대수

이제 우리는 $A$-대수의 개념을 정의한다. 대수는 $A$-module $M$ 위에 $M$의 덧셈구조 및 스칼라곱과 잘 호환되는 곱셈구조를 추가한 구조인데, 이는 abelian group $G$ 위에 $G$의 덧셈과 호환되는 곱셈을 정의하는 것과 동일한 과정이다. 그러나 §환의 정의, ⁋정의 1을 그대로 사용하기에는 두 가지 문제가 있다.

우선 첫 번째 문제는 일반적인 ring $A$에 대하여 $\lMod{A}$ 혹은 $\rMod{A}$는 monoidal category가 아니라는 것이다. 이는 만일 $A$가 commutative ring이라면 $(\lMod{A},\otimes_A, A)$가 symmetric monoidal category가 되므로, $A$가 commutative ring임을 가정하면 해결된다. (§가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, §§가환환 위에서 정의된 가군의 텐서곱)

두 번째 문제는 역사적인 측면에서의 문제인데, 만일 기존에 하던대로 commutative ring $A$를 고정하고 symmetric monoidal category $(\lMod{A},\otimes_A,A)$의 monoid object $E$를 $A$-algebra라 부른다면 monoid object의 associativity axiom과 unit axiom 때문에 $E$의 곱셈은 항상 결합법칙을 만족하고 항등원을 가져야 한다. 그런데 지금까지 연구되어 왔고, 중요한 역할을 하는 예시들은 이러한 성질들을 만족하지 않을 때가 많다. 때문에 이들을 모두 포함하기 위해서는 결합법칙과 항등원의 존재성을 포기해야 하고, 이는 곧 §환의 정의, ⁋정의 1과 같은 정의를 일정부분 포기해야 한다는 뜻이기도 하다.

이러한 이유들로 인하여, 앞으로 $A$는 항상 commutative ring인 것으로 생각하고, $A$-algebra는 다음과 같이 정의한다.

정의 1 만일 $A$-module $E$ 위에 $A$-bilinear map $\mu:E\times E \rightarrow E$가 주어져 있다면 $E$를 $A$-algebra_$A$-대수라 부른다. 또, $E$의 곱셈 $\mu$가 만족하는 성질에 따라 다음을 정의한다.

• 만일 $E$의 곱셈이 교환법칙을 만족한다면 이를 commutative $A$-algebra_{가환 $A$-대수}라 부른다.
• 만일 $E$의 곱셈이 결합법칙을 만족한다면 이를 associative $A$-algebra_{결합 $A$-대수}라 부른다.
• 만일 $E$의 곱셈이 항등원을 가진다면 이를 unital $A$-algebra_{단위 $A$-대수}라 부른다.

그럼 $(\lMod{A},\otimes_A,A)$의 monoid object는 associative unital $A$-algebra이다.

정의 2 두 $A$-algebra $E,E’$가 주어졌다 하자. $A$-module homomorphism $f: E \rightarrow E’$가 $A$-algebra homomorphism_{$A$-대수 준동형사상}이라는 것은 식

\[f(xy)=f(x)f(y)\]

가 모든 $x,y\in E$에 대해 성립하는 것이다.

어렵지 않게 다음 명제를 보일 수 있다.

명제 3 $A$-algebra homomorphism의 합성은 $A$-algebra homomorphism이다. Bijective $A$-algebra homomorphism은 항상 isomorphism이다.

이들 데이터는 $A$-algebra들의 category $\Alg{A}$를 정의한다.

가군 위에 정의된 자유대수

가환군 위에 자유환이 정의되듯이 임의의 $A$-module 위에는 자유대수가 정의된다. 이 과정은 §환의 정의, ⁋명제 4에서 만든 것과 완전히 동일한 것인데, 생각해보면 이는 당연한 것이, 우리가 추가로 보여야 할 것은 여기에서 정의한 곱셈이 $A$의 스칼라곱 구조와 호환된다는 것 뿐인데 이는 $A$가 commutative일 것을 요구함으로써 $F(M)=\bigoplus_{n\geq 0}M^{\otimes n}$에 스칼라곱 구조가 이미 정의되기 때문이다.

불필요한 반복을 피하기 위해 여기에서는 free $A$-algebra의 개념 및 다음 명제의 증명을 생략하지만, 이와 같은 이유에서 다음 명제 또한 자명하다.

명제 4 임의의 $A$-module $M$에 대하여,

\[F(M)=\bigoplus_{n\geq 0} M^{\otimes n}\]

으로 정의하면 $F$는 forgetful functor $\Alg{A} \rightarrow \lMod{A}$의 left adjoint이다.

부분대수, 아이디얼과 몫대수

정의 5 $A$-algebra $E$의 submodule $F$가 $E$의 subalgebra_부분대수라는 것은 $F$가 $E$의 곱셈에 대하여 닫혀있는 것이다.

한편, 우리는 앞서 §환의 정의, ⁋정의 7에서 정의한 것과 같이 $A$-algebra의 ideal 또한 정의한다.

정의 6 $A$-module $M$의 submodule $\mathfrak{a}$가 $M$의 left ideal_{왼쪽 아이디얼}이라는 것은 임의의 $a\in \mathfrak{a}$와 $x\in E$에 대하여 $x a\in \mathfrak{a}$가 성립하는 것이다. 비슷하게 right ideal_{오른쪽 아이디얼} 또한 정의한다. Left ideal이면서 right ideal인 것을 two-sided ideal_{양쪽 아이디얼}이라 부른다.

예시로 $A$-algebra homomorphism $f:E \rightarrow F$의 kernel

\[\ker f=\{x\in E: f(x)=0\}\]

은 $E$의 two-sided ideal이다. 그럼 다음을 정의할 수 있다.

정의 7 임의의 $A$-module $E$와 $E$의 two-sided ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $E/\mathfrak{a}$를 $\mathfrak{a}$에 의한 $E$의 quotient algebra_몫대수라 부른다.

물론 이렇게 정의하였을 때 $E/\mathfrak{a}$가 $A$-algebra라는 것을 증명해야 하나, 이는 ring과 마찬가지이므로 생략하기로 한다. 또, 다음이 성립한다.

명제 8 $A$-algebra homomorphism $f:E \rightarrow F$와 kernel $\ker f$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $\ker f$는 $E$의 two-sided ideal이며, $x+\ker f \mapsto f(x)$가 잘 정의된 isomorphism $E/\ker f \rightarrow \im f$을 정의한다.
2. $E$의 subalgebra $E’$에 대하여, $E’+\ker f={x’+y:x’\in E’, y\in\ker f}$는 $E$의 subalgebra이고, $E’\cap\ker f$는 $E’$의 two-sided ideal이 되며, isomorphism $(E’+\ker f)/\ker f\cong E’/(E’\cap \ker f)$이 존재한다.
3. $E$의 두 two-sided ideal $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$가 $\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}$를 만족한다면, $\mathfrak{a}/\mathfrak{b}$는 $E/\mathfrak{b}$의 two-sided ideal이고 $(E/\mathfrak{b})/(\mathfrak{a}/\mathfrak{b})\cong E/\mathfrak{a}$이 성립한다.
4. $E$의 two-sided ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $E/\mathfrak{a}$의 two-sided ideal의 집합과, $\mathfrak{a}$를 포함하는 $A$의 ideal들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.