사이트 소개
저는 수학을 전공하는 대학원생이고, 이 블로그는 제가 공부한 것들을 정리해 둔 사이트입니다. 적어도 제가 이 글을 쓰고 있는 시점에서는 제가 시니어 학자가 아니기 때문에, 내용들은 거의 대부분 각 분야에서 유명한 reference들을 한글로 쓰며, 약간의 변형을 가한 정도입니다. 특히 제가 공부를 완료하고 나서 적은 분야들이 아니라, 공부하며 여기에 정리한 분야들은 더더욱 그렇습니다.
이 블로그의 프로토타입은 군대에 있을 때 싸지방에서 overleaf를 이용해서 작성한 600페이지 가량의 $\TeX$ 문서인데, 이를 한글로 옮기고 적당히 수정하여 글을 쓰고 있습니다.
블로그의 제목은 언젠가 제 선배 하나가 저에게 해준 말에서 따 왔습니다. 대략적으로, 연구할 때 모든 내용을 다 공부하려 하지 말고, fact로 받아들일 것들을 정한 후 그에 대한 증명과 같은 것들은 저만의 블랙박스 안에 담아두라는 이야기였던 것으로 기억합니다.
연구할 때는 이것이 전적으로 옳은 방향이지만, 수학을 연구하는 사람이라면 자신이 서 있는 땅이 정말 단단한지 확인해보고 싶은 욕구도 누구에게나 있을 것이라 생각합니다. 이 블로그는 그 욕구를 충족시키기 위한 취미활동의 일환입니다. 때문에 업데이트 속도는 아주 뜸한 편입니다.
블로그의 방향성
방향성이라는 이름은 좀 거창하고, 블로그 내용에 대한 설명입니다.
수학 카테고리
원래는 블로그 내의 수학 글들을 크게 세 부분으로 나누어,
- 비전공자를 위한 수학 (미적분학/선형대수학)
- 수학과 학부생을 위한 수학 (임용고시 수학 정도의 범위)
- 전공자를 위한 수학 (전공심화~대학원 수준의 내용)
으로 쓰려고 하였습니다.
현재는 이 방향성이 별로 유지되고 있지 않은데, 이 블로그의 목적이 잠재적인 독자를 이해시키기 위한 것에서, 스스로가 납득할만한 설명들을 찾는 것으로 바뀌었기 때문입니다.
특히 위에서 쓴 것 중 비전공자를 위한 수학은 거의 포기하였습니다. 가령 이 블로그를 쓸 때 가장 먼저 쓴 내용이 선형대수학이었지만, 현재로서 미적분학 카테고리에 글을 쓰는 것은 가장 후순위의 할 일로 밀렸습니다. 또, 어떠한 토픽을 다룰 때 이 내용을 학부 내용과 대학원 내용으로 구분하지 않기로 하였고, 제가 만족하는 범위까지 그냥 쭉 쓰려 합니다.
또, 해석학의 경우에도 대학원에 입학해서 공통적으로 배우는 내용 (가령 $L^p$ space에 대한 간략한 내용) 정도까지는 나중에 시간이 허락한다면 정리해볼 생각이 있으나, 제 전공이 해석학과는 거리가 있는 관계로 그것이 언제가 될지 모르겠습니다.
수학이라는 것이 각 세부분야가 서로에게 영향을 끼치는 측면이 있어, 글을 읽는 순서를 정하기가 참으로 힘듭니다. 다만 최대한 큰 흐름을 본다고 전제하면, 현재로서는 블로그의 글은 다음과 같은 순서로 이루어져 있습니다.
- [집합론] 카테고리는 말 그대로 집합론 내용이 있으며, 다른 어떠한 카테고리의 지식도 요구하지 않습니다.
- [범주론] 카테고리는 집합론 이외의 모든 카테고리의 글들, 특히 대수학 쪽의 글들을 읽는데 필요합니다. 때문에 이 카테고리에서 집합론 이와의 카테고리의 글을 언급하는 것은 최대한 지양하였고 그 결과 꽤나 건조하게 되었습니다. 예외로 모노이드 범주 및 모노이드 대상 글에서는 monoid 및 group의 기초적인 정의를 알고 있다고 가정하였습니다.
- [대수적 구조] 카테고리는 대략적으로 학부 현대대수학(추상대수학)에 해당하는 내용이며, group, ring, module, algebra 네 개의 파트로 나누어져 있습니다. 학부 내용과 다른 점은 [범주론]의 언어를 많이 차용했다는 점입니다.
- [다중선형대수학] 카테고리를 설명하려면 약간의 변명이 필요합니다. 원래는 [대수적 구조] 카테고리의 메인 레퍼런스인 [Bou2]의 Chapter 3에 해당하는 내용을 다루려 했으나, algebra에 대한 내용이 [대수적 구조] 카테고리로 가버렸고, 그렇다고 이 부분만 빼고 나머지 부분을 하나의 카테고리로 하기에는 [범주론]의 언어를 사용하면서 [Bou2]에서 불필요하게 반복되는 증명을 빼고 보니 많은 것이 남지 않았습니다. 그래서 이 카테고리의 글들은 학부 선형대수학인 [선형대수학] 카테고리의 글들을 일반적인 $A$-module로 올리는 것과, tensor algebra등의 내용을 소개하는 것 두 가지 목표를 가지게 되었습니다. 그러다보니 이름이 다소 적절치 않아졌지만, 마땅히 생각나는 이름이 있지도 않네요.
- [호몰로지 대수학] 카테고리에서는 호몰로지 대수학에 대해서 배웁니다.
- [가환대수학] 카테고리에서는 가환대수학을 합니다. 즉 commutative ring과, 그를 통해 정의된 module 구조를 살펴봅니다. 다만 가급적이면 분야들을 명확하게 나눠놓고 싶어서, 이것이 기하학적으로 어떠한 의미를 갖는지는 모두 [대수기하학] 카테고리에 있습니다. 이 부분은 특히 메인 레퍼런스인 [Eis]보다 잘 쓸 자신이 도무지 없어서, 거의 이 책에서 기하적인 직관만 뺀 형태입니다.
- [위상수학] 카테고리에서는 위상수학을 다루는데, 아무레도 레퍼런스가 [Bou3]이다보니 학부수준이라고 하기에는 묘한 내용들도 조금 있습니다. 이왕 이렇게 된거, 보편적으로 [대수기하학]에서 배우게 되는 sheaf 관련 내용들도 여기에 있습니다.
- [대수적 위상수학] 카테고리는 아직 시작하지 않았지만, [호몰로지 대수학] 카테고리에서 필요한 내용을 모두 만들었으니, 여기에 기하적인 flavor만 추가하면 됩니다. 물론 homotopy 또한 중요한 주제이니, 이 또한 다뤄야 할거고요.
- [미분다양체] 카테고리는 말 그대로 미분다양체입니다. 이 카테고리의 글들을 쓰며 참고한 메인 레퍼런스는 [War]지만, 제가 처음 이 분야를 공부한 책은 [Lee2]이고 이 책의 설명이 훨씬 친절한 부분도 많다보니 대략적으로 반반 정도의 비중이 되는 것 같습니다. [Lee2]을 참고한 것은 다음 카테고리인 미분기하학에서 Riemannian metric에 대한 내용을 다루기 위해서입니다.
- [미분기하학] 카테고리는 위의 [미분다양체] 카테고리의 뒤를 이어, [Lee3]를 따라 리만기하를 하려 했던 카테고리입니다. 다만, 현재는 제 전공이 이쪽 분야와 다소 멀어지게 되어 언제쯤 업데이트가 될지는 잘 모르겠습니다.
- [대수기하학] 카테고리에서는 [가환대수학] 카테고리에서 만든 도구를 이용하여 기하학을 합니다. 이 카테고리가 뒤쪽에 있는 이유는 [미분다양체] 등의 카테고리에서 기하학적 직관을 기르기 위한 것입니다. 다만 아직도 이 카테고리의 글을 쓸 때 기하학적 직관을 우선할지, 대수적인 formalism을 우선할지 마음을 정하지 못해서 아직 카테고리 글들이 좀 난장판입니다.
해석학 관련 내용은 아마 [위상수학]-[대수적 위상수학]이 끝난 직후에 넣는 것이 순서상 자연스러울 것 같은데, 그게 언제가 될지는 잘 모르겠습니다.
맨 처음 언급한 것과 같이 이들 카테고리의 글들은 모두 기존에 있던 레퍼런스들을 굉장히 많이 참고한 것인데, 이 레퍼런스들은 각 글 뒤에도 달아뒀지만 분야별로 모아두는 것도 괜찮을 것 같아 이렇게 정리해둡니다.
선형대수학
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
[Lee1] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
집합론
[Bou1] N. Bourbaki. Elements of the History of Mathematics. Springer, 2013
[HJJ] K. Hrbacek, T.J. Jeck, and T. Jech. Introduction to Set Theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. M. Dekker, 1978.
범주론
[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.
대수적 구조
[Bou2] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
다중선형대수학
[Bou2] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
호몰로지 대수학
[Hu] S.T. Hu, Introduction to homological algebra. University Microfilms, 1979.
[Wei] C.A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, 1995.
가환대수학
[AM] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Basic Books, 1969.
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
위상수학
[Bou3] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
[Mun] J.R. Munkres, Topology. Featured Titles for Topology. Prentice Hall, Incorporated, 2000.
미분다양체
[Lee2] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012
[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
미분기하학
[Lee3] John M. Lee. Introduction to Riemannian Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2019
대수기하학
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
블로그 개발일지
수학이 아닌 카테고리는 우선 블로그 개발일지만 있습니다. 사실 그 외에 여기에 쓸 내용이 뭐가 있을지 모르겠습니다. 뭐 일기를 쓸 건 아니니까요…
저는 코딩을 전혀 할 줄 몰라 이 사이트를 만들며 삽질을 계속해야 했었는데, 혹시라도 비슷한 삽질을 할 사람이 있을까 하여 기록으로 남겨두었습니다.
기술적인 내용들
영어 사이트 운영
[블로그 개발] §다국어 지원에서 이미 이 사이트를 한글/영어를 병행하여 운영할 준비는 갖추어 두었습니다. 그러나 기존의 $\TeX$ 문서를 마크다운 문법에 맞추어 복사-붙여넣기만 하면 될 것이라 생각했던 행복한 상상이 깨져버리면서, 영어 사이트는 아마도 “수학 공부할거면 이 정도는 알아야지” 싶은 기초적인 내용들을 전부 한글로 쓴 후에야 손을 댈 것 같습니다. 다만 그게 빠를지 제 대학원 졸업이 빠를지는 잘 모르겠습니다.
한-영 용어
가급적이면 한글용어를 사용하기 위해 대한수학회의 수학용어 페이지를 찾아가며 열심히 번역했지만, 개인적으로 느끼기에 한글용어가 아직 원문에 담겨있는 직관을 다 담지 못한다고 느끼는 경우가 많아 이러한 용어들은 번역하지 않고 그대로 두었습니다. 특히 학부 내용 너머에서 도입되는 용어들은 거의 대부분이 그러합니다.
어쨌든 찾아보기 페이지에 블로그에서 사용한 용어들을 정리해 두었습니다. 이 또한 먼 미래에는 약간 손을 봐서
| 영문 용어 | 한글 용어 | 정의 | 참고 |
|---|---|---|---|
| [집합론] §이항관계 | |||
| [집합론] §순서관계의 정의 | Relation, Order relation | ||
| [집합론] §순서관계의 정의 | Order relation |
처럼 비슷한 용어들 위주로 뭉쳐놓을 생각이지만 언제가 될지는 잘 모르겠습니다.
기타
$\TeX$ 버전의 파일은 거의 소스들을 그대로 베껴쓴 것이라 노테이션이 제각각인데, 이를 최대한 통일하려 노력하긴 했지만 아직 미흡한 부분이 많이 있습니다.