Diagram chasing

호몰로지 대수학은 말 그대로 chain complex들이 주어졌을 때 이들의 호몰로지를 이용하여 그 성질을 살펴보는 학문이다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정의 4) Chain complex는 임의의 abelian category에서 정의되지만, Freyd-Mitchell embedding theorem에 의해 이들은 모두 적당한 $\lMod{A}$의 full subcategory로 embed될 수 있다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정리 9)

이번 글에서는 호몰로지 대수를 할 때 필수적인 보조정리인 5항 보조정리와 뱀 보조정리를 증명한다. 이들의 증명은 kernel과 cokernel의 universal property를 사용하여 하는 것이 가능하지만, 이는 증명을 불필요하게 길게 만들 수 있으므로 우리는 모든 증명을 $\lMod{A}$에서 진행한다. 이는 특히 각 대상들에서 원소를 뽑아올 수 있음을 의미한다. 이와 같은 증명을 diagram chasing이라 부르며, 임의의 abelian category 대신 $\lMod{A}$에서 증명을 진행하는 것은 위에서 언급한 Freyd-Mitchell embedding theorem에 의해 정당화될 수 있다.

5항 보조정리

명제 1 (The four lemma) 각 행들이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하고, $\alpha$가 전사이고, $\delta$가 단사라 가정하자. 그럼

1. 만일 $\gamma$가 전사라면 $\beta$ 또한 전사이다.
2. 만일 $\beta$가 단사라면 $\gamma$ 또한 단사이다.

증명

1. 임의의 $b’\in B’$를 택하자. 우리는 적당한 $b\in B$가 존재하여 $\beta(b)=b’$임을 보여야 한다. 가정에 의해 $\gamma$는 전사이므로, 적당한 $c\in C$가 존재하여 $\gamma(c)=g’(b’)\in C’$가 성립한다. 이제

   \[\delta(h(c))=h'(\gamma(c))=h'(g'(b'))=0\]

   이므로 $h(c)\in\ker\delta$이고, $\delta$는 단사이므로 $h(c)=0$이다. 즉, $c\in\ker(h)=\im(g)$이므로 적당한 $b_0\in B$가 존재하여 $g(b_0)=c$이다. 이제 이러한 $b_0$에 대하여, $b’-\beta(b_0)\in B’$를 생각하자. 그럼

   \[g'(b'-\beta(b_0))=g'(b')-g'(\beta(b_0))=\gamma(c)-\gamma(g(b_0))=\gamma(c)-\gamma(c)=0\]

   이므로, $b’-\beta(b_0)\in\ker(g’)=\im(f’)$가 성립한다. 따라서 적당한 $a’\in A’$가 존재하여 $f’(a’)=b’-\beta(b_0)$이다. $\alpha$는 전사이므로, $\alpha(a)=a’$를 만족하는 $a\in A$가 존재한다. 그럼

   \[\beta(f(a))=f'(\alpha(a))=f'(a')=b'-\beta(b_0)\]

   이고, 따라서 $b=b_0+f(a)$라 하면 $\beta(b)=b’$임을 확인할 수 있다.

2. 어떤 $c\in C$가 $\gamma(c)=0$을 만족한다 하자. 우리는 $c=0$임을 보여야 한다. 우선

   \[0=h'(0)=h'(\gamma(c))=\delta(h(c))\]

   이고, $\delta$는 단사이므로 $h(c)=0$임을 안다. 즉 $c\in\ker(h)=\im(g)$이므로, 적당한 $b_0\in B$가 존재하여 $g(b_0)=c$이다. 이제 $B’$의 원소 $\beta(b_0)$를 생각하면,

   \[g'(\beta(b_0))=\gamma(g(b_0))=\gamma(c)=0\]

   이므로, $\beta(b_0)\in\ker(g’)=\im(f’)$이 성립한다. 따라서 적당한 $a’\in A’$가 존재하여 $f’(a’)=\beta(b_0)$이고, $\alpha$는 전사이므로 $\alpha(a)=a’$를 만족하는 $a\in A$도 존재한다. 이제 $b=b_0-f(a)$라 하자. 그럼

   \[g(b)=g(b_0-f(a))=g(b_0)-g(f(a))=g(b_0)=c\]

   이다. 한편,

   \[\beta(b)=\beta(b_0-f(a))=\beta(b_0)-\beta(f(a))=\beta(b_0)-f'(\alpha(a))=\beta(b_0)-f'(a')=\beta(b_0)-\beta(b_0)=0\]

   이므로 $b\in\ker(\beta)$이고, $\beta$는 단사이므로 $b=0$가 된다. 따라서 $c=g(b)=0$이고, $\gamma$는 단사이다.

위의 명제는 다음의 자명한 두 따름정리를 갖는다.

따름정리 2 (The five lemma) 각 행이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하자. 만일 $\alpha,\beta,\delta,\epsilon$이 모두 전단사라면, $\gamma$ 또한 전단사이다.

따름정리 3 (The short five lemma) 각 행이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하자. 만일 $\alpha,\gamma$가 모두 단사라면 $\beta$도 단사이고, $\alpha,\gamma$가 모두 전사라면 $\beta$도 전사이다.

뱀 보조정리

남은 글에서 우리의 주된 목표는 뱀 보조정리를 증명하는 것인데, 이를 위해서는 두 개의 보조정리가 필요하다.

보조정리 4 Commutative square

가 주어졌다 하자. 그럼 $\xi$는 $\ker(h)$를 $\ker(h’)$로, $\eta$는 $\im(h)$를 $\im(h’)$로 보내며, 특히 다음의 함수들

\[\xi^\sharp:\ker(h)\rightarrow\ker(h'),\quad \eta^\sharp:\im(h)\rightarrow\im(h'),\quad\xi^\ast:X/\ker(h)\rightarrow X'/\ker(h'),\quad \eta^\ast:\coker(h)\rightarrow\coker(h')\]

이 잘 정의된다.

증명

$i:\ker(h)\rightarrow X$와 $\xi$의 합성 $\xi\circ i:\ker h\rightarrow X’$를 생각하자. 그럼

\[h'\circ(\xi\circ i)=(\eta\circ h)\circ i=\eta\circ 0=0\]

이므로, kernel의 universal property로부터 유일한 $\xi^\sharp:\ker(h)\rightarrow\ker(h’)$가 존재한다는 것을 안다.

비슷하게 $p’\circ\eta:Y\rightarrow \coker (h’)$로부터,

\[(p'\circ\eta)\circ h=p'\circ(h'\circ\xi)=(p'\circ h')\circ\xi=0\circ\xi=0\]

이고, $\coker(h)$의 universal property로부터 $\eta^\ast$를 정의할 수 있다.

정의에 의해 $\coker(h)=Y/\im(h), \coker(h’)=Y’/\im(h’)$이므로, $\eta^\ast$가 $0$을 $0$으로 보내는 것으로부터 $\eta^\sharp$ 또한 잘 정의된다. 마지막으로 $\xi^\ast$의 경우, $p:X’\rightarrow X’/\ker(h’)$를 생각하면

\[\ker(h)\subseteq\ker(p\circ\xi)\]

이고, 따라서 $p\circ\xi$가 $\xi^\ast:X/\ker(h)\rightarrow X’/\ker(h’)$를 유도한다. (<#ref#>)

이를 이용하면 다음 보조정리를 보일 수 있다.

보조정리 5 각 행이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하자. 그럼 $f,g$와 $f’,g’$는 각각 다음의 두 열

\[\ker(\alpha)\rightarrow\ker(\beta)\rightarrow\ker(\gamma),\qquad \coker(\alpha)\rightarrow\coker(\beta)\rightarrow\coker(\gamma)\]

를 유도한다. 뿐만 아니라, $f’:A’\rightarrow B’$가 단사라면 첫째 열이 exact가 되고, $g:B\rightarrow C$가 전사라면 둘째 열이 exact가 된다.

증명

$f,g$와 $f’,g’$이 각각 주어진 두 개의 열

\[\ker(\alpha)\overset{f^\sharp}{\longrightarrow}\ker(\beta)\overset{g^\sharp}{\longrightarrow}\ker(\gamma),\qquad \coker(\alpha)\overset{(f')^\ast}{\longrightarrow}\coker(\beta)\overset{(g')^\ast}{\longrightarrow}\coker(\gamma)\]

을 유도하는 것은 보조정리 4의 결과이다. 뿐만 아니라, $i_A, i_B, i_C$를 각각 kernel들에서 $A,B,C$로의 자명한 함수들이라 하면

\[i_C\circ g^\sharp\circ f^\sharp=g\circ i_B\circ f^\sharp=g\circ f\circ i_A=0\]

이고, $i_C$가 단사인 것으로부터 $g^\sharp\circ f^\sharp=0$임을 확인할 수 있다. 비슷하게 $p_A,p_B,p_C$를 각각 $A,B,C$에서 cokernel들로의 자명한 함수들이라 하면,

\[(g')^\ast\circ(f')^\ast\circ p_C=(g')^\ast\circ p_B\circ f=p_A\circ g'\circ f'=0\]

이고, $p_C$가 전사인 것으로부터 $(g’)^\ast\circ(f’)^\ast=0$임을 확인할 수 있다. 따라서 주어진 명제를 보이기 위해서는 $f’:A’\rightarrow B’$가 단사라면 $\ker(g^\sharp)\subset\im(f^\sharp)$이고, $g:B\rightarrow C$가 전사라면 $\ker((g’)^\ast)\subset\im((f’)^\ast)$임을 보이면 충분하다.

우선 $f’$가 단사라고 가정하자. 만일 어떤 $b\in\ker(\beta)$에 대하여 $g^\sharp(b)=0$이라면, $g^\sharp$의 정의에 의해 $g(b)=0$이고 따라서 $b\in\ker(g)=\im(f)$이다. 따라서 어떤 $a\in A$가 존재하여 $f(a)=b$가 성립한다. 그런데

\[(f'\circ\alpha)(a)=(\beta\circ f)(a)=\beta(f(a))=\beta(b)=0\]

에서, $f’$는 단사이므로 $a\in\ker(\alpha)$이고 $f(a)=f^\sharp(a)=b$로부터 $b\in\im(f^\sharp)$이 된다.

이제 $g$가 전사라고 가정하자. $b’\in\coker(\beta)$가 $\ker((g’)^\ast)$의 원소라 하자. 즉 $((g’)^\ast)(b’)=g’(b’)+\im(\gamma)=0$이다. 그런데 $g’(b’)\in\im(\gamma)$이므로, 적당한 $c\in C$가 존재하여 $\gamma(c)=g’(b’)$이고, $g$는 전사이므로 적당한 $b\in B$가 존재하여 $g(b)=c$이다. 이 때

\[g'(b')=\gamma(c)=(\gamma\circ g)(b)=(g'\circ\beta)(b)\]

이므로, $b’-\beta(b)\in\ker(g’)=\im(f’)$가 성립한다. 이제 $f’(a’)=b’-\beta(b)$를 만족하는 $a’\in A’$를 택하자. 그럼 $f’(a’)-b’\in\im(\beta)$이므로,

\[f'(a')+\im(\beta)=b'+\im(\beta)\]

이고 따라서

\[((f')^\ast)(a'+\im(\alpha))=b'+\im(\beta)\]

이 성립한다.

이제 드디어 snake lemma를 증명할 수 있다.

정리 6 (The snake lemma) 각 행이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하자. 이 때, 위와 아래의 행은 각각 exact이다. 그럼 보조정리 5에서부터 얻어진 두 개의 exact sequence

\[\ker(\alpha)\rightarrow\ker(\beta)\rightarrow\ker(\gamma),\qquad \coker(\alpha)\rightarrow\coker(\beta)\rightarrow\coker(\gamma)\]

를 잇는 $\delta:\ker(\gamma)\rightarrow\coker(\alpha)$가 존재하여, 이를 통해 이어진 다음의 열

\[\ker(\alpha)\rightarrow\ker(\beta)\rightarrow\ker(\gamma)\rightarrow\coker(\alpha)\rightarrow\coker(\beta)\rightarrow\coker(\gamma)\]

이 exact sequence를 이룬다.

증명

증명을 위해서는 $\delta$를 하나 만들고, 이후 위의 열이 $\ker(\gamma)$와 $\coker(\alpha)$에서 각각 exact임을 보이면 충분하다.

우선 $c\in\ker(\gamma)$를 하나 택하자. 그럼 $g$가 전사이므로, 적당한 $b\in B$가 존재하여 $g(b)=c$가 성립하며, 이 $b$는 다음의 식

\[0=\gamma(c)=\gamma(g(b))=(\gamma\circ g)(b)=(g'\circ\beta)(b)=g'(\beta(b))\]

을 만족한다. 즉 $\beta(b)\in\ker(g’)=\im(f’)$이다. 따라서 $f’(a’)=\beta(b)$이도록 하는 $a’$가 유일하게 존재한다. 이러한 $a’$에 대하여 $\delta(c)=a’+\im(\alpha)\in \coker(\alpha)$라 하자.

함수 $delta$가 잘 정의되기 위해서는 위의 함수값이 $b$의 선택에 의존하지 않아야 한다. $g(b_1)=c$를 만족하는 또다른 $b_1\in B$를 택하고, 위와 같은 방식으로 $f’(a_1’)=\beta(b_1)$을 만족하는 $a_1’\in A’$를 택하자. 그럼

\[0=(g'\circ f')(a_1'-a_1)=(g'\circ \beta)(b_1-b)=(\gamma\circ g)(b_1-b)\]

이므로 $b_1-b\in\ker(g)=\im(f)$이 성립한다. 이제 $f(a)=b_1-b$이도록 하는 $a\in A$를 찾으면,

\[f'(\alpha(a))=\beta(f(a))=\beta(b_1)-\beta(b)=f'(a_1'-a')\]

이고, $f’$가 단사이므로 $\alpha(a)=a_1’-a’$가 성립한다. 즉, $a_1’\equiv a’ \mod \im(\alpha)$이고, $\delta$가 잘 정의된다. 어렵지 않게 $\delta$가 $A$-module들 사이의 homomorphism임을 보일 수 있다.

이렇게 만든 $\delta$가 다음의 열

\[\ker(\beta)\rightarrow\ker(\gamma)\rightarrow\coker(\alpha)\rightarrow\coker(\beta)\]

을 exact sequence로 만든다는 것을 보여야 한다. 우선 $b\in \ker(\beta)$라 하자. $\delta(g^\sharp(b))=a’+\im(\alpha)$라 하면 $a’$는 식 $f’(a’)=\beta(b)$에 의하여 결정되는데, $b\in\ker(\beta)$이므로 $f’(a’)=0$이고, $f’$는 단사이므로 $a’=0$이어야 한다. 즉 $\delta\circ g^\sharp=0$이다. 이와 비슷하게, 임의의 $c\in\ker(\gamma)$에 대하여 $\delta(c)=a’+\im(\alpha)$라 하면,

\[((f')^\ast)(a'+\im(\alpha))=f'(a')+\im(\beta)=\beta(b)+\im(\beta)=0\]

가 된다. 따라서 $\ker(\delta)\subset\im(g^\sharp)$이고 $\ker(f’)^\ast\subset\im(\delta)$이라는 것만 보이면 충분하다.

우선 $c\in\ker(\delta)$라 하자. 그럼 $a’$는 $g(b)=c$를 만족하는 $b$에 대해, 식 $f’(a’)=\beta(b)$를 만족하는 원소로 정의되므로 $a’\in\im(\alpha)$이다. 이제 $\alpha(a)=a’$를 만족하는 $a\in A$를 택하자. 그럼

\[\beta(b)=f'(a')=f'(\alpha(a))=\beta(f(a))\]

이므로 $b-f(a)\in\ker(\beta)$이다. 이제

\[g^\sharp(b-f(a))=g(b-f(a))=g(b)-g(f(a))=g(b)=c\]

이므로 $c\in\im g^\sharp$가 성립한다.

비슷하게 $a’\in\ker(f’)^\ast$라 하자. 그럼 $f’(a’)\in\im(\beta)$이므로 적당한 $b\in B$가 존재하여 $\beta(b)=f’(a’)$가 성립하고, 이 $b$에 대하여

\[\gamma(g(b))=(g'\circ\beta)(b)=(g'\circ f')(a')=0\]

가 성립하므로 $g(b)\in\ker(\gamma)$이다. 따라서 $\delta(g(b))$가 잘 정의되며, $b$가 정확히 $f’(a’)=\beta(b)$를 만족하는 원소로 정의되었으므로 이 값은 정확히 $a’+\im(\alpha)$와 같다.

이 정리를 snake lemma라고 부르는 것은 connecting map $\delta$를 그렸을 때, 다음과 같은 모양이 나오기 때문이다.

Snake lemma는 보통 다음 글에서와 같이 long exact sequence를 그릴 때 사용되지만, 다음의 또 다른 따름정리 또한 갖는다.

따름정리 7 (The 3×3 lemma) 각 행이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하자. 만일 첫 두 개의 열이 모두 short exact sequence라면 마지막 열 또한 short exact sequence가 되고, 마지막 두 개의 열이 모두 short exact sequence라면 첫 열 또한 short exact sequence가 된다.

---

참고문헌

[Hu] S.T. Hu, Introduction to homological algebra. University Microfilms, 1979.