군의 열

교환자

우리는 [대수적 구조] §가환군, ⁋정의 3에서, 임의의 group $G$와 $G$의 두 subgroup $H,H’$에 대하여 이들의 commutator들로 이루어진 subgroup $[H,H’]$를 정의하였다. 해당 글에서는 $H=H’=G$인 경우만 생각하였으나, 이번 글에서는 이를 일반화할 것이므로 우선 commutator에 대한 성질을 더 자세히 살펴보자.

우선 $[h,h’]^{-1}=[h’,h]$인 것으로부터 $[H,H’]=[H’,H]$이 항상 성립한다. 만일 $[H,H’]=\{e\}$라면, 모든 $h,h’$에 대하여 $hh’=h’h$이므로 $C_G(H)\subseteq H’$이고 $C_G(H’)\subseteq H$이며 이들 두 조건 중 하나가 성립하면 $[H,H’]=\{e\}$가 성립하는 것 또한 자명하다. 비슷하게, 만일 $[H,H’]\subseteq H$라 하면 임의의 $h,h’$에 대하여

\[h^{-1}h'^{-1}hh'\in H\implies h'^{-1}hh'^{-1}\in H\]

이므로 $H’\subseteq N_G(H)$이며, 마찬가지로 그 역 또한 자명하다. 마지막으로 만일 $H,H’$가 모두 $G$의 normal subgroup이었다면, $[H,H’]$의 임의의 generator $[h,h’]=h^{-1}h’^{-1}hh’$와 $G$의 임의의 원소 $x$에 대하여

\[x[h,h']x^{-1}=(xh^{-1}x^{-1})(xh'^{-1}x^{-1})(xhx^{-1})(xh'x^{-1})\]

이고, 이 때 $H, H’$ 각각이 normal subgroup이라는 가정으로부터 $[H,H’]$ 또한 $G$의 normal subgroup이 된다.

이러한 종류의 계산을 위한 결과를 보조정리 1에서 정리한다. 그 전에 표기법을 간단히 하기 위해, inner automorphism $\rho_g: x\mapsto gxg^{-1}$에 대하여

\[\rho_{g^{-1}}(x)=x^g\]

이라 적기로 하자. 그럼 [대수적 구조] §군의 작용, ⁋명제 9에 의해, 임의의 $g_1,g_2\in G$와 $x\in G$에 대하여

\[(x^{g_1})^{g_2}=x^{g_1g_2}\]

이 성립한다.

보조정리 1 임의의 $x,y,z\in G$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $xy=yx[x,y]$.
2. $x^y=[y,x^{-1}]x$.
3. $[x,yz]=[x,z][x,y]^z=[x,z][z,[y,x]][x,y]$.
4. $[xy,z]=[x,z]^y[y,z]=[x,z][[x,z],y][y,z]$.
5. $[x^y,[y,z]][y^z,[z,x]][z^x,[x,y]]=e$.
6. $[x,yz][z,xy][y,zx]=e$.
7. $[xy,z][yz,x][zx,y]=e$.

이에 대한 증명은 단순히 각 변을 전개하는 것이므로 생략한다. 이를 사용하여 다음을 보일 수 있다.

명제 2 Group $G$의 세 subgroup $H, H’, H’‘$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $H$는 $[H,H’]$를 normalize한다.
2. 만일 $[H’,H’’]$이 $H$을 normalize한다면, $[H,[H’,H’’]]$은 $[h,[h’,h]]$ 꼴의 원소들로 생성되는 $G$의 subgroup과 같다.

3. 만일 $H, H’, H’‘$이 모두 normal이라면 다음 부등식

   \[[H, [H',H'']]\subseteq[H'',[H',H]][H', [H'',H]]\]

   이 성립한다.

증명

1. 임의의 generator $[h_1,h’]\in [H,H’]$와 $h_2\in H$에 대하여 $[h_1,h’]^{h_2}\in [H,H’]$를 보이면 충분하다. 이는 보조정리 1의 넷째 결과로부터

   \[[h_1,h']^{h_2}=[h_1h_2,h'][h_2,h']^{-1}\]

   이 성립하므로 얻어진다.

2. 편의를 위해 $[h,[h’,h’’]]$ 꼴의 원소들로 생성되는 $G$의 subgroup을 $K$라 하자. 그럼 $K\subseteq [H, [H’,H’’]]$인 것은 자명하므로, 우리가 보여야 할 것은 반대쪽 포함관계 $[H,[H’,H’’]]\subseteq K$이다. 이제 $[H, [H’,H’’]]$은 $[h, [h_1’, h_1’’]\cdots[h_k’,h_k’’]]$ 꼴의 원소들로 생성되므로 우리가 보여야 할 것은 이런 꼴의 원소들이 $K$에 속한다는 것이다.
   일반적으로 $h\in H, h’\in H’, h’‘\in H’‘$와 $x\in G$를 고정하고 원소 $[h, [h’,h’‘]x]$를 생각하자. 그럼 보조정리 1의 셋째 결과로부터,

   \[[h, [h',h'']x]=[h,x][h, [h', h'']]^x=[h,x][x,[[h',h''],h]][h, [h',h'']]\]

   이 성립한다. 이제 만일 $[H’,H’’]$가 $H$를 normalize한다는 가정으로부터 $[[h’,h’’],h]$는 $H$의 원소이므로, 만일 $x$가 $[H’, H’’]$의 원소였다면 위의 식의 각 항은 모두 $[H, [H’,H’’]]$의 원소이다. 따라서 귀납적으로 $[H, [H’,H’’]]$의 임의의 generator가 $K$에 속한다는 것을 보일 수 있다.

3. 마지막으로 만일 $H, H’, H’‘$가 normal이라면, 셋째 결과에서 등장하는 모든 group 또한 normal subgroup이다. 따라서, 둘째 결과에 의하여 임의의 $h,h’,h’‘$에 대하여 원소 $[h,[h’,h’’]]$가 우변에 속한다는 것을 보이면 충분하다. 이제 $u=h^{(h’)^{-1}}$이라 하면 다음의 식

   \[[h, [h', h'']]=[u^{h'}, [h', h'']]=[(h'')^u, [u, h']]^{-1}[(h')^{h''},[h'',u]]^{-1}\]

   으로부터 원하는 결과를 얻는다.

내림중심열과 멱영군

정의 3 Group $G$에 대하여, 다음의 식

\[C_1(G)=G,\qquad C_{n+1}(G)=[G, C_n(G)]\]

을 통해 $G$의 lower central series_{내림중심열} $(C_n(G))_{n\geq 1}$을 정의한다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 4 Group homomorphism $f:G \rightarrow G’$에 대하여, $f(C_n(G))\subseteq C_n(G’)$이 항상 성립한다. 뿐만 아니라, 만일 $f$가 surjective라면 $f(C_n(G))=C_n(G’)$이 성립한다.

증명

$n$에 대한 귀납법으로 진행한다. $f(C_n(G))\subseteq C_n(G’)$라 가정하자. 그럼 $C_{n+1}(G)$의 원소는 정의에 의하여

\[x^{-1}y^{-1}xy,\qquad x\in G, y\in C_n(G)\]

꼴의 원소들로 생성되며,

\[f(x^{-1}y^{-1}xy)=f(x)^{-1}f(y)^{-1}f(x)f(y)\in [G, f(C_n(G))]\subseteq [G, C_n(G')]=C_{n+1}(G')\]

이므로 원하는 결과를 얻는다. 만일 $f$가 surjective라면, $f(G)=G’$이고 위의 귀납법에서 $\subseteq$를 $=$으로 대체할 수 있다.

한편, $G$는 $G$의 normal subgroup이므로, 마찬가지의 귀납법을 통해 $C_n(G)$들은 모두 $G$의 normal subgroup이며, 따라서 $C_{n+1}(G)$는 $C_n(G)$의 normal subgroup이기도 하다.

명제 5 임의의 group $G$와 임의의 자연수 $m,n$에 대하여, 다음의 포함관계

\[[C_m(G), C_n(G)]\subset C_{m+n}(G)\]

가 성립한다.

증명

명제 2의 셋째 결과로부터 우리는

\[[C_m(G), C_{n+1}(G)]=[C_m(G), [C_n(G), G]]\subseteq[G, [C_m(G), C_n(G)]][C_n(G), [G, C_m(G)]]=[G, [C_m(G), C_n(G)]][C_n(G), C_{m+1}(G)]\]

임을 안다. 따라서 만일 $[C_m(G), C_n(G)]\subseteq C_{m+n}(G)$와 $[C_n(G), C_{m+1}(G)]\subseteq C_{m+n+1}(G)$가 성립한다면 $[C_m(G), C_{n+1}(G)]\subseteq C_{m+n+1}(G)$도 성립한다. 이제 임의의 $m$과 $n$에 대하여

\[[C_m(G), C_1(G)]\subseteq C_{m+1}(G),\qquad [C_1(G), C_n(G)]\subseteq C_{n+1}(G)\]

이 성립하는 것은 정의로부터 자명하므로 귀납적으로 이 부등식이 모든 $m,n$에 대해 성립하는 것을 안다.

이제 다음을 정의한다.

정의 6 Group $G$가 nilpotent group_멱영군이라는 것은 적당한 자연수 $n$이 존재하여 $C_{n+1}(G)=\{e\}$인 것이다. 이 조건을 만족하는 자연수 중 가장 큰 $n$을 $G$의 nilpotency class라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 7 Group $G$와 자연수 $n$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

1. $G$가 nilpotent group of nilpotency class $\leq n$이다.

2. 적당한 $G$의 subgroup들의 decreasing sequence

   \[G=G_1\supset G_2\supset\cdots\supset G_{n+1}=\{e\}\]

   가 존재하여 $[G, G_k]\subseteq G_{k+1}$이 모든 $k$에 대해 성립한다.

3. $G$의 center $C(G)$에 포함되어 있는 subgroup $A$가 존재하여, $G/A$가 nilpotent group of nilpotency class $\leq n-1$이다.

증명

우선 첫째 조건을 가정하면, $G_k=C_k(G)$가 둘째 조건을 만족하며, 거꾸로 둘째 조건이 성립한다면 귀납적으로 $C_k(G)\subset G_k$가 항상 성립하는 것을 보일 수 있다.

나머지 동치의 경우, 첫째 조건을 가정하면 셋째 조건이 성립하는 것은 $A=C_n(G)$로 두면 된다. 셋째 조건을 가정하고 첫째 조건이 성립하는 것을 보이는 것은 canonical morphism $G \rightarrow G/A$를 통해 $C_n(G)$를 보내면 그 image는 명제 4에 의하여 $C_n(G/A)$와 같고, 가정에 의해 이것이 $\{e\}$이므로 $C_n(G)\subset A$이고 따라서 $C_{n+1}(G)=\{e\}$임을 확인하면 된다.

따라서, 직관적으로 nilpotent group of nilpotency class $\leq n$은 trivial group $\{e\}$로부터 $n$개의 central extension들을 통해 얻어지는 것으로 생각할 수 있다.

명제 8 Nilpotent group $G$ of nilpotency class $\leq n$과 $G$의 subgroup $H$를 고정하자. 그럼 적당한 subgroup들의 sequence

\[G=H_1\supseteq H_2\supseteq\cdots\supseteq H_{n+1}=H\]

가 존재하여 $H_{k+1}$이 $H_k$의 normal subgroup이고 $H_k/H_{k+1}$이 commutative이도록 할 수 있다.

증명

명제 7의 둘째 동치조건을 만족하는 $G$의 subgroup들의 sequence를 잡은 후, $H_k=HG_k$로 두면 된다.

유도열과 가해군

이제 우리는 다른 종류의 series를 정의한다.

정의 9 Group $G$의 derived series_유도열은 다음의 식

\[D_0(G)=G,\qquad D_{n+1}(G)=[D_n(G),D_n(G)]\]

으로 주어지는 $G$의 subgroup들의 series이다.

그럼 nilpotent group과 마찬가지로 다음 명제가 성립한다.

명제 10 Group homomorphism $f:G \rightarrow G’$에 대하여, $f(D_n(G))\subseteq D_n(G’)$이 항상 성립한다. 뿐만 아니라, 만일 $f$가 surjective라면 $f(D_n(G))=D_n(G’)$이 성립한다.

이에 대한 증명은 명제 4와 마찬가지로 귀납법을 사용하면 된다. Lower central series의 stability condition으로 nilpotent group을 정의한 것과 같이, solvable group은 derived series의 stability condition으로 정의된다.

정의 11 Group $G$가 solvable_가해이라는 것은 적당한 자연수 $n$이 존재하여 $D_{n+1}(G)=\{e\}$인 것이다. 이 조건을 만족하는 자연수 중 가장 큰 $n$을 $G$의 solvability class라 부른다.

정의에 의하여 $D_0(G)=C_1(G)=G$이고 $D_1(G)=[G,G]=C_2(G)$가 성립한다. 그럼 이 사실과 명제 5로부터, 귀납적으로 다음의 포함관계

\[D_n(G)\subseteq C_{2^n}(G)\]

이 성립하는 것을 안다. 즉 임의의 nilpotent group은 항상 solvable이다. 다음 명제는 명제 7에 대응되는 solvable group의 characterization이다.

명제 12 Group $G$와 자연수 $n$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

1. $G$가 solvable group of solvability class $\leq n$이다.

2. 적당한 $G$의 subgroup들의 decreasing sequence

   \[G=G_1\supset G_2\supset\cdots\supset G_{n+1}=\{e\}\]

   가 존재하여 $G_k/G_{k+1}$들이 모두 commutative이다.

3. $G$의 normal commutative subgroup $A$가 존재하여, $G/A$가 solvable group of solvability class $\leq n-1$이다.

따라서, 직관적으로 solvable group of solvability class $\leq n$은 trivial group $\{e\}$를 $n$개의 abelian group들로 extend하여 얻어지는 것으로 생각할 수 있다.

합성열과 조르단-횔더 정리

우리는 앞에서 nilpotent group들은 central extension을 반복하여 얻어지는 group이고, solvable group은 abelian extension을 반복하여 얻어지는 group인 것을 확인하였다. 이제 우리는 가장 일반적인 경우를 다룬다.

정의 13 Group $G$의 subgroup들의 sequence

\[G=G_0\supset G_1\supset \cdots\supset G_n=\{e\}\]

가 subnormal series_{부분정규열}이라는 것은 각 $k$에 $G_{k+1}$이 $G_k$의 normal subgroup인 것이며, 이 때 $G_k/G_{k+1}$을 이 series의 quotient라 부른다. Composition series $G_\bullet$보다 finer한 subnormal series가 존재하지 않는다면, 이를 $G$의 composition series라 부른다.

그럼 임의의 group $G$와 normal subgroup $N$에 대하여, $G/N$의 normal subgroup과, $G$의 normal subgroup 중 $N$을 포함하는 것들 사이의 일대일대응이 존재하므로, $G_\bullet$이 composition series인 것은 각각의 $k$에 대하여 $G_k/G_{k+1}$이 simple인 것과 같은 말이다. (§대칭군, ⁋정의 12)

만일 두 subnormal series

\[G=G_0\supset G_1\supset \cdots\supset G_n=\{e\},\qquad G=H_0\supset H_1\supset\cdots\supset H_m=\{e\}\]

에 대하여, $m=n$이고, $G_k/G_{k+1}\cong H_{\sigma(k)}/H_{\sigma(k)+1}$이 모든 $k=0,\ldots, n-1$에 대해 성립하도록 하는 $\sigma\in S_n$이 존재한다면 $G_\bullet$과 $H_\bullet$이 equivalent_동등한 subnormal series라 부른다. 이 절의 가장 큰 정리는 정리 16으로, group $G$의 두 composition series가 존재한다면 이들은 equivalent하다는 것이다. 이를 증명하기 위해 다음 보조정리부터 시작하자.

보조정리 14 (Zassenhaus) Group $G$의 두 subgroup $H,K$가 주어졌다 하고, 이들 각각의 normal subgroup $H’,K’$가 주어졌다 하자. 그럼 $H’(H\cap K’)$는 $H’(H\cap K)$의 normal subgroup이고, $K’(K\cap H’)$는 $K’(K\cap H)$의 normal subgroup이며 다음의 isomorphism

\[\frac{H'(H\cap K)}{H'(H\cap K')}\cong \frac{K'(K\cap H)}{K'(K\cap H')}\]

이 존재한다.

증명

이 증명은 대략적으로 다음의 lattice

로 요약할 수 있다.

우선 $H’\cap K=H’\cap (H\cap K)$와 $K’\cap H=K’\cap (K\cap H)$가 각각 $H\cap K$의 normal subgroup인 것은 [대수적 구조] §군 동형사상, ⁋보조정리 4의 결과이다. 따라서 이들의 교집합인 $(H’\cap K)(K’\cap H)$ 또한 $H\cap K$의 normal subgroup이라는 것을 안다. 이제 주장의 isomorphism의 좌변을 보면, [대수적 구조] §군 동형사상, ⁋정리 5로부터

\[H'(H'\cap K)(K'\cap H)=H'(H\cap K')\]

이 $H’(H\cap K)$의 normal subgroup이고 isomorphism

\[\frac{H'(H\cap K)}{H'(H\cap K')}\cong \frac{H\cap K}{(H'\cap K)(K'\cap H)}\]

이 존재하는 것을 안다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 15 (Schreier) 임의의 두 subnormal series

\[G=G_0\supset G_1\supset \cdots\supset G_n=\{e\},\qquad G=H_0\supset H_1\supset\cdots\supset H_m=\{e\}\]

에 대하여, 이들 각각의 refinement $G_\bullet’, H_\bullet’$가 존재하여 이들 둘이 equivalent하도록 할 수 있다.

증명

$G_i$와 $G_{i+1}$ 사이에 $G_i\cap H_j$를 $j$를 움직여 가며 넣고 $H_j$와 $H_{j+1}$ 사이에 $G_i\cap H_j$를 $i$를 움직여가며 각각 끼워넣은 다음 이렇게 만들어진 refinement들이 서로 equivalent하다는 것을 보조정리 14를 통해 보일 수 있다.

따라서 다음이 성립한다.

정리 16 (Jordan-Hölder) 임의의 두 composition series는 equivalent하다.

정의 17 Group $G$의 length_길이는 strictly descending subnormal series의 길이의 upper bound로 정의한다.

그럼 만일 $G$가 composition series를 갖는다면 $G$의 composition series의 길이가 정확히 $G$의 length가 된다는 것을 안다. 따라서 다음의 등식

\[\length(G)=\length(G/N)+\length(N)\]

은 [대수적 구조] §군 동형사상, ⁋정리 7과 정리 16의 결과이다.