위상공간의 기저

위상공간의 기저와 부분기저

위상공간을 표현하는 가장 확실한 방법은 열린집합을 모두 나열하여 위상구조 \(\mathcal{T}\)를 주는 것이지만, 이를 위해서 \(\mathcal{T}\) 전체가 필요하지는 않다. 가령, 어떠한 열린집합 \(U=\bigcup U_i\)이고, 모든 \(i\)에 대해 \(U\neq U_i\)이며 \(U_i\in\mathcal{T}\)임이 알려져 있다면 \(U\in\mathcal{T}\)라는 정보는 불필요하게 중복되는 정보라 생각할 수 있다.

정의 1 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)에 대하여, \(\mathcal{T}\)의 부분집합 \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{T}\)의 base_기저라는 것은 임의의 \(U\in\mathcal{T}\)에 대하여, \(U=\bigcup_{i\in I} B_i\)를 만족하는 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 family \((B_i)_{i\in I}\)가 존재하는 것이다.

특별히 \(X\in\mathcal{T}\)이므로 \(\mathcal{B}\)는 \(X\)의 covering이기도 하다. ([집합론] §집합의 합, ⁋정의 1) 정의에 의해 \(\mathcal{B}\)의 원소들은 모두 열린집합들이니, 이를 \(\mathcal{B}\)가 \(X\)의 open covering_열린덮개이라고 표현하면 적절할 것이다.

명제 2 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)에 대하여, \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{T}\)의 base인 것은 세 가지 조건

1. 각각의 \(x\in X\)에 대하여, 적어도 하나의 \(B\in \mathcal{B}\)가 존재하여 \(x\in B\)이고,
2. 만일 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{B}\)의 두 원소 \(B_1\), \(B_2\)가 존재한다면, 또 다른 \(B_3\in\mathcal{B}\)가 존재하여 \(x\in B_3\)이고 \(B_3\subseteq B_1\cap B_2\)를 만족하고,
3. 각각의 \(U\in\mathcal{T}\)와 \(x\in U\)에 대하여, \(x\in B\subseteq U\)를 만족하는 \(B\in\mathcal{B}\)가 존재한다.

을 만족하는 것과 동치이다.

증명

우선 \(\mathcal{B}\)가 \(\mathcal{T}\)의 base라 가정하자. 그럼 \(\mathcal{B}\)는 \(X\)의 open covering이므로, 1번 조건이 자명하게 성립된다.

한편, \(B_1\), \(B_2\)가 2번 조건과 같이 주어졌다면, \(B_1\cap B_2\)도 열린집합이므로 \(B_1\cap B_2=\bigcup_{i\in I} B_i\)를 만족하는 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 family \((B_i)_{i\in I}\)가 존재한다. 이 때, \((B_i)_{i\in I}\)는 \(B_1\cap B_2\)의 open covering이므로, 1번 조건과 마찬가지로 2번 조건도 자명하게 성립된다. 여기에서 \(B_1\cap B_2\)를 임의의 열린집합 \(U\)로 바꾸면 3번을 얻는다.

거꾸로 세 개의 조건이 만족된다고 가정하고, 임의의 열린집합 \(U\)를 택하자. 그럼 \(x\in U\)에 대해, 3번 조건에 의해 \(x\in B_x\subseteq U\)를 만족하는 \(B_x\in\mathcal{B}\)가 존재한다. 이제 \(U=\bigcup_{x\in U} B_x\)이므로, 증명 끝.

위의 명제로부터 다음과 같은 질문이 자연스럽게 따라온다.

임의의 집합 \(X\)에 앞선 조건들을 만족하는 \(\mathcal{P}(X)\)의 부분집합 \(\mathcal{B}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(X\) 위에 위상 \(\mathcal{T}\)를 부여하여, \((X,\mathcal{T})\)를 base \(\mathcal{B}\)를 갖는 위상공간으로 생각할 수 있는가?

이 질문에 대한 답은 긍정적이며, [Mun]에서는 이를 직접 증명했지만 우리는 local base를 정의한 후 더 간단한 방식으로 증명하기로 한다.

한편 정의 1을 더 다듬어서 다음과 같이 subbase를 정의할 수 있다.

정의 3 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)의 subbase_부분기저 \(\mathcal{S}\)는 임의의 \(U\in\mathcal{T}\)에 대하여, \(S\subseteq U\)인 \(S\in\mathcal{S}\)가 존재하는 \(X\)의 open covering을 의미한다.

\(\mathcal{S}\)의 원소들의 유한한 교집합들을 모아 새로운 모임 \(\mathcal{B}\)를 만들 수 있다. 이 모임이 base인지를 체크하는 데 필요한 것은 오직 2번 조건 뿐인데, 어차피 \(\mathcal{B}\)의 원소들은 \(\mathcal{S}\)의 유한한 교집합으로 얻어지고, 따라서 \(B_1\cap B_2\)를 해봐야 \(\mathcal{S}\)의 원소들의 유한한 교집합이므로 \(\mathcal{B}\)가 base가 된다.

위상공간의 국소기저

§열린집합, ⁋명제 6은 위상공간 \(X\)와 한 점 \(x\)에 대하여, \(x\)를 중심으로 하는 neighborhood filter \(\mathcal{N}(x)\)를 묘사할 수 있다면 \(X\)의 위상구조를 완전히 복원할 수 있다는 것을 보여준다. 한편 \(\mathcal{N}(x)\)는 §열린집합, ⁋명제 6의 조건들, 특히 첫째 조건을 만족하므로 이 집합을 묘사하는 데에는 \(\mathcal{N}(x)\)가 모두 필요하지는 않다.

정의 4 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\)에 대하여, \(A\)에서의 local base_국소기저는 열린집합들로 이루어진 \((\mathcal{N}(A),\subseteq)\)의 coinitial subset을 의미한다. ([집합론] §순서집합의 원소들)

§열린집합, ⁋정의 4와 마찬가지로, \(A\)가 한점집합 \(\{x\}\)일 경우, \(A\)의 local base를 점 \(x\)에서의 local base라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 5 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathcal{T}\)의 부분집합 \(\mathcal{B}\)가 \(X\)의 base인 것은 각각의 \(x\in X\)에 대하여 $x$를 포함하는 $\mathcal{B}$의 원소들이 \(x\)에서의 local base를 정의하는 것과 동치이다.

증명

편의상 \(\mathcal{B}\)의 원소들 중 \(x\)를 포함하는 것들을 모두 모아 이들을 \(\mathcal{B}(x)\)라 적자.

우선 \(\mathcal{B}\)가 \(X\)의 base라 하고, 임의의 점 \(x\in X\)와 근방 \(V\)를 택하자. 그럼 \(x\in U\subseteq V\)이도록 하는 열린집합 \(U\)가 존재한다. 이제 \(\mathcal{B}\)는 \(X\)의 base이므로, \(U=\bigcup U_i\)이도록 하는 \(U_i\in\mathcal{B}\)들이 존재한다. \(x\in U\)이므로, 어떤 \(i\)에 대해 \(x\in U_i\)이고 따라서 \(U_i\in\mathcal{B}(x)\)이다.

거꾸로 주어진 조건을 만족하는 \(\mathcal{B}\)가 주어졌다 하고, 임의의 열린집합 \(U\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(x\in U\)에 대하여 \(U\in\mathcal{N}(x)\)이므로, 주어진 조건으로부터 적당한 \(V(x)\in\mathcal{B}(x)\)가 존재하여 \(x\in V(x)\subseteq U\)이도록 할 수 있다. 이제 \(U=\bigcup V(x)\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

앞서 명제 2의 첫 번째와 두 번째 조건을 만족하는 임의의 모임이 주어졌을 때, 이를 base로 갖는 \(X\)의 위상이 존재하느냐는 질문을 던졌었는데, 이는 위 명제의 쉬운 따름정리가 된다.

따름정리 6 집합 \(X\)가 주어졌다 하고, \(\mathcal{P}(X)\)의 부분집합 \(\mathcal{B}\)가 다음의 두 조건을 만족한다 가정하자.

1. 각각의 \(x\)에 대하여, 적어도 하나의 \(B\in\mathcal{B}\)가 존재하여 \(x\in B\)이다.
2. \(x\)를 포함하는 \(B_1,B_2\in\mathcal{B}\)가 존재한다면, 또 다른 \(B_3\in\mathcal{B}\)가 존재하여 \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\)이다.

그럼 \(X\) 위에 정의된 유일한 위상 \(\mathcal{T}\)가 존재하여, \(\mathcal{B}\)가 이 위상 \(\mathcal{T}\)의 base이도록 할 수 있다.

증명

\(\mathcal{B}(x)\)를 앞선 명제의 증명에서와 같이 $\mathcal{B}$의 원소들 중 $x$를 포함하는 것들의 모임으로 정의하자. 또,

\[\mathcal{N}(x)=\mathop{\uparrow}\mathcal{B}(x):=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}\mathop{\uparrow}B\]

으로 정의하자. 즉 \(\mathcal{N}(x)\)는 주어진 \(x\in X\)를 포함하는 \(\mathcal{B}\)의 원소, 그리고 이 원소보다 큰 \(\mathcal{P}(X)\)의 원소들을 모두 포함하는 모임이다.

• 임의의 \(V\in\mathcal{N}(x)\)에 대하여, \(V\subseteq V'\)라 하자. \(\mathcal{N}(x)\)의 정의에 의하여, \(U\subseteq V\)를 만족하는 \(U\in\mathcal{B}(x)\)가 존재하며, 이러한 \(U\)에 대해 \(U\subseteq V'\)이므로 \(V'\in\mathcal{N}(x)\)이다.
• \(\mathcal{N}(x)\)의 원소들 \(V_1,\ldots, V_n\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(U_i\subseteq V_i\)를 만족하는 \(U_i\in\mathcal{B}(x)\)들이 존재한다. 명제 2의 두 번째 조건을 귀납적으로 사용하면, 적당한 \(U\in\mathcal{B}(x)\)가 존재하여 \(U\subseteq U_1\cap\cdots\cap U_n\)임을 알 수 있다. 특히 \(U\subseteq V_1\cap\cdots\cap V_n\)이므로, \(V_1\cap\cdots\cap V_n\in\mathcal{N}(x)\)이다.
• \(\mathcal{N}(x)\)의 임의의 원소 \(V\)에 대하여, \(W\subseteq V\)를 만족하는 \(W\in\mathcal{B}(x)\)가 존재하므로 \(x\in V\)이다.
• \(\mathcal{N}(x)\)의 임의의 원소 \(V\)에 대하여, \(W\subseteq V\)를 만족하는 \(W\in\mathcal{B}(x)\)를 택하자. 그럼 임의의 \(W\in\mathcal{B}\)이며, 따라서 임의의 \(y\in W\)에 대해 \(W\in\mathcal{B}(y)\)이다. \(W\subseteq V\)이므로, 이로부터 \(V\in\mathcal{N}(y)\)가 모든 \(y\)에 대해 성립함을 안다.

이제 §열린집합, ⁋명제 6을 적용하여 위상공간 \(\mathcal{T}\)를 얻을 수 있고, 이 위상공간에서 \(\mathcal{B}(x)\)는 \(x\)에서의 local base가 되므로 명제 5에 의해 \(\mathcal{B}\)는 \(\mathcal{T}\)의 base가 된다.

이 과정을 통해 \(\mathcal{B}\)로부터 얻어지는 위상을 \(\mathcal{B}\)에 의해 생성된 위상이라 부르며, 비슷하게 subbase \(\mathcal{S}\)로부터 base를 만들고, 이 base를 통해 생성된 위상을 \(\mathcal{S}\)로부터 얻어지는 위상이라 부른다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
[Mun] J.R. Munkres, Topology. Featured Titles for Topology. Prentice Hall, Incorporated, 2000.

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