호몰로지의 계산

우리는 이제 호몰로지를 실질적으로 계산할 수 있는 도구들을 살펴본다. 임의의 공간에 대해 이 공간의 호몰로지를 정의로부터 직접 계산하는 것은 거의 불가능한 일이므로, 우리는 큰 공간들을 작은 공간으로 쪼개고 이들의 호몰로지들로부터 큰 공간의 호몰로지를 계산하는 도구를 개발해야 한다. 가장 직관적인 상황은 Seifert-van Kampen 정리(§피복공간, ⁋정리 13)의 상황일 것이며, 이 경우 우리는 functor \(\pi_1:\Top \rightarrow \Grp\)이 colimit을 보존하는 것을 살펴보았다. 그런데 abelianization functor \(\ab:\Grp \rightarrow \Ab\)는 forgetful functor \(U:\Ab \rightarrow \Grp\)의 left adjoint functor이고 ([대수적 구조] §가환군, ⁋명제 7), left adjoint functor는 colimit을 보존하며 ([범주론] §수반함자, ⁋정리 9) first homology functor \(H_1:\Top \rightarrow \Ab\)는 이들의 합성이므로 (§피복공간, ⁋정리 15) 또한 colimit을 보존해야 한다. 특별히 §피복공간, ⁋따름정리 14와 같이 위상공간 \(X\)가 두 connected open subset \(U,V\)의 합집합으로 나타난다 하자. 그럼 category \(\Ab\)에서, 두 abelian group의 pushout은 이들의 direct sum의 coequalizer로 주어지므로 다음의 isomorphism

\[H_1(X)=H_1(U\cup V)\cong \frac{H_1(U)\oplus H_1(V)}{\left\langle (f(x),-g(x))\mid x\in H_1(U\cap V)\right\rangle}\tag{1}\]

이 성립해야 한다. 이번 글에서 우리는 이를 더 일반적인 방식으로 다루게 된다.

Relative homology

이를 위해서는 우선 호몰로지를 일반화할 필요가 있다. 공간 \(X\)와 임의의 부분공간 \(A\)에 대하여, \(k\)번째 relative chain group \(C_k(X,A)\)를 다음의 quotient

\[C_k(X,A):=C_k(X)/C_k(A)\]

으로 정의하자. 그럼 어렵지 않게 boundary map \(\partial_k:C_k(X) \rightarrow C_{k-1}(X)\)이 quotient group들 사이의 map \(C_k(X,A) \rightarrow C_{k-1}(X,A)\)를 유도하는 것을 안다. 이로부터 다음의 chain complex

\[\cdots \longrightarrow C_k(X,A)\overset{\partial}{\longrightarrow} C_{k-1}(X,A)\longrightarrow\cdots\]

를 만들 수 있다.

정의 1 위의 chain complex의 \(k\)번째 호몰로지 \(H_k(X,A)\)를 relative homology라 부른다.

이제 category \(\Ch_{\geq 0}(\Ab)\)에서의 short exact sequence

\[0 \rightarrow C_\bullet(A) \rightarrow C_\bullet(X) \rightarrow C_\bullet(X,A) \rightarrow 0\]

을 생각하자. 그럼 [호몰로지 대수학] §긴 완전열, ⁋정리 1에 의하여 다음의 long exact sequence

\[\cdots \rightarrow H_k(A) \rightarrow H_k(X) \rightarrow H_k(X,A)\rightarrow H_{k-1}(A) \rightarrow \cdots\]

이 존재한다. 이 때 connecting map \(H_k(X,A) \rightarrow H_{k-1}(A)\)는 \(H_k(X,A)\)의 임의의 cycle(의 임의의 representative)에 boundary map을 취한 것에 불과하다. 뿐만 아니라, 만일 continuous map \(f:X \rightarrow Y\)가 \(f(A)\subseteq B\)를 만족한다면 \(f\)가 기존의 chain map \(C_\bullet(X)\rightarrow C_\bullet(Y)\) 외에도 \(C_\bullet(A) \rightarrow C_\bullet(B)\)를 유도하고, 다음 diagram

이 commute한다는 것으로부터 chain map \(C_\bullet(X,A) \rightarrow C_\bullet(Y,B)\) 또한 유도된다. 즉, 이러한 조건을 만족하는 \(f:(X,A) \rightarrow (Y,B)\)는 homology에서의 map \(H_k(f):H_k(X,A) \rightarrow H_k(Y,B)\) 또한 유도한다. 그럼 §호모토피, ⁋명제 6을 \(X\)와 \(A\) 각각에 적용하고 [호몰로지 대수학] §Digram chasing, ⁋따름정리 2를 사용하면 이 조건을 만족하는 homotopic한 연속함수들 \(f,g\)가 호몰로지에서 같은 함수를 유도하는 것을 안다.

Excision theorem

직관적으로 \((X,A)\)에 대한 realtive homology \(H_\bullet(X,A)\)는 inclusion \(C_\bullet(A)\hookrightarrow C_\bullet(X)\)의 cokernel에 해당하는 chain complex \(C_\bullet(X,A)\)의 호몰로지이다. 직관적으로 이 과정에서 \(C_\bullet(A)\)에 대한 정보는 quotient를 취하며 사라지게 되므로, \(A\) 안에 들어있는 부분집합을 전체에서 뺀다고 해서 relative homology가 변하지 않을 것이라는 것은 직관적으로는 그럴듯해보인다. 이는 다음의 약한 조건 하에서는 참이다.

정리 2 (Excision theorem) 공간 \(X\)의 부분공간 \(A\)와, \(A\)의 부분공간 \(Z\)가 \(\cl Z\subseteq \interior A\)를 만족한다고 하자. 그럼 inclusion

\[(X\setminus Z, A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)\]

에 의해 유도되는

\[H_k(X\setminus Z, A\setminus Z)\rightarrow H_k(X,A)\]

는 isomorphism이다.

그러나 이 정리가 직관적으로 자명한 것에 비해, 그 증명은 다소 기술적인 부분이 있어 여기에서는 그 증명을 생략하기로 한다.

한편 우리는 기하적인 상황에서 이와 같이 \(A\)에 들어있는 정보를 무시하는 방법을 알고 있다. 즉, \(A\)를 하나의 점으로 줄이는 quotient space \(X/A\)이다. 그럼 homology \(H_k(X/A)\)와 relative homology \(H_k(X,A)\) 사이의 관계가 있다는 것이 합리적인 추측이다. 물론 위의 정리와 마찬가지로 이는 \(A\)가 아주 이상한 공간은 아니어야 가능하다.

정의 3 공간 \(X\)와 부분공간 \(A\)에 대하여, 이들 \((X,A)\)가 good pair라는 것은 \(A\)가 닫힌집합이고, \(X\)의 적당한 열린집합 \(U\)가 존재하여 \(A\subset U\)이고 \(A\)가 \(U\)의 strong deformation retract인 것이다.

Good pair \((X,A)\)가 주어졌다 하고, \(U\)가 정의 3의 가정을 만족하는 열린집합이라 하자. 그럼 다음의 diagram

에서, 각 행은 모두 exact이며 처음 두 열도 exact이므로 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋따름정리 7에 의하여 chain complex들의 short exact sequence

\[0\rightarrow C_\bullet(U,A)\rightarrow C_\bullet(X,A)\rightarrow C_\bullet(X,U)\rightarrow 0\]

그리고 이로부터 얻어지는 long exact sequence

\[\cdots \rightarrow H_k(U,A) \rightarrow H_k(X,A)\rightarrow H_k(X,U)\rightarrow H_{k-1}(U,A)\rightarrow \cdots\]

를 얻는다. 그런데 \(A\)가 \(U\)의 strong deformation retract라는 가정으로부터 \(H_k(U,A)=0\)이 모든 \(k\)에 대해 성립하고 따라서 isomorphism \(H_k(X,A)\cong H_k(X,U)\)이 모든 \(k\)에 대해 성립한다.

한편 임의의 closed subspace \(A\)에 대하여, \(A\)를 한 점으로 줄여서 만드는 quotient space \(X/A\)가 잘 정의되며, 이 때 projection \(X \rightarrow X/A\)는 \(A\)를 한 점 \([A]\)으로 보내고, \(A\) 바깥에서는 homeomorphism인 함수이다. 이 때, 포함관계

\[\{[A]\}\subseteq U/A\subseteq X/A\]

에 위와 마찬가지 논증을 적용하면 \(U/A\)가 한 점 \([A]\)로 strong deformation retract하므로 \(H_k(U/A,[A])=0\)으로부터 다음의 isomorphism

\[H_k(X/A, [A])\cong H_k(X/A, U/A)\]

을 얻으며 이들은 quotient map에 의해 유도되는 다음의 diagram

에 넣을 수 있다. 이제 \((X,A)\)가 good pair라는 가정으로부터, \(A\subset U\subset X\)는 정리 2의 조건 \(\cl A\subseteq \interior U\)를 만족하고 따라서 inclusion

\[(X\setminus A, U\setminus A)\hookrightarrow (X,U)\]

에 의해 유도되는 \(H_k(X\setminus A, U\setminus A)\rightarrow H_k(X,U)\)는 isomorphism이며, 마찬가지로 포함관계 \(\{[A]\}\subseteq U/A\subseteq X/A\)에 정리 2을 적용하면 다음의 map

\[H_k((X/A)\setminus [A], (U/A)\setminus [A])\]

이 isomorphism이라는 것을 안다. 이들은 마찬가지로 quotient map에 의해 유도되는 다음의 diagram

에 들어가는데, 이 때 왼쪽 수직방향의 \(H_k(X\setminus A, U\setminus A)\rightarrow H_k((X/A)\setminus [A], (U/A)\setminus [A])\)는 quotient map \(p:X\rightarrow X/A\)가 \(A\) 바깥에서는 homeomorphism이라는 가정으로부터 isomorphism이 된다. 이 결과들을 종합하면 다음의 isomorphism

\[H_k(X,A)\cong H_k(X/A,[A])\tag{2}\]

을 얻는다.

한편, §호몰로지, ⁋명제 11와 [호몰로지 대수학] §Digram chasing, ⁋따름정리 2에 의해, 임의의 공간 \(X\)와 한 점 \(x\in X\)에 대하여 다음의 long exact sequence

\[\begin{aligned}\cdots &\rightarrow H_k(x)\rightarrow H_k(X)\rightarrow H_k(X,x) \rightarrow H_{k-1}(x)\rightarrow\cdots \\\cdots&\rightarrow H_1(x)\rightarrow H_1(X) \rightarrow H_1(X,x) \rightarrow H_0(x) \rightarrow H_0(X)\rightarrow H_0(X,x)\rightarrow 0\end{aligned}\]

는 모든 \(k>1\)에 대하여 isomorphism \(H_k(X)\cong H_k(X,x)\)을 준다. 뿐만 아니라, \(k=1\)인 경우의 long exact sequence를 보면

\[0 \rightarrow H_1(X) \rightarrow H_1(X, x) \overset{\partial}{\longrightarrow} H_{0}(x) \overset{\iota_\ast}{\longrightarrow} H_{0}(X)\]

인데, 이 때 \(\iota_\ast\)는 \(H_0(x)\)의 generator를 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 path component로 보내므로 injective이고, 따라서 \(\partial\)은 zero map이며 이로부터 마찬가지의 isomorphism \(H_1(X)\cong H_1(X,x)\)을 얻는다.

한편 \(\iota_\ast\)가 injective라는 사실로부터 우리는 다음의 long exact sequence

\[0 \rightarrow H_0(x)\rightarrow H_0(X) \rightarrow H_0(X,x)\rightarrow 0\]

를 얻고, 이로부터 isomorphism \(H_0(X,x)\cong H_0(X)/\mathbb{Z}\)를 얻는다. 기하학적으로 이는 \(H_0(X)\)의 path component 중 \(x\)를 포함하는 path component를 없애는 것과 같다. 표기의 깔끔함을 위해 reduced homology \(\widetilde{H}_k(X)\)를 고정된 \(x\in X\)에 대하여

\[\widetilde{H}_k(X)=H_k(X,x)\]

으로 정의하면, 위의 isomorphism (2)의 우변을 \(\widetilde{H}_k(X/A)\)로 바꾸어 다음과 같이 쓸 수 있다.

명제 4 Good pair \((X,A)\)에 대하여, quotient map \(X \rightarrow X/A\)는 모든 \(k\)에 대해 다음의 isomorphism

\[H_k(X,A)\cong \widetilde{H}_k(X/A)\]

을 유도한다.

심플렉스 호몰로지와 특이 호몰로지

한편 relative homology는 정의한 방식은 \(\Ch_{\geq 0}(\Ab)\)에서의 monomorphism \(C_\bullet(A)\rightarrow C_\bullet(X)\)에 cokernel을 취한 것이었으므로, 이 과정은 \(C^\Delta_\bullet(A) \rightarrow C^\Delta_\bullet(X)\)에 대해 반복해도 된다. 그럼 그 결과로 우리는 simplicial homology 버전의 realtive homology \(H_n^\Delta(X,A)\)를 얻게 된다. 이제 simplicial homology는 “singular하지 않은” chain들이므로, inclusion

\[C_\bullet^\Delta(X) \rightarrow C_\bullet(X)\]

에 의해 유도되는 canonical homomorphism

\[H_\bullet^\Delta(X)\rightarrow H_\bullet(X)\tag{3}\]

이 존재하며, 비슷하게 다음의 canonical homomorphism들

\[H_\bullet^\Delta(A)\rightarrow H_\bullet^\Delta(A),\qquad H_\bullet^\Delta(X,A)\rightarrow H_\bullet(X,A)\]

이 존재한다. 그럼 이들은 [호몰로지 대수학] §긴 완전열, ⁋명제 2에 의하여 다음의 commutative diagram

을 정의한다. 이를 사용하면 다음이 성립한다.

정리 5 임의의 \(\Delta\)-complex \(X\)에 대하여, (3)의 homomorphism은 isomorphism이다.

증명

대략적인 흐름을 소개한다. 위의 commutative diagram에 의하여, \(X\)의 \(\Delta\)-complex 구조가 정의하는 filtration

\[X_0\subset X_1\subset\cdots\subset X_l=X\]

을 생각한 후 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋따름정리 2를 다음 diagram

에 적용하여 귀납법을 돌리자. 귀납법을 위해서는 임의의 \(n\)과 임의의 \(k\)에 대하여 relative homology들 사이의 homomorphism

\[H_n^\Delta(X^k, X^{k-1})\rightarrow H_n(X^k, X^{k-1})\]

이 isomorphism임만 보이면 충분하다. 이를 가정하고 나면 우선 §호몰로지, ⁋명제 10에 의해 \(k=1\)일 때 \(H_n^\Delta(X^0)\cong H_n(X^0)\)가 모든 \(n\)에 대해 성립하므로 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋따름정리 2에 의해 \(H_n^\Delta(X^1)\cong H_n(X^1)\)임을 보일 수 있고, 다시 이로부터 귀납적으로 큰 \(k\)에 대해 원하는 isomorphism을 만들 수 있기 때문이다.

우선 정의에 의하여, \(C_\bullet^\Delta(X^k, X^{k-1})\)은 오직 \(n=k\)일 때만 nontrivial하며, 따라서 \(H_n^\Delta(X^k, X^{k-1})\)은 오직 \(n=k\)일 때만 (\(k\)-simplex들로 생성되는) nontrivial free abelian group이고, 다른 경우는 모두 trivial하다.

Singular homology에 대해서도 비슷한 결과가 성립하는데, 구체적으로 \(H_n(\Delta^k,\partial\Delta^k)\)는 \(n=k\)일 때만 free abelian group이며 그 generator는 \(\id:\Delta^k \rightarrow \Delta^k\)이다. 이를 확인하려면 \(\Lambda\)를 \(\Delta^k\)의 모든 \(k-1\)차원 face 중 하나만 뺀 것으로 정의하고, \((\Delta^k, \partial\Delta^k, \Lambda)\)에 해당하는 long exact sequence

\[\cdots\rightarrow H_n(\Delta^k,\Lambda)\rightarrow H_n(\Delta^k, \partial\Delta^k)\rightarrow H_{n-1}(\partial\Delta^k, \Lambda)\rightarrow H_{n-1}(\Delta^k,\Lambda)\rightarrow \cdots\]

를 보면 \(H_\bullet(\Delta^k,\Lambda)\)들은 \(\Delta^k\)가 \(\Lambda\)로 deformation retract하므로 \(0\)이고 따라서 \(H_k(\Delta^k, \partial\Delta^k)\cong H_{n-1}{\partial\Delta^k,\Lambda}\)이며, 한편 good pair \((\partial\Delta^k,\Lambda)\)에 대하여 quotient space \(\partial\Delta^k/\Lambda\)가 quotient space \(\Delta^{k-1}/\partial\Delta^{k-1}\)와 homeomorphic하므로 이들을 이용하면

\[H_k(\Delta^k, \partial\Delta^{k})\cong H_{k-1}(\Delta^{k-1}, \partial\Delta^{k-1})\]

을 얻고, 따라서 귀납적으로 원하는 결과를 보일 수 있다.

이 과정을 살펴보면, \(H_k(\Delta^k,\partial\Delta^k)\)의 (singular homology로서의) generator는 정확히 \(k\)-simplex \(\Delta^k\)와 같다는 것을 안다. Pair \((X^k,X^{k-1})\)은, 이러한 pair들 \((\Delta^k,\partial\Delta^k)\)들의 합집합이므로, §호몰로지, ⁋명제 9에 의해 원하는 결과를 얻는다.

메이어-피토리스 열

분량상 증명을 적지는 않았지만, 정리 2의 excision theorem은 호몰로지 이론을 다룰 때 요긴하게 쓰인다. 가령 정리 5의 증명에서 우리는 \(k-1\) 미만의 simplex들을 무시할 때 excision theorem을 사용하였고, 이를 통해 귀납법을 사용할 수 있었으며 그 때의 base step은 one-point space의 homology였다. 이 과정이 본질적으로 homology가 만족해야 할 모든 성질들을 가지고 있는 것으로 볼 수 있으며, 이를 공리화하면 다음과 같다.

정의 6 (Eilenberg-Steenrod axioms) 위상공간들의 pair들의 category에서 abelian group들의 category로의 functor들 \(H_k\)과, 이들 사이의 natural transformation

\[\partial:H_k(X,A)\rightarrow H_{k-1}(A,\emptyset):=H_{k-1}(A)\]

들에 대하여, Eilenberg-Steenrod axiom은 다음의 공리들을 뜻한다.

• (Homotopy) 두 homotopic map \((X,A) \rightarrow (Y,B)\)이 주어졌다면, 이들이 유도하는 두 homomorphism들 \(H_k(X,A) \rightarrow H_k(Y,B)\)들도 동일하다.
• (Excision) 정리 2의 조건을 만족하는 \((X,A,Z)\)에 대하여, \((X\setminus Z, A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)\)는 isomorphism을 유도한다.
• (Dimension) One-point space \(\ast\)에 대하여, \(H_k(\ast)=0\)이 모든 \(k>0\)에 대해 성립한다.
• (Additivity) 만일 \(X=\coprod X_\alpha\)라면, \(H_k(X)\cong\bigoplus H_k(X_\alpha)\)이다.

• (Exactness) 각각의 pair \((X,A)\)와, 두 inclusion \((A,\emptyset) \hookrightarrow (X,\emptyset)\) 그리고 \((X,\emptyset)\hookrightarrow (X,A)\)들은 다음의 long exact sequence

  \[\cdots \rightarrow H_k(A)\rightarrow H_k(X) \rightarrow H_k(X,A) \rightarrow H_{k-1}(A)\rightarrow \cdots\]

  에 들어간다.

그럼 Eilenberg와 Steenrod의 결과는 이러한 방식으로 정의된 homology theory들은, 만일 coefficient group \(H_0(\ast)\)가 고정된다면 이들은 모두 naturally isomorphic하다는 것을 보여준다. 예를 들어 우리는 앞서 simplicial homology와 singular homology가 \(\Delta\)-complex 위에서는 일치한다는 것을 증명하였으며, 그 증명을 하나하나 분리해보면 본질적으로 우리가 사용한 것은 위의 정의 6의 공리들임을 확인할 수 있다. 호몰로지의 실용적인 계산을 위해서는 CW complex 위에 정의된 cellular homology를 도입하는 것이 좋은데, 마찬가지로 이 homology 또한 위의 공리들을 만족하고 따라서 이 또한 simplicial homology, singular homology와 같은 계산을 준다.

한편 이들 homology theory들은 모두 coefficient group이 \(\mathbb{Z}\)로 고정되어 있는 상태인데, 이를 임의의 abelian group \(A\)로 바꾸어도 정의 6의 모든 공리는 변함없이 성립한다. 실제로 singular homology 혹은 simplicial homology를 정의할 때, chain group들

\[C^\Delta_\bullet(X),\qquad C_\bullet(X)\]

을 free abelian group이 아니라, free \(A\)-module들

\[C^\Delta_\bullet(X;A):=C^\Delta_\bullet(X)\otimes_\mathbb{Z}A,\qquad C_\bullet(X;A):=C_\bullet(X)\otimes_\mathbb{Z}A\]

로 잡았더라면 이러한 종류의 호몰로지를 얻었을 것이다.

호몰로지의 대부분의 성질들은 정의 6의 공리들로부터 나온다. 예를 들어, 이 글의 목표인 식 (1)의 일반화를 이로브터 유도할 수 있다. 위상공간 \(X\)가 두 열린집합들의 합집합 \(X=U\cup V\)로 나타난다 하자. 그럼 다음의 inclusion

들에 homology를 취하면 exactness에 의하여 long exact sequence들 사이의 morphism을 얻으며, 이 때 inclusion

\[(V,U\cap V)\rightarrow (X,U)\]

은 excision axiom에 의하여 homology 상에서 isomorphism을 유도하므로, 위의 morphism 중 여기에 해당하는 것들은 모두 isomorphism이다. 즉 다음의 long exact sequence morphism

을 얻는다. 여기서 \(i,j,k\)들은 각각의 inclusion에 의해 유도되는 함수들이고, \(\partial\)들은 connecting map이며 \(p\)들은 cokernel morphism들이다. 편의를 위해 index들은 생략하였다. 이제 이 long exact sequence morphism을 \(\alpha\)라 하고, \(\alpha\)의 mapping cone exact sequence

\[\begin{aligned}\cdots &\overset{\overline{\partial}}{\longrightarrow} H_{n+1}(X)\oplus H_{n+1}(V, U\cap V)\overset{\overline{\Phi}}{\longrightarrow} H_{n+1}(X,U)\oplus H_n(U\cap V)\overset{\overline{\Psi}}{\longrightarrow} H_n(U)\oplus H_n(V)\\ \phantom{\cdots}&\overset{\overline{\partial}}{\longrightarrow} H_n(X)\oplus H_n(V, U\cap V)\rightarrow \cdots\end{aligned}\]

를 \(\Cone(\alpha)\)라 하자. 그럼 앞선 excision axiom의 결과에 의하여, 다음의 long exact sequence

\[\cdots \rightarrow 0 \rightarrow H_{n+1}(V, U\cap V)\rightarrow H_{n+1}(X,U)\rightarrow 0 \rightarrow \cdots\tag{4}\]

가 존재하며, 이를 사용하면 \(\Cone(\alpha)\)를 이 자명한 long exact sequence와 다음의 long exact sequence

\[\cdots \rightarrow H_{n+1}(U)\oplus H_{n+1}(V)\rightarrow H_{n+1}(X)\rightarrow H_n(U\cap V)\rightarrow H_n(U)\oplus H_n(V)\rightarrow\cdots\tag{5}\]

의 direct sum으로 나타낼 수 있다는 것을 안다. 이 때 \(\Cone(\alpha)\)와 (4)가 모두 exact이므로 (5) 또한 exact이며, (5)의 exact sequence의 differential map들은 mapping cone exact sequence에서 isomorphism들 \(i_V\)가 정의하는 change of basis를 통해 얻어진다. 이를 명시적으로 계산하면 다음을 얻는다.

명제 7 (Mayer-Vietoris sequence) 위상공간 \(X\)가 두 열린집합들의 합집합 \(X=U\cap V\)로 나타난다 하고, 이 위에 정의된 homology theory \(H\)를 생각하자. 그럼 long exact sequence

\[\cdots \rightarrow H_{n+1}(U)\oplus H_{n+1}(V)\overset{\Psi}{\longrightarrow} H_{n+1}(X)\overset{\partial}{\longrightarrow} H_n(U\cap V)\overset{\Phi}{\longrightarrow} H_n(U)\oplus H_n(V)\rightarrow\cdots\]

가 존재하며, 이 때 함수들 \(\Psi, \Phi\)은 각각

\[\Psi(u,v)=u+v,\qquad \Phi(x)=(x,-x)\]

으로 주어진다.

특히 \(n=1\)인 경우를 보면 우리는 맨 처음에 Seifert-van Kampen 정리를 abelianization을 통해 옮겨온 (1)을 얻으며, 이러한 측면에서 Mayer-Vietoris sequence는 Seifert-van Kampen 정리의 homology 버전으로 생각할 수 있다.

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참고문헌

[Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2022.
[May] J. P. May, A concise course in algebraic topology.

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