영점정리

우선 $A$가 Jacobson이라 가정하자. 그럼 그 quotient $A/ \mathfrak{p}$가 Jacobson이 되는 것도 정의에 의해 자명하다. 한편 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8에 의해 $A/\mathfrak{p}$는 integral domain이고, integral domain에서 $(0)$은 prime ideal이므로 $(0)$을 maximal ideal들의 교집합으로 나타낼 수 있다. 그런데 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 $(A/\mathfrak{p})[a^{-1}]$의 prime ideal과, $A/\mathfrak{p}$의 prime ideal 중 $a$를 포함하지 않는 것 사이의 일대일대응이 존재하며, 가정에 의해 $(A/\mathfrak{p})[a^{-1}]$의 prime ideal은 $0$뿐이므로, $A/\mathfrak{p}$의 prime ideal 중 $a$를 포함하지 않는 prime ideal 또한 $0$ 뿐이다. 즉, $A/\mathfrak{p}$의 임의의 nonzero prime ideal에는 항상 $a$가 들어가야 한다. 그런데 만일 이러한 prime ideal이 존재한다면, $A/\mathfrak{p}$는 integral domain이므로

이고, 따라서 $a=0$이 되어 모순이다.

거꾸로 둘째 조건을 가정하고 첫째 조건을 보이자. 즉 $A$의 prime ideal $\mathfrak{p}$를 고정하고, $\mathfrak{p}$를 포함하는 모든 maximal ideal들의 교집합을 $\mathfrak{P}$라 했을 때 $\mathfrak{p}=\mathfrak{P}$임을 보여야 한다. 결론에 반하여 어떠한 원소 $a\in \mathfrak{P}\setminus \mathfrak{p}$가 존재한다 가정하자. 그럼 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4에 의하여, $\mathfrak{p}$를 포함하지만 $a$를 포함하지 않는 prime ideal 중 maximal한 prime ideal $\mathfrak{q}$가 존재한다. 정의에 의해 $a\not\in \mathfrak{q}$이므로 $\mathfrak{q}$는 maximal ideal이 아니고, 따라서 $A/\mathfrak{q}$는 field가 아니다. 그러나 $A[a^{-1}]$에서는 $\mathfrak{q}$가 정의에 의해 maximal ideal이어야 하고, 이는 둘째 조건에 모순이므로 $\mathfrak{p}=\mathfrak{P}$여야 한다.

세 단계로 나누어 증명한다.

1. 우선 $A=\mathbb{K}$이고 $E=\mathbb{K}[\x]$인 경우를 보자. 그럼 $E$는 principal ideal domain이고, 특히 $E$의 임의의 prime ideal은 irreducible monic polynomial로 생성된다. 이로부터 임의의 prime ideal은 다른 prime ideal에 포함될 수 없다는 것을 알 수 있으므로, $E$의 임의의 prime ideal이 maximal인 것을 알고, 이러한 ideal은 $1\in \mathbb{K}$를 포함할 수 없으므로 $A=\mathbb{K}$와 교집합하였을 때 반드시 $(0)$이 되어야 한다. 이 때, $E/\mathfrak{n}$은 $\mathfrak{n}$을 정의하는 irreducible polynomial의 차수만큼의 차원을 갖는 $\mathbb{K}$-벡터공간이 된다. 마지막으로 $(0)$이 maximal ideal들의 곱이라는 것을 보이기 위해서는, $E=\mathbb{K}[\x]$가 무한히 많은 irreducible polynomial들을 가지고 있고, 다항식의 차수는 반드시 유한이므로 이들 모두를 인수로 갖는 다항식은 $0$뿐이라는 논증을 사용하면 된다. 이 때 $E$에서의 irreducible polynomial의 무한성은 유클리드의 소수의 무한성 증명을 그대로 따라하면 된다.
2. 다음 단계로, 임의의 Jacobson ring $A$와, 하나의 원소로 생성되는 $A$-algebra $E$를 생각하고 $E$가 Jacobson임을 보이기 위해 보조정리 3의 둘째 조건이 성립함을 보이자. 즉 이번 단계에서 우리의 목표는 다음 명제를 증명하는 것이다.

   Jacobson ring $A$가 주어졌다 하고, 하나의 원소로 생성되는 $A$-algebra $E$가 주어졌다 하자. 만일 고정된 prime ideal $\mathfrak{q}\subseteq E$에 대하여, $E/\mathfrak{q}$가 영이 아닌 $x\in E/\mathfrak{q}$를 포함하여 $(E/\mathfrak{q})[x^{-1}]$이 field이도록 할 수 있다면, $E/\mathfrak{q}$ 또한 field이다.

   그런데 $E’=E/\mathfrak{q}$ 또한 하나의 원소로 생성되는 $A$-algebra이므로, 위의 명제는 다음 명제를 보이는 것과 동일한 것이다.

   Jacobson ring $A$가 주어졌다 하고, 하나의 원소로 생성되는 $A$-algebra $E’$가 integral domain이라 하자. 만일 $E’$가 영이 아닌 $x\in E’$를 포함하여 $E’[x^{-1}]$이 field이도록 할 수 있다면, $E’$ 또한 field이다.

   이렇게 quotient를 취하는 과정에서, $A$는 $A’=A/(A\cap \mathfrak{q})$로 바뀌게 되며 이 또한 Jacobson ring이므로, 결과적으로 우리가 보여야 하는 것은 다음 명제이다.

   Integral domain $A’$가 Jacobson이라 하고, 하나의 원소로 생성되는 $A’$-algebra $E’$가 integral domain이며 $A’$를 포함한다 하자. 만일 $E’$가 영이 아닌 $x\in E’$를 포함하여 $E’[x^{-1}]$이 field이도록 할 수 있다면, $E’$ 또한 field이다.

   이를 위해 우리는 위의 가정 하에서 $A’$가 field가 되어야 하고, $E’$는 $A$의 유한한 extension이 됨을 보인다. 위의 명제에서 $E’$는 하나의 원소로 생성되는 $A’$-algebra이므로, $E’=A’[\x]/\mathfrak{q}$라 쓸 수 있다. 우선 $\mathfrak{q}\neq 0$임을 보이자. 결론에 반하여 $\mathfrak{q}=0$이라 하고, 적당한 $x\in E’/(0)=A’[\x]$가 존재하여 $E’[x^{-1}]=A’[\x][x^{-1}]$이 field라 가정하자. $K’=\Frac(A’)$라 하면, 이 가정에 의해 $K’[\x][x^{-1}]$ 또한 field이다. 그런데 $K’[\x]$는 첫째 결과에 의해 Jacobson이므로 $K’[\x]$가 field가 되어야 하고 이는 모순이다. 따라서 $\mathfrak{q}\neq 0$이어야 하고, $E’[x^{-1}]=K’[\x]/\mathfrak{q}K’[\x]$는 $K’$의 finite dimensional extension이다.
   이제 $p(x)\in \mathfrak{q}$가 $E’$에서 다음의 식

   $$p(\alpha)=p_n\alpha^n+\cdots+p_0=0$$

   을 만족한다 하자. 여기에서 $\alpha$는 $E’$의 $A’$-algebra로서의 generator이다. 그럼 위의 식으로부터 $E’[p_n^{-1}]$은 integral $A’[p_n^{-1}]$-algebra이다. 한편, 위에서 정의한 $x$ 또한 적당한 다항식

   $$q(x)=q_mx^m+\cdots+q_0=0$$

   을 만족해야 하며, $E’$가 integral domain이므로 우리는 일반성을 잃지 않고 $q_0\neq 0$이라 가정할 수 있다. 그럼 이제 monic polynomial

   $$\left(\frac{1}{x}\right)^m+\frac{q_1}{1_0}\left(\frac{1}{x}\right)^{m-1}+\cdots+\frac{q_m}{q_0}=0$$

   으로부터 $E’[x^{-1}]$이 integral $A’[(p_nq_0)^{-1}]$-algebra임을 안다. 이제 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 3으로부터 $A’[(p_nq_0)^{-1}]$는 field이고, 가정에 의해 $A’$는 Jacobson이므로 보조정리 3에 의해 $A’$는 field이다. 따라서 $E’$는 integral $A’$-algebra이고 다시 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 3으로부터 $E’$가 field임을 안다.

3. 이제 마지막 경우는 둘째 결과를 사용해 induction을 진행하면 된다.

보조정리 5로부터, $Z(\mathfrak{a})$의 원소들이 $\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$의 maximal ideal들 중 $\mathfrak{a}$를 포함하는 것들에 일대일로 대응됨을 안다. 따라서 $I(Z(\mathfrak{a}))$는 $\mathfrak{a}$를 포함하는 $\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$의 maximal ideal들의 교집합이며, 정리 4에 의해 $\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$은 Jacobson이므로 이는 $\mathfrak{a}$를 포함하는 $\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]$의 prime ideal들의 교집합과 같고 이것이 정확히 우변이다.