분리가능확대체

에탈대수의 성질들

이제 우리는 separable extension의 개념을 정의한다. 우선 이전 글에서 살펴본 étale algebra의 성질들을 살펴볼 것이다.

보조정리 1 Algebraically closed field $\mathbb{K}$에 대하여, finite degree의 commutative $\mathbb{K}$-algebra $A$가 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$을 만족한다 하자. 그럼 $A$의 임의의 maximal ideal $\mathfrak{m}$에 대하여, $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$이 성립한다.

증명

Field $A/\mathfrak{m}$는 algebraically closed field $\mathbb{K}$의 finite degree extension이므로, 이는 반드시 algebraic extension이고 따라서 $[A/\mathfrak{m}:\mathbb{K}]=1$이다. 따라서 각각의 $a\in A$에 대하여 우리는 $a-\lambda\in \mathfrak{m}$이도록 하는 $\lambda\in \mathbb{K}$를 찾을 수 있다. 그럼 다음의 식

\[A \rightarrow \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2;\qquad a\mapsto a-\lambda)\]

으로 정의된 함수 $D:A \rightarrow \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$이 $\mathbb{K}$-derivation이 되는 것이 자명하다. 이제 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 8의 universal property로부터 $D$는 반드시 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$를 factor through 해야 하고, 가정에 의해 이것이 $0$이므로 $D=0$이어야 한다.

Étale algebra에 대한 우리의 characterization을 위해서는 위의 보조정리의 결과로부터 출발하는 다음의 보조정리를 보여야 한다.

보조정리 2 Commutative ring $A$의 finitely generated ideal $\mathfrak{a}$가 $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^2$를 만족한다면 적당한 idempotent $e\in A$가 존재하여 $\mathfrak{a}=Ae$이도록 할 수 있다.

증명

우선 $\mathfrak{a}$의 generator를 $a_1,\ldots,a_n$이라고 하자. 그럼 $ \mathfrak{a}=\mathfrak{a}^2$이므로 각각의 $i$에 대하여 다음의 식

\[a_i=\sum_{j=1}^r x_{ij}a_j\]

이 성립하도록 하는 $x_{ij}$들이 존재한다. 이렇게 만들어진 $r\times r$ 행렬에 대하여, $I_r-(x_{ij})$를 $M$이라 하자. 그럼 $M$의 adjoint matrix를 통해 다음의 식

\[NM=(\det M) I_r\]

이 성립하도록 하는 $r\times r$ 행렬 $N$이 존재한다. 이제 양 변에서 $a_j$에 해당하는 열벡터가 어디로 가는지를 계산해보면 우리는 반드시 $(\det M)a_j=0$이 모든 $j$에 대해 성립해야 하는 것을 알고, 따라서 $(\det M)\mathfrak{a}=0$이 성립한다.

한편, 행렬 $M$은 그 정의에 의하여 $\mathfrak{a}$로 자른 후에는 $I_r$이 되며, 따라서 그 행렬식 $\det M$ 또한 (modulo $\mathfrak{a}$로) $1$이 된다. 이제 $e=1-D$로 두면 $e$가 원하는 idempotent가 된다.

그럼 étale algebra에 대한 differential characterization은 다음과 같이 주어진다.

정리 3 Finite degree commutative $\mathbb{K}$-algebra $A$에 대하여, $A$가 étale인 것과 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$인 것이 동치이다.

증명

우선 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$와 étale algebra의 개념은 base change에 대해 잘 행동하므로 우리는 $\mathbb{K}$가 algebraically closure라 가정해도 된다. 더 정확히 말해, $A$가 étale인 것은 $\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$에 대해 $\overline{\mathbb{K}}$-algebra $A_{(\overline{\mathbb{K}})}=A\otimes_\mathbb{K}\overline{\mathbb{K}}$이 diagonalizable인 것과 동치이며 (§에탈대수, ⁋명제 8, 한편 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 12의 canonical isomorphism과 $\overline{\mathbb{K}}$-algebra $A_{(\overline{\mathbb{K}})}$의 정의에 의하여 다음의 isomorphism

\[\Omega_{A_{(\overline{\mathbb{K}})}/\overline{\mathbb{K}}}\cong \Omega_{A/\mathbb{K}}\otimes_A A_{(\overline{\mathbb{K}})}=\Omega_{A/\mathbb{K}}\otimes_A A\otimes_\mathbb{K}\overline{\mathbb{K}}\cong \Omega_{A/\mathbb{K}}\otimes_\mathbb{K}\overline{\mathbb{K}}\]

을 얻고, 따라서 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$인 것과 $\Omega_{A_{(\overline{\mathbb{K}})}/\overline{\mathbb{K}}}=0$인 것이 동치이다. 즉, 주어진 정리를 증명하는 것은 $\mathbb{K}$가 algebraically closed라 가정하고, $A$가 diagonalizable인 것과 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$인 것이 동치임을 보이면 된다.

우선 $A$가 diagonalizable이라 가정하면, $A$는 §에탈대수, ⁋명제 6의 둘째 조건에 의하여 idempotent들로 생성된다. 그런데 임의의 idempotent $e$에 대하여, Leibniz rule을 생각하면

\[d(e)=d(e^2)=ed(e)+ed(e)=2ed(e)\]

이고 양 변에 $e$를 곱하면 $ed(e)=0$이어야 하므로, 이를 다시 위에 대입하면 $de=0$이어야 함을 안다. 한편 명시적으로 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$는 이러한 원소들 $de$로 생성되는 free module에 적절한 relation들로 자른 것으로 나타나므로 ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10) 이로부터 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$이어야 함을 안다.

이제 거꾸로 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$이라 가정하고 $A$가 diagonalizable임을 보이자. $A$의 degree에 대한 귀납법으로 진행하며, degree $1$인 경우는 자명하다. 이제 일반적인 경우에 $A$의 maximal ideal $\mathfrak{m}$을 하나 택하자. 그럼 보조정리 1에 의하여 $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$이고, 따라서 보조정리 2를 적용하면 $\mathfrak{m}=Ae$이도록 하는 idempotent $e$를 찾을 수 있다. 한편, 이로부터 $A$를 $\mathfrak{a}=(1-e)A$와 $\mathfrak{m}$의 direct sum으로 쪼개놓으면 $\mathbb{K}$가 algebraically closed라는 가정으로부터 extension $A/\mathfrak{m}$이 degree $1$이어야 함을 안다. 즉, 이 direct sum을

\[A\cong \mathfrak{a}\oplus\mathfrak{m}\cong \mathbb{K}\times A/\mathfrak{a}\]

으로 적을 수 있다. 이제 $\Omega$가 right exact functor이므로 ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 13) $\Omega_{(A/\mathfrak{a})/\mathbb{K}}$는 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$의 quotient가 되어 ddd$0$이다. 따라서, $A/\mathfrak{a}$는 귀납적 가정에 의하여 diagonalizable이고, 이를 $\mathbb{K}$와 곱한 $A$ 또한 마찬가지이다.

앞서 우리는 §제곱근확대체, ⁋예시 9에서 갈루아 이론을 전개할 때 문제가 될 수 있는 상황을 살펴보았었는데, 이 예시를 바탕으로 정리 3을 살펴보자.

예시 4 좋은 경우는, §제곱근확대체의 서두에서 살펴보았듯, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$가 있다. 우리는 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10의 계산으로부터, $\Omega_{\mathbb{Q}[\x]/\mathbb{Q}}$는 $d\x$로 생성되는 free $\mathbb{Q}[\x]$-module임을 안다. 한편 $\mathbb{Q}[\x]$의 ideal $\mathfrak{I}=(\x^2-2)$를 생각하면 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 14로부터 다음의 exact sequence

\[\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\overset{\overline{d}}{\longrightarrow}\Omega_{\mathbb{Q}[\x]/\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{Q}(\sqrt{2})\overset{\Omega_0(u)}{\longrightarrow}\Omega_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}\longrightarrow 0\]

로부터 $\Omega_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}$는 원소 $d(\sqrt{2})$로 생성되는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$-module임을 안다. 그런데 다음의 계산

\[0=d(2)=d((\sqrt{2})^2)=2\sqrt{2}d(\sqrt{2})\]

와 $2\sqrt{2}$가 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$에서 invertible이라는 사실로부터 $d(\sqrt{2})=0$이어야 하고 따라서 $\Omega_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}=0$이어야 함을 안다.

반면 §제곱근확대체, ⁋예시 9에서 살펴본 $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p(t)$의 algebraic extension $\mathbb{K}(t^{1/p})=\mathbb{K}[\x]/(\x^p-t)$에서는 위의 계산이 틀어지게 되는데, 위의 계산과 마찬가지로 $\Omega_{\mathbb{K}(t^{1/p})/\mathbb{K}}$는 $d(t^{1/p})$로 생성되는 $\mathbb{K}(t^{1/p})$-module이지만, 다음의 계산

\[0=d(t)=d((t^{1/p})^p)=p(t^{1/p})^{p-1}d(t^{1/p})\]

은 $d(t^{1/p})=0$이라는 결과를 주지 못한다. 어차피 $\mathbb{K}(t^{1/p})$는 characteristic $p$이므로 $p(t^{1/p})^{p-1}$은 $0$이고, 따라서 위의 식은 $d(t^{1/p})$에 대한 어떠한 relation도 주지 않기 때문이다. 실제로, 명시적으로 임의의 field $\mathbb{K}$와 algebraic extension $\mathbb{K}(\alpha)=\mathbb{K}[\x]/(f)$를 생각하면

\[\Omega_{(\mathbb{K}[\x]/(f))/\mathbb{K}}\cong\frac{\Omega_{\mathbb{K}[\x]/\mathbb{K}}\otimes_\mathbb{K}\mathbb{K}(\alpha)}{\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2}\cong\frac{ {\mathbb{K}[\x]\mathop{d\x}}\otimes\mathbb{K}[\x]/(f)}{(df)}\cong \frac{\mathbb{K}[\x]}{(f, f')}\mathop{d\x}\]

이므로 이로부터 위의 두 계산이 따라나온다.

우리가 배제하고자 하는 경우는 정확히 minimal polynomial $f$가 중근을 갖는 경우, 즉 $df=0$인 경우이므로 étale algebra의 개념을 유용하게 사용할 수 있을 것이다. 곧 우리는 separable extension을 임의의 finite degree subextension이 étale인 field extension으로 정의할 것이다. (정의 8) 그럼 예시 4에서 살펴봤듯 $\mathbb{Q}$의 임의의 algebraic extension은 separable extension이 된다. 더 나아가 우리는 perfect field의 임의의 algebraic extension은 separable인 것을 보일 것이다. (명제 9) 이 과정에서 사용할 étale algebra의 성질들을 조금 더 살펴보자.

명제 5 임의의 field $\mathbb{K}$에 대하여, finite degree, commutative $\mathbb{K}$-algebra $A$가 reduced인 것은 $\mathbb{K}$의 적당한 finite degree field extension $\mathbb{L}_1,\ldots, \mathbb{L}_n$이 존재하여 $A$가 $\mathbb{L}_1\times\cdots\times \mathbb{L}_n$과 $\mathbb{K}$-algebra로서 isomorphic한 것이 동치이다.

증명

$\mathbb{L}_1\times\cdots\times \mathbb{L}_n$은 reduced이므로 한쪽 방향은 자명하다. 거꾸로 $A$가 finite degree reduced commutative $\mathbb{K}$-algebra라 하자. 만일 $A$가 field라면 더 이상 보일 것이 없으므로 $A$가 field가 아닌 경우만 증명하면 충분하고, 언제나처럼 $A$의 degree에 대한 귀납법을 사용하면 임의의 (field가 아닌) reduced algebra $A$가 항상 nontrivial한 product $A_1\times A_2$로 나타난다는 것을 보이면 된다.

이를 위해 $A$가 $0,1$이 아닌 idempotent를 갖는다는 것을 보이자. $A$의 임의의 ideal은 유한차원 $\mathbb{K}$-벡터공간이므로 $A$의 ideal들 가운데 $\mathbb{K}$-벡터공간으로서 가장 작은 차원을 갖는 ideal $\mathfrak{a}$를 택할 수 있다. 그럼 $\mathfrak{a}$의 minimality와 $A$가 reduced라는 가정으로부터 $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$이고 따라서 보조정리 2를 적용할 수 있다.

그럼, 위에서 언급한 정리 9의 주장은 본질적으로 다음 보조정리에 담겨있다.

보조정리 6 Perfect field $\mathbb{K}$에 대하여, 임의의 finite degree, reduced $\mathbb{K}$-algebra는 étale이다.

증명

주장의 조건을 만족하는 $\mathbb{K}$-algebra $A$를 생각하자. 우선 명제 5로부터 $A\cong \mathbb{L}_1\times\cdots \times\mathbb{L}_n$이도록 하는 extension들이 존재한다. 한편 étale algebra들의 곱은 étale이므로 주어진 주장은 임의의 finite degree field extension over perfect field $\mathbb{K}$가 étale임을 보이면 충분하다. 따라서 정리 3을 적용하여, 임의의 $\alpha\in A$에 대하여 $d\alpha=0$임을 보이면 충분하다. 예시 4의 계산에 의하여 우리는 식 $f’(\alpha)d\alpha=0$이 성립해야 함을 알고, 비슷한 논리에 의하여 우리는 $f’(\alpha)\neq 0$임을 보여야 한다.

결론에 반하여 $f’(\alpha)=0$이라 하자. 어차피 $f$가 상수인 경우에는 증명할 것이 없으므로 $f$가 일차식 이상이라 가정할 수 있고, 그럼 §체, ⁋명제 19의 결과에 의하여 $\ch(\mathbb{K})=p\neq 0$이며 $f\in \mathbb{K}[\x^p]=\mathbb{K}[\x]^p$여야 한다. 그런데 $f$는 minimal polynomial이므로 irreducible이고, irreducible polynomial은 정의에 의하여 $\mathbb{K}[\x]^p$에 속할 수 없으므로 이는 모순이다. 따라서 $f’(\alpha)\neq 0$이다.

이제 위의 보조정리를 이용하면 다음과 같이 étale algebra의 또 다른 characterization을 만들어줄 수 있다.

정리 7 임의의 finite degree commutative $\mathbb{K}$-algebra $A$에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. $A$가 étale이다.
2. 임의의 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여, $A_{(\mathbb{L})}=\mathbb{L}\otimes_\mathbb{K}A$가 reduced이다.
3. 적당한 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$이 존재하여 $\mathbb{L}$이 perfect이고 $A_{(\mathbb{L})}$이 reduced이다.

증명

둘째 조건이 성립하면 셋째 조건이 성립하는 것은 perfect closure의 존재성으로부터 자명하며, 첫째 조건이 둘째 조건을 함의하는 것은 §에탈대수, ⁋명제 8의 결과이다. 따라서 셋째 조건이 첫째 조건을 함의하는 것만 보이면 충분하다. 이제 셋째 결과는 다시 보조정리 6과 §에탈대수, ⁋명제 8로부터 나온다.

분해가능확대체

드디어 다음의 정의를 내릴 때가 왔다.

정의 8 Algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable extension_{분해가능확대}이라는 것은 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 임의의 finite degree subextension이 étale $\mathbb{K}$-algebra인 것이다.

우리는 이 개념을 algebraic하지 않은 field extension에 대해서도 정의할 수 있지만, 당분간은 separable algebraic extension에 대해서만 살펴본다.

정의에 의해 그 자체로 field인 임의의 finite degree $\mathbb{K}$-algebra $\mathbb{L}$에 대해서는 étale인 것과 separable인 것이 같은 말이다. 정의로부터 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이라면 임의의 subextension이 separable인 것과, 역으로 임의의 (finite degree) subextension들이 모두 separable이라면 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$도 separable인 것이 둘 다 자명하다.

앞서 약속했던 주장 또한 이제 쉽게 보일 수 있다.

명제 9 Field $\mathbb{K}$가 perfect인 것과 임의의 algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable인 것이 동치이다.

증명

임의의 algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 그 자체로 finite degree reduced $\mathbb{K}$-algebra이므로, 만일 $\mathbb{K}$가 perfect라면 한쪽 주장은 보조정리 6으로부터 자명하다. 따라서 반대방향만 보이면 충분하다.

결론에 반하여 $\mathbb{K}$가 perfect가 아니라 가정하고, 따라서 characteristic $p\neq 0$을 갖는다 하자. 그럼 $\mathbb{K}$가 perfect가 아니라는 가정으로부터 (algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}/\mathbb{K}$ 안에서의 relative) $p$-radical extension $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$를 생각할 수 있다. 한편, embedding $\mathbb{K}\hookrightarrow\overline{\mathbb{K}}$로부터 얻어지는 $\mathbb{K}(a)\rightarrow\overline{\mathbb{K}}$는 §제곱근확대체, ⁋명제 6에 의하여 유일하다. 다르게 말하면, 집합 $\Hom_{\Alg{\mathbb{K}}}(\mathbb{K}(a), \overline{\mathbb{K}})$는 singleton이며 따라서

\[1=[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]_s\nleq [\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]=p^e\]

이므로 $\mathbb{K}(a)$는 étale이 아니고 따라서 separable이 아니다.

위 명제의 증명은 $[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]_s$를 separable degree라 불렀던 것을 정당화해준다. 한편 $\mathbb{K}$가 perfect가 아니라 하더라도, 특정한 다항식 $f$은 중근을 갖지 않을 수도 있다. 다음 명제는 지금까지 우리가 관찰해온 것들을 모아둔 것에 불과하다.

명제 10 다항식 $f\in \mathbb{K}[\x]$에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. $f’$가 $0$이 아니다.
2. $f$와 $f’$가 $\mathbb{K}[\x]$에서 서로소이다.
3. $f$가 $\mathbb{L}[\x]$ 안에서 simple root를 갖도록 하는 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$이 존재한다.
4. $f$가 $\mathbb{L}[\x]$ 안에서 서로 다른 일차식들의 곱으로 쪼개지도록 하는 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$이 존재한다.
5. $f$는 $\overline{\mathbb{K}}/\mathbb{K}$ 안에서 simple root만을 갖는다.
6. $\mathbb{K}[\x]/(f)$가 étale $\mathbb{K}$-algebra이다.
7. $\mathbb{K}$가 characteristic $0$이거나, $\ch(\mathbb{K})=p$이고 $f\not\in\mathbb{K}[\x^p]$이다.

이 조건을 만족하는 $f$를 separable polynomial이라 부른다. 그럼 명제 9를 다시 한 번 적어보면, $\mathbb{K}$가 perfect인 것과 $\mathbb{K}[\x]$의 모든 irreducible polynomial이 separable인 것이 동치임을 안다. 이를 $f$를 통해 추가되는 원소에 초점을 맞추면 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 11 Field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여, algebraic element $x\in \mathbb{L}$이 separable element라는 것은 $\mathbb{K}(x)/\mathbb{K}$이 separable extension인 것이다.

정의에 의해, $x$의 minimal polynomial을 $f$라 한다면, $f$가 separable이어야 하고 이 때 $x$는 $f$의 simple root가 된다. 이들 개념은 (당연히) 모두 같은 것을 의미한다. 즉, extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$와 원소 $x\in\mathbb{L}$, 그리고 $x$의 minimal polynomial $f$에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. $x$가 separable이다.
2. $f$가 separable이다.
3. $x$가 $f$의 simple root이다.

뿐만 아니라, 모든 원소가 algebraic한 extension이 algebraic extension이듯이 다음이 성립한다.

명제 12 Algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이라면 $\mathbb{L}$의 모든 원소는 separable이다.
2. 거꾸로 만일 $A$가 $\mathbb{L}$의 separable element들로 이루어진 집합이고, $\mathbb{L}=\mathbb{K}(A)$라 하면 $\mathbb{L}$은 separable extension이다.

증명

첫째 결과는 자명하므로 둘째 결과만 보이면 충분하다. 즉, $\mathbb{L}$의 임의의 finite degree subextension $\mathbb{M}$을 잡은 후 이것이 étale임을 보여야 한다. 우선 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(A)$이고 $\mathbb{M}$이 $\mathbb{L}$의 finite degree subextension이므로, $A$의 원소 중 유한개의 $x_1,ldots, x_m$을 택하여

\[\mathbb{M}\subset \mathbb{K}(x_1,\ldots, x_m)=\mathbb{K}[x_1,ldots, x_m]\]

이도록 할 수 있다. 이 때 각각의 $\mathbb{K}[x_i]$들이 separable extension인 것은 $A$의 가정으로부터 자명하므로 이들은 étale이고, 그럼 $\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_m]$은 이들의 tensor product $\mathbb{K}[x_1]\otimes\cdots\otimes \mathbb{K}[x_n]$을 이들의 associativity와 commutativity를 나타내는 relation으로 잘라서 얻어지고 $\mathbb{M}$이 이것의 subalgebra이므로 §에탈대수, ⁋따름정리 14에 의하여 $\mathbb{M}$이 étale이다.

뿐만 아니라, finite degree separable extension은 단 하나의 원소로 생성될 수 있다. 즉, 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree separable extension이라면, 적절한 $x\in \mathbb{L}$을 택하여 $\mathbb{L}=\mathbb{K}[x]$이도록 할 수 있다. 이러한 원소를 primitive element라 부른다.

정리 14는 finite degree separable extension에 대해서는 항상 primitive element를 찾을 수 있다는 것을 보여준다. 이를 위해서는 다음 보조정리가 필요하다.

보조정리 13 Infinite field $\mathbb{K}$에 대하여, commutative $\mathbb{K}$-algebra $A$를 고정하자. 만일 $A$가 오직 유한히 많은 subalgebra만을 가지고, $V$가 $A$를 생성하는 부분 벡터공간이라 하면 적당한 $x\in V$가 존재하여 $A=\mathbb{K}[x]$이도록 할 수 있다.

증명

$A$의 subalgebra들이 $A_1,\ldots, A_n$ 뿐이라 가정하자. 그럼 우선 $V$는 $A$를 생성하므로 $A_i$들을 생성할 수는 없다. 즉 $V\not\subset A_i$이다. 만일 우리가 이로부터 $V\not\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$임을 보인다면, $x\in V\setminus A_1\cup\cdots \cup A_n$에 대하여 $A$의 subalgebra $\mathbb{K}[x]$는 어떠한 $A_i$와도 같을 수 없고, 따라서 반드시 $A=\mathbb{K}[x]$여야 하므로 원하는 것을 증명할 수 있을 것이다.

결론에 반하여 $V\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$이라 가정하자. 주어진 가정으로부터 $V\not\subset A_n$이므로 적당한 $x\in V\setminus A_n$이 존재한다. 그럼 임의의 $y\in V$에 대하여, 무한집합

\[\{x\}\cup \{y+\lambda x\mid \lambda\in\mathbb{K}\}\]

을 생각할 수 있다. 이 집합은 $V$의 부분집합이며 따라서 $A_1\cup\cdots\cup A_n$의 부분집합이다. 따라서, 비둘기집 원리에 의해 이들 중 적어도 두 개는 같은 $A_i$에 속해야 하며, 그럼 이 사실로부터 $x,y$를 동시에 포함하는 어떠한 $A_i$가 존재함을 안다. 가정에 의하여 $x\not\in A_n$이므로 $i$는 $n$이 될 수는 없고, 따라서 $y$는 ($x$와 마찬가지로) $A_1,\ldots, A_{n-1}$ 중 어느 하나에 속해야 한다. 이로부터 $y$가 $A_1\cup\cdots \cup A_{n-1}$에 속해야 한다는 것을 알고, $y$는 $V$의 임의의 원소이므로 $V\subset A_1\cup\cdots\cup A_{n-1}$이다.

이제 이 과정을 귀납적으로 반복해나가면 $V\subset A_1$이 되어 모순이므로 $V\not\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$여야 한다.

정리 14 Infinite field $\mathbb{K}$를 고정하자. Algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여 다음이 동치이다.

1. $\mathbb{L}$이 primitive element를 갖는다.
2. $\mathbb{L}$은 오직 유한히 많은 subextension만을 갖는다.

증명

우선 $\mathbb{L}$이 primitive element $x$를 갖는다 하고, $f(\x)\in \mathbb{K}[\x]$가 $x$의 minimal polynomial이라 하자. 다항식 $f(\x)$를 $\mathbb{L}[\x]$에서 나누는 monic polynomial $g(\x)\in \mathbb{L}[\x]$를 생각하면, 우리는 이러한 다항식 $g$가 주어질 때마다 $g$의 계수들로 생성되는 $\mathbb{L}$의 subextension을 생각할 수 있다. 이를 $\mathbb{K}_g$로 적자. 그럼 우리 주장은 이들 $\mathbb{K}_g$들이 정확히 $\mathbb{L}$의 subextension이라는 것이다. 특히 이러한 extension들은 $f$를 $d$차식이라 할 때, 많아야 $2^d$개이므로 둘째 조건이 성립할 것이다.

주장을 보이기 위해 임의의 subextension $\mathbb{M}$을 택하자. 그럼 $x$가 primitive element이므로 $\mathbb{M}[x]=\mathbb{L}$이 성립한다. 즉, $x$는 extension $\mathbb{L}/\mathbb{M}$의 algebraic element이므로, minimal polynomial $h(\x)\in\mathbb{M}[\x]$를 택할 수 있으며 이는 §대수적 확장, ⁋정리 15에 의하여 $\mathbb{L}[\x]$에서 $f$를 나누는 monic polynomial이다. 따라서 $\mathbb{K}_h$가 위와 같이 정의되며, 그 정의에 의하여 $\mathbb{K}_h\subset\mathbb{M}$이다. 한편 $x$가 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 primitive element이므로, 우리는 다음의 등식

\[\mathbb{K}_h[x]=\mathbb{M}[x]=\mathbb{L}\]

을 갖는다. 그런데 정의에 의하여 $[\mathbb{L}:\mathbb{M}]=\deg h$이며, $h(\x)\in \mathbb{K}_h[\x]$가 $h(x)=0$을 만족하므로 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}_h]\leq\deg h$이다. 이로부터 반드시 $\mathbb{K}_h=\mathbb{M}$이어야 함을 안다.

이제 둘째 조건을 가정하면, $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 오직 유한히 많은 subextension들만 가지므로, $A=\mathbb{L}$로 두면 보조정리 13의 가정을 만족하고 따라서 원하는 결과를 얻는다.

특히 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree separable extension이라면 이는 특히 finite degree étale $\mathbb{K}$-algebra이고, 따라서 §에탈대수, ⁋명제 9로부터 위 정리의 둘째 조건이 성립한다는 것을 안다.

정리 14는 $\mathbb{K}$가 finite field여도 항상 성립하지만, 이를 증명하기 위해서는 보조정리 13보다 조금 더 정교한 counting argument가 필요하므로 나중으로 미뤄둔다. (##ref##)

한편 seperability는 본질적으로는 (거의) étale algebra이고, étale algebra는 base change에 대해 잘 행동하므로 (§에탈대수, ⁋따름정리 14) 명제 12의 증명에서와 마찬가지로 약간의 수정을 가하면 다음의 두 경우에 separability도 base change에 대해 잘 행동한다는 것을 보일 수 있다.

명제 15 Algebraic extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여, $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 separable인 것과 $\mathbb{M}/\mathbb{L}$, $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 모두 separable인 것이 동치이다.

증명

만일 $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 separable이라면 그 subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable인 것은 정의로부터 자명하고, 이 때 $\mathbb{M}$의 임의의 원소는 $\mathbb{K}$에 대해 separable이므로 (명제 12), 이를 extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}$로 보았을 때 $\mathbb{L}$에 대해서도 separable이다. (명제 10) 즉, $\mathbb{M}$의 임의의 원소가 separable이므로 다시 명제 12에 의해 $\mathbb{M}/\mathbb{L}$이 separable임을 안다.

따라서 이 명제의 핵심은 반대방향이다. 우선, 만일 $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 finite degree였다면 separable algebra와 étale algebra가 같은 말이므로, 주장은 §에탈대수, ⁋명제 12의 셋째 결과로부터 자명하다. 증명의 아이디어는 위와 비슷하게, $\mathbb{M}/\mathbb{K}$는 무한한 degree를 갖더라도 특정 원소 하나만 보면 이를 finite degree로 치환할 수 있다는 것이다.

임의의 $x\in \mathbb{M}$이 주어졌다 하고, minimal polynomial $f\in\mathbb{L}[\x]$이 주어졌다 하면, $f$는 separable polynomial이다. 이제 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 subextension $\mathbb{L}’$을, $f$에 등장하는 계수들을 $\mathbb{K}$에 넣어주어 생기는 subextension으로 정의하자. 그럼 $\mathbb{L}’$는 algebraic element들 유한개로 생성되므로 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$가 finite degree extension이다. 이제 $f$는 $\mathbb{L}$과 $\mathbb{L}’$ 모두에서 $x$의 minimal polynomial이고 $\mathbb{L}$에서 separable이므로 $\mathbb{L}’$에서도 separable이다. 즉 $x$는 extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}’$의 separable element이며, $\mathbb{M}’=\mathbb{L}’(x)$라 하면 $\mathbb{M}’/\mathbb{L}’$는 finite degree separable extension, 즉 finite degree étale algebra다. 한편 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이므로 그 subextension $\mathbb{L}’$도 separable이고, 따라서 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$도 finite degree étale algebra다. 따라서 이들의 tower $\mathbb{M}’/\mathbb{K}$도 finite degree étale algebra이고, 따라서 finite degree separable extension이다. 즉 $x$가 $\mathbb{K4}$에 대한 separable element이며, $x$의 선택은 임의로 주어진 것이므로 원하는 결과를 얻는다.

명제 16 $\mathbb{K}$의 적당한 extension을 하나 고정하고, 이 extension의 subextension $\mathbb{K’}/\mathbb{K}$, 그리고 algebraic subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathbb{L}’=\mathbb{K}’(\mathbb{L})$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이라면 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}’$도 그러하다.
2. 거꾸로 만일 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}’$가 separable이고 $\mathbb{L}/\mathbb{K}, \mathbb{K}’/\mathbb{K}$가 linearly disjoint라면 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$도 separable이다.

증명

1, 가정에 의해 $\mathbb{L}$의 임의의 원소가 $\mathbb{K}$에 대해 separable이므로, $\mathbb{K}’(\mathbb{L})$의 모든 원소가 $\mathbb{K}’$에 대해 separable이다.

1. 이를 보이기 위해서는 임의의 finite degree subextension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 étale임을 보여야 한다. 우선 주어진 가정으로부터 $\mathbb{M}$과 $\mathbb{K}’$는 linearly disjoint이고, 따라서 $\mathbb{M}{(\mathbb{K}’)}=\mathbb{M}\otimes\mathbb{K}\mathbb{K}’$가 $\mathbb{K}’(\mathbb{M})$과 isomorphic하다. (§대수적 확장, ⁋명제 10) 한편 $\mathbb{K}’(\mathbb{M})/\mathbb{K}’$는 finite degree이므로, $\mathbb{L}’/\mathbb{K}’$가 separable이라는 가정으로부터 étale이다. 이제 étale morphism은 base change에 대해 stable하므로 원하는 결과를 얻는다. (§에탈대수, ⁋따름정리 14)