옹골공간

이제 우리는 옹골성의 개념을 정의한다.

옹골집합

정의 1 위상공간 $X$가 compact_옹골인 것은 $X$의 임의의 open covering $(U_i)_{i\in I}$가 주어질 때마다, 유한한 부분집합 $J\subseteq I$가 존재하여 $(U_j)_{j\in J}$가 여전히 $X$의 open covering인 것이다.

위상공간 $X$의 부분공간 $Y$를 생각하자. 그럼 $Y$ 또한 위상공간이므로, 이 위상공간이 compact인지를 살펴볼 수 있다. 다음 명제는 $Y$가 compact인 것을 따져보기 위해서는 $X$의 열린집합들로 이루어진 covering을 생각하면 된다는 것을 보여준다.

명제 2 위상공간 $X$의 부분공간 $Y$를 생각하자. 그럼 $Y$가 compact인 것과, $X$의 열린집합들의 family $(U_i)_{i\in I}$가 $Y\subseteq\bigcup U_i$를 만족할 때마다 유한한 부분집합 $J\subseteq I$가 존재하여 $(U_j)_{j\in J}$의 합집합이 여전히 $Y$를 포함하는 것이 동치이다.

증명

우선 $Y$가 compact라 가정하고, $Y\subseteq\bigcup U_i$를 만족하는 $X$의 열린집합들의 family $(U_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 그럼 $Y\cap U_i$들은 $Y$에서 열린집합이고 따라서 $(U_i\cap Y)_{i\in I}$는 $Y$의 open covering이며, 이로부터 유한한 부분집합 $J$를 택하여 $(U_j\cap Y)_{i\in J}$가 여전히 $Y$의 open covering이도록 할 수 있다. 그럼 $(U_j)$들의 합집합이 여전히 $Y$를 포함하는 것이 자명하다.

거꾸로 주어진 조건이 성립한다 하고, $Y$의 임의의 open covering $(V_i)_{i\in I}$이 주어졌다 하자. 그럼 $Y$의 위상구조의 정의에 의하여 $V_i=U_i\cap Y$이도록 하는 $X$의 열린집합들 $(U_i)$가 존재하며, $\bigcup U_i$는 $Y$를 포함한다. 따라서 유한한 부분집합 $J$가 존재하여 $(U_j)_{j\in J}$들의 합집합이 $Y$를 포함한다. 그럼 $(V_j)_{j\in J}$가 원하는 $(V_i)_{i\in I}$의 finite subcover이다.

위의 명제에 의하여, $Y$의 compactness를 증명하기 위해서는 $Y$를 포함하는 공간인 $X$에서의 열린집합들로 $Y$를 덮은 후, 이들이 정의 1의 조건을 만족함을 보이면 충분하다. 따라서, 약간의 남용을 통해 $Y\subseteq \bigcup U_i$를 만족하는 $X$의 열린집합들 $U_i$를 $Y$의 open cover라고 말하고, 혼동의 여지가 있는 경우만 이를 명확히 구별하기로 한다.

보조정리 3 Compact space의 닫힌집합은 compact이다.

증명

Compact space $X$, $X$의 닫힌집합 $Y$가 주어졌다 하고 $Y$의 open covering $(U_i)$가 주어졌다 하자. 그럼 $X\setminus Y$는 열린집합이며, 이 집합을 $Y$의 open covering $(U_i)$에 추가해준 것은 $X$의 open covering이다. $X$는 compact이므로 이 새로운 covering의 finite subcover가 존재하며, 그 finite subcover에서 $X\setminus Y$를 다시 뺀 것도 $Y$의 covering이 되며 원래의 $(U_i)$의 finite subcover이다.

옹골 하우스도르프 공간

앞선 글에서 정의한 Hausdorff space의 경우, compact 조건이 추가되면 더 좋은 조건들을 만족한다. 이를 위해 우선 다음 보조정리를 보이자.

보조정리 4 Hausdorff space $X$가 주어졌다 하고, $X$의 한 점 $x$, 그리고 $x$를 포함하지 않는 $X$의 compact subspace $Y$가 주어졌다 하자. 그럼 두 집합 $\{x\}$와 $Y$는 근방으로 분리가능하다.

증명

$X$가 Hausdorff space이므로, 각각의 $y\in A$마다 $x$의 열린근방 $U_{xy}$, $y$의 열린근방 $V_y$가 존재하여 $U_{xy}\cap V_y=\emptyset$이다. 이제 보조정리 3에 의하여 $(V_y)_{y\in Y}$의 finite subcover $V_{y_1},\ldots,V_{y_n}$이 존재하여 여전히

\[Y\subseteq V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n}\]

이 성립하도록 할 수 있다. 이제

\[U_{xy_1}\cap \cdots\cap U_{xy_n}\]

은 $\bigcup_{i=1}^n V_{y_i}$와 서로소인 $\{x\}$의 열린근방이다.

특히 다음이 성립한다.

따름정리 5 Hausdorff space $X$의 compact subset $Y$는 닫힌집합이다.

증명

보조정리 4의 증명에서

\[U_x=U_{xy_1}\cap \cdots\cap U_{xy_n}\]

이라 하면 $X\setminus Y=\bigcup_{x\not\in Y} U_x$이다.

앞서 언급한 것과 같이, compact Hausdorff space는 다음의 추가적인 분리공리를 만족한다. (§하우스도르프 공간, ⁋정의 3)

보조정리 6 Compact Hausdorff space는 regular space이다.

증명

Compact Hausdorff space $X$를 고정하고, 한 점 $x\in X$와 $x$를 포함하지 않는 $X$의 닫힌집합 $Y$가 주어졌다 하자. 그럼 $Y$는 보조정리 3에 의해 compact이고 따라서 원하는 결과는 보조정리 4로부터 자명하다.

뿐만 아니라, 이를 한 번 더 적용하여 다음 명제를 얻는다.

명제 7 Compact Hausdorff space는 normal space이다.

증명

Compact Hausdorff space의 서로소인 임의의 두 닫힌집합 $A,B$가 주어졌다 하자. 그럼 각각의 $a\in A$에 대하여, 보조정리 6에 의해 $a$의 열린근방 $U_a$, $B$의 열린근방 $V_{a}$가 존재하여 $U_a\cap V_a=\emptyset$이다. 이제 보조정리 4와 마찬가지 방식으로, $(U_a)_{a\in A}$는 $A$의 open covering이 되므로 다시 보조정리 3에 의해 $(U_a)$의 finite subcover $U_{a_1},\ldots, U_{a_n}$을 잡을 수 있고, 이제 두 열린집합

\[U_{a_1}\cup\cdots \cup U_{a_n},\qquad V_{a_1}\cap\cdots\cap V_{a_n}\]

이 두 닫힌집합 $A,B$를 분리하는 열린근방이다.

옹골공간과 연속함수

Compactness는 연속함수에 대해서도 잘 작동한다.

명제 8 연속함수 $f:X \rightarrow Y$와 $X$의 임의의 compact subspace $A$에 대하여 $f(A)$도 compact이다.

증명

$f(A)$의 임의의 open covering $(U_i)$에 대하여, $(f^{-1}(U_i))$는 $A$의 covering이고 $A$가 compact이므로 finite subcover가 존재한다. 이에 해당되는 $U_i$들이 $f(A)$를 덮는 finite open subcover가 된다.

한편, 우리는 전단사인 연속함수 $f:X \rightarrow Y$가 homeomorphism일 필요는 없다는 것을 살펴보았는데, 만일 $X$가 compact이고 $Y$가 Hausdorff라면 이것이 성립한다.

명제 9 $X$가 compact이고 $Y$가 Hausdorff라면 임의의 전단사인 연속함수 $f:X \rightarrow Y$는 homeomorphism이다.

증명

이를 위해서는 $f^{-1}$이 연속임을 보여야 한다. §연속함수, ⁋정리 4의 셋째 조건을 사용하자. 즉 $f$가 closed map인 것을 보여야 한다. 그런데 이는 $X$의 닫힌집합 $A$가 주어졌다 하고, 보조정리 3, 명제 8, 그리고 따름정리 5를 순서대로 사용하면 된다.

유한 교집합 성질

정의 10 집합 $X$의 부분집합들의 family $\mathcal{A}$가 finite intersection property를 갖는다는 것은 $\mathcal{A}$의 유한히 많은 임의의 원소들 $A_1,\ldots, A_n$에 대하여

\[A_1\cap\cdots\cap A_n\]

이 공집합이 아닌 것이다.

그럼 특히 $\emptyset\not\in \mathcal{A}$가 성립한다. 또, 이 조건을 만족하는 family $\mathcal{A}$가 주어진다면, $\mathcal{A}$의 유한한 교집합들을 모두 추가하여 $X$의 filter base $\mathcal{B}$를 만들 수 있다. (§위상공간의 다른 정의들, ⁋정의 6) 이러한 이유로 $\mathcal{A}$를 $\uparrow \mathcal{B}$의 subbase라 부르기도 한다.

그럼 다음 명제는 compactness를 다른 방식으로 서술한 것이다.

명제 11 위상공간 $X$가 compact인 것은 finite intersection property를 만족하는 임의의 닫힌집합들의 family $\mathcal{A}$에 대하여, $\bigcap \mathcal{A}\neq\emptyset$인 것과 동치이다.

증명

여집합을 취하면 충분하다.