곱공간

곱공간의 정의와 성질들

정의 1 위상공간들의 family $(X_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 이들의 곱_product은 곱집합 $X=\prod_{i\in I}X_i$ 위에 함수들 $\pr_i:X\rightarrow X_i$에 대한 initial topology가 주어진 위상공간이다.

그럼 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 2에 의하여 $X$ 위에 주어진 product topology는 다음의 집합

\[\mathcal{S}=\{\pr_i^{-1}(U_i)\mid U_i\text{ open in }X_i\}\]

을 subbase로 하여 생성된 공간이다. 이 때, $\mathcal{S}$에 의하여 생성되는 base $\mathcal{B}$는

\[\prod_{i\in I} U_i,\qquad \text{$U_i$ open in $X_i$, $U_i=X_i$ for all but finitely many $i$}\]

들의 모임이다.

[집합론] §곱집합의 성질, ⁋명제 3과 마찬가지 이유에 의하여 공간들의 곱을 취하는 것은 결합법칙을 만족한다는 것을 알 수 있으며, 비슷하게 교환법칙에 대한 명제 또한 존재한다. 이들은 꽤나 자명한 명제이므로 별도로 언급하고 넘어가지 않는다.

한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3을 적용하면 다음을 얻는다.

명제 2 곱공간 $X=\prod_{i\in I}X_i$와 위상공간 $Y$가 주어졌다 하고, 함수들 $f_i:Y\rightarrow X_i$이 주어졌다 하자. 그럼 함수 $f=(f_i): Y\rightarrow X$가 연속인 것은 각각의 $f_i$가 연속인 것과 동치이다.

이로부터 다음 두 개의 따름정리를 얻는다.

따름정리 3 Index set $I$를 공유하는 두 곱공간 $X=\prod_{i\in I}X_i$, $Y=\prod_{i\in I}Y_i$이 주어졌다 하고, $f_i:X_i\rightarrow Y_i$들이 주어졌다 하자. 그럼 $f:(x_i)\mapsto (f_i(x_i))$이 연속인 것은 각각의 $f_i$가 연속인 것과 동치이다.

임의의 집합 $X, Y$와 함수 $f:X \rightarrow Y$에 대하여, $f$의 graph $\Gamma(f)$는 $X\times Y$의 부분집합

\[\Gamma(f)=\{(x,f(x): x\in X\}\subseteq X\times Y\]

으로 주어진다. 만일 $X, Y$가 모두 위상공간이었다면 $\Gamma(f)$는 product space $X\times Y$로부터 subspace topology를 물려받는다.

따름정리 4 위상공간 $X,Y$와 함수 $f:X\rightarrow Y$에 대하여, $f$가 연속인 것은 함수 $g:x\mapsto (x,f(x))$가 $X$에서 $\Gamma(f)$로의 homeomorphism인 것과 동치이다.

뿐만 아니라, 위의 함수 $g$의 자명한 역함수

\[\pr_X\vert_{\Gamma(f)}:\Gamma(f) \rightarrow X\]

또한 알고 있다.

특히 $X$의 모든 점을 $y_0\in Y$로 보내는 상수함수는 연속이므로, 위의 따름정리에 의하여 homeomorphism

\[X\rightarrow X\times\{y_0\}\]

을 얻는다. 한편 $X\times Y$의 임의의 집합 $A$를 생각하자. 그럼

\[A\cap (X\times \{y_0\})=\{(x,y): (x,y)\in A,\quad y=y_0\}=\{(x,y_0): (x,y_0)\in A\}\]

이다. 이제 $\Gamma(f)$는 $X\times Y$의 subspace topology가 주어져 있으므로, 위의 집합은 $A$가 $X\times Y$의 열린집합이라면 $\Gamma(f)$의 열린집합이 되고, $A$가 $X\times Y$의 닫힌집합이라면 $\Gamma(f)$의 닫힌집합이 된다. 따라서 다시 따름정리 4를 적용하여 위의 집합을 $X$로 보내면 해당하는 집합 또한 열린집합 혹은 닫힌집합이 된다. 이 집합을 $A(y_0)\subseteq X$로 적자. 물론 비슷한 논증을 $X$와 $Y$의 역할을 바꾸어 $Y$의 부분집합 $A(x_0)$을 얻을 수도 있다.

명제 5 $X\times Y$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여, $\pr_X(U)$와 $\pr_Y(U)$는 $X,Y$의 열린집합이 된다.

증명

위의 논증과 다음 식

\[\pr_X(U)=\bigcup_{y\in Y} U(y),\qquad \pr_Y(U)=\bigcup_{x\in X} U(x)\]

으로부터 자명하다.

그러나 닫힌집합들의 임의의 합집합은 닫힌집합일 필요가 없으므로, 위의 명제에서 $A$를 닫힌집합으로 바꾼 주장은 성립하지 않는다. 한편, 따름정리 4에 의하여 다음의 명제 또한 얻는다.

명제 6 함수 $f:X_1\times X_2 \rightarrow Y$가 $(a_1,a_2)\in X_1\times X_2$에서 연속이라면, 다음의 식

\[x_1\mapsto f(x_1, a_2),\qquad x_2\mapsto f(a_1,x_2)\]

으로 정의된 $X_1$에서 $Y$, $X_2$에서 $Y$로의 함수들은 각각 점 $x_1=a_1$, $x_2=a_2$에서 연속이다.

그러나 이 명제의 역은 성립하지 않는다.

내부와 폐포

이제 우리는 곱집합과 내부, 폐포의 관계를 알아본다. 우선 폐포를 취하는 것은 곱집합에 대해 잘 행동한다. 즉 다음이 성립한다.

명제 7 Product space $X=\prod_{i\in I} X_i$와, $X_i$의 임의의 부분집합 $A_i$들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \cl A_i=\cl\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명

그러나 위의 명제는 interior에 대해서는 항상 성립하는 것은 아니며, $I$가 유한집합일 때만 성립한다.

명제 8 Index set $I$가 유한집합인 product space $\prod_{i\in I} X_i$와, $X_i$의 임의의 부분집합 $A_i$들이 주어졌다 하자. 그럼 다음 식

\[\prod_{i\in I} \interior A_i=\interior\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\]

이 성립한다.

증명