§연속함수에서 우리는 연속함수 $f:X \rightarrow Y$에 대하여 다음의 식
\[f^\mathcal{T}(V)=f^{-1}(V)\]을 통해 함수 $f^\mathcal{T}:\mathcal{T}_Y\rightarrow\mathcal{T}_X$를 정의했다. 그런데 거꾸로 생각해보면, 임의의 함수 $f:X\rightarrow Y$에 대하여, $Y$의 임의의 부분집합을 받아 이 집합의 $f$에 대한 preimage를 대응시키는 함수
\[f^\text{pre}:\mathcal{P}(Y)\rightarrow\mathcal{P}(X); \qquad V\mapsto f^{-1}(V)\]는 항상 잘 정의되며, 이를 $\mathcal{P}(Y)$의 부분집합 $\mathcal{T}_Y$로 제한한 것이 정확히 $f^\mathcal{T}$와 같다. 이 때 함수 $f^\text{pre}\vert_{\mathcal{T}(Y)}$의 image가 $\mathcal{T}_X\subseteq \mathcal{P}(X)$에 들어가는 것이 정확하게 $f$가 연속함수일 조건이다.
특히, 임의의 집합 $X$와 그 위에 정의된 discrete topology $\mathcal{T}_1$, trivial topology $\mathcal{T}_2$를 고정하면, 위상공간 $(X, \mathcal{T}_1)$에서 임의의 위상공간 $(Y, \mathcal{T})$로의 함수가 연속이고, 임의의 위상공간 $(Y,\mathcal{T})$에서 $(X, \mathcal{T}_2)$로의 함수가 항상 연속이다.
Initial topology
이번 글에서 우리는 위와 비슷한 성질로 정의되는 위상구조를 살펴본다.
정의 1 집합 $X$, 그리고 위상공간들의 family $(Y_i,\mathcal{T}_i)_{i\in I}$들이 주어졌다 하고, 각각의 $i$마다 함수 $f_i:X\rightarrow Y_i$들이 주어졌다 하자. 함수 $f_i$들을 모두 연속으로 만드는 집합 $X$ 위의 위상 중 가장 약한 것을 $f_i$들에 의해 정의된 initial topology라 부른다.
$X$ 위에 정의된 위상 $(\mathcal{T}_j)_{j\in J}$들에 대하여, 위상공간 $(X, \mathcal{T}_j)$에서 $(Y_i,\mathcal{T}_i)$로의 함수들 $f_i$들이 모두 연속이라 하자. 그럼 $\mathcal{T}=\bigcap_{j\in J}\mathcal{T}_j$가 $X$ 위의 위상을 정의하며 이 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y_i,\mathcal{T}_i)$로의 함수들 $f_i$들이 모두 연속임을 보일 수 있다. 또, discrete topology를 정의역으로 삼는 임의의 함수는 항상 연속이므로 이러한 조건을 만족하는 위상은 항상 존재하고, 따라서 initial topology가 항상 존재한다는 것은 자명하다. 이런 종류의 논증이 항상 그렇듯이, 이는 initial topology의 존재성을 보여주는 데에는 흠잡을 곳 없는 논증이 되지만 initial topology가 어떻게 생겼는지를 살펴보는데는 별 도움이 되지 않는다. 때문에 조금 더 구체적으로 상황을 살펴볼 필요가 있다.
함수 $f_i$가 연속이기 위해서는 $Y_i$의 임의의 열린집합 $U_i$에 대하여 $f_i^{-1}(U_i)$가 $X$에서 열린집합이어야 하므로, 우리가 정의할 initial topology는 $f_i^{-1}(U_i)$꼴의 원소들을 모두 가지고 있어야 한다. 한편, 이들 원소들을 포함하는 위상공간은 이들의 유한한 교집합과 임의의 합집합도 포함해야 한다. 따라서 다음의 명제를 증명할 수 있다.
명제 2 정의 1의 initial topology는 정확하게 다음의 집합
\[\mathcal{S}=\{f_i^{-1}(U_i)\mid \text{$U_i$ open in $Y_i$}\}\]을 subbase로 하여 생성된 위상과 같다.
증명
Initial topology를 $\mathcal{T}_\ini$으로 적고, $\mathcal{S}$를 subbase로 하여 생성된 위상을 $\mathcal{T}$로 적자. $\mathcal{T}$는 정의에 의해 $f_i$들을 모두 연속으로 만들기 때문에, $\mathcal{T}_\ini$는 $\mathcal{T}$보다 약한 위상이다. 따라서 $\mathcal{T}$가 $\mathcal{T}_\ini$보다 약한 위상이라는 것만 보이면 충분한데, 이는 $\mathcal{T}$가 $\mathcal{S}$를 포함하는 위상 중 가장 약한 위상이기 때문에 자명하다.
그럼 initial topology는 다음과 같은 종류의 universal property를 갖는다.
명제 3 정의 1의 상황에서, 추가로 위상공간 $Z$와 $g:Z\rightarrow X$가 주어졌다 하자. 그럼 $g$가 연속인 것은 각각의 $f_i\circ g$가 연속인 것과 동치이다.
증명
만일 $g$가 연속이라면 $f_i\circ g$는 연속함수들의 합성이므로 자명하게 연속이다. 따라서 반대방향만 보이자.
각각의 함수 $f_i\circ g$가 연속이라 하자. $X$의 임의의 열린 진부분집합 $U$에 대하여, 명제 2에 의해
\[U=\bigcap_{j=1}^n f_j^{-1}(U_j)\]가 성립하도록 하는 $U_j$들이 존재한다. 따라서
\[g^{-1}(U)=g^{-1}\left(\bigcap f_j^{-1}(U_j)\right)=\bigcap_{j=1}^n(f_j\circ g)^{-1}(U_j)\]이고 가정에 의해 $(f_j\circ g)^{-1}(U_j)$는 열린집합이므로 $g^{-1}(U)$ 또한 열린집합이어야 한다. 즉, $g$는 연속이다.
Final topology
정의 4 집합 $X$와, 위상공간들의 family $(Y_i,\mathcal{T}_i)_{i\in I}$들이 주어졌다 하고, 각각의 $i$마다 함수 $f_i:Y_i\rightarrow X$가 주어졌다 하자. $f_i$들이 모두 연속이도록 하는 $X$ 위의 위상 중 가장 강한 것을 $f_i$들에 의해 만들어지는 final topology라 부른다.
$X$에 trivial topology가 주어졌다 하면, $X$로의 임의의 함수는 항상 연속이다. 하지만 일반적으로 위상의 합집합이 위상이 되지는 않기 때문에, initial topology와는 다르게 존재성 증명이 다음 명제에 강하게 의존하게 된다.
명제 5 정의 4의 위상은 다음의 집합
\[\mathcal{T}_\fin=\{U\subseteq X\mid f^{-1}_i(U)\text{ is open in $Y_i$ for all $i$}\}\]으로 정의된다.
증명
주어진 위상 $\mathcal{T}_\fin$가 실제로 위상이 된다는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $\mathcal{T}_\fin$가 정의 4의 조건을 모두 만족한다는 것만 보이면 충분하다.
우선, 임의의 $U\in\mathcal{T}_\fin$와, 임의의 $i$에 대하여 $f_i^{-1}(U)$가 $Y_i$에서 open인 것은 $\mathcal{T}_\fin$의 정의로부터 명확하다. 한편, $X$ 위에 주어진 조건을 만족하는 또 다른 topology $\mathcal{T}$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $U\in\mathcal{T}$에 대하여, $f^{-1}_i(U)$가 $Y_i$에서 연속이어야 한다. 따라서, $\mathcal{T}_\fin$의 정의에 의해 $U\in\mathcal{T}_\fin$이고 따라서 $\mathcal{T}_\fin$가 $\mathcal{T}$보다 강하다.
역시 마찬가지로 final topology 또한 initial topology와 비슷한 다음의 universal property를 만족한다.
명제 6 정의 4의 상황에서, 추가로 위상공간 $Z$와 $g:X\rightarrow Z$가 주어졌다 하자. 그럼 $g$가 연속인 것은 각각의 $g\circ f_i$가 연속인 것과 동치이다.
증명
만일 $g$가 연속이라면 $g\circ f_i$는 연속함수들의 합성이므로 자명하게 연속이다. 따라서 반대방향만 보이자.
각각의 함수 $g\circ f_i$가 연속이라 하자. 그럼 임의의 열린집합 $U\subseteq Z$에 대하여, 다음 집합들
\[(g\circ f_i)^{-1}(U)=f_i^{-1}(g^{-1}(U))\]이 $Y_i$에서 각각 열린집합이다. 그런데 명제 5에 의하여, 이는 곧 $g^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합이라는 것과 같은 말이고 따라서 $g$는 연속이다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
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