§근계에서 우리는 semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$의 root system $\Phi$를 정의하고, 그 대칭성을 Weyl group이 포착한다는 것을 확인하였다. 또한 §원환면의 작용에서 compact Lie group $G$의 maximal torus $T$와 Weyl group $W=N(T)/T$의 관계를 살펴보았다. 이 글에서는 root system의 구조를 통해 Lie algebra를 분류하고, 이로부터 자연스럽게 등장하는 기하적 대상인 flag variety를 소개한다.
Dynkin diagram
Root system $\Phi$의 구조는 simple root들 사이의 관계로 완전히 결정된다. §근계, ⁋정의 16에서 정의한 Cartan matrix는 이 관계를 행렬로 표현한 것이지만, 시각화를 통해 root system의 구조를 더 직관적으로 파악할 수 있다.
정의 1 Root system $\Phi$와 simple root들의 모임 $\Delta={\alpha_1,\ldots,\alpha_l}$에 대하여, $\Phi$의 Dynkin diagram은 다음과 같이 정의되는 그래프이다.
- 각 simple root $\alpha_i$에 대해 하나의 vertex를 둔다.
- 두 vertex $\alpha_i$, $\alpha_j$ ($i\neq j$) 사이에 $\lvert\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle\rvert$개의 edge를 둔다.
- 만일 $\lvert\alpha_i\rvert\neq\lvert\alpha_j\rvert$라면, 더 긴 root를 향하는 화살표를 edge에 추가한다.
Cartan matrix $A=(a_{ij})$에서 $a_{ij}=\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle$이므로, Dynkin diagram은 Cartan matrix의 정보를 그래프로 표현한 것이라 생각할 수 있다. §근계에서 살펴본 것과 같이 $a_{ij}\leq 0$이고 $a_{ij}=0$인 것은 $a_{ji}=0$인 것과 동치이므로, edge의 개수는 대칭적으로 결정된다. 또한 $a_{ij}\in{0,-1,-2,-3}$이므로 두 vertex 사이의 edge는 최대 3개이다.
예시 2 §근계, ⁋예시 13의 $\Phi(A_n)$을 생각하자. Simple root는 $\alpha_i=e_i-e_{i+1}$ ($1\leq i\leq n$)로 선택할 수 있다. 이들 사이의 내적을 계산하면
\[(\alpha_i,\alpha_j)=\begin{cases}2 & i=j\\ -1 & \lvert i-j\rvert=1\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}\]이므로 $\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle$은 $i=j$일 때 $2$, $\lvert i-j\rvert=1$일 때 $-1$, 그 외에는 $0$이다. 따라서 Dynkin diagram은 $n$개의 vertex가 chain으로 연결된 형태이며, 모든 root의 길이가 같으므로 화살표는 없다.
Dynkin diagram의 핵심 성질은 다음과 같다.
명제 3 Dynkin diagram은 연결되어 있거나, 연결 성분들의 disjoint union으로 나타난다. 각 연결 성분은 irreducible root system에 대응한다.
증명
Dynkin diagram의 연결 성분들은 simple root들의 partition $\Delta=\Delta_1\sqcup\cdots\sqcup\Delta_k$를 정의한다. 각 $\Delta_i$로 생성되는 root subsystem $\Phi_i$를 생각하면, §근계, ⁋명제 6에 의하여 서로 다른 $\Delta_i$에 속한 root들은 orthogonal이다. 따라서 $\Phi=\Phi_1\sqcup\cdots\sqcup\Phi_k$이고, 각 $\Phi_i$는 irreducible이다.
역으로 irreducible root system의 Dynkin diagram이 연결되어 있지 않다면 위의 논증에 의해 reducible이 되어 모순이다.
명제 4 Dynkin diagram에 cycle이 존재하지 않는다. 즉, Dynkin diagram은 항상 tree 혹은 forest이다.
증명
귀류법으로 cycle $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_k}=\alpha_{i_1}$이 존재한다 하자. Cycle 내의 edge 개수를 $k$라 하면, 각 edge에 대해 $\langle\alpha_{i_j},\alpha_{i_{j+1}}\rangle\neq 0$이고 따라서 $\langle\alpha_{i_j},\alpha_{i_{j+1}}\rangle\leq -1$이다.
이제 $\alpha=\sum_{j=1}^{k-1}\alpha_{i_j}$를 생각하자. 그럼
\[(\alpha,\alpha)=\sum_{j=1}^{k-1}(\alpha_{i_j},\alpha_{i_j})+2\sum_{j<\ell}(\alpha_{i_j},\alpha_{i_\ell})\]이다. Cycle이므로 각 $\alpha_{i_j}$는 정확히 두 개의 이웃과 연결되어 있고, 따라서
\[(\alpha,\alpha)\leq 2(k-1)-2(k-1)=0\]이다. 이는 inner product의 positive-definiteness에 모순이다.
명제 5 Dynkin diagram에서 한 vertex에서 나가는 edge의 총 개수는 $4$를 넘지 않는다. 즉, 임의의 simple root $\alpha$에 대하여
\[\sum_{\beta\in\Delta,\beta\neq\alpha}\lvert\langle\alpha,\beta\rangle\rvert\leq 4\]이다.
증명
Simple root $\alpha$에 수직인 초평면을 $H_\alpha$라 하자. $\alpha$와 이웃한 simple root들 $\beta_1,\ldots,\beta_m$을 생각하면, 각 $\beta_i$는 $H_\alpha$와 다른 각도를 이룬다.
$\beta_i$를 $H_\alpha$에 정사영한 벡터들의 linear independence로부터 $m\leq 3$임을 보일 수 있다. 또한 각 $\beta_i$에 대해 $\lvert\langle\alpha,\beta_i\rangle\rvert\leq 3$이므로 총합은 $4$를 넘지 않는다.
ADE 분류
이제 irreducible root system의 분류를 살펴보자. 앞선 명제들로부터 Dynkin diagram의 가능한 형태가 크게 제한된다.
정리 6 Irreducible root system의 Dynkin diagram은 다음 type들 중 하나이다.
- Classical types:
- $A_n$ ($n\geq 1$): $n$개의 vertex가 chain으로 연결
- $B_n$ ($n\geq 2$): $A_n$의 한쪽 끝에 double edge와 화살표 추가
- $C_n$ ($n\geq 2$): $A_n$의 한쪽 끝에 double edge와 반대 방향 화살표 추가
- $D_n$ ($n\geq 4$): $A_{n-1}$의 한쪽 끝에서 분기
- Exceptional types:
- $E_6, E_7, E_8$: 각각 6, 7, 8개의 vertex를 갖는 특별한 형태
- $F_4$: 4개의 vertex, 중간에 double edge
- $G_2$: 2개의 vertex, triple edge
이 분류의 증명은 Dynkin diagram이 만족해야 할 조건들을 체계적으로 분석하는 것으로 이루어진다. 핵심 아이디어는 다음과 같다.
- Cycle이 없으므로 tree 형태여야 한다.
- Branching이 제한적이므로 가능한 형태가 한정된다.
- Edge 개수의 제약으로부터 double edge와 triple edge의 위치가 결정된다.
자세한 증명은 생략하지만, 정리의 내용을 이해하는 데 있어 중요한 것은 각 type이 어떤 특징을 갖는지 아는 것이다.
예시 7 각 type에 대응하는 classical Lie algebra는 다음과 같다.
| Type | Lie algebra | Dimension |
|---|---|---|
| $A_n$ | $\mathfrak{sl}(n+1,\mathbb{C})$ | $n(n+2)$ |
| $B_n$ | $\mathfrak{so}(2n+1,\mathbb{C})$ | $n(2n+1)$ |
| $C_n$ | $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ | $n(2n+1)$ |
| $D_n$ | $\mathfrak{so}(2n,\mathbb{C})$ | $n(2n-1)$ |
Exceptional type들 $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$에 대응하는 Lie algebra들은 classical matrix algebra로 실현되지 않는다. 이들의 dimension은 각각 $78, 133, 248, 52, 14$이다.
Simply-laced root system
모든 root의 길이가 같은 root system을 simply-laced라 부른다. 이들은 특별한 성질을 갖는다.
정의 8 Root system $\Phi$가 simply-laced라는 것은 모든 $\alpha,\beta\in\Phi$에 대해 $\lvert\alpha\rvert=\lvert\beta\rvert$인 것이다. Equivalently, Dynkin diagram에 double edge나 triple edge가 없는 것이다.
Simply-laced root system은 정확히 $A_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ type이며, 이들을 통칭하여 ADE type이라 부른다. ADE type은 다양한 수학적 상황에서 등장한다. 가령 du Val singularity의 분류, Platonic solid의 대칭군, 그리고 2차원 conformal field theory 등에서 ADE pattern이 나타난다.
Borel subalgebra
이제 root system으로부터 자연스럽게 정의되는 Lie algebra의 subalgebra를 살펴보자. §근계, ⁋정의 15에서 positive root들의 모임 $\Phi^+$를 정의하였다. 이는 Weyl chamber를 하나 선택하는 것과 같으며, 이로부터 Lie algebra의 특별한 subalgebra를 정의할 수 있다.
정의 9 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$, Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$, 그리고 positive root들의 모임 $\Phi^+$에 대하여, Borel subalgebra는 다음의 subalgebra이다.
\[\mathfrak{b}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi^+}\mathfrak{g}_\alpha\]이 때 $\mathfrak{n}=\bigoplus_{\alpha>0}\mathfrak{g}_\alpha$를 $\mathfrak{b}$의 nilradical이라 한다.
Borel subalgebra는 positive root들에 해당하는 root space들을 모두 포함하며, Cartan subalgebra를 포함하는 가장 큰 “upper triangular” 형태의 subalgebra로 생각할 수 있다.
명제 10 Borel subalgebra $\mathfrak{b}$에 대하여 다음이 성립한다.
- $\mathfrak{b}$는 solvable이다.
- $\mathfrak{b}$는 $\mathfrak{g}$의 maximal solvable subalgebra이다.
- $\mathfrak{b}$의 모든 conjugate은 어떤 Borel subalgebra이다. 즉, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\Ad(g)\mathfrak{b}$는 어떤 positive system $\Phi’^+$에 대한 Borel subalgebra이다.
증명
(1) $\mathfrak{b}$의 derived series를 생각하자. $\mathfrak{b}^{(1)}=[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]=\mathfrak{n}$이고, $\mathfrak{n}$은 nilpotent이므로 $\mathfrak{b}$는 solvable이다. 구체적으로 $\mathfrak{n}$은 strictly upper triangular matrix들의 algebra와 유사한 구조를 갖는다.
(2) $\mathfrak{b}$를 포함하는 solvable subalgebra $\mathfrak{s}$가 있다 하자. Root decomposition에 의하여 $\mathfrak{s}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in S}\mathfrak{g}_\alpha$의 꼴이어야 한다. 만일 $S$가 어떤 positive root를 포함하지 않는다면 $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{b}$이고, 만일 $S$가 negative root를 포함한다면 $\mathfrak{s}$는 더 이상 solvable이 아니다. 따라서 $\mathfrak{s}=\mathfrak{b}$이다.
(3) $\Ad(g)\mathfrak{b}$는 다시 maximal solvable subalgebra이므로, 위의 (2)에 의하여 어떤 positive system에 대한 Borel subalgebra이다.
Borel subgroup과 flag variety
이제 Lie group 관점으로 넘어가자. Complex semisimple Lie group $G_\mathbb{C}$에 대하여, Borel subalgebra $\mathfrak{b}$에 대응하는 Lie subgroup을 생각할 수 있다.
정의 11 Complex semisimple Lie group $G_\mathbb{C}$의 Borel subgroup $B$는 Borel subalgebra $\mathfrak{b}$에 대응하는 connected Lie subgroup이다.
\[\mathfrak{b}=\Lie(B)\]Borel subgroup $B$는 $G_\mathbb{C}$의 maximal connected solvable subgroup이다. 이제 quotient 공간을 정의하자.
정의 12 Complex semisimple Lie group $G_\mathbb{C}$와 그 Borel subgroup $B$에 대하여, flag variety는 다음의 homogeneous space이다.
\[\mathcal{F}=G_\mathbb{C}/B\]Flag variety라는 이름은 $\GL(n,\mathbb{C})$의 경우 $\mathcal{F}$가 $\mathbb{C}^n$의 complete flag들의 공간과 일치하기 때문에 붙여졌다. 일반적으로 flag variety는 projective variety이며, 이는 $G_\mathbb{C}$의 representation theory와 깊은 관계를 갖는다.
예시 13 $G_\mathbb{C}=\GL(n,\mathbb{C})$인 경우를 생각하자. Borel subgroup $B$는 upper triangular matrix들의 모임이고, flag variety $\GL(n,\mathbb{C})/B$는 $\mathbb{C}^n$의 complete flag
\[0=V_0\subset V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_n=\mathbb{C}^n,\qquad \dim V_i=i\]들의 공간과 일대일대응된다. 구체적으로 $gB\in\GL(n,\mathbb{C})/B$는 flag $V_i=\span{ge_1,\ldots,ge_i}$에 대응한다. 이 공간은 다음의 embedding
\[\GL(n,\mathbb{C})/B\hookrightarrow\mathbb{P}(\wedge^1\mathbb{C}^n)\times\mathbb{P}(\wedge^2\mathbb{C}^n)\times\cdots\times\mathbb{P}(\wedge^{n-1}\mathbb{C}^n)\]을 통해 projective variety로 실현된다.
Compact form과의 연결
이제 compact Lie group $G$와 그 complexification $G_\mathbb{C}$ 사이의 관계를 살펴보자. 이 연결은 두 관점 — compact group의 $G/T$와 complex group의 $G_\mathbb{C}/B$ — 사이의 bridge를 제공한다.
정의 14 Complex Lie group $G_\mathbb{C}$의 compact form은 다음 조건을 만족하는 compact Lie group $G$이다.
- $G$는 $G_\mathbb{C}$의 Lie subgroup이다.
- $G$의 Lie algebra $\mathfrak{g}0$는 $\mathfrak{g}$의 real form이다. 즉 $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\otimes\mathbb{R}\mathbb{C}$이다.
- $\mathfrak{g}_0$ 위에서 Killing form은 negative definite이다.
모든 complex semisimple Lie group은 compact form을 갖는다. 예를 들어 $\SL(n,\mathbb{C})$의 compact form은 $\SU(n)$이고, $\SO(n,\mathbb{C})$의 compact form은 $\SO(n)$이며, $\Sp(2n,\mathbb{C})$의 compact form은 $\Sp(n)=\Sp(2n,\mathbb{C})\cap\U(2n)$이다.
이제 핵심적인 결과를 서술한다.
명제 15 Compact connected Lie group $G$와 그 complexification $G_\mathbb{C}$, maximal torus $T\subset G$, 그리고 대응하는 Borel subgroup $B\subset G_\mathbb{C}$에 대하여, 다음의 inclusion
\[G/T\hookrightarrow G_\mathbb{C}/B\]은 homotopy equivalence이다. 특히 $G/T$와 $G_\mathbb{C}/B$는 같은 cohomology를 갖는다.
증명
$G_\mathbb{C}$의 Iwasawa decomposition $G_\mathbb{C}=G\cdot A\cdot N$을 생각하자. 여기서
- $A$는 $T$의 complexification에 해당하는 diagonalizable subgroup으로, $\mathfrak{a}=\mathfrak{t}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{R}$에 의해 결정된다.
- $N=\exp(\mathfrak{n})$는 $\mathfrak{n}=\bigoplus_{\alpha>0}\mathfrak{g}_\alpha$에 대응하는 unipotent subgroup이다.
Borel subgroup $B$는 $B=A\cdot N$으로 분해되며, $G\cap B=T$이다. 이제 다음의 chain을 생각하자.
\[G/T\hookrightarrow G_\mathbb{C}/B=(G\cdot A\cdot N)/(A\cdot N)\cong G/(G\cap A\cdot N)=G/T\]첫 번째 inclusion은 $G\hookrightarrow G_\mathbb{C}$로부터 유도되며, composition이 $G/T$의 identity map이므로 이 inclusion은 homotopy equivalence이다.
더 정확히는 $A\cdot N\cong\mathbb{R}^n$이므로 $G_\mathbb{C}/B\to G/T$는 deformation retraction을 유도한다.
이 결과는 compact Lie group 관점에서의 $G/T$와 complex Lie group 관점에서의 flag variety $G_\mathbb{C}/B$가 본질적으로 같은 대상임을 의미한다. 특히 $G/T$의 위상적 성질 — cohomology, homotopy group 등 — 을 연구하기 위해 flag variety의 대수기하적 성질을 활용할 수 있다.
Bruhat decomposition
마지막으로 $G_\mathbb{C}$의 중요한 분해를 소개한다. 이 분해는 flag variety의 cell structure를 이해하는 데 핵심적이다.
명제 16 Complex semisimple Lie group $G_\mathbb{C}$, Borel subgroup $B$, 그리고 Weyl group $W$에 대하여, 다음의 분해가 성립한다.
\[G_\mathbb{C}=\bigsqcup_{w\in W}BwB\]이를 Bruhat decomposition이라 한다. 각 double coset $BwB$는 $G_\mathbb{C}$에서 locally closed subset이며, 그 closure는 다음과 같이 주어진다.
\[\overline{BwB}=\bigcup_{v\leq w}BvB\]여기서 $\leq$는 Weyl group 위의 Bruhat order이다.
증명
우선 $G_\mathbb{C}=\bigcup_{w\in W}BwB$임을 보이자. 임의의 $g\in G_\mathbb{C}$에 대하여, $g^{-1}B\cap T\neq\emptyset$인지 확인한 후, Weyl group의 원소를 이용하여 $g$를 적절한 double coset으로 보낼 수 있다.
Disjointness를 보기 위해, $BwB=BvB$라 하자. 그럼 $wBw^{-1}=vBv^{-1}$이고, 이로부터 $w^{-1}v\in N(T)$이며 $w^{-1}v$는 $B$를 normalize한다. 그런데 $B\cap N(T)=T$이므로 $w^{-1}v\in T$이고, 따라서 $w=v$ in $W$이다.
Closure에 대한 진술은 Bruhat order의 정의로부터 따라나온다.
Bruhat decomposition은 flag variety $G_\mathbb{C}/B$의 cell decomposition을 제공한다. 각 $w\in W$에 대하여 $X_w=BwB/B$는 dimension $\ell(w)$의 affine space와 동형이고, 이들을 모으면 $G_\mathbb{C}/B$의 전체를 덮는다. 여기서 $\ell(w)$는 $w$의 length, 즉 $w$를 simple reflection들의 곱으로 표현할 때 필요한 최소 개수이다.
예시 17 $G_\mathbb{C}=\GL(n,\mathbb{C})$인 경우, Weyl group $W\cong S_n$이고 각 permutation $\sigma\in S_n$에 대하여 $\ell(\sigma)$는 inversion의 개수이다.
구체적으로 $\sigma$의 inversion은 $i<j$이면서 $\sigma(i)>\sigma(j)$인 쌍 $(i,j)$의 개수이다. Bruhat decomposition에 의해 $\GL(n,\mathbb{C})/B$는 $0$차원 cell (identity permutation, inversion $0$개)부터 $n(n-1)/2$차원 cell (reverse permutation, inversion 최대)까지의 cell decomposition를 갖는다.
이 cell decomposition로부터 $\GL(n,\mathbb{C})/B$의 cohomology를 계산할 수 있으며, 그 Betti number는 Weyl group의 Bruhat order에 의해 결정된다.
참고문헌
[BtD] Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 1985.
[Hum] James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 1975.
[Spr] T. A. Springer, Linear Algebraic Groups, Progress in mathematics, Birkhäuser, 1998.
댓글남기기