사교벡터공간

물리에서 momentum은 covector로 취급되기 때문에, 수학적으로 phase space를 기술할 때에는 manifold \(M\)의 cotangent bundle \(T^\ast M\)을 생각하는 것이 자연스럽다.

물리적인 이유가 아니더라도 symplectic manifold를 기술할 때에는 tangent bundle \(TM\)보다 \(T^\ast M\)이 훨씬 자연스러운데, 이는 \(T^\ast M\)은 자연스러운 symplectic form을 갖기 때문이다. Symplectic form이 무엇인지를 살펴보기 전에 우리는 먼저 선형대수 세팅에서 사교기하를 먼저 살펴본다.

Symplectic form

정의 1 벡터공간 \((V,\omega)\)가 symplectic vector space라는 것은 \(\omega:V\times V\rightarrow \mathbb{R}\)이 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

• (Skew-symmetry) 임의의 \(v,w\in V\)에 대하여, \(\omega(v,w)=-\omega(w,v)\)이다.
• (Nondegeneracy) \(\omega(v,w)=0\)이 모든 \(w\in V\)에 대해 성립하도록 하는 \(v\)는 오직 \(v=0\) 뿐이다.

이 때, \(\omega\)를 symplectic form이라 부른다.

어렵지 않게 모든 symplectic vector space는 반드시 짝수차원이어야 한다는 사실을 알 수 있다.

보조정리 2 임의의 skew-symmetric bilinear map \(\omega:V\times V\rightarrow \mathbb{R}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(V\)의 basis \(u_1,\ldots, u_k, e_1, \ldots,e_n,f_1,\ldots, f_n\)이 존재하여 다음 조건이 모두 만족되도록 할 수 있다.

• 모든 \(v\in V\)에 대하여, \(\omega(u_i,v)=0\)이 성립한다.
• 모든 \(i,j\)에 대하여, \(\omega(e_i,e_j)=\omega(f_i,f_j)=0\)이 성립한다.
• 모든 \(i,j\)에 대하여, \(\omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}\)이 성립한다.

증명

우선 다음 집합

\[\{u\in V\mid \omega(u,v)=0\text{ for all $v\in V$}\}\]

이 \(V\)의 부분공간이 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 이 부분공간의 basis를 택하면 \(u_1,\ldots, u_k\)를 얻는다. 이제 \(V=U\oplus W\)라 하자. 그럼 \(W\)의 basis \(e_1,\ldots, e_n,f_1,\ldots, f_n\)을 다음과 같이 찾을 수 있다.

임의의 벡터 \(e_1\in W\)를 하나 택하자. 그럼 \(\omega\)는 \(W\) 위에서 non-degenerate이므로, \(\omega(e_1,f_1)\neq 0\)을 만족하는 \(f_1\in W\)이 존재하며, 필요한만큼 상수배를 하여 \(\omega(e_1,f_1)=1\)이라 가정할 수 있다. \(\omega\)가 skew-symmetric이므로 \(\omega(e_1,e_1)=\omega(f_1,f_1)=0\)임은 자명하다.

이와 같은 과정을 반복하여, 다음 두 조건

• 모든 \(i,j\)에 대하여, \(\omega(e_i,e_j)=\omega(f_i,f_j)=0\)이 성립한다.
• 모든 \(i,j\)에 대하여, \(\omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}\)이 성립한다.

을 만족하는 벡터 \(e_1,\ldots, e_k, f_1,\ldots, f_k\in W\)가 주어졌다 하고, \(\span\{e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots, f_k\}\leq W\)에 속하지 않는 임의의 벡터 \(e_{k+1}\)를 하나 택하자. 만일 임의의 \(i=1,\ldots, k\)에 대하여

\[\omega(e_{k+1}, e_i)=\lambda_i,\qquad\omega(e_{k+1},f_i)=\eta_i\]

라면, \(e_{k+1}\) 대신 다음 벡터

\[e_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\lambda_i f_i+\eta_i e_i)\]

을 생각하여 \(e_{k+1}\)가 다음 조건들

\[\omega(e_{k+1},e_i)=\omega(e_{k+1},f_i)=0\qquad\text{for all $i=1,\ldots, k$}\]

을 만족하는 벡터였다고 가정할 수 있다. 한편 \(W\)에서 \(\omega\)는 non-degenerate이므로 \(\omega(e_{k+1},f_{k+1})\neq 0\)을 만족하는 벡터 \(f_{k+1}\in W\)가 존재한다. 마찬가지로 \(f_{k+1}\)가

\[\omega(f_{k+1}, e_i)=\lambda_i',\qquad\omega(f_{k+1},f_i)=\eta_i'\]

을 만족한다면, \(f_{k+1}\) 대신 다음 벡터

\[f_{k+1}-\sum_{i=1}^k(\lambda_i' f_i+\eta_i' e_i)\]

을 생각하여 \(f_{k+1}\)가 다음 조건들

\[\omega(f_{k+1},e_i)=\omega(f_{k+1},f_i)=0\qquad\text{for all $i=1,\ldots, k$}\]

을 만족한다고 할 수 있고, 이후 적절한 상수배를 통해 \(\omega(e_{k+1},f_{k+1})=1\)이라 가정할 수 있다.

위의 보조정리에서 부분공간 \(U=\span\{u_1,\ldots, u_k\}\)은 \(\omega\)가 항등적으로 영인 공간이며, 따라서 이 부분공간의 complement \(W\)에서 \(\omega\)는 symplectic form이 된다. 거꾸로 임의의 벡터공간에 symplectic form이 주어졌다면, \(\omega\)가 non-degenerate인 것으로부터 \(U=0\)이어야 하므로 임의의 symplectic vector space는 반드시 짝수차원이어야 한다. 이 때, 위의 보조정리에서 얻어지는 basis

\[e_1,\ldots, e_n, f_1,\ldots, f_n\]

을 symplectic basis라 부른다. Symplectic form을 보존하는 linear map을 (linear) symplectomorphism이라 부른다면, symplectic basis의 선택에 의하여 임의의 symplectic vector space는 이전 글에서 살펴본 공간 \((\mathbb{R}^{2n},\omega_0)\)과 symplectomorphic하다는 것을 확인할 수 있다.

정의 3 \((V,\omega)\)가 symplectic vector space라 하고, \(W\leq V\)가 임의의 부분공간이라 하자. 그럼 \(W\)의 symplectic complement는

\[W^\omega=\{v\in V\mid\omega(v,w)=0\text{ for all $w\in W$}\}\]

으로 정의된 공간이다.

1. 만일 \(W\subseteq W^\omega\)이 성립한다면, \(W\)를 isotropic subspace라 부른다.
2. 만일 \(W^\omega\subseteq W\)이 성립한다면, \(W\)를 coisotropic subspace라 부른다.
3. 만일 \(W\cap W^\omega=\{0\}\)이 성립한다면, \(W\)를 symplectic subspace라 부른다.
4. 만일 \(W=W^\omega\)이 성립한다면, \(W\)를 Lagrangian subspace라 부른다.

보조정리 4 Symplectic vector space \((V,\omega)\)와 그 부분공간 \(W\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. \(\dim W+\dim W^\omega=\dim V\)이고, \((W^\omega)^\omega=W\)이 성립한다.
2. \(W\)가 symplectic subspace인 것은 \(W^\omega\)가 sympelctic subspace인 것과 동치이다.
3. \(W\)가 isotropic인 것은 \(W^\omega\)가 coisotropic인 것과 동치이다. 또, \(W\)가 coisotropic인 것은 \(W^\omega\)가 isotropic인 것과 동치이다.
4. \(W\)가 Lagrangian인 것은 \(W\)가 isotropic이고 \(\dim W=\frac{1}{2}\dim V\)인 것과 동치이다.

증명

1. \(\omega\)는 non-degenerate pairing이므로, \(v\mapsto \omega(v,-)\)는 \(V\)에서 \(V^\ast\)로의 isomorphism을 정의한다. ([선형대수학], §쌍대공간, ⁋명제 4)

   \(W\)의 annihilator를 \(W^\perp\subseteq V^\ast\)라 하자. ([선형대수학], §쌍대공간, ⁋정의 7) 임의의 \(u\in W^\omega\)에 대하여

   \[\omega(u,w)=0\qquad\text{for all $w\in W$}\]

   가 성립하고, 따라서 \(\omega(u,-)\)는 항상 \(W^\perp\)에 속한다. 거꾸로 임의의 \(\varphi\in V^\ast\)가 주어질 때마다 유일한 \(u\in V\)가 존재하여 \(\varphi=\omega(u,-)\)이라 할 수 있는데, 만일 \(\varphi\in W^\perp\)였다면

   \[0=\varphi(w)=\omega(u,w)\qquad\text{for all $w\in W$}\]

   이 성립하므로 \(u\in W^\omega\)이다. 즉, 위의 isomorphism을 통해 우리는 두 공간 \(W^\perp\)와 \(W^\omega\)가 isomorphic하다는. 것을 안다. 이제 1번의 첫 등식은

   \[\dim V=\dim W+\dim W^\perp=\dim W+\dim W^\omega\]

   으로부터 자명하고, 등식 \((W^\omega)^\omega=W\)는 \(W\subseteq(W^\omega)^\omega\)가 성립하고, 첫 등식에 의해 \(\dim (W^\omega)^\omega=\dim W\)여야 하므로 얻어진다.

2. \((W^\omega)^\omega=W\)이므로 \(W\cap W^\omega=(W^\omega)^\omega\cap W^\omega\)가 성립한다.
3. 만일 \(W\subseteq W^\omega\)라면 \((W^\omega)^\omega\subseteq W^\omega\)이므로 \(W^\omega\)는 coisotropic이다.
4. \(W\)가 Lagrangian이라면 \(W=W^\omega\)이므로 \(\dim W+\dim W^\omega\)로부터 \(\dim W=\frac{1}{2}\dim V\)이고 \(W\)는 isotropic subspace이다. 거꾸로 만일 \(\dim W=\frac{1}{2}\dim V\)라면 \(\dim W^\omega\) 또한 \(\frac{1}{2}\dim V\)이므로, 이러한 차원 조건을 만족하는 isotropic subspace는 Lagrangian이다.

Symplectic quotient

한편, \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\)와 임의의 부분공간 \(W\)에 대하여, quotient space \(V/W\)는 항상 잘 정의된다. 그리나 \(V\)가 symplectic vector space였다 하더라도 일반적으로 \(V/W\)가 symplectic vector space의 구조를 가질 필요는 없다. 가령 \(W\)가 홀수차원 부분공간이었다면 \(V/W\) 또한 홀수차원이 되므로, 당연히 symplectic vector space의 구조를 가질 수 없다.

\(W\)가 짝수차원 부분공간이어도 이는 마찬가지인데, 우리는 quotient space \(V/W\)에

\[\overline{\omega}([v_1],[v_2])=\omega(v_1,v_2)\]

을 통해 symplectic form을 정의하려는 시도를 할 수 있지만, 이것이 잘 정의되려면 다음 식

\[\omega(v_1+w_1,v_2+w_2)=\omega(v_1,v_2)+\omega(v_1,w_2)+\omega(w_1,v_2)+\omega(w_1,w_2)\]

의 값이 \(\omega(v_1,v_2)\)와 동일해야 한다. \(W\)에 어떠한 조건도 걸려있지 않다면, 우변의 뒤쪽 세 항이 \(0\)이 될 이유는 없으므로 \(V/W\)에 symplectic form은 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 뿐만 아니라, \(W\)가 symplectic subspace였다 해도 우변의 마지막 항인 \(\omega(w_1,w_2)\)만 사라지므로 여전히 조건이 부족하다.

이를 잘 작동하게 하기 위해서는 다음과 같은 방식으로 quotient space를 정의해주면 된다.

보조정리 5 \((V,\omega)\)가 symplectic vector space이고, \(W\)가 coisotropic subspace라 하자. 그럼 \(W/W^\omega\) 위에 유일한 symplectic structure \(\overline{\omega}\)가 존재하여, projection \(W\rightarrow W/W^\omega\)에 의한 \(\overline{\omega}\)의 pullback과, \(\omega\)의 \(W\)로의 restriction이 동일하도록 할 수 있다.

증명

임의의 \([w_1],[w_2]\in W\)에 대해 \(\overline{\omega}([w_1],[w_2])=\omega(w_1,w_2)\)으로 정의하자. 이 식이 잘 정의된 symplectic form을 주기만 한다면 원하는 성질이 성립한다는 것은 자명하다. 우선 임의의 \(u_1,u_2\in W^\omega\)에 대하여,

\[\omega(w_1+u_1,w_2+u_2)=\omega(w_1,w_2)+\omega(w_1,u_2)+\omega(u_1,w_2)+\omega(u_1,u_2)\]

가 성립하며, \(w_1,w_2,u_1,u_2\)는 모두 \(W\)의 원소이고 \(u_1,u_2\)는 \(W^\omega\)의 원소이므로 우변의 뒤쪽 세 항이 모두 0이 된다. 따라서 \(\overline{\omega}\)는 잘 정의된다. \(\overline{\omega}\)가 skew-symmetric인 것은 정의에 의해 자명하므로, \(\overline{\omega}\)가 non-degenerate인 것만 보이면 충분하다. 만일 \([w]\in W\)가 모든 \([w']\in W\)에 대해 \(\overline{\omega}([w],[w'])=0\)을 만족한다면,

\[0=\overline{\omega}([w],[w'])=\omega(w,w')\qquad\text{for all $w'\in W$}\]

이므로 정의에 의해 \(w\in W^\omega\)이고 따라서 \([w]=0\)이다. 즉 \(\overline{\omega}\)는 non-degenerate이다.

Symplectic vector space의 모든 1차원 부분공간은 isotropic subspace이므로, 보조정리 4에 의하여 모든 codimension 1의 부분공간 \(W\)는 coisotropic subspace이다. 이 공간에 보조정리 5를 적용하면 우리는 원래의 벡터공간에서 2차원이 줄어든 새로운 symplectic vector space를 얻게 된다.