대수

이제 우리는 $A$-대수의 개념을 정의한다. 대수는 $A$-module $M$ 위에 $M$의 덧셈구조 및 스칼라곱과 잘 호환되는 곱셈구조를 추가한 구조인데, 이는 abelian group $G$ 위에 $G$의 덧셈과 호환되는 곱셈을 정의하는 것과 동일한 과정이다. 그러나 §환의 정의, ⁋정의 1을 그대로 사용하기에는 두 가지 문제가 있다.

우선 첫 번째 문제는 일반적인 ring $A$에 대하여 $\lMod{A}$ 혹은 $\rMod{A}$는 monoidal category가 아니라는 것이다. 이는 만일 $A$가 commutative ring이라면 $(\lMod{A},\otimes_A, A)$가 symmetric monoidal category가 되므로, $A$가 commutative ring임을 가정하면 해결된다. (§가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, §§가환환 위에서 정의된 가군의 텐서곱)

두 번째 문제는 역사적인 측면에서의 문제인데, 만일 기존에 하던대로 commutative ring $A$를 고정하고 symmetric monoidal category $(\lMod{A},\otimes_A,A)$의 monoid object $E$를 $A$-algebra라 부른다면 monoid object의 associativity axiom과 unit axiom 때문에 $E$의 곱셈은 항상 결합법칙을 만족하고 항등원을 가져야 한다. 그런데 지금까지 연구되어 왔고, 중요한 역할을 하는 예시들은 이러한 성질들을 만족하지 않을 때가 많다. 때문에 이들을 모두 포함하기 위해서는 결합법칙과 항등원의 존재성을 포기해야 하고, 이는 곧 §환의 정의, ⁋정의 1과 같은 정의를 일정부분 포기해야 한다는 뜻이기도 하다.

이러한 이유들로 인하여, 앞으로 $A$는 항상 commutative ring인 것으로 생각하고, $A$-algebra는 다음과 같이 정의한다.

정의 1 만일 $A$-module $E$ 위에 $A$-bilinear map $\mu:E\times E \rightarrow E$가 주어져 있다면 $E$를 $A$-algebra_$A$-대수라 부른다. 또, $E$의 곱셈 $\mu$가 만족하는 성질에 따라 다음을 정의한다.

• 만일 $E$의 곱셈이 교환법칙을 만족한다면 이를 commutative $A$-algebra_{가환 $A$-대수}라 부른다.
• 만일 $E$의 곱셈이 결합법칙을 만족한다면 이를 associative $A$-algebra_{결합 $A$-대수}라 부른다.
• 만일 $E$의 곱셈이 항등원을 가진다면 이를 unital $A$-algebra_{단위 $A$-대수}라 부른다.

그럼 $(\lMod{A},\otimes_A,A)$의 monoid object는 associative unital $A$-algebra이다.

정의 2 두 $A$-algebra $E,E’$가 주어졌다 하자. $A$-module homomorphism $u: E \rightarrow E’$가 $A$-algebra homomorphism_{$A$-대수 준동형사상}이라는 것은 식

\[u(xy)=u(x)u(y)\]

가 모든 $x,y\in E$에 대해 성립하는 것이다.

어렵지 않게 다음 명제를 보일 수 있다.

명제 3 $A$-algebra homomorphism의 합성은 $A$-algebra homomorphism이다. Bijective $A$-algebra homomorphism은 항상 isomorphism이다.

이들 데이터는 $A$-algebra들의 category $\Alg{A}$를 정의한다. 또, commutative $A$-algebra들의 category $\cAlg{A}$를 정의한다.

대수의 예시들

가환군 위에 자유환이 정의되듯이 임의의 $A$-module 위에는 자유대수가 정의된다. 이 과정은 §환의 정의, ⁋명제 4에서 만든 것과 완전히 동일한 것인데, 생각해보면 이는 당연한 것이, 우리가 추가로 보여야 할 것은 여기에서 정의한 곱셈이 $A$의 스칼라곱 구조와 호환된다는 것 뿐인데 이는 $A$가 commutative일 것을 요구함으로써 $F(M)=\bigoplus_{n\geq 0}M^{\otimes n}$에 스칼라곱 구조가 이미 정의되기 때문이다.

즉, 다음이 성립한다.

명제 4 임의의 $A$-module $M$에 대하여,

\[F(M)=\bigoplus_{n\geq 0} M^{\otimes n}\]

으로 정의하면 $F$는 forgetful functor $\Alg{A} \rightarrow \lMod{A}$의 left adjoint이다.

위의 명제로부터 얻어지는 $F(M)$은 $M$ 위에 정의되어 있는 데이터인 덧셈을 그대로 사용하고, 새로운 연산인 곱셈을 정의하여 얻어진다. 반면 적당한 group $G$ 위에 정의된 곱셈을 이용하여 이를 $A$-algebra로 만드는 것도 가능하다.

정의 5 (Commutative일 필요는 없는) ring $A$와 임의의 group $G$을 고정하자. 그럼 group ring_군환 $AG$는 우선, 집합으로서는 $G$에서 $A$로 가는 finitely supported인 함수들의 모임이며, 이 때 두 함수 $\alpha:G \rightarrow A$, $\beta: G \rightarrow A$에 대하여 이들의 연산은

\[\alpha+\beta: x\mapsto \alpha(x)+\beta(x),\qquad \alpha\beta:x\mapsto \sum_{uv=x}\alpha(u)\beta(v)\]

으로 주어진다. 만일 $A$가 (commutative) ring이라면, $AG$는 $A$-module의 구조 또한 가지므로 $A$-algebra가 된다. 이 경우 $AG$는 group algebra_군대수라 부른다.

각각의 $x\in G$에 대하여, $\delta_x: G \rightarrow A$을 다음 식

\[\delta_x(y)=\begin{cases}1&\text{if $x=y$}\\0&\text{if $x\neq y$}\end{cases}\]

으로 정의하면, $AG$의 임의의 원소는 각각의 $a_x\in A$에 대하여

\[\sum_{x\in G} a_x\delta_x,\qquad\text{$a_x=0$ for all but finitely many $x$}\]

으로 적을 수 있다. 편의상 함수 $\delta_x$를 $x$로 쓰기로 하면, 그럼 $AG$에서의 곱셈은 다음의 식

\[\left(\sum_{x\in G} a_xx\right)\left(\sum_{y\in G} b_yy\right)=\sum_{x,y\in G}a_xb_yxy=\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}a_xb_{x^{-1}z}\right)z\]

으로 적을 수 있다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 6 두 functor

\[A-: \Grp \rightarrow \Alg{A},\qquad (-)^\times:\Alg{A} \rightarrow \Grp\]

을 생각하자. 여기서 $(-)^\times$는 임의의 $A$-algebra $E$가 주어졌을 때, unit들의 group $E^\times$를 주는 functor이다. 그럼 $A{-}\dashv (-)^\times$이다.

증명

즉, 임의의 group $G$, $A$-algebra $E$에 대하여 다음의 isomorphism

\[\Hom_{\Alg{A}}(AG, E)\cong \Hom_\Grp(G, E^\times)\]

을 보여야 한다. 우선 group homomorphism $f:G \rightarrow E^\times$가 주어졌다 하자. 그럼 이로부터 다음의 식

\[\tilde{f}:AG \rightarrow E;\quad \sum_{x\in G} a_x\delta_x\mapsto \sum_{x\in G} a_xf(x)\]

으로 $\tilde{f}:AG \rightarrow E$를 정의할 수 있다. 그럼 $\tilde{f}$가 덧셈과 스칼라곱을 보존하는 것은 자명하며, 곱셈의 경우에도

\[\begin{aligned}\tilde{f}\left(\left(\sum_{x\in G} a_xx\right)\left(\sum_{y\in G} b_yy\right)\right)&=\tilde{f}\left(\sum_{x,y\in G}a_xb_yxy\right)=\tilde{f}\left(\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}a_xb_{x^{-1}z}\right)\right)\\&=\sum_{z\in G}\left(\sum_{x\in G}a_xb_{x^{-1}z}\right)f(z)=\sum_{x,y\in G} a_xb_yf(xy)\\&=\left(\left(\sum_{x\in G} a_xf(x)\right)\left(\sum_{y\in G} b_yf(y)\right)\right)=\tilde{f}\left(\sum_{x\in G} a_xx\right)\tilde{f}\left(\sum_{y\in G} b_yy\right)\end{aligned}\]

이므로 원하는 식이 성립한다. 거꾸로 임의의 $A$-algebra homomorphism $u: AG \rightarrow E$가 주어졌다 하자. 면, 다음의 식

\[\bar{u}: G \rightarrow E;\qquad x\mapsto u(\delta_x)\]

을 통해 정의된 함수는 곱셈을 보존한다. 이는 임의의 $x,y\in G$에 대하여,

\[\bar{u}(xy)=u(\delta_{xy})=u(\delta_x\delta_y)=u(\delta_x)u(\delta_y)=\bar{u}(\delta_x)\bar{u}(\delta_y)\]

이므로 자명하며, 따라서 $\bar{u}$의 image는 $E^\times$에 속한다. 이 두 과정이 서로의 역함수임은 자명하다.

마지막 예시는 이미 어느정도 친숙한 것이다.

정의 7 Ring $A$에 대하여, polynomial algebra $A[\x]$는 집합으로서는

\[A[\x]=\{p(x)=a_n\x^n+\cdots+a_1\x+a_0: a_i\in A\}\]

이고, 이 때 덧셈과 곱셈은 다항식의 덧셈과 곱셈으로 주어지며 $A$의 스칼라곱도 마찬가지로 다항식의 상수배로 주어진다. 더 일반적으로 임의의 집합 $S$에 대하여 $A[S]$ 또한 비슷한 방식으로 정의할 수 있다.

다변수 다항식 $A[S]$의 경우, 표기의 편의를 위하여 이를 $\lvert S\rvert=\lvert I\rvert$를 만족하는 index set $I$를 택한 후 $S$의 원소들을 $\x_i$들로 두는 것이 일반적이다. 그럼 임의의

\[\alpha=(\alpha_i)_{i\in I}\in \mathbb{N}_{\geq0}^I\qquad\text{finitely supported}\]

에 대하여

\[\x^\alpha=\prod_{i\in I}\x_i^{\alpha_i}\]

으로 적는다. 그럼 $A[\x_i]_{i\in I}$의 원소들은 다음 식

\[\sum_{d=0}^n \sum_{\lvert\alpha\rvert=d} a_\alpha\x^\alpha\]

으로 적을 수 있다. 이 때 $\lvert\alpha\rvert=\sum_{i\in I}\alpha_i$이다.

마찬가지로 polynomial algebra 또한 다음의 universal property를 만족한다.

명제 8 집합 $S$를 받아서, $S$의 각 원소를 변수로 갖는 polynomial algebra $A[\x_i]_{i\in I}$를 대응시키는 functor $A[-]:\Set \rightarrow \cAlg{A}$는 forgetful functor $U: \cAlg{A} \rightarrow \Set$의 left adjoint이다.

증명

즉 다음의 isomorphism

\[\Hom_{\cAlg{A}}(A[\x_i]_{i\in I}, E)\cong\Hom_\Set(S, UE)\]

을 보여야 한다. 우선 임의의 함수 $f:S \rightarrow U(E)$가 주어졌다 하자. 그럼 $\tilde{f}: A[\x_i]_{i\in I} \rightarrow E$를 다음 식

\[\tilde{f}: \sum_{d=0}^n \sum_{\lvert\alpha\rvert=d} a_\alpha\x^\alpha\mapsto \sum_{d=0}^n\sum_{\lvert\alpha\rvert=d}a_\alpha\prod_{i\in I}f(\x_i)^\alpha_i\]

으로 보내는 함수는 $A[\x_i]_{i\in I}$에서 $E$로의 $A$-algebra homomorphism이 된다. 거꾸로 임의의 $A$-algebra homomorphism $u:A[\x_i]_{i\in I} \rightarrow E$가 주어졌을 때, $\bar{u}:S \rightarrow UE$는 $\x_i\mapsto u(\x_i)$으로 정의하면 된다. 이들이 서로의 역함수임을 쉽게 확인할 수 있다.

즉 polynomial algebra는 일종의 free commutative $A$-algebra라고 생각할 수 있다. 이는 정의 5와 정의 7을 비교하면 약간의 유사성이 있는데, 정의 5를 일반화하여 monoid ring을 생각하면, 정의 7의 polynomial ring은 $\x^\alpha$ 꼴의 원소들을 모아둔 monoid로 만들어진 monoid ring이 된다.

부분대수, 아이디얼과 몫대수

정의 9 $A$-algebra $E$의 submodule $F$가 $E$의 subalgebra_부분대수라는 것은 $F$가 $E$의 곱셈에 대하여 닫혀있는 것이다.

한편, 우리는 앞서 §환의 정의, ⁋정의 7에서 정의한 것과 같이 $A$-algebra의 ideal 또한 정의한다.

정의 10 $A$-module $M$의 submodule $\mathfrak{a}$가 $M$의 left ideal_{왼쪽 아이디얼}이라는 것은 임의의 $a\in \mathfrak{a}$와 $x\in E$에 대하여 $x a\in \mathfrak{a}$가 성립하는 것이다. 비슷하게 right ideal_{오른쪽 아이디얼} 또한 정의한다. Left ideal이면서 right ideal인 것을 two-sided ideal_{양쪽 아이디얼}이라 부른다.

예시로 $A$-algebra homomorphism $f:E \rightarrow F$의 kernel

\[\ker f=\{x\in E: f(x)=0\}\]

은 $E$의 two-sided ideal이다. 그럼 다음을 정의할 수 있다.

정의 11 임의의 $A$-module $E$와 $E$의 two-sided ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $E/\mathfrak{a}$를 $\mathfrak{a}$에 의한 $E$의 quotient algebra_몫대수라 부른다.

물론 이렇게 정의하였을 때 $E/\mathfrak{a}$가 $A$-algebra라는 것을 증명해야 하나, 이는 ring과 마찬가지이므로 생략하기로 한다. 또, 다음이 성립한다.

명제 12 $A$-algebra homomorphism $f:E \rightarrow F$와 kernel $\ker f$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $\ker f$는 $E$의 two-sided ideal이며, $x+\ker f \mapsto f(x)$가 잘 정의된 isomorphism $E/\ker f \rightarrow \im f$을 정의한다.
2. $E$의 subalgebra $E’$에 대하여, $E’+\ker f={x’+y:x’\in E’, y\in\ker f}$는 $E$의 subalgebra이고, $E’\cap\ker f$는 $E’$의 two-sided ideal이 되며, isomorphism $(E’+\ker f)/\ker f\cong E’/(E’\cap \ker f)$이 존재한다.
3. $E$의 두 two-sided ideal $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$가 $\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}$를 만족한다면, $\mathfrak{a}/\mathfrak{b}$는 $E/\mathfrak{b}$의 two-sided ideal이고 $(E/\mathfrak{b})/(\mathfrak{a}/\mathfrak{b})\cong E/\mathfrak{a}$이 성립한다.
4. $E$의 two-sided ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $E/\mathfrak{a}$의 two-sided ideal의 집합과, $\mathfrak{a}$를 포함하는 $A$의 ideal들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.