§연속함수, ⁋예시 5에서 함수 $\id$가 연속함수인 것은 정확하게 $\mathcal{T}_Y$가 $\mathcal{T}_X$보다 약한 위상이기 때문에 일어나는 일이다. (§열린집합, ⁋정의 3)
Initial topology
정의 1 집합 $X$, 그리고 위상공간들의 family $(Y_i,\mathcal{T}_i)_{i\in I}$들이 주어졌다 하고, 각각의 $i$마다 함수 $f_i:X\rightarrow Y_i$들이 주어졌다 하자. 함수 $f_i$들을 모두 연속으로 만드는 집합 $X$ 위의 위상 중 가장 약한 것을 $f_i$들에 의해 정의된 initial topology라 부른다.
집합 $X$ 위에 정의된 위상들의 family $(\mathcal{T}_i’)$에 대하여, $\bigcap\mathcal{T}_i’$가 $X$ 위의 위상이 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 또, discrete topology를 정의역으로 삼는 임의의 함수는 항상 연속이므로 initial topology가 항상 존재한다는 것은 자명하다. 이런 종류의 논증이 항상 그렇듯이, 이는 initial topology의 존재성을 보여주는 데에는 흠잡을 곳 없는 논증이 되지만 initial topology가 어떻게 생겼는지를 살펴보는데는 별 도움이 되지 않는다. 때문에 조금 더 구체적으로 상황을 살펴볼 필요가 있다.
함수 $f_i$가 연속이기 위해서는 $Y_i$의 임의의 열린집합 $U_i$에 대하여 $f_i^{-1}(U_i)$가 $X$에서 열린집합이어야 하므로, 우리가 정의할 initial topology는 $f_i^{-1}(U_i)$꼴의 원소들을 모두 가지고 있어야 한다. 한편, 이들 원소들을 포함하는 위상공간은 이들의 유한한 교집합과 임의의 합집합도 포함해야 한다. 따라서 다음의 명제를 증명할 수 있다.
명제 2 정의 1의 initial topology는 정확하게 다음의 집합
\[\mathcal{S}=\{f_i^{-1}(U_i)\mid \text{$U_i$ open in $Y_i$}\}\]을 subbasis로 하여 생성된 위상과 같다.
증명
Initial topology를 $\mathcal{T}_\ini$으로 적고, $\mathcal{S}$를 subbasis로 하여 생성된 위상을 $\mathcal{T}$로 적자. $\mathcal{T}$는 정의에 의해 $f_i$들을 모두 연속으로 만들기 때문에, $\mathcal{T}_\ini$는 $\mathcal{T}$보다 약한 위상이다. 따라서 $\mathcal{T}$가 $\mathcal{T}_\ini$보다 약한 위상이라는 것만 보이면 충분한데, 이는 $\mathcal{T}$가 $\mathcal{S}$를 포함하는 위상 중 가장 약한 위상이기 때문에 자명하다.
Initial topology는 다음과 같은 성질을 갖는다.
명제 3 정의 1의 상황에서, 추가로 위상공간 $Z$와 $g:Z\rightarrow X$가 주어졌다 하자. 그럼 $g$가 연속인 것은 각각의 $f_i\circ g$가 연속인 것과 동치이다.
증명
만일 $g$가 연속이라면 $f_i\circ g$는 연속함수들의 합성이므로 자명하게 연속이다. 따라서 반대방향만 보이자.
각각의 함수 $f_i\circ g$가 연속이라 하자. $X$의 임의의 열린 진부분집합 $U$에 대하여, 명제 2에 의해
\[U=\bigcap_{j=1}^n f_j^{-1}(U_j)\]가 성립하도록 하는 $U_j$들이 존재한다. 따라서
\[g^{-1}(U)=g^{-1}\left(\bigcap f_j^{-1}(U_j)\right)=\bigcap_{j=1}^n(f_j\circ g)^{-1}(U_j)\]이고 가정에 의해 $(f_j\circ g)^{-1}(U_j)$는 열린집합이므로 $g^{-1}(U)$ 또한 열린집합이어야 한다. 즉, $g$는 연속이다.
Final topology
정의 4 집합 $X$와, 위상공간들의 family $(Y_i,\mathcal{T}_i)_{i\in I}$들이 주어졌다 하고, 각각의 $i$마다 함수 $f_i:Y_i\rightarrow X$가 주어졌다 하자. $f_i$들이 모두 연속이도록 하는 $X$ 위의 위상 중 가장 강한 것을 $f_i$들에 의해 만들어지는 final topology라 부른다.
$X$에 trivial topology가 주어졌다 하면, $X$로의 임의의 함수는 항상 연속이다. 하지만 일반적으로 위상의 합집합이 위상이 되지는 않기 때문에, initial topology와는 다르게 존재성 증명이 다음 명제에 강하게 의존하게 된다.
명제 5 정의 4의 위상은 다음의 집합
\[\mathcal{T}_\fin=\{U\subseteq X\mid f^{-1}_i(U)\text{ is open in $Y_i$ for all $i$}\}\]으로 정의된다.
증명
주어진 위상 $\mathcal{T}_\fin$가 실제로 위상이 된다는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $\mathcal{T}_\fin$가 정의 4의 조건을 모두 만족한다는 것만 보이면 충분하다.
우선, 임의의 $U\in\mathcal{T}_\fin$와, 임의의 $i$에 대하여 $f_i^{-1}(U)$가 $Y_i$에서 open인 것은 $\mathcal{T}_\fin$의 정의로부터 명확하다. 한편, $X$ 위에 주어진 조건을 만족하는 또 다른 topology $\mathcal{T}$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $U\in\mathcal{T}$에 대하여, $f^{-1}_i(U)$가 $Y_i$에서 연속이어야 한다. 따라서, $\mathcal{T}_\fin$의 정의에 의해 $U\in\mathcal{T}_\fin$이고 따라서 $\mathcal{T}_\fin$가 $\mathcal{T}$보다 강하다.
역시 마찬가지로 final topology 또한 initial topology와 비슷한 다음의 성질을 만족한다.
명제 6 정의 4의 상황에서, 추가로 위상공간 $Z$와 $g:X\rightarrow Z$가 주어졌다 하자. 그럼 $g$가 연속인 것은 각각의 $g\circ f_i$가 연속인 것과 동치이다.
증명
만일 $g$가 연속이라면 $g\circ f_i$는 연속함수들의 합성이므로 자명하게 연속이다. 따라서 반대방향만 보이자.
각각의 함수 $g\circ f_i$가 연속이라 하자. 그럼 임의의 열린집합 $U\subseteq Z$에 대하여, 다음 집합들
\[(g\circ f_i)^{-1}(U)=f_i^{-1}(g^{-1}(U))\]이 $Y_i$에서 각각 열린집합이다. 그런데 명제 5에 의하여, 이는 곧 $g^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합이라는 것과 같은 말이고 따라서 $g$는 연속이다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
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