\(p\)-군
이번 글에서 \(p\)는 항상 소수를 나타낸다.
정의 1 Finite group \(G\)가 \(p\)-group이라는 것은 \(G\)의 크기가 \(p\)의 거듭제곱인 것이다.
그럼 \(p\)-group의 subgroup과 quotient group이 다시 \(p\)-group임은 자명하다. 또, 다음이 성립한다.
보조정리 2 \(p\)-group \(G\)가 유한집합 \(E\) 위에 act한다 하고, 이 action의 fixed point들의 모임
\[E^G=\{x\in E\mid g\cdot x=x\text{ for all $g\in G$}\}\]을 생각하자. 그럼
\[\lvert E^G\rvert\equiv\lvert E\rvert\pmod{p}\]이 성립한다.
증명
즉, 집합 \(E\setminus E^G\)의 크기가 \(p\)의 배수임을 보여야 한다. 그런데 \(E\setminus E^G\)는 그 크기가 \(1\)보다 큰 (disjoint한) \(G\)-orbit들의 합집합이고, 이들 각각의 orbit은 [대수적 구조] §군의 작용, ⁋정리 14에 의하여 그 크기가 \(p\)의 거듭제곱이므로 이것이 성립한다.
특별히 \(E=G\) 위에 \(G\)가 inner automorphism으로 act하는 경우를 생각하면 \(E^G\)는 정확하게 \(G\)의 center이므로, 보조정리 2에 의하여 \(p\)-group \(G\)의 center \(C(G)\)는 trivial group이 아님을 알 수 있다.
정리 3 크기 \(p^r\)의 \(p\)-group \(G\)에 대하여, \(G\)의 subgroup들의 series
\[G=G_1\supset G_2\supset\cdots G_{n+1}=\{e\}\]가 존재하여, \([G, G_k]\subseteq G_{k+1}\)이 모든 \(k\)에 대해 성립하고, \(G_k/G_{k+1}\)이 order \(p\)의 cyclic group이도록 할 수 있다.
증명
\(G\)의 크기에 대한 귀납법으로 증명한다. 우선 \(G=\{e\}\)인 경우는 증명할 것이 없다. 이제 \(\lvert G\rvert=p^r\)보다 작은 모든 \(p\)-group에서 주어진 주장이 성립한다 하고, \(\lvert G\rvert=p^r\)인 경우를 증명하자. 앞선 논증으로부터 \(C(G)\neq\{e\}\)이므로, 적당한 \(x\in C(G)\)가 존재하여 그 order가 \(p^s\) (\(1\leq s\leq r\))이도록 할 수 있다.
이제 원소 \(x^{p^{s-1}}\)로 생성되는 \(C(G)\)의 subgroup \(H\)를 생각하면, \(G'=G/H\)는 그 크기가 \(p^{r-1}\)인 \(p\)-group이므로 귀납적 가정에 의하여 주어진 조건을 만족하는 subgroup들의 series가 존재하며, 이제 이를 canonical projection \(p: G \rightarrow G'\)의 inverse image로 보낸 것이 원하는 조건을 만족한다.
따라서 §군의 열, ⁋명제 7의 첫째 조건과 둘째 조건의 동치에 의하여 임의의 \(p\)-group은 항상 nilpotent임을 안다.
한편 §군의 열, ⁋명제 8에 의해 다음을 얻는다.
명제 4 \(p\)-group \(G\)와, subgroup \(H\subsetneq G\)를 고정하자.
- \(H\)의 \(G\)에서의 normalizer \(N_G(H)\)는 \(N_G(H)\subsetneq G\)를 만족한다.
- \(G\)의 적당한 index \(p\)짜리 normal subgroup \(N\)이 존재하여 \(H\)를 포함한다.
따라서 \(p\)-group \(G\)의 임의의 index \(p\) subgroup은 항상 normal이다.
실로우 정리
우리는 이제 일반적인 group의 \(p\)-subgroup을 살펴본다. 그 중 특별한 관심의 대상이 되는 것은 다음과 같다.
정의 5 Finite group \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup실로우 \(p\)-부분군은 다음의 두 조건을 만족하는 \(G\)의 subgroup \(P\)를 뜻한다.
- \(P\)는 \(p\)-group이다.
- \([G:P]\)는 \(p\)의 배수가 아니다.
\(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup들의 모임을 \(\Syl_p(G)\)로 적는다.
즉, \(G\)의 크기가 \(p^r m\) (\(p\not\mid p\))으로 주어질 때, Sylow \(p\)-group \(P\)는 정확히 order \(p^r\)를 갖는 \(G\)의 subgroup이다. 앞으로 남은 글에서 \(G\)의 크기 \(n=p^rm\)은 항상 \(p\not\mid m\)을 만족하는 것으로 가정하자.
실로우 정리는 임의의 finite group의 Sylow \(p\)-subgroup에 대한 정리들로서, finite group을 분류하는 데에 도움을 준다. 첫 번째 결과는 Sylow \(p\)-subgroup의 존재성에 대한 것으로, 이를 위해서는 우선 다음의 보조정리가 필요하다.
보조정리 6 \(n=p^rm\)이라 하고 \(p\nmid m\)이라 하자. 그럼
\[\binom{n}{p^r}\not\equiv 0\pmod{p}\]이 성립한다.
증명
크기 \(p^r\)의 group \(G\)와 크기 \(m\)의 집합 \(S\)를 생각하자. 그럼 집합 \(G\times S\)는 크기 \(n\)의 집합이며, 집합 \(E\)를 \(G\times S\)의 크기 \(p^r\)짜리 부분집합들의 집합으로 정의하면
\[\lvert E\rvert=\binom{n}{p^r}\]이 성립한다. \(G\)가 \(G\times S\) 위에서 다음의 식
\[g \cdot (x, s) = (g x, s) \quad (g, x \in G,\; s \in S)\]으로 act한다 하면, \(E\)의 각 원소들 (즉 \(G\times S\)의 크기 \(p^r\)짜리 부분집합들)의 각 원소들에 이 action을 적용함으로써 \(G\)의 \(E\) 위에서의 action이 주어진다. 이 action에 대한 fixed point의 모임 \(E^G\)는 모두 다음의 꼴
\[G \times \{s\},\qquad s\in S\]이므로, \(\lvert E^G\rvert=m\)이고 이제 보조정리 2에 의하여
\[\binom{n}{p^r} = \text{Card}(E) \equiv \text{Card}(E^G) = m \not\equiv 0 \pmod{p}\]가 성립한다.
그럼 실로우 정리의 첫 번째 결과는 Sylow \(p\)-subgroup의 존재성에 대한 것이다.
정리 7 \(G\)는 Sylow \(p\)-subgroup을 가진다.
증명
\(G\)의 부분집합 중 원소 개수가 \(p^r\)인 것들의 집합을 \(E\)라 하자. 그러면보조정리 6에 의하여
\[\lvert E\rvert = \binom{n}{p^r}\not\equiv 0\pmod{p}\]이다. 이제 group \(G\)의 자기 자신 위에서의 left translation action
\[L_g:G \rightarrow G;\qquad x\mapsto gx\]을 생각하고 보조정리 6의 증명과 같은 방식으로 이 action을 \(E\) 위에서 정의된 action으로 보자. 그럼 \(\lvert E\rvert\not\equiv 0\pmod{p}\)라는 가정으로부터, \(p\)의 배수가 아닌 orbit \(O\)가 존재한다. 이제 \(O\)의 한 원소를 \(X\)라 하고, \(X\)의 stabilizer를 \(\Stab(\{X\})=\Stab(X)\)라 하자. 그럼 \(\Stab(X)\)는 \(G\)의 subgroup이며 ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋따름정리 8) 이것이 우리가 원하는 subgroup이 된다.
이를 보이기 위해 우선 [대수적 구조] §군의 작용, ⁋정리 14로부터
\[\lvert O\rvert=\lvert G\cdot X\rvert=[G:\Stab(X)]=\frac{\lvert G\rvert}{\lvert\Stab(X)\rvert}\not\equiv 0\pmod{p}\]이므로, \(p^r\)이 \(\lvert \Stab(X)\rvert\)를 나눈다.
한편, \(\Stab(X)\)는 \(g\in G\) 중 \(gX = X\)를 만족하는 원소들의 모임이며, 따라서 임의의 원소 \(x \in X\)에 대해
\[\Stab(X) \subseteq X x^{-1}\]이므로
\[\lvert \Stab(X)\rvert\leq\lvert Xx^{-1}\rvert=\lvert X\rvert=p^r\]이어야 한다. 이로부터 \(\lvert\Stab(X)\rvert=p^r\)임을 안다.
이로부터 우리는 임의의 finite group \(G\)의 크기가 \(p\)로 나누어떨어진다면 \(G\)는 order \(p\)의 원소를 갖는다는 사실을 안다.
우리는 \(G\)의 두 subgroup \(H_1, H_2\)에 대하여, \(\rho(H_1)=H_2\)이도록 하는 \(\rho\in\Inn(G)\)가 존재하면 \(H_1\)과 \(H_2\)이 서로 conjugate하다고 말한다.
정리 8 다음이 성립한다.
- \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup들은 서로 conjugate하며, 그 개수는 \(1\) mod \(p\)이다.
- \(G\)의 모든 \(p\)-group은 어떤 Sylow \(p\)-subgroup에 포함된다.
증명
\(P\)를 \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup이라 하고, \(H\)를 \(G\)의 \(p\)-subgroup이라 하자. 집합 \(E = G/P\)위의 \(H\)의 left translation action을 생각하면, 보조정리 6에 의해 \(\lvert E^H\rvert\neq 0\)이므로 \(Hx=x\)인 \(x\in G/P\)가 존재한다. 이제 \(G/P\)의 원소 \(x\)의 representative를 \(g\in G\)를 택하자. 그러면 임의의 \(h \in H\)에 대해 \(h(gP) = gP\)이므로 \(g^{-1} h g \in P\)이다. 따라서 \(H \subseteq gPg^{-1}\)이고, 이로써 둘째 주장이 증명된다.
이제 \(H\)가 Sylow \(p\)-subgroup이라 하자. 그러면
\[\lvert H \rvert = \lvert P \rvert = \lvert gPg^{-1} \rvert\]이므로, 위의 포함관계가 \(H = gPg^{-1}\)가 되어 첫째 주장의 앞부분이 증명된다.
이제 첫째 주장의 뒷부분을 증명하기 위해, \(G\)가 \(\Syl_p(G)\) 위에 inner automorphism으로 작용하게 하자. 그럼 앞선 논증으로부터 임의의 \(P \in \Syl_p(G)\)는 이 action의 fixed point이며, 우리는 이것이 유일한 fixed point임을 보인다.
결론에 반하여 다른 fixed point \(Q \in \Syl_p(G)\)가 있다고 가정하자. \(Q\)는 \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup이며, \(P\)에 의해 normalize된다. 즉 \(P\subseteq N_G(Q)\)이다. 이제 \(P\)와 \(Q\)는 모두 \(N_G(Q)\)의 Sylow \(p\)-subgroup들이고, 따라서 앞선 논증에 의해 적당한 \(n \in N_G(Q)\)가 존재하여
\[P = nQn^{-1} = Q\]가 성립한다. 따라서 보조정리 6로부터 \(\lvert \Syl_p(G) \rvert = \lvert \Syl_p(G)^P \rvert \equiv 1 \pmod{p}\)임을 안다.
따름정리 9 \(P\in\Syl_p(G)\)와 normalizer \(N_G(P)\)를 생각하자. \(N_G(P)\)을 포함하는 \(G\)의 subgroup \(M\)에 대하여, \(M\)의 \(G\)에서의 normalizer \(N_G(M)\)은 \(M\)과 같다.
증명
\(M=gMg^{-1}\)을 만족하는 \(g\in G\)를 택하자. 그럼 \(gPg^{-1}\)는 \(M\)의 Sylow \(p\)-subgroup이다. 따라서 적당한 \(h \in M\)가 존재하여 \(gPg^{-1} = hPh^{-1}\)가 된다. 이제 \(h^{-1}g \in N\)이고, 따라서 \(g \in hN \subset M\)이다.
따름정리 10 Finite group 사이의 group homomorphism \(f: G_1 \to G_2\)을 고정하자. \(G_1\)의 Sylow \(p\)-subgroup \(P_1\)에 대해, \(f(P_1)\)를 포함하는 \(G_2\)의 Sylow \(p\)-subgroup \(P_2\)가 존재한다.
증명
\(G_2\)의 subgroup \(f(P_1)\)에 대해 정리 8의 둘째 결과를 적용하면 된다.
따름정리 11
- \(H\)를 \(G\)의 subgroup이라 하자. \(H\)의 Sylow \(p\)-subgroup \(P\)에 대해, \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup \(Q\)가 존재하여 \(P = Q \cap H\)가 된다.
- 반대로, \(Q\)를 \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup이라 하고 \(H\)를 \(G\)의 normal subgroup이라 하자. 그러면 \(Q \cap H\)는 \(H\)의 Sylow \(p\)-subgroup이다.
증명
- \(p\)-group \(P\)는 \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup \(Q\)에 포함된다. 한편 \(Q \cap H\)는 \(P\)를 포함하는 \(H\)의 \(p\)-subgroup이므로, 결국 \(P = Q \cap H\)이다.
- \(P'\)를 \(H\)의 Sylow \(p\)-subgroup이라 하자. 그러면 적당한 \(g \in G\)가 존재하여 \(gP'g^{-1} \subset Q\)가 된다. \(H\)가 normal subgroup이므로, \(P = gP'g^{-1}\)는 다시 \(H\)에 포함되고 따라서 \(P\)는 \(Q\cap H\)에 포함된다. 이제 \(Q \cap H\)는 \(H\)의 \(p\)-subgroup이고, \(P\)는 Sylow \(p\)-subgroup이므로 \(P = Q \cap H\)이다.
따름정리 12 \(N\)을 \(G\)의 normal subgroup이라 하자. 그럼 \(G\)의 Sylow \(p\)-subgroup의 \(G/N\)에서의 이미지는 \(G/N\)의 Sylow \(p\)-subgroup이 되고, 뿐만 아니라 모든 \(G/N\)의 Sylow \(p\)-subgroup은 이런 식으로 얻어진다.
증명
\(P\in \Syl_p(G)\)를 고정하고, \(G' = G/N\), \(P\)의 \(G'\)에서의 image를 \(P'\)라고 하자.
\(G\)의 \(G'/P'\) 위에서의 left translation action을 생각하면 이는 transitive action이므로, \(G\)의 orbit은 \(G'/P'\) 자기 자신 뿐이다. 이제 [대수적 구조] §군의 작용, ⁋정리 14에 의하여
\[\lvert G'/P'\rvert=[G:\Stab(G'/P')]\]이다. 그런데 정의에 의하여 \(\Stab(G'/P')\)는 \(P\)를 포함하므로, \([G:\Stab(G'/P')]\)는 \(p\)의 배수가 아니고 따라서 \([G':P']\)도 \(p\)의 배수가 아니다. 한편 \(P'\)는 \(p\)-group이므로, 정의에 의해 \(P'\)는 \(G'\)의 Sylow \(p\)-subgroup이다.
반대방향의 경우, \(G'\)의 다른 Sylow \(p\)-subgroup \(Q'\)를 생각하면 적당한 \(g' \in G'\)에 대해 \(Q' = g'P'g'^{-1}\)이고, \(g'\)의 representative \(g \in G\)를 잡으면 \(gPg^{-1}\)의 이미지가 \(Q'\)가 된다.
실로우 정리의 활용
앞서 언급한 것과 같이, Sylow theorem은 finite group의 classification에 유용하게 사용된다. 이를 위해 정리 8을 조금 더 뜯어보자. \(\Syl_p(G)\)의 크기를 \(n_p\)라 하면, 정리 8의 첫 번째 결과의 뒷부분에 의하여 \(n_p\equiv 1\pmod{p}\)이다. 한편, 정리 8의 첫째 결과의 앞부분은 \(G\)가 \(\Syl_p(G)\) 위에 transitive하게 act한다는 것을 보여주므로 [대수적 구조] §군의 작용, ⁋정리 14에 의하여
\[n_p=\lvert \Syl_p(G)\rvert=[G:\Stab(P)],\qquad P\in\Syl_p(G)\]를 얻으며, 특히 \(n_p\)는 \(\lvert G\rvert\)를 나눠야 하고, 앞서 살펴본 것과 같이 \(n_p\)는 \(p^r\)을 나누지는 않으므로 \(n_p\)는 반드시 \(m\)을 나눠야 한다.
예시 13 크기가 \(15\)인 finite group \(G\)를 분류해 보자.
\[\lvert G\rvert = 15 = 3\times 5\]이다. Sylow 3-subgroup을 먼저 생각하자. 그럼 정리 8에 의하여 Sylow 3-subgroup의 개수 \(n_3\)는 다음 두 조건
- \(n_3\equiv 1\pmod{3}\),
- \(n_3\)는 \(5\)를 나눈다.
을 만족한다. 이 두 조건을 만족하는 \(n_3\)은 오직 \(1\) 뿐이며, 이는 정리 8의 결과에 의하여 \(G\)의 (유일한) Sylow \(3\)-subgroup \(P_3\)이 normal subgroup이라는 것이다.
비슷하게 Sylow 5-subgroup에 대해서도 생각하자. Sylow 정리에 의해, Sylow 5-subgroup의 개수 \(n_5\)는 다음 조건을 만족한다:
- \(n_5\equiv 1\pmod{5}\),
- \(n_5\)는 \(3\)을 나누어야 한다.
마찬가지로 이 두 조건을 만족하는 \(n_5\) 또한 \(1\) 뿐이므로 Sylow 5-subgroup도 유일하게 존재하며 normal subgroup이다. 이를 \(P_5\)라 적자.
이제 \(P_3\cap P_5\)는 \(P_3\)과 \(P_5\)의 subgroup이므로, 그 크기가 \(1\)이어야 하고 따라서 \(P_3\cap P_5=\{e\}\)이다. 이제 \(G\)의 subgroup \(P_3P_5\)를 생각하면, [대수적 구조] §군 동형사상, ⁋정리 5로부터
\[\frac{P_3P_5}{P_3}\cong P_5/\{e\}\implies \lvert P_3P_5\rvert=\lvert P_3\rvert\lvert P_5\rvert=15=\lvert G\rvert\]이므로 결국 \(G\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\)여야 한다.
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