Hom과 텐서곱

이번 글에서 우리는 \(\Hom\)과 텐서곱에 대해 조금 더 자세히 살펴보자.

Hom functor

앞서 우리는 \(\Hom_{\lMod{A}}(-,N)\)과 \(\Hom_\lMod{A}(M,-)\)이 left exact functor가 된다는 것을 살펴보았으며, 이들이 각각 exact functor가 되도록 하는 \(M\)과 \(N\)을 각각 projective, injective module이라 불렀다. 다음의 두 명제는 이와는 조금 다른 방향의 명제로, 임의의 splitting exact sequence는 \(\Hom\)을 취하여도 반드시 exact sequence가 된다는 것을 보여준다.

명제 1 Splitting exact sequence

\[0 \longrightarrow M \overset{u}{\longrightarrow} L \overset{v}{\longrightarrow} N \rightarrow 0\]

와 임의의 \(A\)-module \(K\)에 대하여, 이들이 유도하는 다음의 sequence

\[0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(N,K) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(L,K) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(M,K) \rightarrow 0\]

은 splitting exact sequence이다. 거꾸로 만일 위의 sequence가 임의의 \(K\)에 대하여 exact sequence라면 원래의 exact sequence는 splitting exact sequence이다.

증명

주어진 exact sequence \(0 \rightarrow M \rightarrow L \rightarrow N \rightarrow 0\)이 split하는 것은 적당한 retraction \(r:L \rightarrow M\)이 존재하는 것과 동치이다. (§완전열, ⁋명제 10) 이제

\[\Hom_\lMod{A}(r, \id_K):\Hom_\lMod{A}(M,K) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(L,K)\]

를 생각하면, 식 \(r\circ u=\id_M\)으로부터 \(\Hom_\lMod{A}(r,\id_K)\)가 section을 갖는다는 사실을 알고 다시 §완전열, ⁋명제 10를 적용하면 두 번째 sequence가 split한다는 것을 보일 수 있다.

반대 방향은 \(K=M\)으로 두고 short exact sequence

\[0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(N,M) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(L,M) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(M,M) \rightarrow 0\]

를 생각하면 적당한 \(f\in\Hom_\lMod{A}(L,M)\)이 존재하여 \(f\circ u=\id_M\)이도록 할 수 있으므로 다시 §완전열, ⁋명제 10를 적용하면 된다.

비슷하게, 다음이 성립한다.

명제 2 Splitting exact sequence

\[0 \longrightarrow M \overset{u}{\longrightarrow} L \overset{v}{\longrightarrow} N \rightarrow 0\]

와 임의의 \(A\)-module \(K\)에 대하여, 이들이 유도하는 다음의 sequence

\[0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(K,M) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(K,L) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(K,N) \rightarrow 0\]

은 splitting exact sequence이다. 거꾸로 만일 위의 sequence가 임의의 \(K\)에 대하여 exact sequence라면 원래의 exact sequence는 splitting exact sequence이다.

Homomorphism \(M^\ast\otimes_AN \rightarrow \Hom_{\rMod{A}}(M,N)\)

편의상 \(A\)가 commutative ring이라 가정하자. 그럼 \(\lMod{A}=\rMod{A}\)이므로 임의의 \(A\)-module이 left \(A\)-module인지 right \(A\)-module인지 구별할 필요가 없다. 이러한 경우에는 아래첨자로 썼을 때의 미관상의 이유로 \(\rMod{A}\)를 표기법으로 고정하기로 한다. 이제 세 \(A\)-module \(M,N,L\)이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 \(A\)-module homomorphism

\[\nu:\Hom_{\rMod{A}}(M,L)\otimes_A N \rightarrow\Hom_{\rMod{A}}(M,L\otimes_AN)\]

을 만들 수 있다. 더 일반적으로 \(A,B\)가 (commutative일 필요는 없는) ring이고, left \(A\)-module \(M\), left \(B\)-module \(N\), \((A,B)\)-bimodule \(L\)가 주어졌다 하면 다음의 \(\mathbb{Z}\)-module homomorphism

\[\Hom_{\lMod{A}}(M,L)\otimes_AN \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M, L\otimes_BN)\]

을 만들 수 있다. ([Bou] II.4.2)

이는 우선 임의의 \(u\in\Hom_{\rMod{A}}(M,L)\)와 임의의 \(y\in N\)에 대하여, 다음 식

\[x\mapsto u(x)\otimes_Ay\]

으로 \(M\)에서 \(L\otimes_AN\)으로의 \(A\)-linear map을 정의하고, 그럼 \((u,y)\in\Hom_{\rMod{A}}(M,L)\times N\)의 원소를 받아 \(\Hom_{\rMod{A}}(M, L\otimes_AB)\)의 원소를 대응시키는 위의 함수가 \(A\)-balanced인 것을 알 수 있다. 따라서 이로부터 위의 \(A\)-linear map \(\nu\)가 유도된다.

명제 3 위와 같이 정의된 \(\nu\)에 대하여, 다음이 성립한다.

1. 만일 \(N\)이 projective \(A\)-module이라면 \(\nu\)는 injective이다. 또, \(N\)이 finitely generated projective라면 \(\nu\)는 bijective이다.
2. 만일 \(M\)이 fintiely generated projective \(A\)-module이라면, \(\nu\)는 bijective이다.

특히 만일 \(L=A\)인 경우 다음의 따름정리를 얻는다.

따름정리 4 임의의 두 \(A\)-module \(M,N\)이 주어졌다 하자. 만일 \(M\) 또는 \(N\)이 finitely generated projective \(A\)-module이라면, 다음의 isomorphism

\[M^\ast \otimes_AN\cong \Hom_{\rMod{A}}(M,N)\]

이 존재한다.

또, \(N=\Hom_{\rMod{A}}(M', L')\)로 두면 다음의 따름정리를 얻는다.

따름정리 5 다음의 \(A\)-linear map

\[\Hom_\rMod{A}(M,L)\otimes_A\Hom_\rMod{A}(M',L') \rightarrow \Hom_\rMod{A}(M\otimes M', L\otimes L')\]

이 존재하며, 이는 만일 다음의 쌍

\[(M,M'),\quad (M,L),\quad (M',L')\]

중 하나가 finitely generated projective \(A\)-module이라면 isomorphism이다.

Trace

여전히 \(A\)가 commutative ring이라 가정한다. 그럼 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여,

\[M^\ast\times M \rightarrow A;\qquad (\xi,x) \mapsto \langle x, \xi\rangle\]

이 \(A\)-balanced인 것을 안다. 따라서 이 함수는 다음의 \(A\)-linear map

\[\tau: M^\ast\otimes_A M \rightarrow A\]

을 만족한다. 이제 만일 \(M\)이 finitely generated projective \(A\)-module이라면 따름정리 4에 의하여 좌변을 \(\End_\rMod{A}(M)=\Hom_\rMod{A}(M,M)\)과 identify할 수 있고, 따라서 \(\End_\rMod{A}(M)\)에서 \(A\)로 가는 유일한 \(A\)-linear map이 정의된다.

정의 6 위와 같이 정의된 map을 trace map이라 하고, \(\tr\)로 표기한다.

임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)이 주어졌다 가정하자. \(\End_\rMod{A}(M)\)과 \(M^\ast\otimes_AM\)을 identify하고 나면 유한히 많은 \(\xi_i\in M^\ast, x_i\in M\)을 택하여 이를 다음의 합

\[\sum_i \xi_i\otimes_A x_i\tag{1}\]

으로 쓸 수 있으며, 이 원소가 따름정리 4에 의해 \(u\)에 대응된다는 것은 다음의 식

\[u(x)=\sum_i\langle x,\xi_i\rangle x_i\qquad\text{for all $x\in M$}\tag{2}\]

이 성립하는 것이다. 그럼 trace map의 정의에 의하여

\[\tr(u)=\sum_i\langle x_i,\xi_i\rangle\]

이 된다. 일반적으로 식 (2)를 만족하는 \(\xi_i\in M^\ast, x_i\in M\)의 쌍은 무수히 많을 수 있지만, 이는 \(M^\ast\otimes_AM\)의 원소를 식 (1)과 같이 나타내는 방법이 무수히 많기 때문이며, 어쨌든 \(\tau:M^\ast\otimes_AM \rightarrow A\)는 잘 정의되었으므로 \(\tr\)은 이러한 선택에 의존하지 않는다.

뿐만 아니라, \(\tr\)이 \(A\)-linear map인 것을 확인할 수 있으며 더 나아가 다음이 성립한다.

명제 7 임의의 두 finitely generated projective \(A\)-module \(M,N\)과 이들 사이의 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\), \(v:N \rightarrow M\)에 대하여

\[\tr(u\circ v)=\tr(v\circ u)\]

이 성립한다.