앞서 우리는 §군의 직접곱에서 \(\Grp\)에서 임의의 product가 존재한다는 것을 확인하였고, §군 준동형사상, ⁋명제 2에서 \(\Grp\)의 임의의 morphism은 equalizer를 갖는다는 것을 확인하였다. 따라서 [범주론] §극한, ⁋예시 7 이후의 논증에 의해 \(\Grp\)은 complete category가 된다.
한편 \(\Grp\)의 임의의 morphism은 coequalizer를 갖는다. (§군 동형사상, ⁋명제 8) 따라서 \(\Grp\)이 임의의 coproduct를 갖는다면, \(\Grp\)은 cocomplete category가 되고 따라서 bicomplete category가 될 것이다.
그러나 §군의 직접곱, ⁋보조정리 1과 같이 \(\Set\)에서의 coproduct \(\coprod G_i\) 위에 group 구조를 주는 방법을 자명하게 찾는 것은 힘들어 보인다. ([집합론], §집합의 합, ⁋명제 5)
이 글에서 우리는 우선 abelian group이 coproduct를 갖는 category임을 보인다. 다음 글에서는 이번 글과는 다른 방식을 통해
Restricted sum
Group들의 family \((G_i)\)와, 이들의 product가 주어졌다 하자. 그럼 \(G_i\)들 각각은 \(\iota_i\)를 통해 \(\prod G_i\)의 subgroup으로 볼 수 있다. 자연스럽게 다음의 식
\[\prod_{i\in I} G_i=\left\langle\bigcup \iota_i(G_i)\right\rangle\]이 성립하는지를 생각할 수 있다. 이 식은 \(I\)가 무한집합이라면 거의 대부분 성립하지 않는다. 가장 간단한 예시로, \(I=\mathbb{N}\)이라 잡고 \(G_i=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\bar{0}, \bar{1}\}이\)라 하자. 그럼, 예를 들어 좌변은 원소
\[(\bar{1},\bar{1},\cdots)\]를 포함하지만, 우변은 \(\iota_i(\bar{1})\)들의 유한한 연산을 통해 얻어지는 원소만을 포함하므로 위의 원소를 포함할 수 없다.
정의 1 Group들의 family \((G_i)\)가 주어졌다 하고, \(G_i\)들의 subgroup \(H_i\)들을 고정하자. 그럼 유한개를 제외한 모든 \(i\)에 대해 \(\pr_ix\in H_i\)를 만족하는 \(x\)들로 이루어진 subgroup을 \(H_i\)에 대한 \(G_i\)들의 restricted sum이라 부르고 \(\prod^H G_i\)라 표현한다.
특별히 모든 \(i\)에 대해 \(H_i=\{e\}\)인 경우 \(G_i\)들의 weak direct product라 부르고, 간단히
\[{\prod_{i\in I}}^w G_i\]으로 표기한다.
표기법 \(\prod^H\)는 그렇게까지 좋은 표기법은 아니지만, 다행히 우리는 weak direct product에만 관심이 있으므로 이 표기를 다시 쓸 일은 없다.
정의에 의해
\[\left\langle\bigcup \iota_i(G_i)\right\rangle={\prod_{i\in I}}^w G_i\]이 성립한다. 또, 만일 \(I\)가 유한집합이라면 weak direct product는 보통의 direct product와 동일하다.
그럼 \(\prod^wG_i\)는 다음과 같은 universal property를 갖는다.
정리 2 Group들의 family \((G_i)\)와 이들의 weak direct product \(\prod^w G_i\)가 주어졌다 하자. 또 다른 group \(H\)에 대하여, group homomorphism들 \(f_i:G_i\rightarrow H\)가 다음의 조건
임의의 \(i\neq j\)에 대하여 \(x\in G_i\)이고 \(y\in G_j\)라면, \(f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)\)
을 만족한다면, 유일한 group homomorphism \(f:\prod^w G_i\rightarrow H\)가 존재하여 \(f_i=f\circ\iota_i\)가 임의의 \(i\)에 대해 성립한다.
증명
우선 유일성부터 보이자. 만일 \(f, f'\)가 위의 식을 만족한다면, 이들은 \(\bigcup\iota_i(G_i)\)에서 같은 값을 가져야 하므로 \(\prod^w G_i\)에서도 같은 값을 가져야 하고 따라서 \(f=f'\)여야 한다.
이제 \(f\)의 존재성을 보여야 한다. 임의의 \(x\in \prod^w G_i\)에 대하여, \(f(x)\)를 다음의 식
\[f(x)=\prod_{i\in I} f_i(\pr_ix)\]으로 정의하자. 이 때 \(\prod\)는 일반적인 원소들의 곱을 의미한다. \(x\)는 \(\prod^w G_i\)의 원소이므로, 우번의 \(f_i(\pr_ix)\)는 유한개의 \(i\)를 제외하면 모두 항등원이고, 따라서 이 곱은 잘 정의된다.
식 \(f_i=f\circ\iota_i\)가 성립하는 것은 자명하고, \(f\)가 group homomorphism인 것은 임의의 \(x,y\in\prod^wG_i\)에 대해
\[f(xy)=\prod_{i\in I}f_i(\pr_i(xy))=\prod_{i\in I}f_i(\pr_ix)f_i(\pr_iy)\]가 성립하므로, \(\pr_i(xy)\)가 \(e_i\)가 아니도록 하는 유한개의 값만 골라 이 index들을 \(1,\ldots, n\)이라 하면
\[f_1(\pr_1x)f_1(\pr_1y)f_2(\pr_2x)f_2(\pr_2y)\cdots f_n(\pr_nx)f_n(\pr_ny)\]가 되고, 이 때 \(f_i(\pr_ix)\)와 \(f_j(\pr_jy)\)는 \(i\neq j\)라면 항상 commute하므로 이 식을
\[f_1(\pr_1x)f_2(\pr_2x)\cdots f_n(\pr_nx)f_1(\pr_1y)f_2(\pr_2y)\cdots f_n(\pr_ny)\]으로 바꾸어 쓸 수 있다. 따라서 \(f(xy)=f(x)f(y)\)이고 \(f\)는 group homomorphism이 된다. \(f_i=f\circ\iota_i\)인 것은 자명하다.
\(f_i\)들에 걸려있는 조건
임의의 \(i\neq j\)에 대하여 \(x\in G_i\)이고 \(y\in G_j\)라면, \(f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)\)
은 필연적으로 나와야 할 조건인데, 이 조건들이 정확히 \(\iota_i\)들이 만족하는 조건이기 때문이다. 이로 인해 정리 6이 abelian group들에 대해서만 우리의 물음에 대한 답이 된다.
Weak direct product의 universal property를 이용하면 direct product때와 유사한 몇몇 성질들을 보일 수 있다. 예컨대 다음이 성립한다.
명제 3 \(G_i\)들이 group이고, \(H_i\)들이 \(G_i\)들의 normal subgroup이라 하면 \(\prod^w H_i\)들 또한 \(\prod^w G_i\)들의 normal subgroup이고 그 quotient group은 \(\prod^w (G_i/H_i)\)와 같다.
Internal weak product
\(G\)가 group이고, \((H_i)\)들이 \(G\)의 subgroup들의 family라 하자. 만일 \(i\neq j\)일 때마다 \(H_i\)의 원소들이 \(H_j\)의 원소들과 commute한다면, inclusion homomorphism들 \(\iota_i:H_i\rightarrow G\)에 의해 유도되는 \(\prod^w H_i\)에서 \(G\)로의 homomorphism \(\iota\)가 존재한다.
또, 다음을 정의한다.
정의 4 위와 같은 상황에서, 만일 \(\iota\)가 isomorphism이라면 \(G\)가 \(H_i\)들의 internal weak direct product라고 부른다.
정리 2에서 만들어낸 homomorphism \(f\)의 모양을 생각하면, \(G\)가 \(H_i\)들의 internal weak direct product인 것은 다음 조건
임의의 \(x\in G\)가 \(y_i\in H_i\)를 만족하는 finitely supported family \((y_i)_{i\in I}\)들의 곱 \(\prod y_i\)로 나타날 수 있다.
과 동치임을 확인할 수 있다.
만일 subgroup들 \(H_i\)가 모두 \(G\)의 normal subgroup이라면, 추가적으로 다음의 조건이 갖춰지면 \(G\)가 \(H_i\)들의 internal weak direct product가 된다.
명제 5 Group \(G\)의 normal subgroup들 \((H_i)\)가 다음의 두 조건
- \(G=\bigl\langle\bigcup_{i\in I} H_i\bigr\rangle\),
- \[H_k\cap \bigl\langle\bigcup_{i\neq k} H_i\bigr\rangle=\{e\}\]
을 만족한다면 \(G\)가 \(H_i\)들의 internal weak direct product이다.
증명
우선 2번 조건은 특히 \(H_i\cap H_j=\{e\}\)가 모든 pair \(i\neq j\)에 대해 성립한다는 것을 보여준다. 이제 \(x_i\in H_i,x_j\in H_j\)를 임의로 택하면,
\[x_ix_jx_i^{-1}x_j^{-1}=x_i\bigl(x_jx_i^{-1}x_j^{-1}\bigr)=\bigl(x_ix_jx_i^{-1}\bigr)x_j^{-1}\in H_i\cap H_j=\{e\}\]으로부터 \(H_i\)와 \(H_j\)의 원소들이 commute한다는 것을 안다. 따라서 inclusion homomorphism \(\iota_i\)들이 정리 2에서와 같이 \(\iota\)를 잘 유도한다.
\(G\)가 \(H_i\)들의 internal weak direct product임을 보이기 위해서는 이렇게 유도된 \(\iota\)가 isomorphism인 것을 보여야 한다. 우선 1번 조건에 의해, 임의의 \(a\in G\)는 \(\bigcup H_i\)들의 finite한 operation들을 통해 얻어진다. 또 \(H_i\)들이 서로 commute하므로, \(a\)를
\[a=\prod_{i\in I} h_i=\prod_{i\in I}\iota_i(h_i),\qquad\text{$\supp(h_i)$ finite and $h_i\in H_i$}\]로 적을 수 있다. \(h=\prod_{i\in I} \iota_i(h_i)\in\prod^w H_i\)라 하면,
\[a=\prod_{i\in I}\iota_i(h_i)=\iota_i\left(\prod_{i\in I}h_i\right)=\iota_i(h)\]이므로 \(\iota\)는 surjective이다.
이제 \(\iota(a)=e\)라 하자. 그럼 각 항들이 \(H_i\)에 속하는 finitely supported family \((a_i)\)에 대하여 \(a=(a_i)_{i\in I}\)로 쓸 수 있다. 다음의 식
\[\iota(a)=\prod_{i\in I}\iota_i(a_i)=\prod_{i\in I} a_i=e\]으로부터, 만일 \(\supp(a_i)\)가 하나 이상의 원소를 갖고, \(i\in\supp(a_i)\)라 하면
\[a_i^{-1}=\prod_{j\in I\setminus\{i\}}a_j\in H_i\cap \left\langle\bigcup_{j\neq i} H_i\right\rangle=\{e\}\]가 되어 \(i\in\supp(a_i)\)라는 가정에 모순이다. 따라서 \(\supp(a_i)\)는 공집합이고 \(a\)는 항등원이다.
참고문헌
[Hun] Thomas W. Hungerford, Algebra, Graduate texts in mathematics, Springer, 2003.
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