제이콥슨 환
우리는 ring \(A\)와 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, 다음 식
\[\sqrt{\mathfrak{a}}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ prime containing $\mathfrak{a}$} \mathfrak{p}\]이 성립하는 것을 살펴보았다. (§국소화의 성질들, ⁋따름정리 8) 특히, 만일 \(\mathfrak{a}\)가 prime ideal이라면 \(\mathfrak{p}=\sqrt{\mathfrak{p}}\)가 성립해야 하는 것이 당연하다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.
정의 1 Ring \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 radical ideal근기아이디얼이라는 것은 \(\mathfrak{a}=\sqrt{\mathfrak{a}}\)가 성립하는 것이다.
따라서, 위의 관찰은 한마디로 임의의 prime ideal은 radical이라는 것이다. 이 관찰에 대한 증명은 다소 자명한 부분이 있는데, 만일 우리가 \(\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal들의 교집합 대신, §정수적 확장, §§나카야마 보조정리에서와 비슷한 방식으로 \(\mathfrak{p}\)를 포함하는 maximal ideal들의 교집합을 생각했다면 이 관찰이 그리 자명하지 않았을 것이며, 실제로 이것이 성립하지도 않는다. 예컨대 \(\mathbb{Z}_{(2)}\)와 같이 maximal ideal이 아닌 prime ideal을 포함하는 임의의 local ring이 모두 반례가 될 것이다.
정의 2 Ring \(A\)가 Jacobson ring제이콥슨 환이라는 것은 임의의 prime ideal이 maximal ideal들의 교집합으로 나타나는 것이다.
그럼 다음이 성립한다.
보조정리 3 (Rabinowitch) Ring \(A\)에 대하여, 다음이 동치이다.
- \(A\)가 Jacobson ring이다.
- \(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \((A/\mathfrak{p})[a^{-1}]\)이 field이도록 하는 \(a\in A/\mathfrak{p}\)가 존재한다면, \(A/\mathfrak{p}\)는 field이다.
증명
우선 \(A\)가 Jacobson이라 가정하자. 그럼 그 quotient \(A/ \mathfrak{p}\)가 Jacobson이 되는 것도 정의에 의해 자명하다. 한편 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8에 의해 \(A/\mathfrak{p}\)는 integral domain이고, integral domain에서 \((0)\)은 prime ideal이므로 \((0)\)을 maximal ideal들의 교집합으로 나타낼 수 있다. 그런데 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \((A/\mathfrak{p})[a^{-1}]\)의 prime ideal과, \(A/\mathfrak{p}\)의 prime ideal 중 \(a\)를 포함하지 않는 것 사이의 일대일대응이 존재하며, 가정에 의해 \((A/\mathfrak{p})[a^{-1}]\)의 prime ideal은 \(0\)뿐이므로, \(A/\mathfrak{p}\)의 prime ideal 중 \(a\)를 포함하지 않는 prime ideal 또한 \(0\) 뿐이다. 즉, \(A/\mathfrak{p}\)의 임의의 nonzero prime ideal에는 항상 \(a\)가 들어가야 한다. 그런데 만일 이러한 prime ideal이 존재한다면, \(A/\mathfrak{p}\)는 integral domain이므로
\[(0)=\sqrt{(0)}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime} \mathfrak{p}\]이고, 따라서 \(a=0\)이 되어 모순이다.
거꾸로 둘째 조건을 가정하고 첫째 조건을 보이자. 즉 \(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)를 고정하고, \(\mathfrak{p}\)를 포함하는 모든 maximal ideal들의 교집합을 \(\mathfrak{P}\)라 했을 때 \(\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\)임을 보여야 한다. 결론에 반하여 어떠한 원소 \(a\in \mathfrak{P}\setminus \mathfrak{p}\)가 존재한다 가정하자. 그럼 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4에 의하여, \(\mathfrak{p}\)를 포함하지만 \(a\)를 포함하지 않는 prime ideal 중 maximal한 prime ideal \(\mathfrak{q}\)가 존재한다. 정의에 의해 \(a\not\in \mathfrak{q}\)이므로 \(\mathfrak{q}\)는 maximal ideal이 아니고, 따라서 \(A/\mathfrak{q}\)는 field가 아니다. 그러나 \(A[a^{-1}]\)에서는 \(\mathfrak{q}\)가 정의에 의해 maximal ideal이어야 하고, 이는 둘째 조건에 모순이므로 \(\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\)여야 한다.
영점정리
이제 영점정리는 다음과 같이 서술할 수 있다.
정리 4 Jacobson ring \(A\)와, finitely generated \(A\)-algebra \(E\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(E\)도 Jacobson ring이다. 또, 만일 \(\mathfrak{n}\)이 \(E\)의 maximal ideal이라면 \(\mathfrak{m}=\mathfrak{n}\cap A\)는 \(A\)의 maximal ideal이며, \(E/\mathfrak{n}\)은 \(A/\mathfrak{m}\)의 finite field extension이다.
증명
세 단계로 나누어 증명한다.
- 우선 \(A=\mathbb{K}\)이고 \(E=\mathbb{K}[\x]\)인 경우를 보자. 그럼 \(E\)는 principal ideal domain이고, 특히 \(E\)의 임의의 prime ideal은 irreducible monic polynomial로 생성된다. 이로부터 임의의 prime ideal은 다른 prime ideal에 포함될 수 없다는 것을 알 수 있으므로, \(E\)의 임의의 prime ideal이 maximal인 것을 알고, 이러한 ideal은 \(1\in \mathbb{K}\)를 포함할 수 없으므로 \(A=\mathbb{K}\)와 교집합하였을 때 반드시 \((0)\)이 되어야 한다. 이 때, \(E/\mathfrak{n}\)은 \(\mathfrak{n}\)을 정의하는 irreducible polynomial의 차수만큼의 차원을 갖는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이 된다. 마지막으로 \((0)\)이 maximal ideal들의 곱이라는 것을 보이기 위해서는, \(E=\mathbb{K}[\x]\)가 무한히 많은 irreducible polynomial들을 가지고 있고, 다항식의 차수는 반드시 유한이므로 이들 모두를 인수로 갖는 다항식은 \(0\)뿐이라는 논증을 사용하면 된다. 이 때 \(E\)에서의 irreducible polynomial의 무한성은 유클리드의 소수의 무한성 증명을 그대로 따라하면 된다.
- 다음 단계로, 임의의 Jacobson ring \(A\)와, 하나의 원소로 생성되는 \(A\)-algebra \(E\)를 생각하고 \(E\)가 Jacobson임을 보이기 위해 보조정리 3의 둘째 조건이 성립함을 보이자. 즉 이번 단계에서 우리의 목표는 다음 명제를 증명하는 것이다.
Jacobson ring \(A\)가 주어졌다 하고, 하나의 원소로 생성되는 \(A\)-algebra \(E\)가 주어졌다 하자. 만일 고정된 prime ideal \(\mathfrak{q}\subseteq E\)에 대하여, \(E/\mathfrak{q}\)가 영이 아닌 \(x\in E/\mathfrak{q}\)를 포함하여 \((E/\mathfrak{q})[x^{-1}]\)이 field이도록 할 수 있다면, \(E/\mathfrak{q}\) 또한 field이다.
그런데 \(E'=E/\mathfrak{q}\) 또한 하나의 원소로 생성되는 \(A\)-algebra이므로, 위의 명제는 다음 명제를 보이는 것과 동일한 것이다.
Jacobson ring \(A\)가 주어졌다 하고, 하나의 원소로 생성되는 \(A\)-algebra \(E'\)가 integral domain이라 하자. 만일 \(E'\)가 영이 아닌 \(x\in E'\)를 포함하여 \(E'[x^{-1}]\)이 field이도록 할 수 있다면, \(E'\) 또한 field이다.
이렇게 quotient를 취하는 과정에서, \(A\)는 \(A'=A/(A\cap \mathfrak{q})\)로 바뀌게 되며 이 또한 Jacobson ring이므로, 결과적으로 우리가 보여야 하는 것은 다음 명제이다.
Integral domain \(A'\)가 Jacobson이라 하고, 하나의 원소로 생성되는 \(A'\)-algebra \(E'\)가 integral domain이며 \(A'\)를 포함한다 하자. 만일 \(E'\)가 영이 아닌 \(x\in E'\)를 포함하여 \(E'[x^{-1}]\)이 field이도록 할 수 있다면, \(E'\) 또한 field이다.
이를 위해 우리는 위의 가정 하에서 \(A'\)가 field가 되어야 하고, \(E'\)는 \(A\)의 유한한 extension이 됨을 보인다. 위의 명제에서 \(E'\)는 하나의 원소로 생성되는 \(A'\)-algebra이므로, \(E'=A'[\x]/\mathfrak{q}\)라 쓸 수 있다. 우선 \(\mathfrak{q}\neq 0\)임을 보이자. 결론에 반하여 \(\mathfrak{q}=0\)이라 하고, 적당한 \(x\in E'/(0)=A'[\x]\)가 존재하여 \(E'[x^{-1}]=A'[\x][x^{-1}]\)이 field라 가정하자. \(K'=\Frac(A')\)라 하면, 이 가정에 의해 \(K'[\x][x^{-1}]\) 또한 field이다. 그런데 \(K'[\x]\)는 첫째 결과에 의해 Jacobson이므로 \(K'[\x]\)가 field가 되어야 하고 이는 모순이다. 따라서 \(\mathfrak{q}\neq 0\)이어야 하고, \(E'[x^{-1}]=K'[\x]/\mathfrak{q}K'[\x]\)는 \(K'\)의 finite dimensional extension이다.
\[p(\alpha)=p_n\alpha^n+\cdots+p_0=0\]
이제 \(p(x)\in \mathfrak{q}\)가 \(E'\)에서 다음의 식을 만족한다 하자. 여기에서 \(\alpha\)는 \(E'\)의 \(A'\)-algebra로서의 generator이다. 그럼 위의 식으로부터 \(E'[p_n^{-1}]\)은 integral \(A'[p_n^{-1}]\)-algebra이다. 한편, 위에서 정의한 \(x\) 또한 적당한 다항식
\[q(x)=q_mx^m+\cdots+q_0=0\]을 만족해야 하며, \(E'\)가 integral domain이므로 우리는 일반성을 잃지 않고 \(q_0\neq 0\)이라 가정할 수 있다. 그럼 이제 monic polynomial
\[\left(\frac{1}{x}\right)^m+\frac{q_1}{1_0}\left(\frac{1}{x}\right)^{m-1}+\cdots+\frac{q_m}{q_0}=0\]으로부터 \(E'[x^{-1}]\)이 integral \(A'[(p_nq_0)^{-1}]\)-algebra임을 안다. 이제 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 3으로부터 \(A'[(p_nq_0)^{-1}]\)는 field이고, 가정에 의해 \(A'\)는 Jacobson이므로 보조정리 3에 의해 \(A'\)는 field이다. 따라서 \(E'\)는 integral \(A'\)-algebra이고 다시 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 3으로부터 \(E'\)가 field임을 안다.
- 이제 마지막 경우는 둘째 결과를 사용해 induction을 진행하면 된다.
특별히 \(A=\mathbb{K}\)이고 \(E=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)인 경우를 생각하자. 그럼 임의의
\[a=(a_1,\ldots, a_n)\in \mathbb{K}^n\]에 대하여, ideal \(\mathfrak{m}_a\)를 다음의 식
\[\mathfrak{m}_a=(\x_1-a_1,\ldots, \x_n-a_n)\]으로 정의하면 evaluation으로 주어지는 isomorphism
\[\ev_a:\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]/\mathfrak{m}_a\rightarrow \mathbb{K}\]로부터 \(\mathfrak{m}_a\)가 maximal ideal인 것을 안다.
뿐만 아니라, 만일 \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed field라면 \(E\)의 모든 maximal ideal은 이러한 꼴이다. 우선 \(E\)의 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{n}\)에 대하여, \(E/\mathfrak{n}\)은 \(\mathbb{K}/(\mathfrak{n}\cap \mathbb{K})=\mathbb{K}\)에 대해 algebraic extension인데, \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed라면 이러한 extension은 자기자신밖에 없고, 따라서 \(E/\mathfrak{n}\cong \mathbb{K}\)여야 한다. 한편 canonical surjection \(E \rightarrow E/\mathfrak{n}\cong \mathbb{K}\)을 통해 각각의 \(\x_i\)가 옮겨지는 \(\mathbb{K}\)의 원소를 \(a_i\)라 하면, \(\mathfrak{m}_a\subseteq \mathfrak{n}\)이고 이제 \(\mathfrak{m}_a\)의 maximality로부터 원하는 결과를 얻는다.
따라서 §기본 개념들, ⁋명제 11로부터 다음을 얻는다.
보조정리 5 Field \(\mathbb{K}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathfrak{m}_a=(\x_1-a_1,\ldots, \x_n-a_n)\)은 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 maximal ideal이다. 또, 만일 \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed라면 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots,\x_n]/(f_1,\ldots, f_r)\)의 maximal ideal들과, 다음 식
\[f_1(x_1,\ldots, x_n)=\cdots=f_r(x_1,\ldots, x_n)=0\]을 만족하는 \((x_1,\ldots, x_n)\)들 사이의 일대일 대응이 존재한다.
조금 더 전통적인 버전의 영점정리 또한 이로부터 얻어진다. 이를 서술하기 위해, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)을 받아 \(\mathbb{K}^n\)의 부분집합 \(Z(\mathfrak{a})\)를 내놓는 함수
\[Z(\mathfrak{a})=\{(a_1,\ldots, a_n)\in \mathbb{K}^n: \text{$f(a_1,\ldots, a_n)=0$ for all $f\in \mathfrak{a}$}\}\]그리고 \(\mathbb{K}^n\)의 부분집합 \(S\)를 받아 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 부분집합
\[I(S)=\{f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]:\text{$f(a_1,\ldots, a_n)=0$ for all $(a_1,\ldots, a_n)\in S$}\}\]을 내놓는 함수 \(I\)를 생각하자.
명제 6 Algebraically closed field \(\mathbb{K}\)와 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)이 주어졌다 하자. 그럼
\[I(Z(\mathfrak{a}))=\sqrt{\mathfrak{a}}\]이 성립한다.
증명
보조정리 5로부터, \(Z(\mathfrak{a})\)의 원소들이 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 maximal ideal들 중 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 것들에 일대일로 대응됨을 안다. 따라서 \(I(Z(\mathfrak{a}))\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 maximal ideal들의 교집합이며, 정리 4에 의해 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)은 Jacobson이므로 이는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 prime ideal들의 교집합과 같고 이것이 정확히 우변이다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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