리 군

이 카테고리의 글들에서 우리는 Lie group과 Lie algebra에 대한 내용을 담는다. Lie group의 정의는 아주 간단한 것이다.

정의 1 Group \(G\)가 Lie group_{리 군}이라는 것은 \(G\)가 그 자체로 manifold 구조를 가지고 있으며, 이 manifold 구조에 대하여 다음의 함수

\[G\times G\rightarrow G;\qquad (x,y)\mapsto xy^{-1}\]

가 \(C^\infty\)인 것이다.

즉, Lie group은 그 자체로 group이며, 동시에 이 group을 정의하는 두 연산, multiplication과 inverse를 smooth이도록 하는 미분구조가 주어진 smooth manifold이다. 더 일반적으로 우리는 group의 연산들이 연속이도록 하는 위상공간을 topological group이라 부르지만, 이러한 일반화가 당장 필요한 것은 아니다.

그럼 두 Lie group \(G, H\) 사이의 morphism은 smooth map \(f:G \rightarrow H\)가 동시에 group homomorphism인 것을 의미한다. 이들 데이터는 category \(\LieGrp\)을 정의하며 여기에서의 isomorphism의 개념 또한 자명하다.

다음은 Lie group의 예시들이다.

예시 2 임의의 유한차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(\mathbb{R}^n\)은 덧셈을 연산으로 갖는 Lie group이 된다. 이는 다음의 함수

\[\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n;\quad (\mathbf{x},\mathbf{y})\mapsto \mathbf{x}-\mathbf{y}\]

이 smooth이므로 자명하다.

예시 3 \(1\)-torus \(S^1\)은 이를 \(\mathbb{C}\)의 multiplicative subgroup

\[S^1=\left\{z\in \mathbb{C}\mid \lvert z\rvert=1\right\}\]

으로 보면 Lie group이 된다. 더 일반적으로 임의의 Lie group \(G, H\)에 대하여 \(G\times H\) 또한 Lie group이 되는 것을 쉽게 보일 수 있으므로, 임의의 \(n\)-torus

\[T^n=(S^1)^n\]

는 Lie group이다. 예를 들어, \(T^2\)는 항등원 역할을 할 한 점과 그 점을 지나는 적도방향 대원, 이와 수직인 방향의 대원을 축으로 갖는 벡터공간처럼 행동하며, 이는 다음의 isomorphism

\[\mathbb{R}/\mathbb{Z}\rightarrow S^1;\quad t\mapsto e^{2\pi i t}\]

으로부터 얻어지는 것이다.

위의 두 예시보다 조금 더 복잡하고 많이 쓰이는 예시는 다음의 예시이다.

예시 4 임의의 \(n\times k\) 행렬들의 공간 \(\Mat_{n\times k}(\mathbb{R})\)는 \(nk\)차원 벡터공간이며, 동시에 smooth manifold이다. 이제 특별히 \(n\times n\) 행렬들의 공간을 생각하면, 이 행렬 위에 정의된 smooth function \(\det:\Mat_{n\times n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}\)은 다음의 open submanifold

\[\GL(n; \mathbb{R}) =\left\{A\in \Mat_{n\times n}(\mathbb{R})\mid \det(A)\neq 0\right\}\]

를 정의한다. 이제 이 위에는 행렬들의 곱셈과 역원이 잘 정의되며 이 때 행렬곱은 다항함수에 불과하고, 역원은 분모가 \(0\)이 되지 않는 유리함수에 불과하다. 즉, \(\GL(n; \mathbb{R})\)은 곱셈을 연산으로 갖는 Lie group이며, 원래의 manifold \(\Mat_{n\times n}(\mathbb{R})\)이 \(n^2\)차원이므로 \(\GL(n; \mathbb{R})\)의 차원 또한 그러하다.

이제 다시 \(\det:\GL(n; \mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}^\times\)를 생각하면, 우리는 다음의 식

\[\SL(n;\mathbb{R})=\left\{A\in \GL(n; \mathbb{R})\mid \det(A)=1\right\}\]

을 통해 \(\GL(n;\mathbb{R})\)의 부분집합 \(\SL(n; \mathbb{R})\)을 정의할 수 있다. 이 함수는 행렬의 각 성분들에 대한 다항함수이므로 smooth이고, 약간의 계산을 통해 모든 점에서 regular임을 알 수 있다. [미분다양체] §음함수 정리, ⁋따름정리 4로부터 \(\SL(n;\mathbb{R})\)은 \(n^2-1\)차원 manifold가 된다. 이 때 \(\GL(n;\mathbb{R})\)의 곱셈과 역원 또한 \(\SL(n;\mathbb{R})\)로 잘 제한되며 따라서 \(\SL(n; \mathbb{R})\) 또한 Lie group이다.

비슷한 방식으로, classical matrix group들 \(\Omat(n)\), \(\SO(n)\), \(\Umat(n)\), \(\SU(n)\) 등의 matrix group들 또한 Lie group 구조를 갖는 것을 확인할 수 있다.

한편, 비록 determinant가 어떻게 생겼는지는 알지 못하더라도, \(\SL(n;\mathbb{R})\)이 group으로서 어떻게 생겼는지에 대한 정보는 선형대수학으로부터 나오는 것이다. 임의의 Lie group \(G\)에 대한 다음의 정리는 더 일반적으로 임의의 closed subgroup은 항상 embedded submanifold라는 것을 보여준다.

정리 5 Lie group \(G,H\)가 주어졌다 하고, 이들의 Lie algebra \(\mathfrak{g},\mathfrak{h}\) 사이의 homomorphism \(L:\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}\)이 주어졌다 하자. 만일 \(G\)가 simply connected라면, \(dF=L\)을 만족하는 homomorphism \(F:G \rightarrow H\)가 유일하게 존재한다.

리 대수

위에서 언급한 것과 같이, Lie group의 개념 자체는 꽤나 단순한 것이다. 그렇다면 Lie group이 가지는 흥미로운 성질들은 이들이 어떻게 상호작용하는지에 대한 것이다. 가장 단순한 결과 중 하나는 Lie group의 경우, 자기 자신으로의 nontrivial한 diffeomorphism을 찾는 것이 쉽다는 것이다.

정의 6 Lie group \(G\)와, \(G\)의 임의의 원소 \(g\in G\)에 대하여, \(g\)에 의한 left translation \(L_g\)는

\[L_g:G\rightarrow G;\qquad x\mapsto gx\]

으로 정의된 \(C^\infty\) 함수이다. 비슷하게, right translation \(R_g\)는

\[R_g:G\rightarrow G;\qquad x\mapsto xg\]

으로 정의된다.

이들은 Lie group homomorphism은 아니지만 정의에 의하여 smooth map이고, 그 inverse는 각각 \(L_{g^{-1}}\)과 \(R_{g^{-1}}\)로 주어지므로 diffeomorphism이다.

우리는 Lie group과 그 위에 정의된 벡터장을 다룰 때 이러한 left translation들에 의해 보존되는 벡터장들에만 관심이 있다. 즉 다음을 정의한다.

정의 7 Lie group \(G\) 위에 정의된 벡터장 \(X\)에 대하여, \(X\)가 left invariant라는 것은 \(X\)가 자기 자신과 \(L_g\)-related인 것이다.

즉, 다음의 식

\[d(L_g)\circ X=X\circ L_g\]

이 성립하는 것이며, 더 명시적으로는 임의의 \(p\in G\)에 대하여

\[\left(d(L_g)\right)(X_p)=X_{gp}\]

이 항상 성립하는 것이다. 위의 식으로부터, \(G\) 위에 정의된 left invariant인 벡터장 \(X\)를 명시하기 위해서는 오직 하나의 점 \(p\in G\)에서의 값 \(X_p\)만 알면 충분하다는 것을 알 수 있으며, 당연하게도 가장 평범한 \(p\)의 선택은 \(G\)의 항등원 \(e\)이다. 또, 각 점에서의 \(X\)의 값이 이러한 방식으로 정의되었기 때문에, \(X\)가 left-invariant라는 사실이 \(X\)의 smoothness를 줄 것이라는 것도 추측할 수 있다.

바꿔말하면, \(G\) 위에서 정의된 left-invariant vector field는 정확하게 \(G\)의 identity에서의 tangent space \(T_eG\)와 같은 것이다. 한편 [미분다양체] §리 미분, ⁋정의 5에서 우리는 \(\mathfrak{X}(G)\)를 \(C^\infty(G)\)-algebra가 되도록 하는 연산 \([-,-]\)를 정의했는데, 그렇다면 left-invariant vector field들의 모임이 이 연산에 대한 subalgebra가 되는지 또한 우리의 의문 중 하나이다. 우선 \([-,-]\)를 일반화하는 다음의 정의부터 생각하자.

정의 8 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(\mathfrak{g}\)가 \(\mathbb{R}\) 위에 정의된 Lie algebra_{리 대수}라는 것은 이 위에 다음의 두 조건

1. (anticommutativity) \([x,y]=-[y,x]\),
2. (Jacobi identity) \([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0\)

을 만족하는 Lie bracket_{리 브라켓} \([-,-]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}\)가 정의된 것이다.

그럼 다음 명제가 성립한다.

명제 9 Lie group \(G\)가 주어졌다 하고, \(\mathfrak{g}\)를 \(G\) 위에서 정의된 모든 left invariant vector field들의 모임이라 하자.

1. \(\mathfrak{g}\)는 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이며, \(\alpha:\mathfrak{g} \rightarrow T_eG\) 를 다음의 식

   \[\alpha(X)=X_e\]

   으로 정의하면 \(\alpha\)는 isomorphism이 된다.

2. 임의의 \(X\in\mathfrak{g}\)는 \(C^\infty\)이다.
3. 임의의 \(X,Y\in\mathfrak{g}\)에 대하여, \(X\)와 \(Y\)의 Lie bracket\([X,Y]\) 또한 left-invariant이고, 따라서 \(\mathfrak{g}\)는 \(\mathbb{R}\) 위에서 정의된 Lie algebra가 된다.

증명

1. 벡터장들의 덧셈과 스칼라곱에 대하여 \(\mathfrak{g}\)가 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이 된다는 것은 자명하고, 또 \(\alpha\)가 linear map이라는 것 또한 자명하다. 이제 \(\alpha\)가 isomorphism임을 보여야 하는데, \(T_eG\)는 유한차원 벡터공간이므로 \(\alpha\)가 전단사임을 보이면 충분하다. 우선 \(\alpha(X)=\alpha(Y)\)를 만족하는 두 \(X,Y\in\mathfrak{g}\)가 존재한다 가정하면, 임의의 \(g\in G\)에 대하여

   \[X_g=(dL_g)_e(X_e)=(dL_g)_e(Y_e)=Y_g\]

   이므로 \(X=Y\)이다. 거꾸로 임의의 \(v\in T_eG\)에 대하여 \(X_g\)를 \((dL_g)_e(v)\)으로 정의하면 \(X\)가 left invariant인 벡터장이고, \(\alpha(X)=v\)를 만족함이 자명하다.

2. \(X\in\mathfrak{g}\)가 \(C^\infty\)임을 보이기 위해서는 임의의 함수 \(f\)에 대하여 \(Xf\)가 \(C^\infty\)임을 보이면 충분하다. ([미분다양체] §벡터장, ⁋명제 2) 한편 임의의 \(p\in G\)에 대하여,

   \[(Xf)(p)=X_pf=(dL_p)_e(X_e)f=X_e(f\circ L_p)\]

   이므로 이는 다시 함수 \(p\mapsto X_e(f\circ L_p)\)가 \(C^\infty\)를 보이는 문제와 같다. \(G\)의 곱셈을 \(m:G\times G\rightarrow G\)로 쓰고, \(G\)에서 \(G\times G\)로의 자연스러운 두 embedding을

   \[\iota_1^p: x\mapsto (x,p),\qquad \iota_2^p:x\mapsto (p,x)\]

   으로 적고, \(Y_e=X_e\)를 만족하는 \(C^\infty\) 벡터장을 택하여 \(G\times G\) 위에 정의된 새로운 벡터장 \((0,Y)\)을 생각하자. 그럼 \(f\circ m\)은 \(C^\infty\) 함수이고 \((0,Y)\)는 \(C^\infty\) 벡터장이므로 \((0,Y)(f\circ m)\)은 \(C^\infty\) 함수가 되고, 따라서 합성 \(\bigl((0,Y)(f\circ m)\bigr)\circ\iota_1^e\) 또한 \(C^\infty\)이다. 그런데 임의의 \(p\in G\)에 대하여, isomorphism

   \[T_{(x,y)}(M\times N)\cong T_xM\oplus T_yN\]

   을 통하면

   \[\begin{aligned}\bigl((0,Y)(f\circ m)\bigr)(\iota_1^e(p))&=(0,Y)_{(p,e)}(f\circ m)=0_p(f\circ m\circ\iota_1^e)+Y_e(f\circ m\circ\iota_2^p)\\&=X_e(f\circ m\circ\iota_2^p)=X_e(f\circ L_p)\end{aligned}\]

   이므로 원하는 결과를 얻는다.

3. [미분다양체] §리 미분, ⁋명제 9에 의하여 자명하다.

위의 과정을 통해 얻어진 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)를 \(G\)의 Lie algebra라 부른다. 일반적으로 Lie group을 \(G\)라 적으면, 이에 해당하는 프락투어 소문자 \(\mathfrak{g}\)를 통해 \(G\)의 Lie algebra를 적는 것이 보통이다.

특별한 예시로, 임의의 manifold \(M\)에서 자기자신으로의 diffeomorphism들의 group \(\Diff(M)\)을 생각하면, 이는 무한차원 Lie group으로 생각할 수 있다. 이 Lie group의 identity \(\id_M\)에서의 tangent space는 \(\id_M\)을 지나는 \(\Diff(M)\)의 curve들의 적당한 equivalence class이며, 이 때 [미분다양체] §벡터장, ⁋정리 6을 생각하면 이 정보는 정확하게 \(\mathfrak{X}(M)\)에 담겨있다. 이러한 방식으로 Lie group \(G\)의 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)는 \(G\)가 자기 자신 위에 act할 때의 infinitisimal action을 정의한다.

예시 10 앞선 예시 2, 예시 3, 그리고 예시 4의 \(\GL(n;\mathbb{R})\)의 경우는 모두 벡터공간으로부터 오므로, 이들의 tangent space는 각각 원래의 벡터공간과 isomorphic하다. 즉 \(\mathbb{R}^n\)의 경우 그 tangent space는 \(\mathbb{R}^n\) 자기자신이며, 비슷하게 \(n\)-torus \(S^n\cong \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\)의 경우 각 점에서의 tangent space는 quotient topology를 취하기 전인 \(\mathbb{R}^n\)과 같다. \(\GL(n;\mathbb{R})\)의 경우, 벡터공간 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)의 open submanifold이므로 마찬가지로 각 점에서의 tangent space는 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)과 같다.

그러나 \(\SL(n;\mathbb{R})\)의 Lie algebra를 알기 위해서는 조금 더 복잡한 계산이 필요하다. 구체적으로 우리는 determinant map \(\GL(n; \mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}\)의 미분을 알아야 한다.

행렬 지수함수

\(\mathbb{R}\) 위에 정의된 임의의 유한차원 벡터공간에 norm을 정의하는 방법은 위상적으로는 유일하며, 이렇게 정의된 norm은 \(\mathbb{R}\)의 completeness에 의하여 complete metric을 정의한다. 특히 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)에 operator norm을 줄 경우 다음의 식

\[\lVert XY\rVert\leq\lVert X\rVert\lVert Y\rVert\]

이 성립하므로, 이 사실들을 종합하면 임의의 \(X\in\Mat_n(\mathbb{R})\)에 대하여 다음의 matrix exponential

\[\exp(X)=\sum_{i=0}^\infty\frac{X^k}{k!}\]

이 잘 정의된다는 것을 알 수 있다.

다음 명제는 기본적으로 선형대수학과 미적분학의 결과이다.

명제 11 임의의 \(X\in\Mat_n(\mathbb{R})\)에 대하여

\[\frac{d}{dt}\exp(tX)=X\exp(tX)=\exp(tX)X\]

이 성립한다.

일반적으로, 행렬의 곱은 commutative가 아니므로 다음의 식

\[\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B)\]

은 성립하지 않는다. 그러나 만일 두 행렬 \(A,B\)가 commute한다면 이 식은 성립하고, 특히 다음의 계산

\[\exp(tX)\exp(-tX)=\exp(tX-tX)=\exp(O)=I\]

으로부터 \(\exp(tX)\)는 항상 역행렬을 갖는다는 것을 안다. 즉, 다음의 곡선

\[t\mapsto \exp(tX)\]

은 \(\GL(n; \mathbb{R})\)에서의 곡선이며, \(t=0\)에서의 이 곡선의 미분은

\[\frac{d}{dt}\exp(tX)\bigg\vert_{t=0}=X\]

임이 앞선 명제에 의해 자명하다. 이를 기하적으로 설명하자면, 위의 곡선은 \(I=\exp(O)\)에서의 임의의 tangent vector

\[X\in T_I\GL(n;\mathbb{R})=\Mat_n(\mathbb{R})\]

이 주어졌을 때, \(t\mapsto \exp(tX)\)이 점 \(I\)에서 그 속도가 \(X\)이도록 하는 곡선임을 의미한다.

이제 \(\SL(n;\mathbb{R})\)의 tangent vector를 찾는 것은, 이 곡선이 (적어도 짧은 시간동안은) \(\SL(n;\mathbb{R})\)에 머물도록 하는 행렬들 \(X\)을 추려내는 것과 같다. 이를 위해서는 다음의 명제를 사용할 수 있다.

명제 12 임의의 \(X\in\Mat_n(\mathbb{R})\)에 대하여 \(\det(\exp X)=\exp(\tr X)\)이 성립한다.

이 또한 기초적인 선형대수를 이용하여 해결할 수 있다. 그럼

\[\det(\exp tX)=\exp(\tr(tX))=\exp(t\cdot\tr X)\]

로부터, 이를 만족하는 \(X\)는 정확히 \(\tr X=0\)을 만족해야 함을 안다. 즉 \(\SL(n;\mathbb{R})\)의 tangent space는 \(\tr X=0\)을 만족하는 행렬들이며 이 조건은 \(n^2-1\)차원 벡터공간을 정의한다.

다음은 앞서 살펴본 left-invariant vector field의 일반화이다.

정의 13 Lie group \(G\) 위에 정의된 form \(\omega\)가 left invariant라는 것은 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \((dL_g)\omega=\omega\)가 성립하는 것이다. \(G\) 위에 정의된 left invariant \(k\)-form들의 모임은 \(\Omega_\text{l.inv}^k(G)\)로 적고, \(G\) 위에 정의된 모든 left invariant form들의 모임은 \(\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)\)으로 적는다.

특별히 \(\Omega_\text{l.inv}^1(G)\)의 원소들은 Maurer-Cartan form이라 부른다.

명제 9과 마찬가지 방식으로 다음 명제를 증명할 수 있다.

명제 14 Lie group \(G\)와 \(\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)\)의 임의의 원소는 \(C^\infty\)이다.
2. \(\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)\)는 \(\Omega^\ast(G)\)의 \(C^\infty(G)\)-subalgebra이며, 함수 \(\omega\mapsto\omega_e\)는 \(\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)\)에서 \(\bigwedge(T_e^\ast G)\)로의 \(C^\infty(G)\)-algebra isomorphism이다.
3. 임의의 \(\omega\in\Omega_\text{l.inv}^1(G)\)와 left invariant인 벡터장 \(X\)에 대하여, \(\omega(X)\)는 \(G\) 위에서 정의된 상수함수이다.

4. 임의의 \(\omega\in\Omega_\text{l.inv}^1(G)\)와 \(X,Y\in\mathfrak{g}\)에 대하여

   \[d\omega(X,Y)=-\omega[X,Y]\]

   이 성립한다.

5. \(\mathfrak{g}\)의 basis \(X_1,\ldots, X_d\)와 그 dual basis \(\omega_1,\ldots,\omega_d\)에 대하여, 다음의 식

   \[[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^d c_{ij}^kX_k\]

   을 만족하는 \(d^3\)개의 상수들 \(c_{ij}^k\)이 존재한다. 이들은 다음 두 조건

   \[c_{ij}^k+c_{ji}^k=0,\qquad\sum_r (c_{ij}^rc_{rk}^s+c_{jk}^rc_{ri}^s+c_{ki}^rc_{rj}^s)=0\quad\text{for all $s$}\]

   을 만족하며, 따라서 다음의 식

   \[d\omega_i=\sum_{j < k} c_{jk}^i\omega_k\wedge\omega_j\]

   이 성립한다.

리 대응

임의의 manifold에 대하여, 그 tangent space를 위와 같이 곡선의 germ으로 생각할 수 있다. 따라서 우리는 임의의 Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)에 대하여, \(\mathfrak{g}\)의 원소가 주어질 때마다 \(G\)의 곡선을 대응시켜줄 수 있다. 이러한 방식으로 Lie algebra는 Lie group에 대한 모든 정보를 보여줄 수 있다. 더 정확히 말하자면, 이렇게 곡선을 통해 \(G\)의 정보를 읽어오기 위해서는 곡선을 대응시키는 방법이 (up to homotopy) 유일해야하고, 존재해야 할 것이므로 Lie algebra는 simply connected Lie group에 대한 모든 정보를 가지고 있다. 이 섹션에서 우리는 이 대응관계를 조금 더 자세히, 그러나 증명은 생략하고 실펴보기로 한다.

리 대응은 다음과 같은 종류의 Lie group-Lie algebra 사이의 관계에 대한 결과들의 모임이다.

정리 15 다음이 성립한다.

1. Lie group \(G,H\)가 주어졌다 하고, 이들의 Lie algebra \(\mathfrak{g},\mathfrak{h}\) 사이의 homomorphism \(L:\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}\)이 주어졌다 하자. 만일 \(G\)가 simply connected라면, \(dF=L\)을 만족하는 homomorphism \(F:G \rightarrow H\)가 유일하게 존재한다.
2. 임의의 유한차원 real Lie algebra \(\mathfrak{g}\)에 대하여, \(\mathfrak{g}\)를 Lie algebra로 갖는 simply connected Lie group \(G\)가 존재한다.

즉, 바꾸어 말하자면 \(\LieGrp\)에서 \(\LieAlg\)로의 functor \(\Lie:\LieGrp \rightarrow \LieAlg\)는, simply connected Lie group들로 이루어진 \(\LieGrp\)의 full subcategory로 제한했을 때 두 category의 equivalence를 준다.

Category-theoretic한 결과 외에도 이 정리는, 가령, 임의의 Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)에 대하여 matrix exponential과 비슷한 exponential map을 정의할 수 있도록 해 준다. 이는 \((\mathbb{R},+)\)이 1차원 simply connected Lie group이므로 그 Lie algebra 또한 1차원이고, 따라서 여기에서 다른 Lie algebra로의 Lie algebra homomorphism은 basis \(d/dt\)가 어디로 가는지에 의해 유일하게 결정되미 이 때 \(d/dt\)가 \(X\in \mathfrak{g}\)로 옮겨진다면 이 Lie algebra homomorphism에 정리 15을 적용하여 얻어지는 Lie group homomorphism \(\gamma: \mathbb{R}\rightarrow G\)이 원하는 곡선을 정의하기 때문이다.

정의 16 임의의 Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\), 그리고 원소 \(X\in \mathfrak{g}\)에 대하여, 위의 과정을 통해 얻어지는 곡선을 \(\gamma_X\)로 표기하자. 그럼 \(\exp:\mathfrak{g}\rightarrow G\)를 \(X\mapsto \gamma_X(1)\)로 정의한다.

특별히 \(G\)가 위에서 살펴본 것과 같이 matrix Lie group일 경우 우리는 이 정의가 matrix exponential을 준다는 것을 확인할 수 있다.

직관적으로 Lie algebra는 Lie group에 대한 정보를 exponential을 사용하여 읽어온다. 이것이 Lie group에 대한 정보를 알고 있다고 하기 위해서는 우리는 Lie group의 group operation에 대한 정보를 적어도 국소적으로는 복원해낼 수 있어야 한다. 이는 다음의 결과로부터 얻어진다.

정리 17 (Baker-Campbell-Hausdorff) Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\), \(X,Y\in \mathfrak{g}\)에 대하여, 다음의 식

\[\exp(X)\exp(Y)=\exp\left(X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]+\frac{1}{12}[Y,[Y,X]]+\cdots\right)\]

이 성립한다.

엄밀히 말하자면 위의 “정리”는 \(\cdots\)에 해당하는 항의 계수에 대한 정보가 없기는 하지만 이 계수들이 구체적으로 필요할 일은 드물다. 중요한 것은 Lie algebra의 원소 \(X,Y\)가 지정하는 방향의 두 (Lie group의) 원소를 각각 곱하였을 때 이들의 곱이 \(X,Y\)의 일차결합과 그 Lie bracket들의 합에 해당하는 방향이며, 만일 \(X,Y\)가 충분히 작은 벡터들이라면 이 급수 또한 수렴한다는 것이다. 한편 Lie group \(G\)에서, identity \(e\)와 가까운 임의의 원소는 \(g=\exp(X)\)의 꼴로 쓸 수 있으므로 이 정리는 (identity 근처에서) \(G\)의 group operation에 대한 정보를 정확하게 모두 담고 있다. 더 구체적으로, 우리는 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)를 manifold로 보고, \(\exp: \mathfrak{g}\rightarrow G\)를 manifold 사이에서의 smooth map이라 생각할 수 있고 이 때 \(0\in \mathfrak{g}\)에서의 differential이 정확히 \(\id_\mathfrak{g}\)가 된다. 따라서 \(\mathfrak{g}\)에서 \(0\)의 적당한 neighborhood \(U\)가 존재하여 \(\exp\)가 \(U\)와 \(\exp(U)\) 사이의 diffeomorphism을 정의하도록 할 수 있겠으나 (특히 local diffeomorphism의 inverse \(\log\)가 존재하겠지만), 이 \(U\) 바깥에서 exponential map이 어떻게 행동할지는 단언할 수 없다.

위의 정리 15를 알게 되었을 때, 자연스러운 질문 중 하나는 Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\), 그리고 \(\mathfrak{g}\)의 Lie subalgebra \(\mathfrak{h}\)가 주어졌을 때, \(\mathfrak{h}\)를 identity에서의 tangent space로 갖는 \(G\)의 Lie subgroup \(H\)가 존재하는지의 여부일 것이다. 그런데 정의에 의해 Lie subalgebra는 Lie bracket에 의해 닫혀있으므로 [미분다양체] §Distribution, ⁋정리 3에 의해 이는 \(G\)의 submanifold를 정의한다. 이들은 위의 정리 17에 의해 group operation도 가질 것이지만, 문제는 이 정리는 앞서 지적했듯 오직 국소적인 영역에서만 효과가 있다는 것이다. 그러나, 만일 \(G\)가 simply connected였다면 이를 \(G\) 전체로 확장하는 데에 위상적인 문제가 없어지므로 다음 정리가 성립한다.

정리 18 Simply connected Lie group \(G\)와 그 Lie algebra \(\mathfrak{g}\), 그리고 \(\mathfrak{g}\)의 Lie subalgebra \(\mathfrak{h}\)가 주어졌을 때, \(\mathfrak{h}\)를 Lie algebra로 갖는 \(G\)의 Lie subgroup \(H\)가 존재한다.

가환 리 군의 분류

이제 우리는 마지막으로 abelian Lie group의 classification을 한다. 정의에 의해 abelian Lie group은 그 group operation이 commutative인 것들을 뜻한다. 이제 우리는 inner automorphism

\[\rho_g: G \rightarrow G; \quad h\mapsto \rho_g(h)=ghg^{-1}\]

을 생각하자. ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋명제 9) 이는 Lie group automorphism이며, 따라서 identity \(h=e\)에서 이를 미분하면 \(d\rho_g: \mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\)를 얻으며 이는 Lie algebra automorphism이 된다.

정의 19 Lie group \(G\)에 대하여, 다음의 대응

\[\Ad:G\rightarrow \Aut(\mathfrak{g});\quad g\mapsto d\rho_g\]

을 \(G\)의 adjoint representation이라 부른다. 이를 미분하여 얻어지는

\[\ad: \mathfrak{g}\rightarrow \Lie(\Aut(\mathfrak{g}))\]

을 \(\mathfrak{g}\)의 adjoint representation이라 부른다.

그럼 정의에 의해 충분히 작은 범위 내에서 \(G\)의 adjoint representation은 정확하게 Lie derivative를 보는 것과 같고, 따라서 [미분다양체] §리 미분, ⁋명제 4에 의하여 다음의 식

\[\ad(X)Y =[X,Y]\]

이 성립한다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

정리 20 Connected compact Lie group \(G\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \[d(\exp(e))=\id_\mathfrak{g}\]
2. \[\Ad\circ\exp=\exp_{\GL(\mathfrak{g})}\circ \ad\]
3. \[\rho_x\circ\exp=\exp\circ\Ad(x)\]

만일 \(G\)가 abelian group이었다면 \(\rho_g\)는 그냥 identity map이고 따라서 \(\Ad_g(X)=X\)가 임의의 \(g\in G\)와 임의의 \(X\in \mathfrak{g}\)에 대해 성립하고, 따라서 그 미분인 \(\mathfrak{g}\)의 adjoint representation은 \(0\)이다. 즉, 임의의 abelian Lie group에 대하여, 그 Lie algebra의 Lie bracket은 항상 \(0\)이고 우리는 이를 abelian Lie algebra라 부른다. 이는 정의 8에 의해 anticommutative인 Lie bracket이 commutative이기도 하기 위한 유일한 방법이므로 그 이름이 어색하지 않다.

그럼, \(G\)가 abelian일 경우 특히 정리 17에 의하여 \(\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)\)이 성립한다. 즉 \(\exp\)는 group homomorphism이다. 뿐만 아니라 이 경우 정리 17의 우변 \(\exp\) 안의 식은 반드시 수렴하며 이는 (\(G\)가 conencted일 경우) \(\exp\)가 surjective group homomorphism이라는 결과로 나타난다. 따라서, first isomorphism theorem에 의하여

\[G\cong \mathfrak{g}/\ker(\exp)\]

이다. 이제 \(\mathfrak{g}\)는 \(n\)차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이고, \(\exp\)가 local diffeomorphism이므로 \(\ker(\exp)\)는 discrete additive subgroup이 된다. 이는 \(\mathbb{Z}^k\)라는 사실이 잘 알려져있으며 따라서

\[G\cong \mathfrak{g}/\ker(\exp)\cong \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^k\cong T^k\times \mathbb{R}^{n-k}\]

이다. 즉, connected abelian Lie group은 반드시 torus와 \(\mathbb{R}^k\)의 곱이며, 특히 compact connected abelian Lie group은 반드시 torus이다.

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참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013

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