K

Grad. student in mathematics

이제 우리는 갈루아 확장이 무엇인지 정의할 준비가 되었지만, 그 전에 우선 다음의 명제를 살펴본다.

명제 1 Algebraic extension \(\mathbb{L}\)과 inclusion \(u:\mathbb{L}\rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)를 생각하자.

  1. 만일 \(u(\mathbb{L})\subseteq \mathbb{L}\)이라면 \(u\)는 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이다.
  2. \(u\)를 확장하는 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이 존재한다.
증명

  1. 임의의 \(x\in E\)에 대하여, \(x\)의 minimal polynomial \(f\)가 주어졌다 하자. 집합 \(\Phi\)를 \(\mathbb{L}\) 인에서의 \(f\)의 근들의 모임이라 하면 \(\Phi\)는 유한집합이다. 뿐민 아니라, 만일 \(\alpha\in\Phi\)라 하면

    \[0=u(0)=u(f(\alpha))=f(u(\alpha))\]

    이므로 \(u(\Phi)\subseteq\Phi\)가 성립한다. 그런데 \(u\)는 zero map이 아니므로 injective이고 (§체, ⁋명제 2), 따라서 \(u\)는 \(\Phi\)에서 \(\Phi\)로의 bijection이다. 따라서 \(x\in\Phi=u(\Phi)\subseteq u(E)\)이고 이로부터 \(u(E)=E\)이다.

  2. \(\overline{\mathbb{K}}\)는 \(u(\mathbb{L})\)과 \(\mathbb{L}\)의 algebraic closure이므로 §대수적 폐포, ⁋정리 5의 universal property로부터 원하는 결과를 얻는다.

우리의 목적은 고정된 field \(\mathbb{K}\)의 algebraic extension들을 모두 살펴보는 것이며, 더 정확히는 algebraic extension들의 equivalence class들을 보는 것이다.

정의 2 Field \(\mathbb{K}\)의 두 algebraic extension \(\mathbb{L}\), \(\mathbb{M}\)에 대하여, \(u(\mathbb{L})=\mathbb{M}\)이도록 하는 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(u:\overline{\mathbb{K}}\rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)이 존재한다면 이들이 conjugate한다고 말한다. 특히 두 원소 \(x,y\in\overline{\mathbb{K}}\)이 conjugate이라는 것은 적당한 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(u: \overline{\mathbb{K}}\rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)이 존재하여 \(u(x)=y\)인 것이다.

명제 1에 의하여, 만일 \(\mathbb{M}\)과 \(\mathbb{L}\)이 isomorphic한 \(\mathbb{K}\)의 extension이라면 이들은 conjugate extension들이며, 정의에 의해 conjugate extension들은 isomorphic하다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 3 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 두 원소 \(x,y\)들 고정하자. 다음이 성립한다.

  1. \(x,y\)는 conjugate element들이다.
  2. \(v(x)=y\)를 만족하는 적당한 \(\mathbb{K}\)-isomorphism \(v: \mathbb{K}(x) \rightarrow \mathbb{K}(y)\)이 존재한다.
  3. \(x\)와 \(y\)는 동일한 minimal polynomial을 갖는다.
증명

우선 첫번째 조건을 가정하자. \(x\)의 minimal polynomial을 \(f\)라 하면,

\[f(y)=f(u(x))=u(f(x))=u(0)=0\]

이므로 \(y\)의 minimal polynomial은 \(f\)를 나눈다. 같은 논리로 \(x\)의 minimal polynomial은 \(y\)의 minimal polynomial을 나누고 따라서 이들은 서로 겉다.

한편 \(x,y\)가 같은 minimal polynomial \(f\)를 갖는다 하면 first isomorphism theorem으로부터

\[\mathbb{K}(x)\cong \mathbb{K}[\x]/(f)\cong \mathbb{K}(y)\]

이므로 셋째 조건이 둘째 조건을 함의하는 것은 자명하다. 마지막으로 둘째 조건을 가정하면 명제 1로부터 \(v\)를 확장하는 \(\mathbb{K}\)-isomorphism \(u:\overline{\mathbb{K}}\rightarrow\overline{\mathbb{K}}\)이 존재하고 따라서 \(x\), \(y\)가 conjugate이다.

이로부터 만일 degree \(n\)의 algebraic element \(x\in \overline{\mathbb{K}}\)가 주어졌다면, \(x\)와 conjugate인 원소들은 반드시 \(x\)의 minimal polynomial의 근이고 따라서 이러한 원소는 많아야 \(n\)개 뿐임을 안다. 뿐만 아니라, 여기에서 \(x\)와 conjugate한 원소가 \(n\)개 미만인 것은 정확하게 \(x\)의 minimal polynomial이 separable하지 않은 것과 동치이다. 즉, \(\overline{\mathbb{K}}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 group을 \(\Aut_\mathbb{K}(\overline{\mathbb{K}})\)라 하고 \(\Aut_\mathbb{K}\overline{\mathbb{K}}\)가 \(\overline{\mathbb{K}}\)에 자명한 방식으로 act할 때, 이 action에 의해 fix되는 원소들의 모임 \(\overline{\mathbb{K}}^{\Aut_{\mathbb{K}}(\overline{\mathbb{K}})}\)은 정확히 \(\mathbb{K}^{p^{-\infty}}\)와 같다.

갈루아 확장

정의 4 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 quasi-Galois extension준갈루아확대 혹은 normal extension정규확대이라는 것은 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 algebraic이며, \(\mathbb{L}\)에서 근을 갖는 임의의 irreducible polynomial \(f\in \mathbb{K}[\x]\)가 \(\mathbb{L}[\x]\)안에서 일차식들의 곱으로 쪼개지는 것이다.

그럼 본질적으로 quasi-Galois extension은 splitting field의 다른 이름에 불과하다.

명제 5 Algebraic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

  1. \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois이다.
  2. 암의의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여, \(x\)의 (\(\overline{\mathbb{K}}\)에서의) conjugate들은 모두 \(\mathbb{L}\)에 속한다.
  3. \(\overline{\mathbb{K}}\)의 임의의 \(\mathbb{K}\)-automorphism은 \(\mathbb{L}\)을 \(\mathbb{L}\)로 보낸다,
  4. \(\mathbb{L}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로의 임의의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism은 \(\mathbb{L}\)로 들어간다.
  5. \(\mathbb{L}\)은 어떠한 non-constant polynomial들의 family \((f_i\in \mathbb{K}[\x])\)의 splitting field이다.
증명

우선 셋째 조건과 넷째 조건의 동치는 명제 1로부터 나온다. 한편 quasi-Galois extension은 그 원소들의 minimal polynomial들의 splitting field로 볼 수 있으므로 마지막 조건은 첫째 조건에 의해 유도된다. 한편 마지막 조건이 성립한다면 명제 1과 같은 논리로 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 임의의 \(\mathbb{K}\)-automorphism은 \(f_i\)의 근을 \(f_i\)로 보내므로 \(\mathbb{L}\)을 \(\mathbb{L}\)로 보낸다. 따라서 셋째 조건이 성립한다. 또 셋째 조건은 정의에 의해 둘째 조건을 함의하는 것이 자명하다. 따라서

\[(1)\implies (5)\implies (3)\iff (4)\implies (2)\]

이므로 \((2)\implies (1)\)만 보이면 충분하다. 이를 위해 \(\mathbb{L}\)에서 근을 갖는 (monic) irreducible polynomial \(f\in \mathbb{K}[\x]\)가 주어졌다 하자. 그럼 우선 \(\overline{\mathbb{K}}\)가 algebraically closed이므로 \(f\)는 \(\overline{\mathbb{K}}\)에서 다음의 식

\[f(\x)=\prod_{i=1}^d (\x- a_i), \qquad a_i\in \overline{\mathbb{K}}\]

으로 표현된다. 이제 각각의 \(a_i\)들은 conjugate이고 따라서 가정에 의해 이들이 모두 \(\mathbb{L}\)에 속해야한다. pf

이로부터 다음이 성립한다.

따름정리 6 다음이 성립한다.

  1. Algebraic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois인 것과, \(\mathbb{L}\)의 임의의 conjugate이 자기 자신 뿐인 것이 동치이다.
  2. Algebraic extension \(\mathbb{K}\subseteq \mathbb{L}\subseteq \mathbb{M}\)에 대하여, 만일 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois라면 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\) 또한 그러하다.
  3. Quasi-Galois extension \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)와 그 subextension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(u: \mathbb{L}\rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)에 대해 \(u(\mathbb{L})\subseteq \mathbb{M}\)이 성립하며, 이를 확장하는 \(\mathbb{M}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(v\)가 존재한다.
  4. 임의의 field extension \(\mathbb{K}'/\mathbb{K}\)와 quasi-Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대해 \(\mathbb{K}'(\mathbb{L})\)은 \(\mathbb{K}'\)에 대해 quasi-Galois이다.
증명
  1. 명제 5에 의해 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois인 것과 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 임의의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이 \(\mathbb{L}\)을 \(\mathbb{L}\)로 보내는 것이 동치이다.
  2. \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois라 하자. 그럼 우선 \(\overline{\mathbb{K}}\)는 \(\mathbb{L}\)의 algebraic closure이기도 하므로, 명제 5에 의해 임의의 \(\mathbb{L}\)-automorphism \(u: \overline{\mathbb{K}}\rightarrow\overline{\mathbb{K}}\)에 대해 \(u(\mathbb{M})=\mathbb{M}\)임을 보이면 충분하다. 그런데 \(\mathbb{M}\)은 \(\mathbb{K}\)의 quasi-Galois extension이고, \(u\)는 \(\mathbb{L}\)-automorphism이므로 자동적으로 \(\mathbb{K}\)-automorphism이기도 하다. 이로부터 \(u\)가 원하는 조건을 만족해야 함을 안다.
  3. 명제 1로부터 \(u\)를 확장하는 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(v:\overline{\mathbb{K}}\rightarrow\overline{\mathbb{K}}\)이 존재함을 안다. 이 때, 이를 \(\mathbb{M}\)으로 제한한 것은 \(\mathbb{M}\)이 quasi-Galois라는 가정으로부터 \(v(\mathbb{M})=\mathbb{M}\)을 만족해야 하고, 따라서 원하는 주장이 성립한다.
  4. \(\mathbb{L}\)이 \(f_i\in \mathbb{K}[\x]\)들의 splitting field라면, \(\mathbb{L}'\)이 \(f_i\in \mathbb{K}'[\x]\)들의 splitting field이다.

위의 따름정리의 증명에서 볼 수 있듯 quasi-Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)를 특징짓는 가장 중요한 성질은 임의의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이 \(\mathbb{L}\)을 \(\mathbb{L}\)로 보년다는 것이다. 다음 명제도 이 사실로부터 자명하다.

명제 7 \(\mathbb{K}\)의 algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\) 안에서의 quasi-Galois extension들 \(\mathbb{L}_i\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\bigcap \mathbb{L}_i\)와 \(\mathbb{K}(\bigcup \mathbb{L}_i)\)도 모두 quasi-Galois이다.

특히 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 임의의 원소들의 집합 \(S\)에 대하여, 이를 포함하는 quasi-Galois extenson 중 가장 작은 것을 생각할 수 있다. 이는 정의에 의해, \(S\)의 각 원소들의 conjugate들을 모두 모은 후, 이들로 생성되는 \(\mathbb{K}\)의 extension이다. 이를 \(S\)에 의해 생성되는 quasi-Galois extension이라 부른다.

정의 4에서 우리는 quasi-Galois extension을 정의할 때, irreducible polynomial \(f\)가 일차식들의 곱으로 쪼개질 것을 요구했지만 이들이 서로 다를 필요는 없었다. Galois extension은 여기에 separable 조건을 추가하여 얻어진다.

정리 8 Algebraic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와, \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 group \(\Gamma\)가 주어졌다 하자. 다음이 모두 동치이다.

  1. \(\mathbb{L}\)의 \(\Gamma\)-invariant element들은 모두 \(\mathbb{K}\)의 원소이다.
  2. \(\mathbb{L}\)은 \(\mathbb{K}\)의 separable quasi-Galois extension이다.
  3. 임의의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여, \(x\)의 minimal polynomial \(f\in \mathbb{K}[\x]\)는 \(\mathbb{L}[\x]\)에서 서로 다른 일차식들의 곱으로 쪼개진다.
증명

둘째 조건과 셋째 조건이 동치임은 자명하므로, 이들과 첫째 조건이 동치임만 보이면 충분하다.

우선 첫째 조건을 가정하자. 임의의 \(x\in \mathbb{L}\)와 그 minimal polynomial \(f\in \mathbb{K}[\x]\)에 대하여 \(f\)가 \(\mathbb{L}[\x]\)에서 서로 다른 일차식들의 곱으로 쪼개진다는 것을 보여야 한다. 이를 위해 \(f\)의 \(\mathbb{L}\)에서의 모든 근들의 모임을 \(S\)라 하고, 새로운 다항식

\[g(\x)=\prod_{a\in S}(\x-a)\]

이라 정의하면 \(g\)는 \(\mathbb{L}[\x]\)의 원소이며 임의의 \(\sigma\in\Gamma\)에 대해

\[(\sigma\cdot g)(\x)=\prod_{a\in S}(\x-\sigma(a))=\prod_{a\in S}(\x-a)\]

이므로 \(g\)의 계수들은 \(\sigma\)에 의해 변하지 않고 따라서 첫째 조건의 가정으로부터 \(g\in\mathbb{K} [\x]\)이다. 이제 \(g(x)=0\)이므로 §대수적 확장, ⁋정리 15에 의하여 \(g\)는 \(f\)를 나누며, 이들의 차수를 고려하면 \(g=f\)여야 함을 안다. 즉 셋째 조건이 성립한다.

거꾸로 셋째 조건을 가정하고 첫째 조건을 보이자. \(x\in\mathbb{L}\)이 \(\mathbb{K}\)에 속하지 않는다면 \(x\)를 다른 원소로 보내는 \(\sigma\in\Gamma\)가 존재함을 보여야 한다. \(x\)의 minimal polynomial을 \(f\)라 하면, \(x\not\in\mathbb{K}\)인 것으로부터 \(f\)는 2차 이상이고, 가정에 의해

\[f(\x)=\prod_{a\in S}(\x-a), \qquad \text{$S$ the set of comjugates of $x$ in $\overline{\mathbb{K}}$}\]

로 쪼갤 수 있으며 한편 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)는 quasi-Galois이므로 \(x\)를 자신과 다른 \(a\in S\)로 보내는 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(u\)가 존재하며 이는 명제 5에 의해 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이다. 이로부터 원하는 결과를 얻는다.

이제 다음을 정의할 수 있다.

정의 9 Algebraic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 Galois갈루아라는 것은 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 명제 8의 조건을 만족하는 것이다.

그럼 명제 7의 결과와 separable extension에 대한 결과로부터 다음의 두 명제를 얻는다.

명제 10 \(\mathbb{K}\)의 algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\) 안에서의 Galois extension들 \(\mathbb{L}_i\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\bigcap \mathbb{L}_i\)와 \(\mathbb{K}(\bigcup \mathbb{L}_i)\)도 모두 Galois이다.

명제 11 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와 finite degree subextension \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathbb{M}\)을 포함하고, finite degree Galois인 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 적당한 subextension \(\mathbb{N}/\mathbb{K}\)이 존재한다.

갈루아 군

이미 살펴보았듯 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)을 다룰 때 중요하게 사용되는 것은 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 모임이다.

정의 12 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 group을 Galois group갈루아 군이라 부르고 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)으로 적는다.

특별히 field \(\mathbb{K}\)를 고정하고 그 algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\)를 생각하자. \(\mathbb{K}[\x]\)의 separable polynomial \(f\)와, \(f\)의 근들의 집합 \(A\)에 대하여 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(A)\)는 \(\mathbb{K}\)의 Galois extension임을 이미 살펴보았다. 그런데 \(\mathbb{L}\)는 \(S\)에 의해 생성되므로 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 \(A\)에서의 값으로 완전히 결정되며 이로부터 injective group homomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow S_A\]

이 유도된다. 일반적으로 이 homomorphism은 surjective일 필요가 없다. 즉 임의의 separable polynomial \(f\)의 근들 가운데 comjugate하지 않은 것들이 있을 수 있으며 이는 명제 3에 의하여 이들 두 근 \(x,y\)가 서로 다른 minimal polynomial을 갖는 것과 동치이다. 한편 \(x,y\)가 \(f\)의 근이라면 §대수적 확장, ⁋정리 15로부터 이들의 minimal polynomial들은 각각 \(f\)를 나누며 따라서 \(x\)와 \(y\)는 서로 다른 \(f\)의 irreducible factor의 근이다. 이로부터 우리는 위의 injective homomorphism의 image가 어떻게 생겼는지까지 확인해줄 수 있다.

한편 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와, \(\mathbb{L}\)의 subextension인 또 다른 Galois extension \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)에 대하여, 우리는 명제 1로부터 다음의 결과를 얻는다.

명제 13 위와 같은 상황에서 restriction homomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K});\qquad \sigma\mapsto \sigma\vert_\mathbb{M}\]

은 surjective이다.

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