이번 글에서 우리는 행렬과 이들 사이의 연산을 정의한다.
행렬의 기본 정의
간단하게 이야기해서, \(m\times n\) 행렬은 \(mn\)개의 스칼라들을 \(m\times n\) 사각형 모양으로 적은 것이다. 즉, 행렬 \(A\)에 대하여 \(i\)번째 행, \(j\)번째 열에 해당하는 \(A\)의 성분을 \(A_{ij}\)로 표기하기로 한다면, 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{pmatrix}\]위의 행렬 \(A\)에서, \(m\)개의 벡터들
\[(A_{11},A_{12},\cdots, A_{1n}),\;\ldots,\;(A_{m1},A_{m2},\cdots,A_{mn})\]을 \(A\)의 행 (row)이라고 하고, \(n\)개의 벡터들
\[(A_{11},A_{21},\cdots,A_{m1}),\; \ldots,\; (A_{1n}, A_{2n},\cdots, A_{mn})\]을 \(A\)의 열 (column)들이라고 한다. 여기서 행벡터들은 모두 \(n\)차원 공간 \(\mathbb{K}^n\)의 원소들이고, 열벡터들은 \(m\)차원 공간 \(\mathbb{K}^m\)의 원소들이다.
종종 행렬의 특정한 블럭들을 묶어서 다음과 block form으로 쓰는 것이 편할 때가 있다. 예컨대, 다음의 행렬
\[\begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&0&3\\ 2&4&0\end{pmatrix}\]은 아래의 모양
과 같이 편하게 쓸 수 있다. 이와 비슷하게, 우리는 위의 \(m\times n\) 행렬 \(A\)에서 각각의 열벡터들 \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_n\)를 이용하여
\[A=(A_1|A_2|\cdots|A_n)\]과 같이 쓸 수도 있다. 각 성분이 \(\mathbb{K}\)의 원소인 모든 \(m\times n\) 행렬들의 집합은 \(\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)로 적는다. 특별히 \(\Mat_{m\times m}(\mathbb{K})\)은 간략하게 \(\Mat_m(\mathbb{K})\)로 적는다.
행렬의 연산
행렬들 간에는 덧셈과 곱셈이 정의되지만, 임의의 원소들에 대하여 덧셈과 곱셈이 잘 정의되는 것은 아니다. 예를 들어, 덧셈은 모양이 같은 행렬들에 대해서만 각 성분별 합으로 정의된다. 즉, \(\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)는 잘 정의된 덧셈을 가지고 있다. 여기에 더해, 각 행렬에 대한 상수곱을 다음의 식
\[\alpha\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha A_{11}&\alpha A_{12}&\cdots&\alpha A_{1n}\\\alpha A_{21}&\alpha A_{22}&\cdots&\alpha A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha A_{m1}&\alpha A_{m2}&\cdots&\alpha A_{mn}\end{pmatrix}\]으로 정의한다면, 어렵지 않게 \(\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)가 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 구조를 갖는다는 것을 확인할 수 있다. 이 벡터공간은 \(mn\)차원이 된다. Basis는 물론, 다음과 같은 행렬들
\[\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}0&1&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix},\quad\cdots,\quad\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\]로 잡는 것이 가장 단순할 것이다. 행렬의 곱셈은 이보다 조금 더 복잡해서, 우리는 우선 행렬과 벡터의 곱부터 정의해야 한다.
정의 2 \(A\in\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)이고 \(x\in\mathbb{K}^n\)이라 하자. 그럼 행렬 \(A\)와 벡터 \(x\)의 곱 \(Ax\)는 다음의 식
\[Ax=\sum_{j=1}^nx_j A_j\]으로 정의된다. 여기서 \(x_j\)는 \(x\)의 \(j\)번째 성분, \(A_j\)는 \(A\)의 \(j\)번째 열벡터이다.
위 정의에 의해 \(Ax\)는 임의의 벡터 \(x\)에 대해서
위의 식을 조금 더 풀어 쓸 수 있다. 열벡터 \(A_j\)의 \(i\)번째 성분을 \(A_{ij}\)라 하자. 그럼 벡터 \(Ax\)의 첫 번째 성분은 벡터 \(x_jA_j\)들의 첫 번째 성분의 합으로 나타나므로
\[x_1A_{11}+x_2A_{12}+\cdots+x_nA_{1n}\]이라 쓸 수 있으며, 더 일반적으로 \(Ax\)의 \(i\)번째 성분은
\[x_1A_{i1}+x_2A_{i2}+\cdots+x_nA_{in}\]으로 나타난다. 따라서 명시적으로는 다음의 식
\[\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^nA_{1i}x_i\\\sum_{i=1}^nA_{2i}x_i\\\vdots\\\sum_{i=1}^nA_{mi}x_i\end{pmatrix}\]을 얻는다.
행렬의 곱
행렬과 벡터의 곱을 정의하였으므로, 우리는 이제 행렬과 행렬 사이의 곱을 정의할 수 있다.
정의 3 두 행렬 \(A\in \Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\), \(B\in\Mat_{p\times q}(\mathbb{K})\)에 대하여, 행렬의 곱 \(BA\)가 정의되기 위한 필요충분조건은 \(q=m\)인 것이다. 이 때, 행렬의 곱 \(BA\)는 다음의 식
\[BA=(BA_1|BA_2|\cdots|BA_n)\]으로 주어진다. (\(A_i\)는 \(A\)의 \(i\)번째 열, \(BA_i\)는 열벡터 \(A_i\)와 행렬 \(B\)의 곱1)
즉 \(A_j\)의 \(i\)번째 성분을 \(A_{ij}\)라 표현하면
\[BA_j=\sum_{k=1}^m A_{kj}B_k\]이라 쓸 수 있다. 이 때 열벡터 \(BA_j\)의 \(i\)번째 성분, 즉 행렬 \(BA\)의 \((i,j)\)번째 성분인 \((BA)_{ij}\)는
\[(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^n B_{ik}A_{kj}\]로 주어진다.
행렬의 곱은 교환법칙을 만족하지 않는다. 즉, \(AB=BA\)는 일반적으로 성립하지 않는다. \(BA\)가 정의된다고 해서 \(AB\)가 정의된다는 보장도 없을 뿐더러, 이 둘이 모두 정의된다고 해도 \(AB\)와 \(BA\)는 다른 모양을 가질 수 있으며, \(m=n=p=q\)가 성립하여 \(AB\), \(BA\in\Mat_{m\times m}(\mathbb{K})\)라 하더라도 이 값이 다를 수도 있다.
반면 행렬의 곱은 결합법칙을 만족한다. 행렬 \(A,B,C\)가 \(AB\), \(BC\)가 모두 정의되도록 하는 행렬들이라면, 행렬의 곱 \(A(BC)\)와 \((AB)C\) 또한 잘 정의되며 이 때
\[A(BC)=(AB)C\]가 성립한다.
정의 4 행렬 \(I=(e_1\mid e_2\mid\cdots\mid e_n)\)을 \(n\times n\) 항등행렬이라 부른다.
즉,
\[I=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\]이다. 이와 비슷하게, 대각성분을 제외한 모든 성분이 \(0\)인 행렬을 대각행렬diagonal matrix이라 부른다.
그 이름에 걸맞게, \(I\)가 \(n\times n\) 항등행렬이라면 임의의 \(m\times n\) 행렬 \(A\)에 대하여 \(AI=A\), 그리고 임의의 \(n\times m\) 행렬 \(B\)에 대해 \(IB=B\)가 성립한다.
정의 5 \(A\in\Mat_n(\mathbb{K})\)인 행렬이라 하자. \(A\)가 가역invertible이라는 것은, 어떠한 \(B\in\Mat_n(\mathbb{K})\)가 존재하여 \(AB=BA=I\)인 것이다. 가역이 아닌 행렬을 singular matrix특이행렬라 부른다.
\(\Mat_n(\mathbb{K})\)의 임의의 원소는 가역일 필요가 없다. 예로 영행렬 \(O\)는 가역이 아니다. 따라서 \(\Mat_n(\mathbb{K})\)는 일반적으로 abelian group이 되지 않는다. 그 대신,
정의 6 \(n\times n\) 가역행렬들의 집합에 행렬곱으로 연산이 주어진 group을 \(\GL(n,\mathbb{K})\)로 적고, general linear group이라 부른다.
위에서 언급한 것과 같이, 행렬의 곱은 결합법칙을 만족한다. 즉 \(\GL(n,\mathbb{K})\)의 연산은 결합법칙을 만족한다. 또, \(\GL(n,\mathbb{K})\)의 항등원은 항등행렬 \(I\)이고, \(A\in\GL(n,\mathbb{K})\)의 역원은 정의 5의 정의에서 등장하는 행렬 \(B\)이다. 이제 §가환군과 체, ⁋명제 2의 유일성으로부터 \(A\)의 역원은 유일하다는 것을 안다. 이를 \(A\)의 역행렬inverse matrix라 부르고 \(A^{-1}\)로 표기한다. 다음의 관찰
\[(B^{-1}A^{-1})AB=B^{-1}IB=B^{-1}B=I\]로부터, 두 가역행렬의 곱 \(AB\)도 가역행렬이며 그 역행렬은 \(B^{-1}A^{-1}\)임을 알 수 있다.
\(A\)의 역행렬이 \(n\times n\) 가역행렬에 대해서만 정의되는 이유를 생각해보자. 만일 \(m\times n\) 행렬 \(A\)의 역행렬이 존재한다면, \(AB\)와 \(BA\)가 모두 존재해야 하므로 \(A\)의 역행렬은 반드시 \(n\times m\) 행렬이어야 하며, 이는
\[AB=I_m,\qquad BA=I_n\]을 만족해야 한다. 이러한 행렬 \(B\)는 존재하지 않는다. 이는 §선형대수학의 기본정리에 의해 자명하게 따라나오는 결과지만, 오직 행렬의 언어만으로도 증명할 수 있다.
정의 7 \(A\in\Mat_n(\mathbb{K})\)라 하자. 그럼 \(A\)의 대각합trace \(\tr(A)\)는 \(A\)의 대각성분들의 합, 즉 \(\tr(A)=\sum_1^n A_{ii}\)으로 정의된다.
이렇게 정의된 \(\tr\)은 \(\Mat_n(\mathbb{K})\)에서 \(\mathbb{K}\)로의 linear map이다. 즉 임의의 \(A,B\in\Mat_n(\mathbb{K})\)과 \(\alpha\in\mathbb{K}\)에 대하여
\[\tr(A+B)=\tr(A)+\tr(B),\qquad \tr(\alpha A)=\alpha\tr(A)\]이 성립한다.
이제 두 행렬 \(A\in\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)과 \(B\in\Mat_{n\times m}(\mathbb{K})\)이 주어졌다 하자. 그럼
\[\tr(AB)=\sum_{i=1}^m(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nA_{ij}B_{ji}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m B_{ji}A_{ij}=\sum_{j=1}^n(BA)_{jj}=\tr(BA)\]임을 확인할 수 있다. 따라서 만일 \(AB=I_m\)이고 \(BA=I_n\)이라면 위의 식에서
\[m=\tr(I_m)=\tr(AB)=\tr(BA)=\tr(I_n)=n\]이어야 하므로, \(m\neq n\)이라면 이를 만족하는 행렬 \(B\)는 존재하지 않는다.
정의 8 주어진 행렬 \(A\in\Mat_{m\times n}(\mathbb{K})\)에 대해서, \(A\)의 전치행렬transpose \(A^t\)는 다음의 식
\[(A^t)_{ij}=A_{ji}\]으로 정의된 \(n\times m\) 행렬이다.
명제 9 두 행렬 \(A\in\Mat_{m\times n}(\mathbb{K}),B\in\Mat_{n\times k}(\mathbb{K})\)에 대하여, 다음의 식
\[(AB)^t=B^tA^t\]가 성립한다.
이는 단순한 계산을 통해 확인할 수 있다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
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위의 정의에 의하여, 행렬 \(BA\)의 \(j\)번째 열은 행렬 \(B\)와 열벡터 \(A_j\)의 곱과 같고, 따라서 \(BA_j\)를
$BA$의 $j$번째 열 로 생각하든 \(B\)와 \(A_j\)의 곱으로 생각하든 혼동의 여지가 없다. ↩
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