이번 글에서 우리는 quotient ring의 개념을 정의한다. §몫군을 정의할 때를 떠올려보면, group \(G\)의 임의의 subgroup \(H\)에 대해 \(G/H\)는 집합으로서는 항상 정의되지만 이것이 항상 group의 구조를 갖는 것은 아니었고, 이를 위해서는 \(H\)가 normal subgroup이라는 조건이 필요했다. 마찬가지로 ring \(A\)와 subring \(S\)에 대하여 \(A/S\)가 항상 ring structure를 갖는 것은 아니다.
몫환의 정의
우선 \(A\)와 \(S\)의 곱셈 구조를 잊어버리면 \(S\)가 \(A\)의 subgroup이다. 그런데 \(A\)가 abelian group이므로, \(A/S\)에 abelian group 구조가 존재한다. 이 위에 ring 구조가 정의되기 위해서는 곱셈 구조에도 비슷한 성질이 성립해야 한다. 즉 \(A/S\)의 임의의 두 원소 \(\alpha+S\), \(\alpha'+S\)에 대하여 이들의 곱
\[(\alpha+S)(\alpha'+S)\overset{?}{=}\alpha\alpha'+S\]이 위와 같이 정의되어야 한다. 한편, 임의의 \(xx'\in S\)에 대하여
\[(\alpha+x)(\alpha'+x')=\alpha\alpha'+x\alpha'+\alpha x'+xx'\]이고, \(xx'\in S\)이므로 위의 식이 성립하기 위해서는 \(x\alpha',\alpha x'\in S\)가 항상 성립해야 한다. 즉, \(S\)의 원소 \(x\)에 대하여, 임의의 \(\alpha\in A\)를 가져왔을 때 \(\alpha x\in S\)도, \(x\alpha\in S\)도 성립해야 하므로, \(S\)가 \(A\)의 two-sided ideal이어야 한다. 이 논의로부터 다음을 얻는다.
정의 1 Ring \(A\)와 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어졌다 하자. 위와 같이 정의된 ring \(A/\mathfrak{a}\)를 \(\mathfrak{a}\)에 의한 \(A\)의 quotient ring몫환이라 부른다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 2 Ring \(A\)와 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\alpha\mapsto \alpha+\mathfrak{a}\)로 정의된 함수 \(\pi:A\rightarrow A/\mathfrak{a}\)는 ring homomorphism이다.
- Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)에 대하여, 만일 \(\phi(\mathfrak{a})=\{0\}\)이라면 \(A/\mathfrak{a}\)에서 \(B\)로 가는 유일한 \(\bar{\phi}\)가 존재하여 \(\phi=\bar{\phi}\circ\pi\)가 성립한다.
증명
- \(\pi\)가 덧셈에 대해 abelian group homomorphism을 정의한다는 것은 §몫군의 결과로부터 자명하다. \(\pi\)가 곱셈을 보존하는 것 또한 위의 논의로부터 자명하며, 따라서 \(1+\mathfrak{a}\)가 \(A/\mathfrak{a}\)의 \(1\)이 되는 것을 확인할 수 있다.
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우선 \(\phi\)를 abelian group homomorphism으로 생각하자. 그럼 주어진 조건에 의하여 \(A\)의 subgroup \(\mathfrak{a}\)가 \(\ker \phi\)에 포함되므로, \(A/\mathfrak{a}\)에서 \(B\)로 가는 유일한 group homomorphism \(\bar{\phi}:A/\mathfrak{a}\rightarrow B\)가 존재하여 \(\phi=\bar{\phi}\circ\pi\)가 성립한다. (§동형사상, ⁋명제 3)
\[(\alpha+\mathfrak{a})(\beta+\mathfrak{a})=\alpha\beta+\mathfrak{a}=\pi(\alpha\beta)\]
이제 \(A/\mathfrak{a}\)의 두 원소 \(\alpha+\mathfrak{a}, \beta+\mathfrak{a}\)를 임의로 택하자. 그럼이므로, 다음 식
\[\bar{\phi}((\alpha+\mathfrak{a})(\beta+\mathfrak{a}))=\bar{\phi}(\pi(\alpha)\pi(\beta))=\bar{\phi}(\pi(\alpha\beta))=\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=\bar{\phi}(\pi(\alpha))\bar{\phi}(\pi(\beta))=\bar{\phi}(\alpha+\mathfrak{a})\bar{\phi}(\beta+\mathfrak{a})\]에 의해 \(\bar{\phi}\)는 곱셈을 보존한다. 비슷하게 \(\bar{\phi}(1+\mathfrak{a})=\bar{\phi}(\pi(1))=\phi(1)=1\)로부터 \(\bar{\phi}\)는 \(1\)을 \(1\)로 보낸다.
다음 정리는 §동형사상의 ring homomorphism 버전이라 할 수 있다.
정리 3 Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)와 kernel \(\ker \phi\), 그리고 image \(\im\phi\)에 대하여, 다음이 성립한다.
- \(\ker \phi\)는 \(A\)의 two-sided ideal이며, \(\alpha+\ker \phi \mapsto \phi(\alpha)\)가 잘 정의된 isomorphism \(A/\ker \phi \rightarrow \im \phi\)을 정의한다.
- \(A\)의 subring \(S\)에 대하여, \(S+\ker \phi=\{\alpha+x\mid\alpha\in S, x\in\ker \phi\}\)는 \(A\)의 subring이고, \(S\cap\ker \phi\)는 \(S\)의 two-sided ideal이 되며, isomorphism \((S+\ker \phi)/\ker \phi\cong S/(S\cap \ker f)\)이 존재한다.
- \(A\)의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)가 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\)를 만족한다면, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)는 \(A/\mathfrak{b}\)의 two-sided ideal이고 \((A/\mathfrak{b})/(\mathfrak{a}/\mathfrak{b})\cong A/\mathfrak{a}\)이 성립한다.
- \(A\)의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(A/\mathfrak{a}\)의 two-sided ideal의 집합과, \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 \(A\)의 ideal들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.
이에 대한 증명은 앞선 명제 2와 마찬가지로 §동형사상에서 다루었던 것과 거의 동일하게 진행하되, 얻어지는 group homomorphism이 실제로 ring homomorphism 또한 된다는 것만 보이면 된다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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