기저

임의의 집합 \(X\)에 대하여, \(X\)에 의해 정의되는 free \(A\)-module은 다음의 식

\[F(X)=\bigoplus_{x\in X} A\]

으로 주어지는 것을 살펴보았다. ([대수적 구조] §가군의 작접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 3) 이번 글에서 우리는 free \(A\)-module의 성질을 조금 더 자세히 살펴본다.

기저

이제 임의의 \(A\)-module \(M\)이 주어졌다 하고, \(M\)의 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)들이 주어졌다 하자. 함수 \(e:I \rightarrow M\)을 \(e(i)=x_i\)로 정의한다면 adjunction \(F\dashv U\)에 의하여 유일한 \(A\)-linear map \(\varepsilon:F(I) \rightarrow M\)이 존재한다. 만일 \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)의 generating set이었다면, \(\varepsilon\)이 surjective여야 하고, 그 역 또한 성립한다. 이와 비슷한 맥락에서 다음을 정의한다.

정의 1 임의의 \(A\)-module \(M\)과, \(M\)의 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 위에서 정의한 \(A\)-linear map \(\varepsilon:F(I) \rightarrow M\)에 대하여, 다음을 정의한다.

1. Family \((x_i)_{i\in I}\)가 free family_자유족라는 것은 \(\varepsilon\)이 injective인 것이다.
2. Family \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)을 generate_생성하는 것은 \(\varepsilon\)이 surjective인 것이다.
3. Family \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)의 basis_기저라는 것은 \(\varepsilon\)이 bijective인 것이다.

Free family가 아닌 family를 related family라 부른다.

Free family는 벡터공간에서의 일차독립의 개념을 일반화한 것이다. 즉, \(A\)가 field이고, \(M\)이 \(A\) 위에 정의된 벡터공간이었다면 \(M\)의 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)가 free family라는 것은 \(x_i\)들이 일차독립인 것과 동치이다. ([선형대수학] §벡터공간의 기저, ⁋정의 5) 이러한 관점에서 related family의 원소들은 서로 linearly dependent_일차종속이라 부른다.

한편, 임의의 \(A\)-module \(M\)은 항상 생성집합을 갖는다. 이는 적어도 \(M\)의 원소들을 전부 모아두면 이것이 \(M\)을 생성하기 때문이다. 이로부터 다음을 얻는다.

명제 2 임의의 \(A\)-module \(M\)은 적당한 free \(A\)-module의 quotient와 isomorphic하다.

증명

임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 생성집합을 \(X\)라 하자. 그럼 \(F(X)\)와 \(M\) 사이의 surjective \(A\)-linear map \(\varepsilon:F(X) \rightarrow M\)이 존재한다. 이 때, \(F(X)\)의 kernel은 \(A\)-module이므로, \(M\cong F(X)/\ker\varepsilon\)이다.

\(M\)이 finitely generated \(A\)-module인 것은 이러한 family를 유한하게 택할 수 있는 것과 동치이며, 이 경우 위의 증명에서의 free \(A\)-module도 유한한 basis를 갖도록 택할 수 있다. 더 특수한 경우로 다음을 정의한다.

정의 3 \(A\)-module \(M\)이 monogenous_단일생성이라는 것은 \(M\)이 \(A\)-module로서 하나의 원소 \(x\)에 의해 생성되는 것이다.

주의할 점은 \(x\)가 free element일 필요가 없다는 것이다. 즉, 어떠한 \(\alpha\neq 0\)이 존재하여 \(\alpha x=0\)이 될 수도 있으며, 이것이 [선형대수학]에서 다루던 것과 다른 점이다.

불변기저수

우선 우리는 다음의 일반적인 명제를 증명한다.

명제 4 \(M=\bigoplus_{i\in I} N_i\)이고, \(I\)가 무한집합이고 \(N_i\neq 0\)이라 하자. 그럼 \(E\)의 임의의 generating set \(X\)에 대하여, \(\card X\geq \card I\)가 성립한다.

증명

정의 3의 상황에서, \(M\)의 임의의 원소는 적당한 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\alpha x\)의 꼴로 쓸 수 있다. 따라서 이러한 경우 \(M\)을 \(Ax\)와 같이 표기하기도 한다. 이 표기를 이용하면, 임의의 \(A\)-module \(M\)과 그 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)에 대하여,

• \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)의 generating family인 것은 \(M=\sum_{i\in I}Ax_i\)인 것과 동치이다.
• \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)의 basis인 것은 위의 sum \(\sum_{i\in I}Ax_i\)가 direct sum이고, 각각의 \(x_i\)가 모두 free element인 것과 동치이다.

이를 통해 명제 4을 각각의 \(N_i\)가 monogeneous이고 free element인 경우로 한정하면, 임의의 free \(A\)-module \(M\)가 무한한 basis를 갖는다면 \(A\)의 모든 basis는 같은 cardinality를 갖는다는 것을 안다. 그러나 유한한 basis를 갖는 경우 이것이 항상 성립하는 것은 아니다.

정의 5 임의의 ring \(A\)에 대하여, \(A^m\cong A^n\)인 것과 \(m=n\)인 것이 항상 동치일 경우, \(A\)가 invariant basis number property_{불변 기저수 성질}을 만족한다고 한다.

예를들어, \(A=0\)은 이 성질을 만족하지 않는다. 임의의 \(m,n\)에 대해 \(0^m\cong 0^n\)이기 때문이다.

[선형대수학] §벡터공간의 차원, ⁋보조정리 2에 의해, 임의의 field는 invariant basis number property를 갖는다. 이를 사용하면 다음의 더 일반적인 명제를 보일 수 있다.

명제 6 Ring \(A\)에 대하여, 적당한 field \(\mathbb{K}\)와 homomorphism \(\phi: A \rightarrow \mathbb{K}\)가 존재한다 하자. 그럼 \(A\)는 IBN property를 가진다.

증명

임의의 free \(A\)-module \(M\)이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 isomorphism

\[M\cong \bigoplus_{i\in I} Ax_i\]

이 존재하고, \(x_i\)들 각각은 free element이다. 한편 \(\phi^\ast:\lMod{A} \rightarrow \mathbb{K}\)는 left adjoint이므로 다음 식

\[\phi^\ast M\cong\phi^\ast\left(\bigoplus_{i\in I} Ax_i\right)\cong \bigoplus_{i\in I}\phi^\ast Ax_i\]

이 성립한다. ([대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 6) 또, \(x_i\)가 free element라는 사실로부터 \(Ax_i\cong A\)이고, \(\phi^\ast A\cong \mathbb{K}\)이므로 \(\phi^\ast M\cong \bigoplus_{i\in I}\mathbb{K}\)이다. 이제 [선형대수학] §벡터공간의 차원, ⁋보조정리 2를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

[선형대수학] §무한차원 벡터공간^†, ⁋정리 4에서 우리는 \(\mathbb{K}\)가 commutative라는 성질을 사용하지 않았으므로, 위의 명제는 더 일반적으로 \(\mathbb{K}\)를 division ring \(D\)로 바꾸어도 성립한다. 한편 임의의 commutative ring은 \(A \rightarrow \Frac A\)가 존재하므로 항상 IBN property를 갖는다.

정의 7 Ring \(A\)가 IBN을 만족한다 하자. 그럼 임의의 free \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 basis의 크기를 \(M\)의 rank_랭크라 한다.

편의상 \(M\)의 basis \((x_i)_{i\in I}\)가 주어졌을 때, 이를 통해 얻어지는 free module \(F(I)\)를 \(A^{\oplus I}\)와 같이 나타내고, 특별히 \(I\)가 유한집합이면 \(A^m\)과 같이 나타내기도 한다. 이 표기법들은 \(A\)가 IBN property를 갖는다는 보장이 없을 때 사용할 경우 표기법 상의 문제가 있지만, 약간의 표기법의 남용을 통해 이를 눈감기로 한다.

Basis의 중요한 성질 중 하나는 basis의 원소에서의 함수값들이 linear map을 완전히 결정짓는다는 것이다. 이를 확인하기 위해 free \(A\)-module \(M\)을 하나 고정하고, \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)의 basis라 하자. 즉 집합들 사이의 함수 \(e_i: i\mapsto x_i\)가 \(A\)-module isomorphism \(\varepsilon:F(I)\cong M\)을 유도한다. 한편 또 다른 \(A\)-module \(N\)이 주어졌다 하고, \(N\)의 원소들의 family \((y_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하면 함수들 \(e_i': i\mapsto y_i\)가 \(\varepsilon': F(I) \rightarrow N\)을 유도한다. 그럼 \(u(x_i)=y_i\)를 만족하는 유일환 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)이 존재하며, 명시적으로 이는 \(u=\varepsilon'\circ\varepsilon^{-1}\)으로 쓸 수 있다.

대수의 기저

이제 우리는 대수의 기저에 대해 살펴보자. 선형대수학 카테고리에서 우리의 주된 관심사는 \(A\)-module이기는 하지만, 고정된 \(A\)-module의 endomorphism algebra를 살펴볼 때는 \(A\)-algebra를 생각하게 된다.

앞서 \(A\)-algebra를 이야기할 때에는 항상 \(A\)가 commutative인 것을 가정했었다는 것을 기억하자.

정의 8 임의의 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, \(E\)의 basis는 \(E\)를 \(A\)-module로 취급했을 때의 basis를 의미한다.

주의해야 할 점은, \(E\)의 basis는 \(E\)를 \(A\)-module로서 생성할 때는 최소이지만, \(A\)-algebra로서 생성하기 위해서는 더 작은 집합만이 필요할 수도 있다는 것이다. 가령 polynomial algebra \(A[\x]\)를 \(A\)-module로서 생성하기 위해서는 원소들 \(1,\x,\x^2,\cdots\)이 필요하지만, 이를 \(A\)-algebra로서 생성하기 위해서는 \(1\)과 \(\x\)만 있으면 충분하다.

어쨌든 \(E\)의 basis \((e_i)_{i\in I}\)는 여전히 \(E\)에 대한 모든 정보를 담고 있는데, 특히 \(E\)에 정의된 곱셈에 대한 정보를 basis들을 이용해 서술할 수 있다. 임의의 \(i,j\in I\)에 대하여, \(e_ie_j\) 또한 \(E\)의 원소이므로 다음의 합

\[e_ie_j=\sum_{k\in I} \gamma_{ij}^k e_k\]

으로 나타낼 수 있다. 여기에서 \((\gamma_{ij}^k)_{i,j,k\in I}\)는 \(i,j\)가 고정될 때마다 \(\gamma_{ij}^k\neq 0\)인 \(k\)가 오직 유한 개 뿐이다.

정의 9 위에서 정의한 family \((\gamma_{ij}^k)_{i,j,k\in I}\)를 \(E\)의 structure constant_구조상수라 부른다.

그럼 임의의 \(x,y\in E\)에 대하여, 이들을 basis \((e_i)\)를 사용하여

\[x=\sum_{i\in I} x_i e_i,\qquad y=\sum_{j\in I} y_j e_j\]

로 적으면,

\[xy=\sum_{i,j\in I} x_i y_j e_ie_j=\sum_{i,j,k\in I} x_i y_j \gamma_{ij}^k e_k\]

로 적을 수 있다. 거꾸로 위에서 설명한 유한성을 만족하는 family \((\gamma_{ij}^k)_{i,j,k\in I}\)가 주어진다면, 이를 통해 임의의 \(A\)-module \(E\) 위에 \(A\)-algebra 구조를 줄 수 있다.

뿐만 아니라, \(E\)의 곱셈이 결합법칙과 교환법칙을 만족할 조건도 basis를 이용하여 표현할 수 있다. 위와 같은 식으로 \(x,y,z\)를 각각 basis를 이용하여 표현한 후, \((xy)z\)와 \(x(yz)\)를 각각 나타내보면

\[(xy)z=\sum_{i,j,k\in I}x_i y_jz_k(e_ie_j)e_k,\qquad x(yz)=\sum_{i,j,k\in I} x_i y_j z_k e_i(e_je_k)\]

이므로 결합법칙이 성립하기 위해서는 basis를 구성하는 원소들 사이의 결합법칙이 성립하는 것만 확인하면 충분하다. 마찬가지 이유로 \(E\)의 곱셈이 교환법칙을 만족하려면 basis를 구성하는 원소들 사이의 교환법칙이 성립하는 것만 확인하면 충분하다.