복잡한 대수적 구조를 다룰 때 유효한 전략 중 하나는 이 구조를 직접 분석하는 대신, 주어진 대수적 대상이 다른 대수적 대상에 어떻게 작용하는지를 살펴보는 것이다. 우리는 특별히 군의 작용에 관심이 있는데, 언제나 그렇듯 조금 더 일반적으로 모노이드가 집합 위에 작용하는 경우를 먼저 생각한다.
집합 위에 작용하는 모노이드
정의 1 Monoidal category $(\mathcal{A},\otimes, I)$와 $\mathcal{A}$의 monoid object $(A,\cdot, 1)$를 고정하자. 그럼 morphism $\rho: A\otimes E\rightarrow E$이 대상 $E\in\obj(\mathcal{A})$ 위에 정의된 $A$의 left action왼쪽 작용이라는 것은 다음 두 diagram이 모두 commute하는 것이다.
여기서 $I\otimes E \rightarrow E$는 left unitor이다. 이 상황을 $A\circlearrowright E$로 적는다.
비슷하게, morphism $\rho: E\otimes A\rightarrow E$이 대상 $E\in\obj(\mathcal{A})$ 위에 정의된 $A$의 right action오른쪽 작용이라는 것은 다음 두 diagram이 모두 commute하는 것이다.
마찬가지로 $E\otimes I \rightarrow E$는 right unitor이다. 이 상황을 $E \circlearrowleft A$로 적는다.
Monoidal category $(\Set,\times, I)$ 위의 monoid object $(M,\cdot,1)$을 고정하자. 그럼 이를 통해 임의의 집합 $E$ 위에 정의된 $M$의 left action을 생각할 수 있다. 그럼 [집합론] §집합의 곱, ⁋명제 4로부터
\[\Hom_\Set(M\times E,E)\cong\Hom_\Set(M,\Hom_\Set(E,E))\cong\Hom_\Set(M, \End(E))\]이므로, 임의의 left action은 함수 $M \rightarrow \End(E)$를 정의한다. 그럼 정의 1의 두 diagram이 commutative라는 것은 이 함수가 실은 monoid homomorphism이라는 것과 같다.
바꿔 말하자면 $M$이 $E$에 왼쪽에서 act한다는 것은 임의의 $\alpha,\beta\in M$과 $x\in E$에 대하여, 다음의 식
\[(\alpha\beta)\cdot x=\alpha\cdot(\beta\cdot x),\qquad e\cdot x=x\]이 성립하는 것이다.
일반적인 경우, 우리는 위와 같이 주어진 대상이 다른 대상에 왼쪽에서 act하는 경우를 생각하지만, 종종 오른쪽에서 act하는 것이 자연스러울 때도 있다. 이는 다음 정의에 의해 사실은 같은 것이다.
정의 2 임의의 마그마 $(M,\ast)$에 대하여, $M$의 opposite magma반대 마그마 $(M^\op,\ast^\op)$는 다음과 같이 정의된 마그마이다.
- 집합으로서 $M^\op=M$이다.
- 임의의 $x,y\in A^\op$에 대하여, $x\ast^\op y$는 $y\ast x$로 정의된다.
그럼 right $M$-action은 left $M^\op$-action과 같은 것임을 확인할 수 있다. 이를 다시 쓰자면
\[x\cdot(\beta\alpha)=(x\cdot\beta)\cdot\alpha,\qquad x\cdot e=x\]라 할 수 있다. 이렇게 left action과 right action은 표기상의 차이일 뿐, 본질적으로는 동일한 의미를 갖는다. 따라서 앞으로 일반적인 이론을 전개할 때는 모든 action이 left action인 것으로 생각한다.
예시 3 Monoid $M$과 $M$-set $E$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathcal{P}(E)$도 자연스러운 $M$-set 구조를 갖는다. 임의의 $\alpha\in M$과 $A\in \mathcal{P}(E)$에 대하여, $\alpha\cdot A$를 다음 식
\[\alpha\cdot A=\{\alpha\cdot a:a\in A\}\]으로 정의하자. 그럼
\[(\alpha\beta)\cdot A=\{(\alpha\beta)\cdot a:a\in A\}=\{\alpha\cdot(\beta\cdot a):a\in A\}=\alpha\cdot\{\beta\cdot a:a\in A\}=\alpha\cdot(\beta\cdot A)\]이므로 이것이 $\mathcal{P}(E)$ 위에 $M$-action을 정의한다.
논의의 편의를 위해 다음과 같이 정의한다.
정의 4 Monoid $M$이 집합 $E$ 위에 left action을 정의할 때, $E$와 이 action을 통틀 (left) $M$-set이라 부른다.
$M$-set homomorphism
정의 5 Monoid $M$이 고정되었다 하고, $E,E’$가 $M$-set들이라 하자. 함수 $f:E\rightarrow E’$가 $M$-set homomorphism이라는 것은 모든 $x\in E$와 $\alpha\in M$에 대하여
\[f(\alpha\cdot x)=\alpha\cdot f(x)\]이 성립하는 것이다.
어렵지 않게 $M$-set homomorphism들의 합성이 $M$-set homomorphism이고, 또 항등함수가 $M$-set homomorphism인 것을 확인할 수 있다. 즉, (left) $M$-set들의 모임은 카테고리를 이룬다. 이를 $\lset{M}$으로 적는다.
임의의 monoid homomorphism $\phi:M \rightarrow M’$을 고정하자. 그럼 임의의 $M’$-set $E$에 대하여, 다음 합성
\[M\overset{\phi}{\longrightarrow}M'\overset{\rho}{\longrightarrow}\End(E)\]을 통해 $E$를 $M$-set으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의되는 action을 $\phi^\ast\rho$라 적자. 그럼 명시적으로 $\phi^\ast\rho$는 임의의 $\alpha\in M$과 $x\in E$에 대해,
\[(\phi^\ast\rho)(\alpha)(x)=\rho(\phi(\alpha))(x)\]으로 정의되는 action이다. 이제 두 $M’$-action $\rho:M’ \rightarrow \End(E)$와 $\rho’:M’ \rightarrow \End(E)$가 주어졌다 하고, 이들 사이의 $M’$-homomorphism $f:E \rightarrow E’$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $\alpha\in M$과 $x\in E$에 대하여,
\[f((\phi^\ast\rho)(\alpha)(x))=f(\rho(\phi(\alpha))(x))=\rho'(\phi(\alpha))(f(x))=(\phi^\ast\rho')(f(x))\]이 성립한다. 즉 임의의 monoid homomorphism $\phi:M \rightarrow M’$은 $\lset{M’}$에서 $\lset{M}$으로의 functor를 정의한다. 툭별히 $\iota$가 submonoid의 inclusion이라면 이는 monoid action의 restriction이 된다.
한편, $(E_i)$들이 $M$-set들의 모임이면 이들의 product $\prod E_i$에 다음의 식
\[\alpha\cdot(x_i)_{i\in I}=(\alpha\cdot x_i)_{i\in I}\]을 통해 $M$의 action을 정의한 것이 다시 $M$-set이 된다. 이와 비슷하게 $M$-set $E$의 부분집합 $F$가 다음의 식
\[x\in F\implies \alpha\cdot x\text{ for all $\alpha\in F$}\]을 만족한다면 $F$를 $M$-subset이라 부른다. 또, $M$-set 위에 정의된 동치관계 $\sim$이 $M$의 action과 compatible하다면, 즉
\[x\sim y\implies\alpha\cdot x\sim\alpha\cdot y\]가 항상 참이라면 $E/\mathnormal{\sim}$은 자연스러운 $M$-set의 구조를 갖는다.
Stabilizer, fixer
정의 6 $M$-set $E$의 부분집합 $A$가 주어졌다 하자.
- $A$의 stabilizer안정자는 $\alpha A\subseteq A$를 만족하는 $\alpha$들의 집합을 뜻하고, 이를 $\stab (A)$로 적는다.
- $A$의 strict stabilizer강한 안정자는 $\alpha A=A$를 만족하는 $\alpha$들의 집합을 뜻하고, 이를 $\Stab(A)$로 적는다.
- $A$의 fixer고정자는 모든 $a\in A$에 대해 $\alpha a=a$를 만족하는 $\alpha$들의 집합을 뜻하며, 이를 $\Fix(A)$로 적는다.
임의의 부분집합 $A$에 대하여 $\Fix(A)\subseteq \Stab(A)\subseteq \stab(A)$가 성립한다. 또, $e\in\Fix(A)$임이 자명하다.
명제 7 $M$-set $E$와 그 부분집합 $A$에 대하여, $\stab(A)$, $\Stab (A)$와 $\Fix(A)$는 $M$의 submonoid이다.
증명
이들 집합이 연산에 대해 닫혀있음만 보이면 충분하다. 만일 $\alpha,\beta\in\stab(A)$라 하면,
\[(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\subseteq \alpha A\subseteq A\]으로부터 $\alpha\beta\in \stab(A)$임을 안다. 비슷하게 만일 $\alpha,\beta\in\Stab(A)$라 하면,
\[(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)=\alpha A=A\]이므로 $\alpha\beta\in \Stab(A)$이고 주장이 성립한다. 마지막으로 만일 $\alpha,\beta\in\Fix(A)$라면 임의의 $a\in A$에 대해
\[(\alpha\beta)a=\alpha(\beta a)=\alpha a=a\]이므로 $\alpha\beta\in \Fix(A)$이다.
따름정리 8 Group $G$가 주어졌다 하자. $G$-set $E$와 그 부분집합 $A$에 대하여, $\Stab (A)$와 $\Fix(A)$는 $G$의 subgroup이며, 특히 $\Fix(A)$는 $\Stab(A)$의 normal subgroup이다.
증명
첫 번째 주장은 주어진 집합들이 역원에 대해 닫혀있음만 보이면 충분하고, 이는 임의의 $\alpha\in\Stab(A)$에 대해 다음 식
\[A=(\alpha^{-1}\alpha)A=\alpha^{-1}(\alpha A)=\alpha^{-1}A\]이 성립하고, 임의의 $\alpha\in\Fix(A)$와 $a\in A$에 대해
\[a=(\alpha^{-1}\alpha)a=\alpha^{-1}(\alpha a)=\alpha^{-1}a\]이 성립하는 것으로부터 자명하다. 두 번째 주장은 임의의 $\alpha\in\Fix(A)$, $\beta\in\Stab(A)$가 주어졌다 하고, 임의의 $a\in A$에 대해 $(\beta\alpha\beta^{-1})a$를 계산해보면
\[(\beta\alpha\beta^{-1})a=\beta(\alpha(\beta^{-1}a))=\beta\beta^{-1}a=a\]이므로 $\beta\alpha\beta^{-1}\in\Fix(A)$가 되어 성립한다.
위의 따름정리의 증명으로부터, group $G$가 집합 $E$에 act할 때, $\rho_g$는 반드시 전단사임을 안다. 즉 $\im\rho\subseteq \Aut(E)$가 항상 성립한다.
내부자기동형사상
이제 우리는 집합 $E$ 위에 추가적인 구조가 주어진 경우를 생각한다. 가령 $E$ 또한 monoid 구조를 가진다 하고, 주어진 monoid $M$이 $E$ 위에 act한다 하면, $M$-action은 monoid homomorphism $M \rightarrow\End(E)=\End_\Mon(E)$로 주어진다.
특별히 group $G$가 자기 자신 위에 act하는 경우를 생각하자. 즉 $\rho:G\rightarrow\End(G)=\End_\Grp(G)$가 주어져 있다 하면, 따름정리 8의 증명으로부터 $\rho$의 image는 모두 전단사라는 것을 안다. 그런데 전단사인 group homomorphism은 항상 group isomorphism이므로 (§대수적 구조, ⁋정의 6) $G$가 자기 자신 위에 act한다면 이는 반드시 group homomorphism $G \rightarrow \Aut(G)$와 같은 형태로 나타나야 한다는 것을 안다.
자기 자신 위에서 정의된 group action 중 몇 가지는 기억해둘 만한 가치가 있다.
명제 9 Group $G$의 임의의 원소 $g$에 대하여, $\rho_g\in\Aut(G)$를 다음의 식
\[\rho_g(x)=gxg^{-1}\]으로 정의하면 대응 $\rho:g\mapsto \rho_g$는 group homomorphism이 된다.
증명
임의의 $x,y\in G$에 대하여
\[\rho_g(xy)=g(xy)g^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=\rho_g(x)\rho_g(y)\]가 성립하는 것으로부터 $\rho_g$가 group homomorphism이라는 것을 안다. 따라서 $\im\rho\subseteq\Aut(G)$가 성립한다.
한편 임의의 $g,h\in G$와 $x\in G$에 대하여,
\[\rho_{gh}(x)=(gh)x(gh)^{-1}=g(hxh^{-1})g^{-1}=(\rho_g\circ\rho_h)(x)\]이므로 $\rho_{gh}=\rho_g\circ\rho_h$이다. 즉, $\rho:g\mapsto \rho_g$는 $G$에서 $\Aut(G)$로의 group homomorphism이다.
정의 10 Group $G$가 주어졌다 하자. 명제 9의 automorphism $\rho_g$를 $g$에 의해 정의되는 inner automorphism내부자기동형사상이라 부르고, 이들의 모임을 $\Inn(G)$로 적는다.
명제 11 Group $G$에 대하여, inner automorphism들의 모임 $\Inn(G)$는 $\Aut(G)$의 normal subgroup이다.
증명
$\Inn(G)$는 group homomorphism $\rho:G\rightarrow\Aut(G)$의 image이므로 $\Aut(G)$의 subgroup인 것은 자명하며, 따라서 $\Inn(G)$가 normal subgroup임만 보이면 충분하다.
임의의 $f\in\Aut(G)$를 택하고, $g\in G$를 임의로 고정하자. $f\circ\rho_g\circ f^{-1}\in \Inn(G)$임을 보여야 한다. 이는 임의의 $x\in G$에 대하여,
\[(f\circ\rho_g\circ f^{-1})(x)=f(gf^{-1}(x)g^{-1})=f(g)xf(g^{-1})=\rho_{f(g)}(x)\]이므로 자명하다.
한편, $\rho:G\rightarrow\Inn(G)$는 전사이며, 따라서 first isomorphism theorem에 의하여
\[G/\ker\rho\cong\Inn(G)\]가 성립한다. $\ker\rho$에도 특별한 이름이 있다.
정의 12 Group $G$와, 명제 9에서 정의한 group homomorphism $\rho:G\rightarrow\Inn(G)$에 대하여, $\ker\rho$를 $G$의 center중심이라 부르고 $C(G)$로 표기한다.
정의에 의하여,
\[g\in\ker\rho\iff\rho_g=\id_G\iff gxg^{-1}=x\quad\text{for all $x\in G$}\]이므로, $G$가 inner automorphism으로 자기 자신 위에 작용하는 상황에서의 fixer $\Fix(G)$가 정확히 $C(G)$이다. 더 일반적으로, 임의의 부분집합 $A\subseteq G$에 대하여 $A$의 fixer $\Fix(A)$를 $A$의 centralizer $C_G(A)$를 $\Fix(A)$로 정의한다. 이와 비슷하게 $A$의 normalizer $N_G(A)$를 $\Stab(A)$로 정의한다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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