열린집합과 위상
대수적인 구조들에는 우리가
정의 1 집합 \(X\) 위에 정의된 위상topology이라는 것은 다음의 조건을 만족하는 \(\mathcal{P}(X)\)의 부분집합 \(\mathcal{T}\)를 의미한다.
- \(\emptyset,X\in\mathcal{T}\)가 성립한다.
- \(\mathcal{T}\)의 원소들의 임의의 합집합은 \(\mathcal{T}\)에 속한다.
- \(\mathcal{T}\)의 원소들의
유한한 교집합은 \(\mathcal{T}\)에 속한다.
이렇게 위상이 주어진 집합 \(X\)를 위상공간topological space이라고 부르고, 이 때 \(X\)의 원소들을 점point들, 그리고 \(\mathcal{T}\)의 원소들을 열린집합open set들이라 부른다.
[집합론] §합집합과 교집합에서의 관례를 도입하면 위 정의의 둘째 조건과 셋째 조건에서 두 집합
\[\bigcup_{U\in\emptyset}U=\emptyset,\qquad\bigcap_{U\in\emptyset}U=X\]이 반드시 \(\mathcal{T}\)에 속해야 한다는 것을 보일 수 있지만, 혼동을 피하기 위해 첫째 조건 또한 명시해주는 것이 일반적이다.
예시 2 임의의 집합 \(X\)에 대하여, \(X\) 위에 정의된 위상 중 가장 작을 수 있는 것은 \(\{\emptyset,X\}\)이다. 실제로 이 집합으로 정의된 구조는 정의의 1번부터 3번 조건을 모두 만족하므로 위상공간이 된다. 이를 trivial topology자명한 위상라 부른다.
반대로, \(X\) 위에 정의된 위상 중 가장 클 수 있는 것은 \(\mathcal{P}(X)\)이다. 이 또한 위상공간을 이루며, 우리는 이를 discrete topology이산위상라 부른다.
일반적으로 \(X\) 위에 주어진 위상에 대한 혼동의 여지가 없을 경우, 간단하게
정의 3 어떤 집합 위에 두 위상 \(\mathcal{T}_1\), \(\mathcal{T}_2\)가 주어졌고 이들이 \(\subset\)으로 비교가능하다고 하자. 만일 \(\mathcal{T}_1\), \(\mathcal{T}_2\)에 대하여 \(\mathcal{T}_1\subset\mathcal{T}_2\)가 성립한다면 \(\mathcal{T}_2\)가 \(\mathcal{T}_1\)보다 강한 위상stronger topology이라고 하고, \(\mathcal{T}_1\)은 \(\mathcal{T}_2\)보다 약한 위상weaker topology이라고 한다.
예를 들어, 집합 \(X\) 위에 정의된
\(X\)에 멀고 가까움의 개념을 주기 위해서 가장 좋은 도구는
우선 trivial topology의 경우를 살펴보자. 만약 \(X=\{x,y\}\)이고 \(X\)에 trivial topology가 주어졌다면, \(X\)의 두 점 \(x,y\)는 위상공간의 관점에서는 완벽하게 동등하다. 이는 위상구조를 이용해서1 두 점 \(x,y\)를 구별할 수 없기 때문이다. 이렇게 위상공간 \(X\)의 두 점 \(x,y\)가 정확히 동일한 열린집합들에 포함된다면 이 두 점이 위상적으로 구별불가능topologically indistinguishable하다고 말한다.
반면 동일한 집합 \(X\)에 discrete topology를 준다면 두 점 \(x\)와 \(y\)는 이 위상공간들에서는 구별이 가능해진다. 점 \(x\)는 포함하지만 \(y\)는 포함하지 않는 열린집합 \(\{x\}\)가 존재하기 때문이다. 이런 측면에서, trivial topology 상에서는 모든 점들이 가까이 붙어있지만 discrete topology 상에서는 모든 점들이 서로 떨어져 있다고 생각할 수 있다.
위의 논증에서
정의 4 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하고, \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)가 주어졌다 하자. \(A\)를 포함하는 임의의 열린집합을 \(A\)의 열린근방open neighborhood이라 부른다. \(X\)의 임의의 부분집합 \(S\)가 집합 \(A\)의 근방neighborhood이라는 것은 \(A\)의 적절한 열린근방 \(U\)가 존재하여 \(U\subseteq S\)인 것이다.
특별히 \(A\)가 한점집합 \(\{x\}\)일 경우, \(A\)의 열린근방과 근방을 각각 \(x\)의 열린근방과 근방이라 부르기도 한다.
많은 경우 위상수학의 성질들은 열린근방만 살펴보면 충분하고, [Mun]과 같은 경우에는 아예 열린근방을 간단히 근방이라 줄여 말하기도 한다. 그러나 위상수학의 몇몇 결과들을 잘 서술하기 위해서는 이들을 구별하는 것이 필수적이다. 어쨌든 이 일반적인 세팅이 특별히 어려울 일은 없으므로 우리는 이를 명확히 구별하기로 한다.
명제 5 위상공간 \(X\)의 부분집합 \(U\)가 열린집합인 것은 \(U\)가 임의의 \(x\in U\)의 근방인 것과 동치이다.
증명
정의 4을 통해 뒤의 조건을 풀어쓰면
임의의 \(x\in U\)가 주어질 때마다, \(U\)에 포함되는 \(x\)의 열린근방 \(V\)가 존재한다.
는 것과 같다.
우선 \(U\)가 열린집합이라면, \(U\) 자기자신이 \(U\)에 포함되는 \(x\)의 열린근방이므로 증명할 것이 없다. 따라서 반대방향만 보이면 충분하다. 임의의 \(x\in U\)마다, \(U\)에 포함되는 \(x\)의 열린근방이 존재한다 하고, \(x\)에 대한 의존성을 나타내기 위해 이를 \(V(x)\)라 하자. 즉 \(V(x)\)는 열린집합이며, \(\{x\}\subseteq V(x)\subseteq U\)를 만족한다. 이제 \(U\)가 열린집합이라는 것은 다음 등식
\[U=\bigcup_{x\in U}\{x\}\subseteq\bigcup_{x\in U} V(x)\subseteq\bigcup_{x\in U} U=U\]으로부터 명확하다.
Neighborhood filter
위상공간 \(X\)와 한 점 \(x\in X\)가 주어졌다 하고, \(\mathcal{N}(x)\)를
명제 6 위상공간 \(X\)와 \(\mathcal{N}(x)\)는 다음 성질을 만족한다.
- \(\mathcal{N}(x)\)의 원소를 포함하는 집합은 \(\mathcal{N}(x)\)에 포함된다.
- \(\mathcal{N}(x)\)의 임의의 원소의
유한한 교집합은 다시 \(\mathcal{N}(x)\)에 포함된다. - \(\mathcal{N}(x)\)의 임의의 원소는 \(x\)를 포함한다.
- \(\mathcal{N}(x)\)의 임의의 원소 \(V\)가 주어질 때마다 적당한 \(W\in\mathcal{N}(x)\)가 존재하여, 임의의 \(y\in W\)에 대해 \(V\in\mathcal{N}(y)\)이도록 할 수 있다.
거꾸로, 임의의 집합 \(X\)의 각 원소 \(x\in X\)마다 위의 조건을 만족하는 집합 \(\mathcal{N}(x)\subseteq\mathcal{P}(X)\)가 주어졌다 하자.2 그럼 이들 \(\mathcal{N}(x)\)들이 \(x\)의 모든 근방들의 모임이도록 하는 \(X\) 위에서의 위상 \(\mathcal{T}\)가 유일하게 존재한다.
증명
첫 번째 성질과 세 번째 성질은 정의에 의해 자명하다.
둘째 성질을 보이기 위해, \(V_1,\ldots, V_n\in\mathcal{N}(x)\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(x\in V_i\subseteq U_i\)이도록 하는 \(x\)의 열린근방들 \(U_1,\ldots, U_n\)이 존재한다. 이제 정의 1의 셋째 조건에 의하여 이들의 유한한 교집합 \(U_1\cap\cdots\cap U_n\)도 열린집합이고, 따라서
\[x\in \bigcap_{i=1}^n U_i\subseteq\bigcap_{i=1}^n V_i\]이므로 \(\bigcap V_i\)는 \(x\)의 근방이다.
넷째 성질의 경우, \(W\)를 \(V\)에 속하는 \(x\)의 열린근방으로 잡으면 된다.
이제 반대방향을 보여야 한다. 위의 조건을 만족하는 \(\mathcal{N}(x)\)들이 주어졌다 하자. 그럼 명제 5에 의하여, \(\mathcal{T}\)의 원소는 다음 조건
임의의 \(x\in U\)에 대하여, \(U\in\mathcal{N}(x)\)
를 만족해야 한다. 이로부터 \(\mathcal{T}\)가 유일해야 한다는 것이 자명하다.
존재성을 보이기 위해, 위의 조건을 만족하는 모든 집합들의 모임을 \(\mathcal{T}\)라 하고 이 모임이 정의 1의 조건들을 만족한다는 것을 보이자. 우선 \(\emptyset\)과 \(X\)가 위의 조건을 만족하는 것은 자명하다. \(\mathcal{T}\)의 원소들 \((U_i)_{i\in I}\)이 주어졌다 하자. \(U=\bigcup U_i\)라 하고, 임의의 \(x\in U\)를 택하자. 그럼 \(x\in U_i\)를 만족하는 \(U_i\)에 대하여, \(U_i\in\mathcal{N}(x)\)이고 \(U_i\subseteq U\)이므로 첫째 조건에 의하여 \(U\in\mathcal{N}(x)\)이고, 따라서 \(U\in\mathcal{T}\)이다. 이와 비슷하게 \(\mathcal{T}\)의 유한한 원소들의 교집합이 \(\mathcal{T}\)에 속한다는 것을 보일 수 있다.
존재성의 증명을 완료하기 위해서는 이렇게 만든 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)에 대하여, \(\mathcal{N}(x)\)가 실제로 각 점 \(x\)의 모든 근방들의 모임과 같음을 보여야 한다. \(\mathcal{T}\)의 정의에 의하여, \(x\)의 임의의 열린근방 \(U\)는 \(\mathcal{N}(x)\)에 속하고, 따라서 \(x\)의 임의의 근방은 첫째 조건에 의해 \(\mathcal{N}(x)\)에 속한다.
거꾸로 \(\mathcal{N}(x)\)에 속하는 임의의 집합 \(V\)를 택하자. \(V\)가 \(\mathcal{T}\)에서 \(x\)의 근방임을 보이기 위해서는 \(x\)의 적당한 열린근방 \(U\subseteq V\)를 찾아야 한다. \(U\)를
- \(V\in\mathcal{N}(x)\)이므로, \(x\in U\)인 것은 자명하다.
- 임의의 \(y\in U\)를 택하자. \(U\)의 정의에 의해 \(V\in\mathcal{N}(y)\)이고, \(\mathcal{N}(y)\)의 셋째 조건으로부터 \(y\in V\)이다. 즉 \(x\in U\subseteq V\)이다.
- 마지막으로 \(U\in\mathcal{T}\)임을 보여야 한다. 즉, 임의의 \(y\in U\)에 대해 \(U\in\mathcal{N}(y)\)임을 보이자. 그럼 \(V\in\mathcal{N}(y)\)이므로, 넷째 조건으로부터 적당한 \(W\in\mathcal{N}(y)\)가 존재하여, 임의의 \(z\in W\)에 대해 \(V\in\mathcal{N}(z)\)가 성립하도록 할 수 있다. 따라서 \(z\in U\)이므로, \(W\subseteq U\)이고 이로부터 \(U\in\mathcal{N}(y)\)임을 안다.
위 명제의 첫째와 둘째 성질은 \(\mathcal{N}(x)\)가 ordered set \((\mathcal{P}(X),\subseteq)\) 위에 정의된 filter라는 것을 보여주며, 세 번째 성질은 이 filter가 공집합 \(\emptyset\)을 포함하지 않는다는 것을 보여준다. 이 세 조건을 만족하는 \(\mathcal{P}(X)\)의 부분집합을 위상공간 \(X\) 위에 정의된 filter라 부른다. 특별히 filter \(\mathcal{N}(x)\)들은 neighborhood filter라 부른다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
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