임의의 group \(H\)와 ring \(A\)가 주어졌을 때, 우리는 group ring \(AH\)를 정의하였다. ([대수적 구조] §대수, ⁋정의 5) 이제 \(AH\)-module \(M\)을 고정하고, \(M^H\)를 다음의 집합
\[M^H=\left\{x\in M\mid \text{$hx=x$ for all $h\in H$}\right\}\]으로 정의하자. 여기서 \(hx\)는 당연히, \(h\mapsto \delta_h\)를 통해 \(h\)를 \(AH\)의 원소로 본 후, \(AH\)-module 구조를 이용하여 정의된 것이다. 그럼 \(M^H\)는 \(M\)의 \(A\)-submodule이지만, group \(H\)가 commutative가 아니라면 일반적으로 \(AH\)-submodule이 되지는 않는다. 또, 만일 \(H\)의 subgroup \(G\)가 주어졌다면 \(M^H\leq M^G\)임이 자명하다.
이제 \(x\in M^G\)와 \(h\in H\)가 주어졌다 하고, \(H/G\)의 원소 \(\bar{h}=hG\)가 주어졌다 하자. 그럼
\[\bar{h}x=(hG)x=\left\{hx\right\}\]인 것이 자명하므로, 약간의 abuse of notation을 통해 \(hx\)와 \(\bar{h}x\)를 같은 것으로 취급하여도 된다. 그럼 임의의 \(h'\in H\)에 대하여, 다음의 식
\[h'(\bar{h}x)=(h'\bar{h})x\]이 성립한다.
이제 \([H:G]\)가 유한이라 가정하자. 그럼 \(H/G\)는 유한집합이며, 따라서 다음의 합
\[\sum_{\bar{h}\in H/G}\bar{h}x\]이 잘 정의된다. 뿐만 아니라 이 합은 \(M^H\)의 원소인데, 임의의 \(h'\in H\)에 대하여
\[h'\left( \sum_{\bar{h}\in H/G}\bar{h}x\right)=\sum_{\bar{h}\in H/G}(h'\bar{h})x=\sum_{\bar{z}\in H/G}\bar{z}x\]이기 때문이다.
정의 1 위와 같은 상황에서, \(\tr_{H/G}:M^G \rightarrow M^H\)를 다음의 식
\[\tr_{H/G}(x)=\sum_{\bar{h}\in H/G} \bar{h}x\]으로 정의하고, 이를 relative trace라 부른다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 2 다음이 성립한다.
- 임의의 \(x\in M^G\)와 \(h\in H\)에 대하여, \(hx\in M^{hGh^{-1}}\)이고 식 \(\tr_{H/hGh^{-1}}(hx)=\tr_{H/G}(x)\)이 성립한다.
- Subgroup들 \(F\leq G\leq H\)에 대하여, \(\tr_{H/G}\circ\tr_{G/F}=tr_{H/F}\)가 성립한다.
- 임의의 \(x\in M^H\)에 대하여, \(\tr_{H/G}(x)=[H:G].x\)가 성립한다.
대칭텐서
이제 본격적인 정의를 시작한다. 우선 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(n\)-th tensor power \(\T^n(M)\) 위에 \(S_n\)-action을 다음의 식
\[\sigma(x_1\otimes x_2\otimes \cdots \otimes x_n)=x_{\sigma^{-1}(1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma^{-1}(n)}\]으로 정의할 수 있다.
정의 3 위와 같은 상황에서,
\[\sigma z=z\qquad\text{for all $\sigma\in S_n$}\]을 만족하는 \(z\in \T^nM\)들을 \(n\)th symmetric tensor대칭텐서라 부르고, 이들의 모임 \(\Sym^n(M)\)을 \(n\)-th symmetric power라 부른다. 이들의 (graded) direct sum을
\[\Sym(M)=\bigoplus_{d=0}^\infty \Sym^d(M)\]으로 적는다.
\(\Sym(M)\)은 앞서 정의했던 symmetric algebra \(\S(M)\)과는 구별해야 하지만, 좋은 경우에는 이들 둘이 서로 isomorphic하다는 것을 보일 수 있다.
우선 두 symmetric tensor의 곱을 정의하자. 일반적으로 임의의 두 symmetric tensor
\[x=x_1\otimes x_2\otimes \cdots \otimes x_p,\qquad y=y_1\otimes y_2\otimes \cdots \otimes y_q\]를 가져왔을 떄, 이들의 텐서로서의 곱
\[x\otimes y=x_1\otimes x_2\otimes \cdots \otimes x_p\otimes y_1\otimes y_2\otimes \cdots \otimes y_q\]이 symmetric tensor가 될 것이라는 보장은 없다. 간단히 위의 꼴에서 \(x_i\)와 \(y_j\)의 위치를 서로 바꾸는 원소를 생각하면 이것이 symmetric tensor의 조건을 만족하지 않을 수도 있기 대문이다.
대신 위의 형태의 곱은 \(S_{p+q}\)의 subgroup \(S_p\times S_q\)의 action에 대해서는 invariant하다. 따라서
\[xy=\tr_{S_{p+q}/S_p\times S_q}(x\otimes y)\]으로 정의하면 \(xy\in M^{S_{p+q}}\)이고 그 값은
\[\sum_{S_{p+q}/(S_p\times S_q)} \bar{\sigma}(x\otimes y)\]이다. 한편, \(S_{p,q}\)를 다음의 식
\[\sigma(1)<\sigma(2)< \cdots < \sigma(p), \qquad \sigma(p+1)<\sigma(p+2)<\cdots< \sigma(p+q)\]를 만족하는 \(\sigma\)들로 이루어진 \(S_{p+q}\)의 부분집합이라 하면 어렵지 않게 \(S_{p+q}/S_p\times S_q\)와 \(S_{p,q}\) 사이의 bijection을 찾을 수 있다. 이는 꽤나 자연스러운 것이, \(S_p\times S_q\)의 원소들은 automorphism의 치역을 고정해놓은 후, 그 안에서의 permutation은 마음대로 움직여도 되는 원소들이고 \(S_{p,q}\)의 원소들은 반대로 automorphism의 치역은 마음대로 택하되 그 안에서의 permutation은 하나로 고정한 것들이기 때문이다. 따라서 위의 식은 다시
\[xy=\sum_{\sigma\in S_{p,q}}\sigma(x\otimes y)\]으로 적을 수 있다.
명제 4 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\Sym(M)\)은 위에서 정의한 곱셈에 의해 associative, commutative unital \(A\)-algebra가 된다.
-
양의 정수 \(p_1,\ldots, p_n\)에 대하여, 다음의 식
\[x_1x_2\cdots x_n=\tr_{S_{p_1+\cdots+p_n}/S_{p_1}\times\cdots\times S_{p_n}}(x_1\otimes \cdots\otimes x_n)\]이 성립한다.
증명
둘째 주장부터 보이자. 귀납법으로 진행한다. \(n=2\)일 때는 정의와 같으므로, 귀납적으로
\[x_2\cdots x_n=\tr_{S_{p_2+\dots+p_n}/(S_{p_2}\times\cdots\times S_{p_n})}(x_2 \otimes \dots \otimes x_n)\]이 성립한다고 가정하자. 이제 \(S_{p_1+\cdots+p_n}\)의 subgroup들의 tower
\[S_{p_1+\cdots+p_n}\geq S_{p_1}\times S_{p_2+\cdots p_n}\geq \left\{\id_{p_1}\right\}\times S_{p_2+\cdots+p_n}\]을 생각하면, 명제 2의 결과에 의하여
\[\tr_{S_{p_1+\cdots +p_n}/S_{p_2+\cdots +p_n}}(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)=\tr_{S_{p_1+\cdots+p_n}/(S_{p_1}\times S_{p_2+\cdots+p_n})}\circ\tr_{(S_{p_1}\times S_{p_2+\cdots+p_n})/S_{p_2+\cdots+p_n}}(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)\]이 성립한다. 이제 우변을 계산하면, 위의 포함관계에 의해
\[\tr_{(S_{p_1}\times S_{p_2+\cdots+p_n})/S_{p_2+\cdots+p_n}}(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)=x_1\otimes\tr_{S_{p_2+\cdots+p_n}/(S_{p_2}\times\cdots\times S_{p_n})}(x_2\otimes\cdots\otimes x_n)=x_1\otimes (x_2\cdots x_n)\]이고 따라서
\[\tr_{S_{p_1+\cdots +p_n}/S_{p_2+\cdots +p_n}}(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)=\tr_{S_{p_1+\cdots+p_n}/(S_{p_1}\times S_{p_2+\cdots+p_n})}(x_1\otimes (x_2\cdots x_n))=x_1(x_2\cdots x_n)\]이 성립한다. 만일 처음 시작을 다음 subgroup들의 tower
\[S_{p_1+\cdots+p_n}\geq S_{p_1+\cdots p_{n-1}}\times S_{p_n}\geq S_{p_1+\cdots p_{n-1}}\times 1\]로 시작했다면
\[\tr_{S_{p_1+\cdots +p_n}/S_{p_2+\cdots +p_n}}(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)=(x_1\cdots x_{n-1})x_n\]을 얻을 것이며 특히 \(n=3\)인 경우에는 이로부터 \(\Sym(M)\)의 associativity가 보여진다. Commutativity의 경우, \(\sigma\)를 \(p_1+p_2\)개의 원소 중, 앞의 \(p_1\)개의 원소와 뒤의 \(p_2\)개의 원소를 다음의 꼴
\[\underbrace{p_2+1,\cdots p_2+p_1}_\text{\scriptsize$p_1$ elements},\qquad \underbrace{1,\ldots, p_2}_\text{\scriptsize$p_2$ elements}\]로 배열하는 \(\sigma\in S_{p_1+p_2}\)를 사용하여 명제 2의 첫째 결과를 사용하면 된다. Unit은 당연하게 \(1\in \Sym^0(M)\)이다.
임의의 \(x\in M\)과 \(k\in \mathbb{N}\)에 대하여,
\[\gamma_k(x)=\underbrace{x\otimes\cdots\otimes x}_\text{\scriptsize $k$ times}\]으로 정의하자. 그럼 위의 명제를 사용하여 계산하면 다음의 따름정리를 얻는다.
따름정리 5 다음이 성립한다.
- 명제 4에서 정의한 \(x\)의 곱 \(x^k\)는 \(p!\gamma_k(x)\)와 같다.
-
임의의 \(x_1,\ldots, x_n\in M\)에 대하여,
\[\gamma_p(x_1+\cdots+x_n)=\sum_{p_1+\cdots+p_n=p}\gamma_{p_1}(x_1)\cdots\gamma_{p_n}(x_n)\]이 성립한다.
-
임의의 \(x_1,\ldots, x_n\in M\)에 대하여, \(p=p_1+\cdots+p_n\)이라 하자. 그럼 \(\{1,\ldots, p\}=P_1\cup\cdots\cup P_n\)이도록 하는 집합 \(\{1,\ldots, p\}\)의 분할들의 순서쌍들의 집합
\[\mathscr{P}=\left\{(P_1,\ldots, P_n)\bigg| \bigcup_{k=1}^n P_k=\{1,\ldots, p\}, P_i\cap P_j=\emptyset\right\}\]과, 각각의 \(P\in\mathscr{P}\)마다 정의된 \(i\in P_{\phi(i)}\)이도록 하는 함수 \(\phi:\{1,\ldots, p\} \rightarrow \{1,\ldots, n\}\)에 대하여,
\[\gamma_{p_1}(x_1)\cdots\gamma_{p_n}(x_n)=\sum_{P\in \mathscr{P}}x_{\phi(1)}\otimes \cdots x_{\phi(p)}\]이 성립한다.
-
임의의 \(x\in M\)과 자연수 \(p,q\)에 대하여, 식
\[\gamma_p(x)\gamma_q(x)=\frac{(p+q)!}{p!q!}\gamma_{p+q}(x)\]이 성립한다.
-
임의의 \(x_1,\ldots, x_n\in M\)이 주어졌다 하고, 임의의 부분집합 \(H\subseteq \{1,\ldots, n\}\)에 대하여 \(x_H+\sum_{i\in H}x_i\)라 하자. 그럼 다음의 식
\[(-1)^nx_1x_2\cdots x_n=\sum_{H\subset\{1,\ldots, n\}}(-1)^{\lvert H\rvert}\gamma_n(x_H)\]이 성립한다.
일반적인 텐서대수에서와 마찬가지로, 우리의 관심이 되는 것은 특별히 \(M\)이 free \(A\)-module일 때이다. 우선 다음의 보조정리를 보이자.
보조정리 6 Finite group \(H\)와 left \(AH\)-module \(N\)에 대하여, \(N\)의 \(H\)-invariant \(A\)-basis \(B\)가 주어졌다 하고, 이 action에 대한 quotient set \(\Omega=B/H\)를 생각하자. 그럼 다음이 성립한다.
- 각각의 \(\omega\in \Omega\)마다 \(y_\omega=\sum_{b\in\omega}b\)라 정의하면, \((y_\omega)_{\omega\in \Omega}\)는 \(N^H\)의 \(A\)-basis이다.
- \(N^H\)의 \(N\)에서의 supplementary submodule의 basis는 각각의 \(\omega\in\Omega\)에서 원소 하나씩을 뺀 집합 \(\omega'=\omega\setminus \{z_\omega\}\)들의 합집합 \(B'=\bigcup_{\omega\in\Omega} \omega'\)로 이루어진다.
증명
우선 \(y_\omega\)들과 \(B'\)의 원소들을 모두 모으면, 이는 단지 \(\omega\)의 한 원소 \(z_\omega\)를 \(y_\omega\)로 교체한 것에 불과하므로, 간단한 선형대수에 의해 이것이 \(N\)의 \(A\)-basis임을 안다. 즉, 주어진 decomposition을 따라
\[N_1=\sum_{\omega\in\Omega} Ay_\omega,\qquad N_2=\sum_{b'\in B'}Ab\]라 하면 \(N=N_1\oplus N_2\)이다.
이제 보여야 할 것은 \(N_1=N^H\)이다. 가정에 의해 \(N_1\subset N_H\)는 자명하다. 한편 임의의 \(y\in N^H\)에 대하여, \(y\)를 \(A\)-basis \(B\)의 linear combination \(y=\sum \alpha_b b\)로 나타내면 모든 \(b\in B\)와 모든 \(h\in H\)에 대하여 \(\alpha_{bh}=\alpha_b\)가 성립해야 하는 것을 안다. 이로부터 \(y\in N_1\)이어야 한다.
그럼 이를 이용하여 다음의 명제를 보일 수 있다.
명제 7 \(M\)이 free \(A\)-module이고, \((e_i)_{i \in I}\)가 \(M\)의 basis라고 하자.
- 각각의 \(\nu\in\mathbb{N}^{(I)}\)에 대하여, \(e_\nu=\prod_{i\in I}\gamma_{\nu_i}(e_i)\)들은 \(\Sym(M)\)의 \(A\)-basis를 이룬다.
- 임의의 \(k\)에 대하여, \(\Sym^k(M)\)은 \(\T^kM\)의 \(A\)-direct factor이다.
Functoriality
\(A\)-module homomorphism \(u: M \rightarrow N\)에 대하여,
\[\T(u)\vert_{\Sym(M)}:\Sym(M) \rightarrow \Sym(N)\]이 잘 정의된다. 우리는 \(\T(u)\vert_{\Sym(M)}\)을 간단히 \(\Sym(u)\)로 적는다. 그러면 \(\Sym\)이 functor가 되는 것을 알고, 뿐만 아니라 §텐서대수의 해당하는 성질들로부터 다음의 natural isomorphism
\[\bigotimes_{i\in I}\Sym(M_i)\rightarrow \Sym\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\]이 존재하는 것을 안다. 그럼 \(u: M\oplus M \rightarrow M\)를 \((x,y)\mapsto x+y\)로 정의하면, 다음의 합성
\[\Sym(M)\otimes\Sym(M) \rightarrow \Sym(M\oplus M)\overset{\Sym(u)}{\longrightarrow} \Sym(M)\]이 \(x\otimes y\)를 \(xy\)로 보낸다는 것을 안다.
대칭대수와 대칭텐서
Canonical injection \(i: M \rightarrow \T(M)\)과 \(j: M \rightarrow \Sym(M)\)을 생각하자. 그럼 §텐서대수, ⁋명제 2에 의하여, 유일한 \(\mathbb{N}\)-graded \(A\)-algebra homomorphism \(s: \T(M)\mapsto \Sym(M)\)이 존재하여 \(j=s\circ i\)이도록 할 수 있다. 그럼 이는 \(\T^0(M)=\Sym^0(M)\)에서는 identity이며, \(\T(M)\)과 \(\Sym(M)\) 각각에서 곱셈이 어떻게 정의되었는지를 생각하면 \(s:\T(M) \rightarrow \Sym(M)\)은 정확히 symmetrization
\[s:\T(M)\rightarrow \Sym(M);\qquad x\mapsto \sum_{\sigma\in S_n}\sigma x\]임을 안다. 다소 주의할 것으로, 만일 \(x\in\Sym^k(M)\subseteq \T^k(M)\)이라 하더라도 \(s(x)\)는 \(x\)가 그대로 나오는 것이 아니라 \(k!.x\)가 나온다는 것이 있다.
참고 위와 같은 이유로, 몇몇 reference들에는 처음 symmetric product를 정의할 때부터
\[xy=\frac{1}{p!q!}\tr_{S_{p+q}/(S_p\times S_q)}(x\otimes y)\]으로 정의하기도 한다. 이렇게 했을 때 유리한 점은 위와 같은 계수를 더 이상 신경쓸 필요가 없다는 것이나, 위의 표기가 말이 되기 위해서는 처음부터 \(\T(M)\) 위에 \(\mathbb{Q}\)-vector space 구조가 있어야 한다.
일반적으로 임의의 \(A\)-module 위에는 \(\mathbb{Z}\)-module 구조가 있지만 (따라서 \(k!.x\) 등의 표현이 \(A\)에 관계없이 잘 정의되지만) 자연스러운 \(\mathbb{Q}\)-action은 존재하지 않으므로 우리는 원래의 정의를 그대로 사용하기로 한다.
이와 같이 얻어낸 symmetrization map \(s:\T(M) \rightarrow \Sym(M)\)에 대하여, 우리는 §텐서대수, ⁋명제 6에 의하여 다음의 식
\[s=\bar{s}\circ p\]를 만족하는 \(\bar{s}: \S(M) \rightarrow \Sym(M)\)을 얻을 수 있으며, 어렵지 않게 이것이 실제로 graded homomorphism이 되는 것을 확인할 수 있다. 여기서 \(p: \T(M) \rightarrow \S(M)\)은 canonical projection이다.
한편 \(\bar{s}\)는 반대방향의 함수
\[t: \Sym(M)\hookrightarrow \T(M)\overset{p}{\longrightarrow}\S(M)\]또한 가지며, 우리의 주장은 많은 경우 이들 두 함수를 서로의 (거의) 역함수로 생각해도 된다는 것이다.
명제 8 다음이 성립한다.
- 만일 \(x\in \S^n(M)\)이라면, \((t\circ\bar{s})(x)=n!.x\)이다.
- 만일 \(x\in \Sym^n(M)\)이라면, \((\bar{s}\circ t)(x)=n!.x\)이다.
이에 대한 증명은 단순한 계산이다.
위에서의 참고에서 살펴본 바와 비슷한 이유로, 만일 \(A\)가 (\(\mathbb{Z}\)-algebra일 뿐만 아니라) \(\mathbb{Q}\)-algebra라면 \(x\mapsto n!.x\)가 bijection이고 따라서 위에서 정의한 \(\bar{s}: \S(M) \rightarrow \Sym(M)\)이 isomorphism이 되는 것을 확인할 수 있다.
다항식 사상
한편 symmetric algebra \(\S(M)\)은 symmetric \(n\)-linear map들의 representation으로 생각할 수 있었는데, 위의 명제 8을 통해 \(\Sym(M)\)을 함께 생각하면 다음의 명제를 얻는다.
명제 9 두 \(A\)-module \(M,N\), 자연수 \(n\)과 \(u: M \rightarrow N\)이 주어졌다 하자. 만일 \(M\)이 free \(A\)-module이라면 다음이 모두 동치이다.
- 식 \(u(x)=v(x,\ldots, x)\)를 만족하는 \(n\)-linear map \(v: M^n \rightarrow N\)이 존재한다.
- 식 \(u(x)=w(\gamma_n(x))\)를 만족하는 linear map \(w: \Sym(M) \rightarrow N\)이 존재한다.
-
\(M\)의 basis \((e_i)_{i\in I}\), \((\mathbb{N}^{(I)})_n\)-indexed family \((y_\nu)\)가 존재하여
\[u\left(\sum_{i\in I}\lambda_i e_i\right)=\sum_{\nu\in\mathbb{N}^{(I)})_n}\lambda^\nu y_\nu\]이도록 할 수 있다.
- \(M\)의 basis \((e_i)_{i\in I}\)마다 3번 조건의 식을 만족하는 family \((y_\nu)\)를 찾을 수 있다.
그럼 이 동치조건들을 만족하는 map \(u: M \rightarrow N\)들을 degree \(n\) homogeneous polynomial mapping이라 부르고 이들의 모임을 \(\Poly^n(M,N)\)으로 적는다. 위의 명제의 첫째 조건과 둘째 조건은 각각 \(M\)에서 \(N\)으로의 \(n\)-linear map들의 모임에서 \(\Poly^n(M,N)\)으로의 surjection, \(\Hom_A(\Sym^n(M), N)\)에서 \(\Poly^n(M,N)\)으로의 surjection을 각각 유도하며, 셋째 조건과 넷째 조건은 이 이름 polynomial mapping을 정당화한다.
예시 10 \(A\)-module \(N\)에 대하여, free \(A\)-module \(A^{(I)}\)이 주어졌다 하고 다항식 \(u\in N[\x_i]_{i\in I}\)를 하나 고정하자. 그럼 다음의 식
\[(x_i)_{i\in I} \mapsto u(x_i)\in N\]은 \(A\)-module들 사이의 hoomgeneous polynomial mapping이며 그 degree는 \(n\)이다.
어렵지 않게 두 polynomial mapping의 합성은 다시 homogeneous mapping이라는 것을 보일 수 있다.
명제 11 명제 9의 조건을 모두 가정하고, 추가로 \(y\mapsto n!.y\)가 \(N\)의 automorphism이라 가정하자. 그럼 임의의 \(u\in\Poly^n(M,N)\)에 대하여, 식
\[u(x)=v(x,\ldots, x)\]을 만족하는
이 성립한다.
이는 따름정리 5로부터 따라나오는 결과이다. 이제 이것과 참고의 관찰을 종합하면 다음의 결과를 얻는다.
명제 12 명제 9의 상황을 가정하고, canonical homomorphism \(\Hom_A(\Sym^n(M), N) \rightarrow \Poly^n(M,N)\)을 생각하자. 그럼 다음이 성립한다.
- 만일 \(A\)가 무한집합인 integral domain이고 \(N\)이 torsion-free라면 이 homomorphism은 isomorphism이다.
- 만일 \(y\mapsto n!.y\)가 \(N\)에서 \(N\)으로의 injective endomorphism이라면 \(u\)는 isomorphism이다.
대칭함수
한편, \(M\)이 fintely generated free \(A\)-module일 경우 \(\S(M)\)은 polynomial algebra \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)과 isomorphic하다는 것을 알고 있다. 이 상황을 조금 더 자세히 살펴보자.
우선 자연수 \(n\)과 \(\sigma\in S_n\)에 대하여, 우리는 다음의 식
\[\x_i\mapsto \x_{\sigma(i)}\]을 통해 polynomial ring \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 endomorphism을 정의할 수 있다. 그럼 이 action에 대한 invariant들의 모임
\[A[\x_1,\ldots, \x_n]^{S_n}=\{p\in A[x_1,\ldots, \x_n]\mid \sigma\cdot p=p\}\]을 생각할 수 있다. 우선 우리는 이들이 \(A\)-algebra로서 다음의 원소들
\[s_k=\sum_{\substack{H\subset \{1,\ldots, n\}\\\lvert H\rvert=k}}\prod_{i\in H} x_i\]로 생성된다는 것을 확인할 수 있다. 명시적으로
\[s_0=1,\quad s_1=\sum_{i=1}^n \x_i,\quad s_2=\sum_{1\leq i< j\leq n} \x_i\x_j,\quad \cdots \quad s_n=\x_1\cdots\x_n\]으로 주어진다. 그럼 귀납법을 통해 \(s_i\)들이 \(A\) 위에서 algebraically independent인 것을 보일 수 있다. 즉, 다음의 식
\[u(s_0,\ldots, s_n)=0\]을 만족하는 \(u\in A[\x_0,\ldots, \x_n]\)은 존재하지 않는다. 또, 다음의 식
\[\x^\nu=\x_1^{\nu(1)}\cdots\x_n^{\nu(n)},\qquad 0\leq\nu(i)< i\]을 만족하는 monomial들 \(\x^\nu\)들이 \(A[\x_1,\ldots, \x_n]^{S_n}\)-module로서 \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)을 생성한다는 것 또한 확인할 수 있다. 이 과정에서 유용한 식은 polynomial ring \(A[\x_1,\ldots, \x_n, T_1, T_2]\)에서 성립하는 다음의 식
\[\prod_{i=1}^n(T_1+\x_iT_2)=\sum_{k=0}^n T_1^{n-k}T_2\x_k\]으로, 이 식은 특히 다음의 두 식
\[\prod_{i=1}^n(1+\x_iT)=\sum_{k=0}^n s_kT^k,\qquad \prod_{i=1}(\x-\x_i)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}s_{n-k}\x^k\]을 준다. 여기서 둘째 식을 근과 계수의 관계와 비슷한 성질 것으로 생각하면 임의의 다항식
\[f(\x)=\x^n+a_{n-1}\x^{n-1}+\cdots +a_1\x +a_0\]에 대하여 다음의 \(A\)-algebra
\[E_f=A[\x_1,\ldots,\x_n]/\mathfrak{a},\qquad \mathfrak{a}=(s_k+(-1)^{k+1}a_k)\]를 생각할 수 있으며, 이 때 \(f\)는, 계수를 \(A\) 대신 \(E_f\)로 확장하면, 일차식들의 곱으로 완전히 인수분해된다. 뿐만 아니라 \(E_f\)는 이러한 성질을 갖는 \(A\)-algebra 중 universal한 대상인데, 이를 엄밀히 적으면 다음과 같다.
명제 13 임의의 commutative ring \(A,B\)가 주어졌다 하고, ring homomorphism \(\rho: A \rightarrow B\)와 \(B\)의 원소들 \(\xi_1,\ldots, \xi_n\)을 고정하자. 만일 \(B[\x]\)에서 다음의 식
\[\rho(f)(\x)=\prod_{i=1}^n (\x-\xi_i)\]이 성립한다면, 유일한 ring homomorphism \(u: E_f \rightarrow B\)가 존재하여 \(\rho(a)=u(a.1)\)이고 \(u(\x_i)=\xi_i\)이도록 할 수 있다.
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