§코호몰로지에서 언급한 것과 같이, acyclic models theorem은 §코호몰로지, ⁋정리 9의 원래 증명을 일반적인 방식으로 확장한 것으로, 비단 §코호몰로지, ⁋정리 9를 증명할 때뿐만 아니라 다양한 경우에 사용할 수 있다. 이번 글에서는 acyclic models theorem을 증명하고, §코호몰로지, ⁋정리 9의 증명을 포함한 몇몇 따름정리들을 소개한다.
Category with models
호몰로지 이론을 전개할 때 우리는 보통 \(n\)-simplex들을 사용하게 되며, 이들은 우리가 \(\Top\)의 임의의 원소들을 살펴보는데 도움이 된다. 이를 다음과 같이 정의로 삼을 수 있다.
정의 1 Category with models는 category \(\mathcal{A}\)와, \(\mathcal{A}\)의 object들의 모임 \(\mathcal{M}\)으로 이루어진 pair \((\mathcal{A},\mathcal{M})\)을 뜻한다. 이 때, \(\mathcal{M}\)에 속하는 object들을 우리는 model들이라 부른다.
이 정의는 그 자체만으로는 별 영양가는 없다. 이제 우리는 다음을 정의한다.
정의 2 Category with models \((\mathcal{A},\mathcal{M})\)이 주어졌다 하고, covariant functor \(F_\bullet:\mathcal{A}\rightarrow \Ch_{\geq0}(\lMod{A})\)가 주어졌다 하자.
- Functor \(F_\bullet\)가 acyclic on \(\mathcal{M}\)이라는 것은 각각의 \(M\in\mathcal{M}\)에 대하여, \(H_i(F(M))=0\)이 모든 \(i>0\)에 대하여 성립하는 것이다.
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Functor \(F_\bullet\)가 free on \(\mathcal{M}\)이라는 것은 각각의 \(n\)에 대하여, 다음의 natural isomorphism
\[F_n(-)\cong \bigoplus_{M\in \mathcal{M}}\mathbb{Z}\Hom_\mathcal{A}(M,-)\]이 성립하는 것이다.
예를 들어, standard \(n\)-simplex들 \(\Delta^n\)들의 모임 \(\mathcal{M}\)을 model들로 갖는 category with models \((\Top, \mathcal{M})\)을 생각하자. 그럼 각각의 \(X\in \Top\)마다 singular \(n\)-simplex들의 chain complex \(C_\bullet(X)\)을 대응시키는 functor \(C_\bullet:\Top \rightarrow \Ab\)는 acyclic on \(\mathcal{M}\)인 동시에 free on \(\mathcal{M}\)이다.
- \(C_\bullet\)이 acyclic on \(\mathcal{M}\)이라는 것은 §호몰로지, ⁋명제 11의 결과이다. 여기에서 functor \(F_\bullet\)이 \(\mathcal{M}\) 위에서 acyclic하다는 조건은 \(F_\bullet(X)\)의 \(0\)번째 호몰로지가 \(0\)일 것을
요구하지는 않는다 는 것에 주의하자. - \(C_\bullet\)이 free on \(\mathcal{M}\)이라는 것은 정확히 각각의 \(C_n(X)\)들이 \(\Delta^n \rightarrow X\)로 생성되는 free abelian group이므로, 즉 \(C_n(X)=\mathbb{Z}\Hom_\Top(\Delta^n,X)\)이므로 자명하다.
Acyclic models theorem
이번 글의 메인 정리는 다음의 정리이다.
정리 3 (Acyclic models theorem) Category with models \((\mathcal{A},\mathcal{M})\)과, 두 functor \(F_\bullet, G_\bullet:\mathcal{A}\rightarrow \Ch_{\geq0}(\lMod{A})\)이 주어졌다 하고 \(F_\bullet\)이 free on \(\mathcal{M}\), \(G_\bullet\)이 acyclic on \(\mathcal{M}\)이라 하자. 그럼 두 functor
\[H_0(F(-)),H_0(G(-)): \mathcal{A}\rightarrow \lMod{A}\]사이의 임의의 natural transformation
\[f(-)_0:H_0(F(-)) \Rightarrow H_0(G(-))\]가 주어질 때마다, 적당한 natural transformation
\[f_\bullet(-):F_\bullet(-) \rightarrow G_\bullet(-)\]가 존재하여 \(H_0(f)=f_0\)이도록 할 수 있으며, 이러한 natural transformation \(f\)는 natural chain homotopy에 대하여 유일하게 존재한다.
즉, 호몰로지 레벨에서 정의된 \(f(X)_0: H_0(F(X))\rightarrow H_0(G(X))\)에서부터 시작하여, chain map \(f_\bullet(X):F_\bullet(X)\rightarrow G_\bullet(X)\)를 만들어야 한다. 이를 위해 우선 \(f_\bullet(X)\)의 \(0\)번째 성분 \(f_0(X)\)를 정의하자. 이는, \(F_0(X)\)이 free이므로, 각각의 \(u:M\rightarrow X\)이 어디로 옮겨지는지를 정의하는 것과 같다. 한편 다음의 commutative diagram
에 의하여, \(F_0(X)\rightarrow H_0(G(X))\)는 자명한 방식으로 정의되고, \(p_G\)가 surjective이므로 이로부터 lifting \(F_0(X)\rightarrow G_0(X)\)를 정의할 수 있다.
그러나 더 높은 차수에서 \(f_\bullet(X)\)를 정의하려면 약간의 문제가 있다. 귀납적으로 \(f_{n-1}(X)\)까지의 성분이 정의되었다고 하고 \(f_n(X)\)를 정의하자. 즉 다음의 diagram
의 lifting을 정의해야하는데, 위의 상황과는 다르게 우리는 새로 정의한 \(f_n(X)\)가 다음의 commutativity 조건
\[d_n^{G(X)}\circ f_n(X)=f_{n-1}(X)\circ d_n^{F(X)}\]을 만족할 것을 요구해야 한다. 또 \(f_n(X)\)를 (위의 commutativity 조건이 없더라도) 어떻게 정의해야 할지도 명확하지 않다.
이를 해결하기 위해 \(G\)가 acyclic on \(\mathcal{M}\)이라는 조건을 사용한다. 우선 functor \(F_n\)이 free라는 것으로부터, 우리는 \(f_n\)을 model들 \(M\) 위에서만 정의하면 된다는 것을 안다. 임의의 대상 \(X\)와 free module \(F_n(X)\), 그리고 generator \(u:M \rightarrow X\)에 대하여 다음 diagram
을 이용하면, \(\id_M\)에 해당하는 \(F_n(M)\)의 원소가 \(F_n(X)\)에서는 \(u\)가 되며, 그럼 \(u\)를 \((G_n(u)\circ f_n(M))(\id_M)\)으로 옮겨주면 되기 때문이다. 이제 우리의 관심사를 model들로 옮겨놓고 나면, 우리가 해야할 일은 앞선 diagram
을 lift하는 것이다. 그런데 이제 임의의 \(x_n\in F_n(M)\)에 대하여,
\[0=(f_{n-2}(M)\circ d_{n-1}^{F(M)}\circ d_n^{F(M)})(x_n)=(d_{n-1}^{G(M)}\circ f_{n-1}(M)\circ d_n^{F(M)})(x_m)\]이므로 \(G\)가 acyclic on \(\mathcal{M}\)이라는 가정으로부터
\[f_{n-1}(d_n^{F(M)}(x_n))\in \ker d_{n-1}^{G(M)}=\im d_n^{G(M)}\]이고, 따라서 \(d_n^{G(M)}(y_n)=f_{n-1}(d_n^{F(M)}(x_n))\)을 만족하는 \(y_n\)을 찾을 수 있으며 이로부터 chain map \(f_\bullet(M)\)의 \(n\)번째 성분을 만들어줄 수 있다. 이 때 서로 다른 \(y_n\)의 선택은 서로 다른 lift \(f_n\)을 주며, 이들의 차이가 곧 chain homotopy를 정의한다.
Acyclic models theorem의 활용
Acyclic models theorem은 우선, 앞선 글에서 살펴본 퀴네트 정리를 증명할 때 사용된다. 두 위상공간의 pair로 이루어진 category \(\Top^2\)를 생각하고, 여기에서 \(\Ch_{\geq 0}(\lMod{A})\)로의 두 functor
\[C_\bullet(-\times -;A),\qquad C_\bullet(-;A)\otimes_A C_\bullet(-;A)\]를 생각하자. 이제 model \(\mathcal{M}\)을
\[(\Delta^p, \Delta^q)\in\Top^2\]들의 모임으로 잡으면, 이들은 모두 free on \(\mathcal{M}\), acyclic on \(\mathcal{M}\)이다. 이제 다음의 함수
\[C_p(X;A)\times C_q(Y;A)\rightarrow C_{p+q}(X\times Y;A);\qquad (\sigma,\tau)\mapsto \sigma\times\tau\]가 \(H_0\)에서는 isomorphism인 것을 알 수 있고, 그럼 이 함수의 lifting이 Eilenberg-Zilber map, 그리고 이 함수의 inverse의 lifting이 Alexander-Whitney map이 된다.
비슷한 예시로, \(\Top^2\)에서 \(\Ch_{\geq 0}(\lMod{A})\)로의 네 functor
\[(X,Y)\mapsto C_\bullet(X\times Y;A),\quad (X,Y)\mapsto C_\bullet(Y\times X;A),\quad (X,Y)\mapsto C_\bullet(X;A)\otimes_AC_\bullet(Y;A),\quad (X,Y)\mapsto C_\bullet(Y;A)\otimes_AC_\bullet(X;A)\]를 생각하면, 이들 사이의 자명한 함수들을 생각할 수 있으며 이를 정리 3을 이용하여 lift하면 \(\Ch_{\geq0}(\lMod{A})\)에서의 commutative diagram
을 얻는다.
참고문헌
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