K

Grad. student in mathematics

선형대수학에서 다루는 공간은 벡터공간으로, 고등학교 때 배웠던 좌표공간을 일반화하는 개념이다. 벡터공간은 말 그대로 벡터들의 공간으로, 이들 벡터들 사이의 덧셈이 잘 정의된다. 또, 어떤 벡터에 상수를 곱하여 다른 벡터를 얻어낼 수도 있는데, 벡터공간을 다룰 때는 이 상수들을 스칼라라고 부른다. 스칼라들의 집합은 우리가 곧 정의할 field를 이루어야 한다.

체

정의 1 집합 \(G\)와, \(G\) 위에 정의된 이항관계 \(+:G\times G\rightarrow G\)가 abelian group가환군이라는 것은 다음의 조건들이 만족되는 것이다.

  1. \(+\)는 결합법칙을 만족한다. 즉, 임의의 \(a,b,c\in G\)에 대하여, \((a+b)+c=a+(b+c)\)가 성립한다.
  2. \(+\)에 대한 항등원이 존재한다. 즉, 어떤 \(0\in G\)가 존재하여, 임의의 \(a\in G\)에 대해 \(a+0=0+a=a\)가 성립한다.
  3. \(+\)에 대한 역원이 항상 존재한다. 즉, 임의의 \(a\in G\)가 주어질 때마다, \(-a\in G\)가 존재하여 \(a+(-a)=(-a)+a=0\)가 성립한다.
  4. \(+\)는 교환법칙을 만족한다. 즉, 임의의 \(a,b\in G\)에 대하여, \(a+b=b+a\)가 성립한다.

만일 마지막 조건이 성립하지 않는다면 \(G\)를 group군이라 부른다.

어쨌든 정의를 사용해 간단한 명제를 증명할 수 있다.

명제 2 \(G\)가 abelian group이라 하자. 그럼

  1. \(G\)의 항등원은 유일하다.
  2. 임의의 \(a\in G\)에 대하여, \(a\)의 역원 \(-a\) 또한 유일하다.
  3. 만일 \(a+b=a+c\)가 성립한다면, \(b=c\)이다.
증명

  1. \(0'\)이 정의 1의 둘째 조건을 만족하는 또 하나의 원소라고 하자. 그럼 \(a=0\)과 항등원 \(0'\)에 대해 둘째 조건을 적용하면,

    \[0+0'=0'+0=0\]

    이 성립한다. 그런데 \(a=0'\)과 항등원 \(0\)에 대해 둘째 조건을 적용하면, 마찬가지로

    \[0+0'=0'+0=0'\]

    을 얻는다. 따라서 \(0=0'\)이므로, 항등원은 유일하다.

  2. 첫 번째와 비슷하게 진행하면 된다. \((-a)'\)가 정의 1의 셋째 조건을 만족하는 또 하나의 원소라고 하자. 그럼

    \[(-a)=(-a)+0=(-a)+(a+(-a)')=((-a)+a)+(-a)'=0+(-a)'=(-a)'\]

    이므로, \((-a)=(-a)'\)가 성립한다.

  3. 양 변에 \((-a)\)를 더하면 된다.

Abelian group에서는 넷째 조건의 \(a+b=b+a\) 덕분에 항등원과 역원의 조건을 각각 하나의 등식 \(a+0=a\)와 \(a+(-a)=0\)만으로 생각해도 충분하다. 그러나 우리는 위의 증명에서 이와 같은 논리를 사용하지 않았고, 따라서 항등원과 역원의 유일성은 일반적인 group에 대해서도 성립한다.

다음 따름정리는 항등원과 역원의 유일성으로부터 바로 얻어지며, 이 또한 일반적인 group에 대해서도 성립한다.

따름정리 3 Abelian group \((G,+)\)와 임의의 원소 \(a,b\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. $-(-a)=a$,
  2. $-(a+b)=-a+(-b)=-a-b$.
증명

  1. \(-a\)의 역원 \(-(-a)\)가 \(a\)와 같음을 보여야 한다. 역원은 유일하므로, 만일 어떤 \(x\in G\)에 대하여 다음의 식

    \[(-a)+x=x+(-a)=0\]

    이 성립한다면 반드시 \(x=-(-a)\)여야 한다. 그런데 \(x=a\)일 경우, \(-a\)가 \(a\)의 역원이라는 사실로부터 위의 식이 성립한다. 따라서 \(a=-(-a)\)이다.

  2. 앞선 증명처럼 \(x=-a+(-b),-a-b\)가 모두

    \[(a+b)+x=x+(a+b)=0\]

    을 만족함을 보이면 충분하다. 예를 들어 \(x=-a+(-b)\)인 경우,

    \[\begin{aligned}(a+b)+x&=(a+b)+((-a)+(-b))=(b+a)+((-a)+(-b))=b+(a+(-a))+(-b)=b+(-b)\\&=0\end{aligned}\]

    이고 이와 비슷하게, 혹은 교환법칙에 의해 \(x+(a+b)=0\)임도 보일 수 있다.

정의 1에서 우리는 \(G\)의 연산이 더하기라는 것을 가정했지만, 사실 반드시 연산이 더하기일 필요는 없다. 만일 \(G\)의 연산이 곱하기로 적혀있더라도, \(G\)가 1번부터 4번까지의 모든 조건을 만족한다면 여전히 \(G\)는 abelian group이라 불린다. 물론, 이 경우에는 항등원을 \(0\) 대신 \(1\)이라 쓰고, 역원을 \(-a\) 대신 \(a^{-1}\)이라 쓰는 것이 자연스러울 것이다.

예시 4 실수집합 \(\mathbb{R}\)는 덧셈에 대하여 abelian group이며, 이는 복소수 집합 \(\mathbb{C}\)도 마찬가지다.

\(\mathbb{R}\)과 \(\mathbb{C}\) 위에는 곱셈도 정의되어 있지만, 이들은 곱셈에 대해서는 abelian group이 아니다. \(0\in\mathbb{R}\) (혹은 \(\mathbb{C}\))에 대하여, \(0a=a0=1\)을 만족하는 실수 (혹은 복소수) \(a\)가 존재하지 않기 때문이다. 그 대신, \(\mathbb{R}^\times=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (혹은 \(\mathbb{C}^\times=\mathbb{C}\setminus\{0\}\))은 곱셈에 대한 abelian group이 된다.

위의 예시와 같은 상황을 다음과 같이 정의한다.

정의 5 집합 \(\mathbb{K}\) 위에 두 개의 이항관계 \(+\)와 \(\times\)가 정의되었다 하자. \(\mathbb{K}\)가 field체라는 것은 다음의 세 조건

  1. \(\mathbb{K}\)는 \(+\)에 대하여 abelian group이다.
  2. \(\mathbb{K}^\times=\mathbb{K}\setminus\{0\}\)은 \(\times\)에 대하여 abelian group이다.

  3. \(\times\)는 \(+\)에 대해 분배법칙을 만족한다. 즉, 임의의 \(a,b,c\in\mathbb{K}\)에 대하여

    \[a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\]

    가 성립한다.

을 만족하는 것이다.

위의 정의에서 0과 1은 서로 다른 원소여야 한다. \(1\in\mathbb{K}^\times=\mathbb{K}\setminus\{0\}\)이기 때문이다.

우리는 고등학교 때부터 \(\times\)라는 굳이 연산을 명시하기보다는 \(a\cdot b\)와 같이 줄여쓰는 것을 선호하고, 사실은 그냥 연산을 생략하고 \(ab\)로 쓰는 것을 더 선호한다. 앞으로는 이 관습을 따라 \(a\times b\) 대신 \(ab\)로 적기로 한다.

한편 명제 2를 \(\mathbb{K}\)와 \(\mathbb{K}^\times\)에 각각 적용하면

  1. \(0\)과 \(1\)은 유일하다.
  2. 임의의 \(a\in\mathbb{K}\)에 대해 \(-a\)는 유일하고, 또 만일 \(a\neq 0\)이라면 \(a^{-1}\)도 유일하게 존재한다.
  3. 만일 \(a+b=a+c\)라면 \(b=c\)이다. 또, 만일 \(a\neq 0\)이고, \(ab=ac\)라면 \(b=c\)이다.

가 성립한다는 것도 쉽게 확인할 수 있다.

명제 5 Field \(\mathbb{K}\)의 임의의 원소 \(a\in\mathbb{K}\)에 대하여, \(0a=0\)이고, \((-1)a=-a\)가 성립한다.

증명

우선 명제가 의미하는 것을 찬찬히 뜯어볼 필요가 있는데, \(0a=0\)이라는 것은 \(0\)과 \(a\)를 곱하면 덧셈에 대한 항등원 \(0\)이 나온다는 것이고, \((-1)a=-a\)라는 것은 \((-1)\)과 \(a\)를 곱하면 \(a\)의 역원이 나온다는 것이다.
이를 위해선 명제 2 직후에 몇몇 성질들을 증명했듯이, 역원과 항등원의 유일성을 이용하면 될 것 같다. 첫 번째 식을 증명하려면 \(0a+b=b+0a=b\)가 임의의 \(b\)에 대해 성립한다는 것을 보여야 하는데, \(0a+b\)를 단순하게 표현할만한 방법이 보이질 않는다. 뭔가 다른 방법을 찾아야 한다.
명제 2의 셋째 명제를 활용하자. 만일 우리가 \(0a+0a=0a\)라는 것만 보이면, \(0a=0a+0\)이므로, \(0a+0a=0a+0\)에서 \(0a=0\)이 된다. 따라서 \(0a+0a=0a\)라는 것만 보이면 되는데, 이는

\[0a+0a=(0+0)a=0a\]

으로부터 자명하다. 이것만 증명하면 둘째 부분은 더 쉽다. \((-1)a\)가 \(a\)의 역원의 조건을 만족한다는 것을 보이면 되는데,

\[(-1)a+a=(-1)a+1a=((-1)+1)a=0a=0\]

이므로 증명 끝.

참고문헌

[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.

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