부분곱과 결합법칙
집합의 곱이 결합법칙을 만족한다는 이야기를 하기 위해서는 우선 부분곱을 정의해야 한다.
정의 1 Family $(A_i)_{i\in I}$와 그 product $\prod_{i\in I} A_i$가 주어졌다고 하자. 그럼 index set의 부분집합 $J\subseteq I$에 대하여, $\prod_{j\in J} A_j$를 부분곱partial product이라 부른다.
$\prod_{i\in I}A_i$의 부분곱 $\prod_{j\in J}A_j$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $F\in\prod_{i\in I}A_i$에 대하여,
\[f\circ\id_J=\biggl(F\circ\Delta_J, J, \bigcup_{j\in J} A_j\biggr)\]은 새로운 함수이며, 각각의 $j$에 대하여 $(f\circ\id_J)(j)=f(j)\in A_j$를 만족한다. 즉 $F\circ\Delta_J$는 $\prod_{j\in J}A_j$의 원소이다.
위의 문단에 의하여, $F\mapsto F\circ\Delta_J$는 $\prod_{i\in I}A_i$에서 $\prod_{j\in J}A_j$로의 함수를 정의한다. 이를 성분함수의 표기를 빌려 $\pr_J$로 적는다. 그럼 $K\subseteq J\subseteq I$에 대하여, 곱집합 $\prod_{i\in I}A_i$에서 부분곱 $\prod_{j\in J}A_j$로의 $J$번째 성분함수와, 곱집합 $\prod_{j\in J}A_j$에서 이 곱집합의 부분곱 $\prod_{k\in K}A_k$로의 $K$번째 성분함수
\[\prod_{i\in I}A_i\longrightarrow \prod_{j\in J}A_j\longrightarrow \prod_{k\in K}A_k\]의 합성은 간단히 곱집합 $\prod_{i\in I}A_i$에서 이 곱집합의 부분곱 $\prod_{k\in K}A_k$로의 $K$번째 성분함수 $\pr_K$와 같다. $\Delta_K=\Delta_J\circ\Delta_K$이기 때문이다.
명제 2 모든 성분들이 공집합이 아닌 family $(A_i)_{i\in I}$를 생각하고, $J\subseteq I$라 하자. 만일 $g:J\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i$가 $g(j)\in A_j$를 만족한다면, $g$의 extension $f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i$가 존재하여 $f(i)\in A_i$가 성립한다.
증명
$g=(G,J,\bigcup A_i)$라 하자. 각각의 $i\in I\setminus J$에 대하여, $A_i$가 공집합이 아니므로 $x_i\in A_i$를 하나씩 뽑을 수 있다. 이제
\[F=G\cup\biggl(\bigcup_{i\in I\setminus J}\{(i, x_i)\}\biggr)\]으로 정의하고 $f=(F,I,\bigcup A_i)$라 하면 원하는 결과를 얻는다.
명제 3 공집합이 아닌 index set $I$를 갖는 family $(A_i)_{i\in I}$가 $I\neq\emptyset$가 주어졌다 하자. 만일 $(J_k)_{k\in K}$이 $I$의 분할이라면, $\prod_{i\in I}A_i$에서 $\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)$로의 함수 $f\mapsto (\pr_{J_k}(f))_{k\in K}$ 또한 전단사함수이다.
증명 1
$(J_k)_{k\in K}$이 분할이므로, $f_k:J_k\rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i$는 쌍마다 서로소인 정의역을 갖는 함수들의 family이고, 따라서 §집합의 합, ⁋명제 2를 적용하면 전단사함수를 얻는다.
위의 증명도 간결하지만, universal property를 이용하는 다음의 증명 또한 아름답다.
증명 2
표기법 상의 깔끔함을 위해 일괄적으로
-
Index set $K$에 대한 곱집합 $\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)$의 $k$번째 성분함수
\[\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\rightarrow\prod_{j\in J_k}A_j\]을 $\pr_k$,
-
Index set $J_k$에 대한 곱집합 $\prod_{j\in J_k}A_j$의 $j$번째 성분함수
\[\prod_{j\in J_k}A_j\rightarrow A_j\]도 $\pr_j$,
-
Index set $I$에 대한 곱집합 $\prod_{i\in I}A_i$의 $i$번째 성분함수
\[\prod_{i\in I}A_i\rightarrow A_i\]도 $\pr_i$
으로 표기하자. 글자로 보았을 때는 약간의 혼동이 있을 수 있지만, diagram 상에서는 source와 target이 모두 명시되므로 혼동의 여지가 없다.
$(J_k)_{k\in K}$는 $I$의 분할이므로, 각각의 $i\in I$마다 유일한 $k\in K$가 존재하여 $i\in J_k$이다. 이제 함수 $\pr_{ik}$를 다음의 합성
\[\pr_{ik}:\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\overset{\pr_k}{\longrightarrow}\prod_{j\in J_k}A_j\overset{\pr_i}{\longrightarrow}A_i\]으로 정의하자. 그럼 곱집합 $\prod_{i\in I}A_i$의 universal property로부터, 다음의 diagram을 commute하도록 하는 $\phi:\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)\rightarrow\prod_{i\in I}A_i$가 존재함을 안다.
비슷하게 index set $K$에 대한 곱집합 $\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)$의 universal property로부터, 다음의 diagram을 commute하게 하는 $\psi:\prod_{i\in I}A_i\rightarrow\prod_{k\in K}\left(\prod_{j\in J_k}A_j\right)$가 존재함을 안다.
그럼 $\phi\circ\psi$와 $\psi\circ\phi$가 각각 항등함수이고, 따라서 이들이 원하는 전단사함수가 된다.
예를 들어 $\phi\circ\psi$가 $\prod_{i\in I}A_i$에서 자기자신으로의 항등함수임을 보이자. 이를 위해서는 모든 $i\in I$에 대하여 다음의 diagram이 commute함을 보이면 충분하다.
곱집합의 universal property는 위의 diagram을 commute하게 하는
이제
\[{\pr_i}\circ(\phi\circ\psi)=({\pr_i}\circ\phi)\circ\psi={\pr_{ik}}\circ\psi={\pr_i}\circ({\pr_k}\circ\psi)={\pr_j}\circ{\pr_{J_k}}=\pr_j\]에서 원하는 결론을 얻는다. (마지막 등식은 $\pr_j$를 $\{j\}\subseteq I$로의 성분함수로 보았다.) 이 식은 복잡해보이지만, 그냥 다음의 diagram이 commute한다는 것을 식으로 쓴 것에 불과하다.
$(A_i)_{i\in I}$, $(B_i)_{i\in I}$가 같은 index를 갖는 family이고, 함수들의 family $(g_i:A_i\rightarrow B_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. $u_f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I}B_i$를 $i\mapsto g_i(f(i))$로 정의하면 $u_f(i)\in B_i$이고, 따라서 $u_f\in\prod_{i\in I}B_i$이다.
정의 4 위에서 정의한 함수 $f\mapsto u_f$를 $(g_i)$들의 곱product이라 하고, $\prod_{i\in I}g_i$으로 적는다.
명제 5 $(A_i)_{i\in I}$, $(B_i)_{i\in I}$, $(C_i)_{i\in I}$가 세 family라 하고, $(f_i)_{i\in I}$, $(g_i)_{i\in I}$가 각각 $A_i$에서 $B_i$, $B_i$에서 $C_i$로의 함수들의 family라 하자. 그럼
\[\prod_{i\in I} (g_i\circ f_i)=\left(\prod_{i\in I} g_i\right)\circ\left(\prod_{i\in I}f_i\right)\]이 성립한다.
증명
다음 두 개의 commutative diagram 이외에는 특별히 설명할 것이 없다.
그리고
$\id_{A_i}$들의 곱이 $\id_{\prod A_i}$라는 것은 자명하므로, 위의 명제에 의해 단사함수들의 곱은 단사함수이고 전사함수들의 곱은 전사함수라는 것 또한 명확하다.
연산들 사이의 분배법칙
한편, 둘 이상의 연산이 정의되어 있다면 분배법칙이 성립하는지가 중요한 관심사다.
명제 6 $((A_{k,i})_{i\in J_k})_{k\in K}$가 집합들의 family들의 family라 하자. 추가로 $K\neq\emptyset$이고, $J_k\neq\emptyset$가 모든 $k\in K$에 대해 성립한다고 하자. 그럼 $I=\prod_{k\in K} J_k\neq\emptyset$에 대하여,
\[\bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)=\bigcap_{f\in I}\left(\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\right),\quad\bigcap_{k\in K}\left(\bigcup_{i\in J}A_{k,i}\right)=\bigcup_{f\in I}\left(\bigcap_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)\]이 성립한다.
증명
우선 $x\in \bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)$라 하자. 우리는 $x\in \bigcap_{f\in I}\left(\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)$, 즉 모든 $f\in I$에 대하여 $x\in \bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}$임을 보여야 한다. 어떤 $k\in K$에 대하여 $x\in \bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}$이므로, $x\in A_{k,f(k)}$이다. 따라서 $x\in \bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}$가 모든 $f$에 대하여 성립하고, 따라서 포함관계가 성립한다.
반대쪽 포함관계를 보이기 위해 대우명제를 사용하자. 즉 $x\not\in \bigcup_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}\right)$라 하자. 그럼 모든 $k\in K$에 대하여, $x\not\in \bigcap_{i\in J_k}A_{k,i}$이다. 따라서 어떤 $i$가 존재하여, 모든 $k$에 대해 $x\not\in A_{k,i}$이다. 이제 $f(k)$가 그러한 $i$가 되도록 하는 $f\in I$를 잡으면, $x\not\in\bigcup_{k\in K}A_{k,f(k)}$이고 , 따라서 우변에 속하지 않는다. 두 번째 식도 이와 비슷하게 보이면 된다.
Product와 union, 그리고 product와 intersection 사이에도 다음과 같이 분배법칙이 성립하며, 이에 대한 증명은 위와 거의 같으므로 생략한다.
명제 7 $((A_{k,i})_{i\in J_k})_{k\in K}$가 집합들의 family들의 family이고, $I$를 위의 명제와 동일하게 정의하자. 그럼
\[\prod_{k\in K}\left(\bigcup_{i\in J_k}A_{k,i}\right)=\bigcup_{f\in I}\left(\prod_{k\in K}A_{k,f(k)}\right),\quad\prod_{k\in K}\left(\bigcap_{i\in J}A_{k,i}\right)=\bigcap_{f\in I}\left(\prod_{k\in K}A_{k,f(k)}\right)\]가 성립한다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
댓글남기기