미분

이번 글에서의 목표는 대수적으로 미분을 정의하는 것이다.

캘러미분가군

정의 1 Ring $A$와 $A$-algebra $E$, 그리고 $E$-module $M$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 Leibniz rule

\[d(xy)=y\,dx+x\,dy\]

을 모든 $x,y\in E$에 대해 만족하는 $A$-linear map들을 $A$-derivation이라 부르고 이들의 모임을 $\Der_A(E,M)$으로 적는다.

Derivation의 기본적인 성질 중 하나는 $\Der_A(E,M)$이 $E$-module 구조를 갖는다는 것으로, 이는 임의의 $x\in E$와 $d\in \Der_A(E, M)$에 대하여, $A$-linear map $x d$를 다음의 식

\[xd: E \rightarrow M;\qquad y\mapsto x\,d(y)\]

으로 정의하면 임의의 $y_1,y_2\in E$에 대하여 다음 식

\[(xd)(y_1y_2)=x\,d(y_1y_2)=x\, (y_1\,dy_2+y_2\,dy_1)=y_1(xd)(y_2)+y_2(xd)(y_1)\]

이 성립하기 때문이다. 뿐만 아니라 임의의 $A$-derivation $d: E \rightarrow M$과 임의의 $E$-linear map $u:M \rightarrow M’$이 주어졌을 때, 합성

\[u\circ d: E \rightarrow M'\]

또한 $A$-derivation이 되는 것을 확인할 수 있는데, 이는 다음 식

\[(u\circ d)(y_1y_2)=u(y_1\,dy_2+y_2\,dy_1)=y_1u(dy_2)+y_2u(dy_1)=y_1(u\circ d)(y_2)+y_2(u\circ d)(y_1)\]

에 따른 것이다. 즉, $\Der_A(E, -)$는 $\lMod{E}$에서 자기자신으로의 functor가 된다.

보조정리 2 Functor $\Der_A(E, -)$는 representable하다. 즉, $\lMod{E}$에서 자기자신으로의 두 functor들 사이의 natural isomorphism

\[\Der_A(E,-)\cong\Hom_E(\Omega_{E/A},-)\]

이 성립하도록 하는 $E$-module $\Omega_{E/A}$이 존재한다.

Representing object $\Omega_{E/A}$는 다음과 같이 정의된다.

정의 3 $A$-algebra $E$에 대하여, $E$의 $A$에 대한 Kähler differential module_{캘러 미분가군}은 $\{df: f\in E\}$로 생성되는 $E$-module에, 다음의 relation들

\[\text{$d(xy)=x\,dy+y\,dx$ for all $x,y\in E$},\qquad \text{$d(ax+by)=a\,dx+b\,dy$ for all $x,y\in E$ and $a,b\in A$}\]

을 주어 만들어지는 $E$-module이며, 이를 $\Omega_{E/A}$로 표기한다. 이 때, $f\mapsto df$로 정의되는 $A$-linear derivation $d:E \rightarrow \Omega_{E/A}$를 universal $A$-derivation이라 적는다.

그럼 $\Omega_{E/A}$가 원하는 universal property (보조정리 2)를 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 뿐만 아니라, $\Omega_{E/A}$를 $A$-algebra $A \rightarrow E$를 받아 $\Omega_{E/A}$를 내놓는 functor처럼 생각하면, 다음과 같은 종류의 functoriality 또한 성립한다.

명제 4 다음의 ring homomorphism들의 commutative diagram

이 주어졌다 하고, $\rho$와 $\rho’$를 통해 $E, E’$를 각각 $A$-algebra와 $A’$-algebra로 보자. 그럼 다음의 diagram

을 commute하게 하는 유일한 $E$-linear map $\Omega_{\varphi/\phi}:\Omega_{E/A} \rightarrow \Omega_{E’/A’}$이 존재한다.

증명

$d_{E’/A’}\circ \phi$가 $A$-derivation이므로 보조정리 2에 의해 자명하다.

한편 $\Omega_{E’/A’}$는 $E’$-module이므로, [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 5에 의하여

\[\Hom_{E'}(\varphi_! \Omega_{E/A},\Omega_{E'/A'})\cong\Hom_E(\Omega_{E/A}, \varphi^\ast\Omega_{E'/A'})\]

이 성립한다. 그럼 위의 명제 4에서 얻어지는 $\Omega_{E/A} \rightarrow \Omega_{E’/A’}$는 엄밀히 이야기하자면 $\Omega_{E/A} \rightarrow \varphi^\ast\Omega_{E’/A’}$이므로, 이에 해당하는 유일한 $E’$-linear homomorphism

\[\Omega_{\varphi/\phi}': \varphi_!\Omega_{E/A}=\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow \Omega_{E'/A'}\]

이 존재한다.

Fundamental sequences

특별히 $\phi:A \rightarrow A’$를 $\id_A:A \rightarrow A$로 두자. 그럼 위에서 만든 $E’$-linear homomorphism은 오직 $A$-linear map $\varphi:E \rightarrow E’$에만 의존하며, 다음의 꼴

\[\Omega_{\varphi/A}':\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow \Omega_{E'/A}\]

이 된다. 한편, $\varphi:E \rightarrow E’$를 통해 $E’$를 $E$-algebra로 보면 $E’$의 $E$에 대한 Kähler differential module $\Omega_{E’/E}$가 정의되며, 이 때 universal $E$-derivation $d_{E’/E}: E \rightarrow \Omega_{E’/E}$는 $A$-derivation이기도 하므로 다시 보조정리 2에 의하여 다음 식

\[d_{E'/E}=E' \overset{d_{E'/A}}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_\varphi}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E}\]

과 동일하다.

명제 5 (Cotangent sequence) $E’$-linear map들의 sequence

\[\Omega_{E/A}\otimes_EE'\overset{\Omega_{\varphi/A}'}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_\varphi}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E} \longrightarrow 0\]

는 exact이다.

증명

또 다른 중요한 exact sequence는 특별히 $\varphi:E \rightarrow E’$가 surjective인 경우에 얻어진다. 이 경우, first isomorphism theorme에 의하여

\[E/\ker \varphi\cong E'\]

가 성립한다. 편의상 $K=\ker\varphi$라 적자. 그럼 $d_{E/A}:E \rightarrow \Omega_{E/A}$를 $K$로 제한한

\[d_{E/A}\vert_K: K \rightarrow \Omega_{E/A}\]

를 생각하고, 다음의 $E$-linear map

\[K\overset{d\vert_K}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\overset{}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE'\]

을 생각할 수 있다. 그럼 위의 합성의 kernel이 $K^2$를 포함한다는 것을 확인할 수 있고, 따라서 이로부터 $E$-linear map

\[\bar{d}:K/K^2 \rightarrow \Omega_{E/A}\otimes_EE'\]

을 얻는다.

명제 6 위와 같은 상황에서, 다음의 sequence

\[K/K^2 \overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow\Omega_{E'/A} \longrightarrow 0\]

는 exact이다.