유향집합

Preordered set $A$에 대하여, $X\subseteq A$가 $A$에서 cofinal (resp. coinitial)이라는 것은 임의의 $x\in A$에 대하여 $y\in X$가 존재하여 $x\leq y$ (resp. $y\leq x$)인 것이다. 예를 들어, 다음의 diagram

에서 집합 $\left\{a_{2n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$, $\left\{a_{1000+n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ 등은 모두 cofinal이다.

Directed set

Hasse diagram에서, 큰 원소는 위쪽에 적는 것이 보편적이지만 바로 위의 diagram과 같이 큰 원소를 오른쪽에 적을 때도 있다.

정의 1 Preordered set $A$가 right directed_{오른쪽으로 유향}이라는 것은 $A$의 원소 두 개짜리 임의의 부분집합이 bounded above인 것이다. 이와 비슷하게 preordered set $A$가 left directed_{왼쪽으로 유향}라는 것은 $A$의 원소 두 개짜리 부분집합이 bounded below인 것이다.

예컨대 임의의 집합 $A$에 대하여, 순서집합 $(\mathcal{P}(A),\subseteq)$는 right directed이다. 임의의 $X, Y\in\mathcal{P}(A)$에 대하여, $X\cup Y$는 $\mathcal{P}(A)$의 원소이고 $X$와 $Y$의 upper bound이기 때문이다. 이를 diagram으로 나타내면 다음과 같다.

명제 2 Ordered set $A$가 right directed라면 $A$의 maximal element는 greatest element이기도 하다.

증명

$A$가 right directed이므로, 임의의 $x\in A$와 maximal element $a$로 이루어진 집합 $\{x,a\}$의 upper bound $y$가 존재한다. 이제 $a$의 maximality에 의하여 $a=y$여야 하므로 $x\leq a$가 성립한다.

명제 3 $(A_i)$가 right directed set들의 family라면 $\prod A_i$ 또한 right directed이다.

증명

$(x_i),(y_i)\in\prod A_i$라 하자. 그럼 각각의 $i$에 대하여, $x_i,y_i\in A_i$이고 $A_i$는 right directed이므로 $x_i,y_i\leq z_i$이도록 하는 $z_i\in A_i$가 존재한다. 이제 $(x_i),(y_i)\leq(z_i)$이므로 $\prod A_i$ 또한 right directed이다.

일반적으로 right directed set의 부분집합은 당연히 right directed가 아니다. 그러나 cofinal인 부분집합은 right directed임을 쉽게 확인할 수 있다.

정의 4 Ordered set $A$가 lattice라는 것은 $A$의 임의의 원소 두 개짜리 부분집합이 supremum과 infimum을 갖는 것이다. 이 때, 두 원소 $\sup\{x,y\}$와 $\inf\{x,y\}$를 각각 $x,y$의 join과 meet이라 부르고, $x\vee y$와 $x\wedge y$로 적는다.

Lattice $A$의 임의의 유한한 부분집합은 supremum과 infimum을 갖는다. 만일 $A$의 모든 부분집합이 supremum과 infumum을 갖는다면, $A$를 complete lattice라 부른다.

Totally ordered set

정의 5 Preordered set $A$에서의 두 원소 $x$, $y$가 comparable_비교가능하다는 것은 명제 $x\leq y$ 혹은 $y\leq x$이 성립하는 것이다. 만약 집합 $A$의 임의의 두 원소가 comparable하다면, 이를 totally ordered set_{전순서집합}이라 부른다.

만약 $A$가 totally ordered set이라면, trichotomy가 성립한다. 즉,임의의 $x, y\in A$에 대하여,

\[x=y,\qquad x < y,\qquad x > y\]

중 하나가 성립한다. 이 경우엔 $x\leq y$의 부정이 $x > y$가 된다. 하지만 totally ordered set이라는 조건이 빠진 상태에서 이는 일반적으로 성립하지 않는다. (§순서관계의 정의, ⁋참고)

명제 6 Totally ordered set $A$에서 ordered set $B$로의 모든 순단조함수 $f$는 단사함수다. 만약 $f$가 순증가라면, $f$는 $A$에서 $f(A)$로의 isomorphism이다.

증명

$f$가 순단조함수라 하자. 그럼 임의의 $x\neq y$에 대하여, $x > y$ 혹은 $x < y$가 성립하므로, $f(x) > f(y)$ 혹은 $f(x) < f(y)$이고, 따라서 $f(x)\neq f(y)$가 되어 $f$는 단사함수다. 특히 $f$가 순증가라면, 우리는 $f(x)\leq f(y)\implies x\leq y$라는 것을 보여야 하는데, 이는 대우명제가 자명하다.

위의 명제 또한 일반적인 ordered set에서는 성립하지 않았었다. (§단조함수, ⁋참고)

명제 7 $A$가 totally ordered set이고 $X$가 그 부분집합이라 하자. 그럼 $b\in A$가 $X$의 supremum인 것은 $b$가 $X$의 upper bound이고, $c < b$를 만족하는 임의의 $c\in A$에 대하여 $x\in X$이 존재하여 $c < x\leq b$인 것과 동치이다.

증명

자명.

$A$가 ordered set이고, $a\leq b$라 하자. 그럼 $a\leq x\leq b$를 만족하는 모든 $x$를 모아둔 $X\subseteq A$를 닫힌구간_{closed interval}이라 부르고 $[a,b]$로 적는다. 구간 $(a,b)$는 열린구간_{open interval}이라 부르고, 이는 $a < x < b$를 만족하는 모든 $x$를 모아둔 집합이다.
추가로, $x\leq a$를 만족하는 모든 $x$를 모아둔 부분집합을 unbounded인 닫힌구간이라 부르고 $(-\infty, a]$로 적는다. $[a,\infty)$, $(-\infty, a)$, $(a, \infty)$도 유사하게 정의한다.

명제 8 Lattice에서 두 interval의 교집합도 interval이다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.

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