(i\neq j\)를 만족하는 \(A_j\)를 annihilate하므로 \(A=(A_i)_\mathfrak{p}\)이 성립한다. (§국소화, ⁋명제 5)
거꾸로 \(A\)의 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에서의 localization이 domain이라 가정하고, \(\{\mathfrak{q}_i\}\)를 \(A\)의 prime ideal들 중 minimal한 것이라 하자. 그럼 다음 글에서 증명할 §동반소아이디얼, ⁋정리 7에 의하여 \(\{\mathfrak{q}_i\}\)는 유한집합이며, 이를 받아들이고 나면 \(A\)에서 유한히 많은 domain들의 direct product로의 자연스러운 map
\[A \rightarrow \prod_{i\in I} A/\mathfrak{q}_i\]이 존재한다. 이제 이 map이 isomorphism임을 보이자. 이는 §국소화의 성질들, ⁋명제 4에 의하여 임의의 maximal ideal에서 localization을 하여 다음의 map
\[A_\mathfrak{m} \rightarrow \left(\prod_{i\in I} A/\mathfrak{q}_i\right)_\mathfrak{m}\]이 isomorphism임을 보이면 충분하다. 한편, §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(A\)의 minimal prime ideal 중 \(\mathfrak{m}\)에 속하는 것과, \(A_\mathfrak{m}\)의 minimal prime ideal 사이의 일대일 대응이 존재한다. 그런데 가정에 의하여 \(A_\mathfrak{m}\)은 domain이므로, \(A_\mathfrak{m}\)은 유일한 minimal prime ideal \((0)\)을 가지고, 따라서 \(\mathfrak{q}_i\) 중 오직 하나만이 \(\mathfrak{m}\)에 속한다. 이제 이로부터
\[\left(\prod_{i\in I} A/\mathfrak{q}_i\right)_\mathfrak{m}=(A/\mathfrak{q}_i)_\mathfrak{m}=A_\mathfrak{m}\]이므로, 위의 map이 isomorphism이 된다.
따름정리 6 Noetherian ring \(A\)와 finiely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- \(M\)이 유한한 길이를 갖는다.
- 적당한 maximal ideal들의 곱 \(\prod_{i=1}^n \mathfrak{m}_i\)가 \(M\)을 annihilate한다.
- \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal들이 maximal이다.
- \(A/\ann(M)\)이 Artinian이다.
증명
우선 첫째 조건을 가정하면 정리 3의 두 번째와 세 번째 결과로부터 두 번째 조건이 성립하는 것이 자명하다. 이제 두 번째 조건을 가정하자. 그럼 \(\ann(M)\)을 포함하는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\supseteq\prod \mathfrak{m}_i\)이므로 어떠한 \(i\)에 대하여 \(\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{m}_i\)이고, 따라서 \(\mathfrak{p}=\mathfrak{m} _i\)이다. 세 번째 조건이 네 번째 조건을 함의하는 것은 정리 4의 첫째 조건과 셋째 조건의 동치이며, 마지막으로 네 번째 조건을 가정하면 \(A/\ann(M)\)은 정리 4의 둘째 조건으로 인해 \(A/\ann(M)\)-module로서 유한한 길이를 가지고, \(M\)은 finitely generated \(A/\ann(M)\)-module이므로 원하는 결과를 얻는다.
그럼 다음이 성립한다.
따름정리 7 Noetherian ring \(A\)와 finitely generated \(A\)-module \(M\), 그리고 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)를 고정하자. 그럼 \(A_\mathfrak{p}\)-module로서 \(M_\mathfrak{p}\)가 유한한 길이를 갖는 것과 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime들 중 minimal인 것이 동치이다.
증명
만일 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(M)\)을 포함하는 minimal prime ideal이라면, \(A_\mathfrak{p}\)-module \(M_\mathfrak{p}\)는 유한한 길이를 갖는다. 이는 localization \(A_\mathfrak{p}\)를 생각하면, \(A_\mathfrak{p}\)의 prime ideal들은 §국소화, ⁋명제 8에 의해 \(\mathfrak{p}\)에 속하는 prime ideal들인데, 그럼 \(\mathfrak{p}\)의 minimality로부터 \(\ann(M)A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal은 오직 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\) 뿐이고 이는 local ring \(A_\mathfrak{p}\)의 (유일한) maximal ideal이기 때문이다.
거꾸로 \(M_\mathfrak{p}\)이 유한한 길이를 갖는 \(A_\mathfrak{p}\)-module이라 하면, 따름정리 6에 의해 \(M_\mathfrak{p}\)의 annihilator \(\ann(M)A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal들은 모두 maximal이고, 이들은 다시 §국소화, ⁋명제 8을 통해 \(\ann(M)\)을 포함하며 \(\mathfrak{p}\)에 포함된 prime ideal과 일대일대응이 있으므로 위의 논증을 뒤집으면 된다.
특별히 \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(A\)-module \(A/\mathfrak{a}\)를 생각하면 \(\ann(A/\mathfrak{a})=\mathfrak{a}\)가 되며, 이로부터 다음을 얻는다.
따름정리 8 Noetherian ring \(A\)와 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\), 그리고 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- \(\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal이다.
- \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)가 artinian이다.
- Localization \(A_\mathfrak{p}\) 안에서, 충분히 큰 \(n\)에 대하여 항상 \((\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\subseteq \mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)이 성립한다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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