옹골공간

이제 우리는 옹골성의 개념을 정의한다.

옹골집합

정의 1 위상공간 \(X\)가 compact_옹골인 것은 \(X\)의 임의의 open covering \((U_i)_{i\in I}\)가 주어질 때마다, 유한한 부분집합 \(J\subseteq I\)가 존재하여 \((U_j)_{j\in J}\)가 여전히 \(X\)의 open covering인 것이다.

정의에 의해, compact space들의 유한한 합집합은 다시 compact인 것을 안다. 이와 같이 compactness는 적당한 종류의 유한성과 관련이 있다.

위상공간 \(X\)의 부분공간 \(Y\)를 생각하자. 그럼 \(Y\) 또한 위상공간이므로, 이 위상공간이 compact인지를 살펴볼 수 있다. 다음 명제는 \(Y\)가 compact인 것을 따져보기 위해서는 \(X\)의 열린집합들로 이루어진 covering을 생각하면 된다는 것을 보여준다.

명제 2 위상공간 \(X\)의 부분공간 \(Y\)를 생각하자. 그럼 \(Y\)가 compact인 것과, \(X\)의 열린집합들의 family \((U_i)_{i\in I}\)가 \(Y\subseteq\bigcup U_i\)를 만족할 때마다 유한한 부분집합 \(J\subseteq I\)가 존재하여 \((U_j)_{j\in J}\)의 합집합이 여전히 \(Y\)를 포함하는 것이 동치이다.

증명

우선 \(Y\)가 compact라 가정하고, \(Y\subseteq\bigcup U_i\)를 만족하는 \(X\)의 열린집합들의 family \((U_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(Y\cap U_i\)들은 \(Y\)에서 열린집합이고 따라서 \((U_i\cap Y)_{i\in I}\)는 \(Y\)의 open covering이며, 이로부터 유한한 부분집합 \(J\)를 택하여 \((U_j\cap Y)_{i\in J}\)가 여전히 \(Y\)의 open covering이도록 할 수 있다. 그럼 \((U_j)\)들의 합집합이 여전히 \(Y\)를 포함하는 것이 자명하다.

거꾸로 주어진 조건이 성립한다 하고, \(Y\)의 임의의 open covering \((V_i)_{i\in I}\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(Y\)의 위상구조의 정의에 의하여 \(V_i=U_i\cap Y\)이도록 하는 \(X\)의 열린집합들 \((U_i)\)가 존재하며, \(\bigcup U_i\)는 \(Y\)를 포함한다. 따라서 유한한 부분집합 \(J\)가 존재하여 \((U_j)_{j\in J}\)들의 합집합이 \(Y\)를 포함한다. 그럼 \((V_j)_{j\in J}\)가 원하는 \((V_i)_{i\in I}\)의 finite subcover이다.

위의 명제에 의하여, \(Y\)의 compactness를 증명하기 위해서는 \(Y\)를 포함하는 공간인 \(X\)에서의 열린집합들로 \(Y\)를 덮은 후, 이들이 정의 1의 조건을 만족함을 보이면 충분하다. 따라서, 약간의 남용을 통해 \(Y\subseteq \bigcup U_i\)를 만족하는 \(X\)의 열린집합들 \(U_i\)를 \(Y\)의 open cover라고 말하고, 혼동의 여지가 있는 경우만 이를 명확히 구별하기로 한다.

보조정리 3 Compact space의 닫힌집합은 compact이다.

증명

Compact space \(X\), \(X\)의 닫힌집합 \(Y\)가 주어졌다 하고 \(Y\)의 open covering \((U_i)\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(X\setminus Y\)는 열린집합이며, 이 집합을 \(Y\)의 open covering \((U_i)\)에 추가해준 것은 \(X\)의 open covering이다. \(X\)는 compact이므로 이 새로운 covering의 finite subcover가 존재하며, 그 finite subcover에서 \(X\setminus Y\)를 다시 뺀 것도 \(Y\)의 covering이 되며 원래의 \((U_i)\)의 finite subcover이다.

옹골 하우스도르프 공간

앞선 글에서 정의한 Hausdorff space의 경우, compact 조건이 추가되면 더 좋은 조건들을 만족한다. 이를 위해 우선 다음 보조정리를 보이자.

보조정리 4 Hausdorff space \(X\)가 주어졌다 하고, \(X\)의 한 점 \(x\), 그리고 \(x\)를 포함하지 않는 \(X\)의 compact subspace \(Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 두 집합 \(\{x\}\)와 \(Y\)는 근방으로 분리가능하다.

증명

\(X\)가 Hausdorff space이므로, 각각의 \(y\in A\)마다 \(x\)의 열린근방 \(U_{xy}\), \(y\)의 열린근방 \(V_y\)가 존재하여 \(U_{xy}\cap V_y=\emptyset\)이다. 이제 보조정리 3에 의하여 \((V_y)_{y\in Y}\)의 finite subcover \(V_{y_1},\ldots,V_{y_n}\)이 존재하여 여전히

\[Y\subseteq V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n}\]

이 성립하도록 할 수 있다. 이제

\[U_{xy_1}\cap \cdots\cap U_{xy_n}\]

은 \(\bigcup_{i=1}^n V_{y_i}\)와 서로소인 \(\{x\}\)의 열린근방이다.

특히 다음이 성립한다.

따름정리 5 Hausdorff space \(X\)의 compact subset \(Y\)는 닫힌집합이다.

증명

보조정리 4의 증명에서

\[U_x=U_{xy_1}\cap \cdots\cap U_{xy_n}\]

이라 하면 \(X\setminus Y=\bigcup_{x\not\in Y} U_x\)이다.

앞서 언급한 것과 같이, compact Hausdorff space는 다음의 추가적인 분리공리를 만족한다. (§하우스도르프 공간, ⁋정의 3)

보조정리 6 Compact Hausdorff space는 regular space이다.

증명

Compact Hausdorff space \(X\)를 고정하고, 한 점 \(x\in X\)와 \(x\)를 포함하지 않는 \(X\)의 닫힌집합 \(Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(Y\)는 보조정리 3에 의해 compact이고 따라서 원하는 결과는 보조정리 4로부터 자명하다.

뿐만 아니라, 이를 한 번 더 적용하여 다음 명제를 얻는다.

명제 7 Compact Hausdorff space는 normal space이다.

증명

Compact Hausdorff space의 서로소인 임의의 두 닫힌집합 \(A,B\)가 주어졌다 하자. 그럼 각각의 \(a\in A\)에 대하여, 보조정리 6에 의해 \(a\)의 열린근방 \(U_a\), \(B\)의 열린근방 \(V_{a}\)가 존재하여 \(U_a\cap V_a=\emptyset\)이다. 이제 보조정리 4와 마찬가지 방식으로, \((U_a)_{a\in A}\)는 \(A\)의 open covering이 되므로 다시 보조정리 3에 의해 \((U_a)\)의 finite subcover \(U_{a_1},\ldots, U_{a_n}\)을 잡을 수 있고, 이제 두 열린집합

\[U_{a_1}\cup\cdots \cup U_{a_n},\qquad V_{a_1}\cap\cdots\cap V_{a_n}\]

이 두 닫힌집합 \(A,B\)를 분리하는 열린근방이다.

옹골공간과 연속함수

Compactness는 연속함수에 대해서도 잘 작동한다.

명제 8 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)와 \(X\)의 임의의 compact subspace \(A\)에 대하여 \(f(A)\)도 compact이다.

증명

\(f(A)\)의 임의의 open covering \((U_i)\)에 대하여, \((f^{-1}(U_i))\)는 \(A\)의 covering이고 \(A\)가 compact이므로 finite subcover가 존재한다. 이에 해당되는 \(U_i\)들이 \(f(A)\)를 덮는 finite open subcover가 된다.

한편, 우리는 전단사인 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 homeomorphism일 필요는 없다는 것을 살펴보았는데, 만일 \(X\)가 compact이고 \(Y\)가 Hausdorff라면 이것이 성립한다.

명제 9 \(X\)가 compact이고 \(Y\)가 Hausdorff라면 임의의 전단사인 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)는 homeomorphism이다.

증명

이를 위해서는 \(f^{-1}\)이 연속임을 보여야 한다. §연속함수, ⁋정리 4의 셋째 조건을 사용하자. 즉 \(f\)가 closed map인 것을 보여야 한다. 그런데 이는 \(X\)의 닫힌집합 \(A\)가 주어졌다 하고, 보조정리 3, 명제 8, 그리고 따름정리 5를 순서대로 사용하면 된다.

유한 교집합 성질

정의 10 집합 \(X\)의 부분집합들의 family \(\mathcal{A}\)가 finite intersection property를 갖는다는 것은 \(\mathcal{A}\)의 유한히 많은 임의의 원소들 \(A_1,\ldots, A_n\)에 대하여

\[A_1\cap\cdots\cap A_n\]

이 공집합이 아닌 것이다.

그럼 특히 \(\emptyset\not\in \mathcal{A}\)가 성립한다. 또, 이 조건을 만족하는 family \(\mathcal{A}\)가 주어진다면, \(\mathcal{A}\)의 유한한 교집합들을 모두 추가하여 \(X\)의 filter base \(\mathcal{B}\)를 만들 수 있다. (§위상공간의 다른 정의들, ⁋정의 6) 이러한 이유로 \(\mathcal{A}\)를 \(\uparrow \mathcal{B}\)의 subbase라 부르기도 한다.

그럼 다음 명제는 compactness를 다른 방식으로 서술한 것이다.

명제 11 위상공간 \(X\)가 compact인 것은 finite intersection property를 만족하는 임의의 닫힌집합들의 family \(\mathcal{A}\)에 대하여, \(\bigcap \mathcal{A}\neq\emptyset\)인 것과 동치이다.

증명

여집합을 취하면 충분하다.