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Grad. student in mathematics

우리는 지금까지 위상수학의 기초적인 내용을 다뤘다. 역사적으로 보았을 때, 열린집합들의 모임 T\mathcal{T}를 위상공간으로 정의하는 것은 그렇게까지 오래되지는 않았고, 여러 정의가 존재해왔다. 현재에도 연구분야에 따라 이들 정의들이 유용할 때가 있다. 이번 글에서는 지금까지 살펴본 개념들을 사용하여 다른 방식으로 위상수학을 정의하는 법을 살펴본다.

닫힌집합Permalink

§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2에 의하여, 집합 XX 위에 어떠한 집합이 닫힌 집합인지를 알려주는 집합들의 모임 C\mathcal{C}를 정의하는 것으로 XX에 위상구조를 줄 수 있다. 이는 원래의 정의와 거의 다르지 않지만, 특히 대수기하학에서 Zariski topology를 정의할 때 유용하게 사용할 수 있다.

Closure axiomPermalink

정의 1 (Kuratowski closure axiom) 임의의 집합 XX에 대하여, 함수 cl⁡:P(X)→P(X)\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)가 다음의 조건들을 모두 만족한다 하자.

  • A⊂cl⁡(A)A\subset\cl(A)
  • cl⁡(cl⁡(A))=cl⁡(A)\cl(\cl(A))=\cl(A)
  • cl⁡(A∪B)=cl⁡(A)∪cl⁡(B)\cl(A\cup B)=\cl(A)\cup\cl(B)
  • cl⁡(∅)=∅\cl(\emptyset)=\emptyset

이 조건들을 만족하는 함수를 closure operator라 부른다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 8)

세 번째 조건으로부터, 만일 A⊆BA\subseteq B라면

cl⁡(A)⊂cl⁡(A)∪cl⁡(B)=cl⁡(A∪B)=cl⁡(B)\cl(A)\subset\cl(A)\cup\cl(B)=\cl(A\cup B)=\cl(B)

임을 알 수 있다.

임의의 위상공간 XX에 대하여, XX의 임의의 부분집합 AA를 AA의 closure로 보내는 함수 cl⁡:P(X)→P(X)\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)가 위의 조건을 만족한다는 것은 자명하다.

거꾸로 임의의 집합 XX 위에 위의 조건을 만족하는 closure operator cl⁡:P(X)→P(X)\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)이 주어졌다 하자. 이제 P(X)\mathcal{P}(X)의 원소들 중 cl⁡(C)=C\cl(C)=C를 만족하는 집합들의 모임을 C\mathcal{C}로 적자. 그러면

  • cl⁡(∅)=∅\cl(\emptyset)=\emptyset이므로, ∅∈C\emptyset\in\mathcal{C}이다. 한편 X⊂cl⁡(X)X\subset\cl(X)이므로 cl⁡(X)=X\cl(X)=X이고 따라서 X∈CX\in\mathcal{C}이다.
  • 임의의 A,B∈CA,B\in\mathcal{C}에 대하여, A∪B=cl⁡(A)∪cl⁡(B)=cl⁡(A∪B)A\cup B=\cl(A)\cup\cl(B)=\cl(A\cup B)가 성립하므로 A∪B∈CA\cup B\in\mathcal{C}가 성립한다.

  • 임의의 index set II와 Ai∈CA_i\in\mathcal{C}들에 대하여, ⋂Ai⊂cl⁡(⋂Ai)\bigcap A_i\subset\cl(\bigcap A_i)이고, 또 ⋂Ai⊆Ai\bigcap A_i\subseteq A_i으로부터

    cl⁡(⋂Ai)⊂cl⁡(Ai)=Ai\cl(\bigcap A_i)\subset\cl(A_i)=A_i

    가 성립하므로 cl⁡(⋂Ai)⊂⋂Ai\cl(\bigcap A_i)\subset\bigcap A_i 또한 성립한다.

이로부터 다음의 정리가 얻어진다.

정리 2 정의 1의 조건을 모두 만족하는 함수 cl⁡:P(X)→P(X)\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)가 주어졌다 하자. C\mathcal{C}를 cl⁡(C)=C\cl(C)=C를 만족하는 모든 CC들의 모임으로 정의하면, C\mathcal{C}는 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2의 조건을 모두 만족하며 따라서 유일한 위상구조를 정의한다.

물론 집합의 interior를 이용하여도 어렵지 않게 위상구조를 하나 정의할 수 있다. 이 경우, interior operator int⁡\interior가 만족해야 할 공리들은 다음과 같다.

Interior axiom. 임의의 집합 XX에 대하여, 함수 int⁡:P(X)→P(X)\interior:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)가 다음의 조건들을 만족한다 하자.

  • int⁡(A)⊆A\interior(A)\subseteq A
  • int⁡(int⁡(A))=int⁡(A)\interior(\interior(A))=\interior(A)
  • int⁡(A∩B)=int⁡(A)∩int⁡(B)\interior(A\cap B)=\interior(A)\cap\interior(B)
  • int⁡(X)=X\interior(X)=X

이 조건들을 만족하는 함수를 interior operator라 부른다.

Neighborhood filterPermalink

우리는 §열린집합, ⁋명제 6에서 각 점 xx마다 neighborhood filter N(x)\mathcal{N}(x)를 주면, 이 정보 또한 유일한 방식으로 XX에 위상구조를 준다는 것을 확인했다. 해당 명제에서 N(x)\mathcal{N}(x)가 만족해야 할 첫 번째부터 세 번째 조건은 filter의 조건이며, 다음 정의 또한 이미 정의하였던 것이지만 나중의 reference를 위해 남겨둔다.

정의 3 집합 XX 위에서 정의된 filter라는 것은 다음의 세 조건을 만족하는 P(X)\mathcal{P}(X)의 부분집합 F\mathcal{F}를 뜻한다.

  1. F\mathcal{F}의 원소를 포함하는 XX의 부분집합은 F\mathcal{F}에 속한다.
  2. F\mathcal{F}의 원소들의 유한한 교집합은 F\mathcal{F}에 속한다.
  3. ∅∉F\emptyset\not\in\mathcal{F}이다.

예시 4 무한집합 XX에 대하여, X∖AX\setminus A가 유한집합이도록 하는 AA들의 모임은 filter이다. 특별히 X=NX=\mathbb{N}인 경우 이 filter를 Fréchet filter라 부른다.

Ordered set (P(X),⊆)(\mathcal{P}(X),\subseteq)를 생각하면, 위 정의는 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 1에서 정의한 것과 동일하지만 조건 ∅∉F\emptyset\not\in\mathcal{F}가 추가된 것으로 생각할 수 있다. 비슷하게, XX 위에 정의된 ultrafilter 또한 ∅\emptyset을 포함하지 않는 maximal filter를 의미하는 것으로 생각한다.

그럼 N(x)\mathcal{N}(x)가 만족해야 할 네 가지 조건 중 앞의 세 가지는 N(x)\mathcal{N}(x)가 모든 xx에 대하여 filter 구조를 갖는다는 것으로 축약할 수 있다. 네 번째 조건은 별도로 이름을 갖는다.

Neighborhood axiom. 임의의 z∈Xz\in X와, 각각의 원소가 zz를 포함하는 XX의 filter N(z)\mathcal{N}(z)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 S∈N(z)S\in\mathcal{N}(z)마다 적당한 S′∈N(z)S’\in\mathcal{N}(z)가 존재하여, 임의의 x∈S′x\in S'마다 S∈N(x)S\in\mathcal{N}(x)가 성립하도록 할 수 있다.

뿐만 아니라, N(x)\mathcal{N}(x)를 local base와 같은 역할을 한다고 생각하면, 이를 통해 위상공간이 base B\mathcal{B}를 통해서도 정의됨을 보일 수 있었다. (§위상공간의 기저, ⁋따름정리 6)

한편, 더 일반적으로 filter의 base를 정의할 수 있다.

정의 5 P(X)\mathcal{P}(X)의 부분집합 B\mathcal{B}가 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

  1. B\mathcal{B}의 임의의 두 원소의 교집합은 B\mathcal{B}의 어떠한 원소를 포함한다.
  2. B\mathcal{B}는 적어도 하나의 원소를 포함하며, ∅∉B\emptyset\not\in \mathcal{B}이다.

그럼 ↑B\uparrow \mathcal{B}는 XX의 filter를 정의하며, 이 때 B\mathcal{B}를 ↑B\uparrow \mathcal{B}의 filter base라 부른다.

어렵지 않게 다음을 확인할 수 있다.

명제 6 XX 위에 정의된 filter F\mathcal{F}의 부분집합 B\mathcal{B}가 F\mathcal{F}의 filter base인 것은 F\mathcal{F}의 임의의 원소가 B\mathcal{B}의 어떠한 원소를 포함하는 것과 동치이다.

또, 다음이 성립한다.

명제 7 XX 위에 정의된 filter F\mathcal{F}를 생각하자. 그럼 임의의 함수 f:X→Yf:X \rightarrow Y에 대하여,

f(F)={f(F)∣F∈F}f(\mathcal{F})=\{f(F)\mid F\in \mathcal{F}\}

은 YY의 filter base이다.

증명

이는 f(F1∩F2)⊆f(F1)∩f(F2)f(F_1\cap F_2)\subseteq f(F_1)\cap f(F_2), 그리고 ∅∉F  ⟹  ∅∉f(F)\emptyset\not\in\mathcal{F}\implies \emptyset\not\in f(\mathcal{F})로부터 자명하다.

한편 집합 XX 위에 정의된 filter F\mathcal{F}와 임의의 부분집합 AA에 대하여, 다음 집합

F∣A={F∩A∣F∈F}\mathcal{F}\vert_A=\{F\cap A\mid F\in \mathcal{F}\}

은 일반적으로 AA의 filter가 되지 않는다. 이는 생각해보면 오직 F∣A\mathcal{F}\vert_A가 공집합을 포함할 수도 있기 때문이다. 즉, F\mathcal{F}의 모든 원소가 AA와 서로소가 아니라면 F∣A\mathcal{F}\vert_A는 AA 위에 filter를 정의한다.

정의 8 만일 위의 상황에서 F∣A\mathcal{F}\vert_A가 AA의 filter를 정의한다면, filter F\mathcal{F}를 AA의 filter라 부른다.

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