리만 계량

리만 계량

우리는 [미분다양체] §미분형식에서 exterior algebra를 활용해 exterior algebra bundle

\[\bigwedge\nolimits(T^\ast M)\cong\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge\nolimits^k(T^\ast M)\]

을 정의하고, 이 bundle의 smooth section을 differential form으로 정의했다. 비슷한 일을 symmetric algebra를 사용해서도 할 수 있으며, exterior algebra와는 다르게 \(k=2\)인 경우가 관심의 대상이 된다. 이는 \(k=2\)인 경우 생기는 \(\mathcal{S}^2(T^\ast M)\)의 원소들이 \(TM\) 위에 symmetric bilinear form을 정의하기 때문이다.

점 \(p\in M\)을 고정하자. 그럼 \(g_p\)는 \(\mathcal{S}^2(T^\ast_pM)\)의 원소이다. 이제 [미분다양체] §미분형식, ⁋정의 1 이후에 확인한 것과 마찬가지 논증을 거쳐 \(\mathcal{S}^2(T^\ast_pM)\cong(\mathcal{S}^2(T_pM))^\ast\)임을 알 수 있고, [다중선형대수] §텐서대수, ⁋명제 11에 의해 \(g_p\)를 \(T_pM\times T_pM\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 symmetric multilinear map으로 생각할 수 있다. 따라서 \(g_p\)에 적절한 non-degenerate 조건만 준다면 이를 \(T_pM\) 위에 정의된 내적으로 생각할 수 있다. ([선형대수학] §내적공간, ⁋정의 1)

정의 1 Manifold \(M\) 위에 주어진 Riemannian metric_{리만 계량}은 다음과 같은 센스에서 positive-definite인 smooth section \(g\in\Gamma(\mathcal{S}^2(T^\ast M))\)을 의미한다.

(Positive-definiteness) 임의의 \(p\in M\)에 대하여, \(g_p(v,v)>0\)이 영이 아닌 모든 \(v\in T_pM\)에 대하여 성립한다.

위에서 살펴본 것과 같이, \(g\)가 Riemannian metric이라면 임의의 한 점 \(p\)에서 \(g_p(-,-)\)는 \(T_pM\) 위의 내적을 정의하므로, 이를 간단히 \(\langle -,-\rangle_g\)와 같이 표기한다.

특별히 점 \(p\) 근방의 coordinate system \((U,(x^i))\)를 잡는다 하면, \(g\)를

\[g=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}dx^i\otimes dx^j\]

의 형태로 나타낼 수 있고 이 때 \(g\)가 Riemannian metric인 것과 \(n\times n\) 행렬 \((g_{ij})\)가 symmetric, positive-definite인 행렬인 것이 동치이다.

벡터공간 \(V\) 위의 두 내적 \(g\)와 \(g'\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 식

\[(g+g')(v,w)=g(v,w)+g'(v,w)\]

으로 정의된 \(g+g'\) 또한 내적이 된다. 또, \(g\)가 내적이라면 여기에 영이 아닌 상수 \(\alpha\)를 곱한 \(\alpha g\) 또한 내적이 된다. 이제 유클리드 공간에는 내적이 존재하므로, 임의의 manifold \(M\) 위의 coordinate chart \((U,\varphi)\)마다 내적을 잘 정의할 수 있으며, partition of unity를 통해 이들을 모두 더해 \(M\) 위에서의 함수를 만들 수 있다. 앞선 관찰에 의하여 이 함수는 Riemannian metric이 된다. 즉, 임의의 manifold는 항상 Riemannian metric을 줄 수 있다.

Musical isomorphism

대수적으로 보았을 때, non-degenerate pairing이 주는 가장 좋은 결과들 중 하나는 이 pairing이 \(V\)와 그 dual space \(V^\ast\) 사이의 isomorphism을 유도한다는 것이다. ([선형대수학] §쌍선형형식, §§비퇴화 쌍선형형식) 마찬가지로 Riemannian metric \(g\)가 주어졌다면, \(g\)는 다음의 식

\[\tilde{g}:T_pM\rightarrow T_p^\ast M;\qquad(p,v)\mapsto (p,\langle v,-\rangle)\tag{1}\]

을 통하여 두 bundle \(TM\)과 \(T^\ast M\) 사이의 isomorphism을 유도한다. 이를 통해 임의의 벡터장 \(X\)가 주어졌을 때, \(T^\ast M\)의 smooth section \(\tilde{g}(X)\)를 얻는다.

이를 더 자세히 살펴보기 위해, coordinate chart \((x^i)\)를 고정하자. 그럼 임의의 두 벡터장

\[X=\sum_{i=1}^n X^i\frac{\partial}{\partial x^i},\quad Y=\sum_{i=1}^n Y^i\frac{\partial}{\partial x^i}\]

에 대하여

\[\tilde{g}(X)(Y)=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}dx^i(X)\otimes dx^j(Y)=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}X^iY^j\]

이 성립한다. 이제 \(Y\)에 \(\partial/\partial x^j\)들을 대입해보면 \(\tilde{g}(X)\)는 다음의 식

\[\tilde{g}(X)=\sum_{i,j=1}^n g_{ij}X^idx^j\]

으로 주어진다는 것을 알 수 있다. 종종 \(\sum_{i=1}^ng_{ij}X^i\)를 \(X_j\)로 줄여쓰기도 하는데, 그럼 위 식은 \(\tilde{g}(X)=\sum_{j=1}^nX_j dx^j\)가 되므로, \(X^i\)의 index가 밑으로 내려간 것처럼 보인다. 이 때문에 표기법에 약간의 장난을 쳐서 covector field \(\tilde{g}(X)\)를 \(X^\flat\)으로 표기한다.

물론 (1)은 isomorphism이므로 임의의 covector field \(\omega\)가 주어졌다면 이에 대응되는 vector field를 얻을 수도 있다. 이러한 vector field는 (당연히) \(\omega^\sharp\)으로 표기하고, 이들 둘을 묶어서 musical isomorphism이라 부른다. 물론 이 둘은 서로의 역함수가 된다.

곡선의 길이

한편 Riemannian metric은 드디어 manifold 위에서 거리를 재고, 각도를 재는 등의 기하를 할 수 있게 해 준다. 임의의 벡터공간 \(V\) 위에 내적이 정의되면 \(\lVert v\rVert:=\sqrt{\langle v,v\rangle}\)을 통해 \(V\)에 거리를 줄 수 있었다는 것을 기억하자.

정의 2 Riemannian manifold \((M,g)\)와, 이 위에 정의된 곡선 \(\gamma:[a,b]\rightarrow M\)이 있다 하자. 그럼 \(\gamma\)의 길이_length \(\length(\gamma)\)는 다음의 식

\[\length(\gamma)=\int_a^b\lVert\dot{\gamma}(t)\rVert_g\mathop{dt}\]

으로 정의된다.

이렇게 정의한 곡선의 길이는 parametrization에 의존하지 않는다. 한편, 위의 정의를 통해 \(M\)을 거리공간으로 만들 수 있다. 이를 위해서는

\[d_g(p,q)=\inf_{\gamma\text{ connecting }p,q}\length(\gamma)\]

으로 정의하면 된다.

Normal bundle

마지막으로 우리는 normal bundle이라는 개념을 정의할 수 있다. 임의의 Riemannian manifold \(M\)이 주어졌다 하고, submanifold \(S\)를 생각하자. 그럼 \(g\)를 \(S\)로 제한하여 \(S\) 위에서의 Riemannian metric \(\iota^\ast g\)를 얻는다. \(\iota\)에 의해 유도되는

\[d\iota(T_pS)\subseteq T_pM\]

에 의하여 \(T_pS\)은 \(T_pM\)의 부분공간으로 볼 수 있고 따라서 \(T_pS\)는 \(T_pM\)의 direct summand이다. 일반적으로 \(T_pS\)의 complementary subspace를 주는 표준적인 방법은 존재하지 않지만, 지금처럼 \(T_pM\)이 내적공간이라면 이를 \((T_pS)^\perp\)으로 정의할 수 있다. 각 점 \(p\)마다 이러한 bundle \((T_pS)^\perp\)이 붙어있는 \(\iota(S)\) 위의 vector bundle을 우리는 \(S\)의 normal bundle이라 부르고 \(NS\)로 적는다.

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참고문헌

[Lee] John M. Lee. Introduction to Riemannian Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2019

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