이번 글에서 우리는 행렬과 이들 사이의 연산을 정의한다.
행렬의 기본 정의
[기초 선형대수학]과 마찬가지로, ring $A$ 위에 정의된 $m\times n$ 행렬은 $A$의 $mn$개의 원소를 $m\times n$ 사각형 모양
\[X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}&x_{m2}&\cdots&x_{mn}\end{pmatrix}\]으로 적은 것이다. 이들을 모아둔 집합을 $\Mat_{m\times n}(A)$로 적는다. 그럼 집합 $\{1,\ldots, m\}$의 부분집합 $I$와 $\{1,\ldots, n\}$의 부분집합 $J$에 대하여, $X$의 $I\times J$ 부분행렬을 $i\in I$, $j\in J$를 만족하는 $x_{ij}$들로 만든 행렬 $(x_{ij})_{(i,j)\in I\times J}$으로 정의한다. 특별히 $X$의 $\{i\}\times \{1,\ldots,n\}$ 부분행렬을 $X$의 $i$번째 행벡터라 부르고, $\{1,\ldots, m\}\times \{j\}$ 부분행렬을 $X$의 $j$번째 열벡터라 부른다. 또, 위와 같은 $m\times n$ 행렬 $X$가 주어졌을 때, $X$의 transpose전치행렬은 다음 식
\[X^t=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{21}&\cdots&x_{m1}\\ x_{12}&x_{22}&\cdots&x_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1n}&x_{2n}&\cdots&x_{mn}\end{pmatrix}\]으로 주어지는 $n\times m$ 행렬 $X^t\in\Mat_{n\times m}(A)$를 의미한다. 그럼 당연하게 $(X^t)^t=X$가 성립히며, $X$의 $i$번째 행벡터는 $X^t$의 $i$번째 열벡터이며 $X$의 $j$번째 열벡터는 $X^t$의 $j$번째 행벡터이다.
행렬의 연산
Ring $A$ 위에 정의된 $\Mat_{m\times n}(A)$은 $A$-module의 구조를 갖는다.
우선 우리는 $\Mat_{m\times n}$이 abelian group의 구조를 갖는다는 것을 보인다. 이는 $\Mat_{m\times n}(A)$ 위의 두 행렬
\[X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}&x_{m2}&\cdots&x_{mn}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}&\cdots&y_{1n}\\y_{21}&y_{22}&\cdots&y_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_{m1}&y_{m2}&\cdots&y_{mn}\end{pmatrix}\]에 대하여, 이들의 덧셈을
\[X+Y=\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11}&x_{12}+y_{12}&\cdots&x_{1n}+y_{1n}\\x_{21}+y_{21}&x_{22}+y_{22}&\cdots&x_{2n}+y_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}+y_{m1}&x_{m2}+y_{m2}&\cdots&x_{mn}+y_{mn}\end{pmatrix}\]으로 정의하면 된다. 그럼 $A$에서의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙에 의하여, 위의 식이 $\Mat_{m\times n}(A)$ 위에 abelian group의 구조를 정의한다는 것을 안다. 이 때 $\Mat_{m+n}(A)$의 덧셈에 대한 항등원은 모든 성분이 $0\in A$인 $m\times n$ 행렬이고, $X$의 역원은
\[-X=\begin{pmatrix}-x_{11}&-x_{12}&\cdots&-x_{1n}\\-x_{21}&-x_{22}&\cdots&-x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-x_{m1}&-x_{m2}&\cdots&-x_{mn}\end{pmatrix}\]이다. 그럼 다음 식
\[(X+Y)^t=X^t+Y^t\]을 확인할 수 있다.
이제 $\Mat_{m\times n}(A)$ 위에 left $A$-action의 구조를 주어야 한다. 이는 임의의 $\alpha\in A$와 위와 같은 $X\in\Mat_{m\times n}(A)$에 대하여,
\[\alpha X=\begin{pmatrix}\alpha x_{11}&\alpha x_{12}&\cdots&\alpha x_{1n}\\\alpha x_{21}&\alpha x_{22}&\cdots&\alpha x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha x_{m1}&\alpha x_{m2}&\cdots&\alpha x_{mn}\end{pmatrix}\]으로 정의하면 되고, 이것이 실제로 $\Mat_{m\times n}(A)$ 위에 left $A$-module 구조를 주는 것은 $A$가 자기 자신 위의 left module이기 때문에 가능하다. 비슷하게 $\Mat_{m\times n}(A)$ 위에 right $A$-action을
\[X\alpha=\begin{pmatrix}x_{11}\alpha&x_{12}\alpha&\cdots&x_{1n}\alpha\\x_{21}\alpha&x_{22}\alpha&\cdots&x_{2n}\alpha\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}\alpha&x_{m2}\alpha&\cdots&x_{mn}\alpha\end{pmatrix}\]으로 정의하면 된다. 이 때 $(\alpha X)^t=\alpha X^t$이고 $(X\alpha)^t=X^t\alpha$임을 확인할 수 있다.
뿐만 아니라, $\Mat_{m\times n}(A)$는 free $A$-module이며, 이들의 basis는 다음의 행렬들
\[E_{ij}=\begin{pmatrix}e_{11}&e_{12}&\cdots&e_{1n}\\e_{21}&e_{22}&\cdots&e_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\e_{m1}&e_{m2}&\cdots&e_{mn}\end{pmatrix},\qquad \text{$e_{kl}=0$ for all $(k,l)$ except for $e_{ij}=1$.}\]로 주어진다. 엄밀하게는 $E_{ij}$는 행렬의 크기에 대한 정보를 담고 있지 않으므로 표기법 상 약간의 남용이 있지만, 대부분의 경우 혼동의 여지가 없으므로 이대로 사용한다. 그럼 $(E_{ij})^t=E_{ji}$임을 안다.
행렬의 곱셈
기초 선형대수학에서의 정의와 마찬가지로, 두 개의 행렬 $X\in\Mat_{k\times l}(A)$, $N\in\Mat_{m\times n}(A)$에 대하여, 행렬의 곱 $XY$는 오직 $l=m$일 때만 정의되며, 이 때 $XY$의 $ij$ 성분은 다음 식
\[(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^n X_{ik}Y_{kj}\]으로 주어진다. ([기초 선형대수학] §행렬, ⁋정의 3) 각각의 성분별로 계산을 하여 다음의 식들
\[(XY)Z=X(YZ),\quad X(Y+Z)=XY+XZ,\quad (X+Y)Z=XZ+YZ\]를 확인할 수 있다. 다만 [기초 선형대수학] §행렬, ⁋명제 9와는 다르게 행렬의 곱과 전치행렬의 관계를 생각할 때는 주의해야 할 점이 있는데, 식
\[(XY)^t=Y^tX^t\]는 일반적으로 성립하지 않는다. 이는 양 변을 성분별로 써 보면 바로 확인할 수 있으며, 무엇이 문제인지도 명확한데 바로 $A$가 commutative가 아니기 때문이다. 위의 식은 우변의 두 행렬 $X^t, Y^t$가 모두 $A$의 opposite ring 위에서 정의된 행렬이라 생각하면 말이 되지만, 대부분의 경우 우리는 $A$가 commutative인 경우를 생각할 것이므로 이는 큰 의미가 없다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
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