Yoneda lemma
(Locally small) category $\mathcal{A}$의 임의의 대상 $A$는 두 functor
\[\Hom_\mathcal{A}(A,-):\mathcal{A}\rightarrow\Set,\qquad \Hom_\mathcal{A}(-,A):\mathcal{A}\rightarrow\Set\]를 정의하며, 첫 번째는 covariant functor, 두 번째는 contravariant functor가 된다. (§함자, ⁋예시 4)
정의 1 Category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자.
- Covariant functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$이 representable functor표현 가능한 함자라는 것은 적당한 object $A\in\obj(\mathcal{A})$가 존재하여, $F$와 $\Hom_\mathcal{A}(A,-)$이 naturally isomorphic한 것이다.
- Contravariant functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$이 representable functor표현 가능한 함자라는 것은 적당한 object $A\in\obj(\mathcal{A})$가 존재하여, $F$와 $\Hom_\mathcal{A}(-,A)$이 naturally isomorphic한 것이다.
임의의 functor $F$에 대하여, 위의 조건을 만족하는 $A\in\obj(\mathcal{A})$와 natural isomorphism의 선택을 $F$의 representation표현이라 부른다.
예시 2 예를 들어, $\id_\Set:\Set \rightarrow \Set$은 representable이다. 이는 임의의 singleton $\ast$에 대하여 다음 natural isomorphism
\[\id_\Set\cong\Hom_\Set(\ast,-)\]이 성립하기 때문이다. 임의의 집합 $A$에 대하여, 전단사함수
\[\id_\Set(A)=A\rightarrow\Hom_\Set(\ast,A)\]는 $A$의 임의의 원소 $a$를 받아서, 그 image가 $a$인 함수 $a:\ast\rightarrow A$로 주어지며, 거꾸로 함수 $\ast\rightarrow A$의 image를 보면 $A$의 원소를 얻어낼 수 있다. 이 대응의 naturality는 임의의 함수 $f:A \rightarrow B$가 주어졌을 때, 임의의 $a\in A$에 대해 $b=f(a)$라 하면 $\id_\Set(B)\rightarrow\Hom_\Set(\ast,B)$는 그 image가 $b$인 함수 $b:\ast \rightarrow B$이고, 이것이 정확히 합성 $\ast\overset{a}{\longrightarrow}A\overset{f}{\longrightarrow}B$와 같기 때문에 얻어진다.
이와 관련된 가장 중요한 정리는 다음의 요네다 보조정리이다.
정리 3 (Yoneda) 임의의 functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$과, 임의의 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, 집합 사이의 bijection
\[\Phi:\{\text{natural transformations from $\Hom_\mathcal{A}(A,-)$ to $F$}\}\rightarrow F(A);\qquad \alpha\mapsto \alpha_A(\id_A)\]가 존재한다.
증명
우선 위의 함수가 어떻게 작동하는지를 잠깐 살펴보면, $\Hom_\mathcal{A}(A,-)$에서 $F$로의 natural transformation은 임의의 대상 $X$에 대하여, 두 집합 $\Hom_\mathcal{A}(A,X)$에서 $F(X)$로의 함수 $\alpha_X$로 주어진다. 특별히 $X=A$인 경우, 함수 $\alpha_A$는 $\Hom_\mathcal{A}(A,A)$에서 $F(A)$로의 함수로 주어지며, $\id_A\in\Hom_\mathcal{A}(A,A)$이므로 $\alpha_A(\id_A)\in F(A)$이다.
이 함수가 bijection임을 보이기 위해서는 역함수를 만들면 충분하다. 즉, 임의의 원소 $x\in F(A)$로부터 natural transformation $\Psi(x)$를 만들어내야 하고, 이 때 $\Psi(x)$는 다시 $\mathcal{A}$의 임의의 대상 $X$에 대하여 함수 $\Psi(x)_X:\Hom_\mathcal{A}(A,X)\rightarrow F(X)$로 주어진다. 그런데 $\Psi(x)$가 natural transformation이라면, 다음의 diagram이 commute해야 한다.
다시 $\id_A\in\Hom_\mathcal{A}(A,A)$를 생각하자. 그럼 오른쪽 위 방향으로 따라가면 이는 $F(f)(\Psi(x)_A(\id_A))$이고, 왼쪽 아래 방향을 따라가면 $\Psi(x)_X(f)$가 된다. 즉
\[\Psi(x)_X(f)=F(f)(\Psi(x)_A(\id_A))\]가 성립해야 한다. 한편, $\Psi$가 $\Phi$의 역함수이기 위해서는 $(\Psi\circ\Phi)(x)=x$여야 하므로, $\Psi$가 어떻게 정의되었는지를 생각해보면 $\Psi(x)_A(\id_A)$가 정확히 $x$여야 한다는 것을 알 수 있다. 즉, 다음의 식
\[\Psi(x)_X(f)=F(f)(x)\]를 통하여 $\Psi(x)$를 정의해야만 한다. 이렇게 정의한 $\Psi$가 실제로 natural transformation이 된다는 것을 추가로 보여야 하지만 이는 어렵지 않다.
뿐만 아니라, 양 변을 $\mathcal{A}\times\Set^\mathcal{A}$에서 $\Set$으로의 functor로 생각하면 이 bijection은 $\mathcal{A}$와 $\Set^\mathcal{A}$ 각 성분에 대해 natural하다. 이 사실은 지금 당장 사용할 것은 아니므로 언급만 하고 넘어가지만, 그 증명 또한 위의 증명과 마찬가지로 크게 어렵지는 않다. 또, duality에 의해 contravariant functor에 대한 요네다 보조정리도 존재한다.
정리 4 (Yoneda) 임의의 contravariant functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$과, 임의의 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, 집합 사이의 bijection
\[\Phi:\{\text{natural transformations from $\Hom_\mathcal{A}(-,A)$ to $F$}\}\rightarrow F(A);\qquad \alpha\mapsto \alpha_A(\id_A)\]가 존재한다.
서술의 편의를 위해 남은 글에서는 covariant functor의 경우만 다루지만, 자명한 방식으로 contravariant functor에 대해서도 똑같은 이야기들을 할 수 있다.
Universal property
정의 1을 보면, 우리는 object $A$와 natural isomorphism $F\cong\Hom_\mathcal{A}(A,-)$의 선택을 통틀어 representation이라 부르기로 하였다. 그런데 정리 3에 의하여 natural isomorphism을 택하는 것은 $F(A)$의 적절한 원소를 하나 뽑아오는 것과 같다. 이를 다음과 같이 정의한다.
정의 5 Representable functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$가 주어졌다 하자. Natural isomorphism $\Hom_\mathcal{A}(-,A)\cong F$에 대하여, $F(A)$의 원소 $x\in F(A)$를 universal element라 부르고, $A$와 $x$를 묶어 universal property라 부른다.
다음 예시를 살펴보면 이를 좀 더 직관적으로 이해할 수 있다.
예시 6 두 $k$-벡터공간 $V,W$를 고정하고, category $\Vect_k$에서 $\Set$으로의 functor $\operatorname{Bilin}(V,W;-)$을
\[\operatorname{Bilin}(V,W;U)=\{\text{bilinear maps from $V\times W$ to $U$}\}\]으로 정의하자. 그럼 이 functor가 representable하다는 사실이 잘 알려져 있다. 즉 적당한 $k$-벡터공간 $V\otimes W$가 존재하여, 다음 natural isomorphism
\[\Hom_{\Vect_k}(V\otimes W,-)\cong\operatorname{Bilin}(V,W;-)\]이 존재한다. 이 때 natural isomorphism은 Yoneda lemma에 의하여, $\operatorname{Bilin}(V,W;V\otimes W)$의 하나의 원소, 즉 $V\times W$에서 $V\otimes W$로의 bilinear map으로 정의된다.
바꿔 말하자면, tensor product의 universal property는 대상 $V\otimes W$와, universal element $V\times W\rightarrow V\otimes W$가 담고 있으며, 위의 natural isomorphism이 말해주는 것이 정확히 $V\times W$에서 $U$로의 bilinear map이 주어질 때마다 (우변), 유일한 $k$-linear map $V\otimes W$ (좌변)이 주어진다는 뜻이 된다.
위의 예시를 통해 다양한 분야에서 universal property를 통해 정의된 대상들이 실은 위의 꼴인 것을 확인할 수 있다. 그러나 범주론의 관점에서만 보자면 아직까지는 이들을 universal property라 부르는 이유는 정의 5에서 그렇게 이름을 붙였다는 것 외에는 찾아볼 수 없다.
이를 정당화하기 위해 category $\mathcal{A}$의 어떠한 대상 $I$가, 임의의 대상 $A$가 주어질 때마다 유일한 morphism $I\rightarrow A$를 가질 때 이를 $\mathcal{A}$의 initial object시작 대상라 부르자. 비슷하게 terminal object끝 대상 또한 정의한다. 그럼 명제 8은 위의 질문에 적절한 답을 준다. 즉, 이러한 대상들은 모두 적절한 카테고리의 initial (혹은 terminal) object로 생각할 수 있다. 이를 설명하기 위해서는 다음 정의가 필요하다.
정의 7 Functor $F: \mathcal{A}\rightarrow \Set$의 category of elements는 다음의 데이터로 이루어진 카테고리 $\int F$이다.
- $\int F$의 대상들은 $A\in \mathcal{A}$와 $x\in F(A)$로 이루어진 pair $(A,x)$이다.
- $\int F$의 morphism $(A_1,x_1) \rightarrow (A_2, x_2)$는 $F(f)(x_1)=x_2$를 만족하는 $\mathcal{A}$의 morphism $f$이다.
예컨대, $\Hom_{\mathcal{A}}(A,-):\mathcal{A}\rightarrow\Set$의 category of elements는 다음의 데이터로 구성된다.
- $\int \Hom_\mathcal{A}(A,-)$의 대상들은 $X\in \mathcal{A}$와 $\pi\in \Hom_\mathcal{A}(A,X)$로 이루어진 pair $(X,\pi)$이다.
- $\int \Hom_\mathcal{A}(A,-)$의 morphism $f:(X_1,\pi_1)\rightarrow(X_2,\pi_2)$은 $\pi_2=\Hom_\mathcal{A}(A,f)(\pi_1)=f\circ\pi_1$을 만족하는 $\mathcal{A}$의 morphism이다.
즉, $\int\Hom_\mathcal{A}(A,-)$는 under category ${}_{A/}\mathcal{A}$이다.
이제 다음 명제를 증명할 준비가 되었다.
명제 8 Functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\Set$이 representable인 것과 $\int F$가 initial object를 갖는 것이 동치이다.
증명
$F$가 representable하다면 $F\cong\Hom_\mathcal{A}(A,-)$이도록 하는 적절한 $A$와 natural isomorphism $\alpha$가 존재한다. 그럼 이를 통해 $\int F$에서 $\int\Hom_\mathcal{A}(A,-)$로의 isomorphism $(X,x)\mapsto (X,\alpha_X(x))$을 만들 수 있다. 그런데 $\int\Hom_\mathcal{A}(A,-)={}_{A/}\mathcal{A}$은 initial object $\id_A$를 갖는다.
이제 $\int F$가 initial object $(A,x)$를 갖는다 하고 이로부터 natural isomorphism $\Hom_\mathcal{A}(A,-)\Rightarrow F$를 만들어야 한다. 우선 정리 3로부터, 우리는 bijection
\[\Phi:\{\text{natural transformations from $\Hom_\mathcal{A}(A,-)$ to $F$}\}\rightarrow F(A)\]이 존재함을 알고 있으며, 이것이 bijection임을 증명하기 위해서 우리는 $x\in F(A)$마다 정의되는 natural transformation $\Psi(x):\Hom_\mathcal{A}(A,-)\Rightarrow F$를 다음 식
\[\Psi(x)_X(f)=F(f)(x)\]으로 정의했었다. 한편 $\int F$에서, $(A,x)$가 initial이라는 뜻은 임의의 $(X,y)\in\int F$를 가져올 때마다 $\mathcal{A}$에서의 morphism $f:A \rightarrow X$가 유일하게 존재하여 $F(f)(x)=y\in F(X)$인 것이다. 그런데 위의 식에 따라 $F(f)(x)=\Psi(x)_X(f)$이고, $X$를 고정하면 $y$는 $F(X)$에서 임의로 택해올 수 있으므로 이를 다시 말하면 임의의 $y\in F(X)$가 주어질 때마다, $y=\Psi(x)_X(f)$를 만족하는 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A,X)$를 반드시 유일하게 찾아올 수 있다는 뜻이다. 즉, $\Psi(x)_X$가 isomorphism이고 $X$ 역시 임의로 택할 수 있으므로 $\Psi(x)$가 $\Hom_\mathcal{A}(A,-)$에서 $F$로의 natural isomorphism을 정의한다.
이제 임의의 category의 initial object는 항상 유일한 isomorphism에 대해 유일하게 결정되므로, universal property 또한 유일한 isomorphism에 대해 유일하게 결정된다.
참고문헌
[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.
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