분리가능확대체

Field $A/\mathfrak{m}$는 algebraically closed field $\mathbb{K}$의 finite degree extension이므로, 이는 반드시 algebraic extension이고 따라서 $[A/\mathfrak{m}:\mathbb{K}]=1$이다. 따라서 각각의 $a\in A$에 대하여 우리는 $a-\lambda\in \mathfrak{m}$이도록 하는 $\lambda\in \mathbb{K}$를 찾을 수 있다. 그럼 다음의 식

으로 정의된 함수 $D:A \rightarrow \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$이 $\mathbb{K}$-derivation이 되는 것이 자명하다. 이제 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 8의 universal property로부터 $D$는 반드시 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$를 factor through 해야 하고, 가정에 의해 이것이 $0$이므로 $D=0$이어야 한다.

우선 $\mathfrak{a}$의 generator를 $a_1,\ldots,a_n$이라고 하자. 그럼 $\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^2$이므로 각각의 $i$에 대하여 다음의 식

이 성립하도록 하는 $x_{ij}$들이 존재한다. 이렇게 만들어진 $r\times r$ 행렬에 대하여, $I_r-(x_{ij})$를 $M$이라 하자. 그럼 $M$의 adjoint matrix를 통해 다음의 식

이 성립하도록 하는 $r\times r$ 행렬 $N$이 존재한다. 이제 양 변에서 $a_j$에 해당하는 열벡터가 어디로 가는지를 계산해보면 우리는 반드시 $(\det M)a_j=0$이 모든 $j$에 대해 성립해야 하는 것을 알고, 따라서 $(\det M)\mathfrak{a}=0$이 성립한다.

한편, 행렬 $M$은 그 정의에 의하여 $\mathfrak{a}$로 자른 후에는 $I_r$이 되며, 따라서 그 행렬식 $\det M$ 또한 (modulo $\mathfrak{a}$로) $1$이 된다. 이제 $e=1-D$로 두면 $e$가 원하는 idempotent가 된다.

우선 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$와 étale algebra의 개념은 base change에 대해 잘 행동하므로 우리는 $\mathbb{K}$가 algebraically closure라 가정해도 된다. 더 정확히 말해, $A$가 étale인 것은 $\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$에 대해 $\overline{\mathbb{K}}$-algebra $A_{(\overline{\mathbb{K}})}=A\otimes_\mathbb{K}\overline{\mathbb{K}}$이 diagonalizable인 것과 동치이며 (§에탈대수, ⁋명제 8, 한편 [다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 12의 canonical isomorphism과 $\overline{\mathbb{K}}$-algebra $A_{(\overline{\mathbb{K}})}$의 정의에 의하여 다음의 isomorphism

을 얻고, 따라서 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$인 것과 $\Omega_{A_{(\overline{\mathbb{K}})}/\overline{\mathbb{K}}}=0$인 것이 동치이다. 즉, 주어진 정리를 증명하는 것은 $\mathbb{K}$가 algebraically closed라 가정하고, $A$가 diagonalizable인 것과 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$인 것이 동치임을 보이면 된다.

우선 $A$가 diagonalizable이라 가정하면, $A$는 §에탈대수, ⁋명제 6의 둘째 조건에 의하여 idempotent들로 생성된다. 그런데 임의의 idempotent $e$에 대하여, Leibniz rule을 생각하면

이고 양 변에 $e$를 곱하면 $ed(e)=0$이어야 하므로, 이를 다시 위에 대입하면 $de=0$이어야 함을 안다. 한편 명시적으로 $\Omega_{A/\mathbb{K}}$는 이러한 원소들 $de$로 생성되는 free module에 적절한 relation들로 자른 것으로 나타나므로 ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10) 이로부터 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$이어야 함을 안다.

이제 거꾸로 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$이라 가정하고 $A$가 diagonalizable임을 보이자. $A$의 degree에 대한 귀납법으로 진행하며, degree $1$인 경우는 자명하다. 이제 일반적인 경우에 $A$의 maximal ideal $\mathfrak{m}$을 하나 택하자. 그럼 보조정리 1에 의하여 $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$이고, 따라서 보조정리 2를 적용하면 $\mathfrak{m}=Ae$이도록 하는 idempotent $e$를 찾을 수 있다. 한편, 이로부터 $A$를 $\mathfrak{a}=(1-e)A$와 $\mathfrak{m}$의 direct sum으로 쪼개놓으면 $\mathbb{K}$가 algebraically closed라는 가정으로부터 extension $A/\mathfrak{m}$이 degree $1$이어야 함을 안다. 즉, 이 direct sum을

으로 적을 수 있다. 이제 $\Omega$가 right exact functor이므로 ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 13) $\Omega_{(A/\mathfrak{a})/\mathbb{K}}$는 $\Omega_{A/\mathbb{K}}=0$의 quotient가 되어 ddd$0$이다. 따라서, $A/\mathfrak{a}$는 귀납적 가정에 의하여 diagonalizable이고, 이를 $\mathbb{K}$와 곱한 $A$ 또한 마찬가지이다.

$\mathbb{L}_1\times\cdots\times \mathbb{L}_n$은 reduced이므로 한쪽 방향은 자명하다. 거꾸로 $A$가 finite degree reduced commutative $\mathbb{K}$-algebra라 하자. 만일 $A$가 field라면 더 이상 보일 것이 없으므로 $A$가 field가 아닌 경우만 증명하면 충분하고, 언제나처럼 $A$의 degree에 대한 귀납법을 사용하면 임의의 (field가 아닌) reduced algebra $A$가 항상 nontrivial한 product $A_1\times A_2$로 나타난다는 것을 보이면 된다.

이를 위해 $A$가 $0,1$이 아닌 idempotent를 갖는다는 것을 보이자. $A$의 임의의 ideal은 유한차원 $\mathbb{K}$-벡터공간이므로 $A$의 ideal들 가운데 $\mathbb{K}$-벡터공간으로서 가장 작은 차원을 갖는 ideal $\mathfrak{a}$를 택할 수 있다. 그럼 $\mathfrak{a}$의 minimality와 $A$가 reduced라는 가정으로부터 $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$이고 따라서 보조정리 2를 적용할 수 있다.

주장의 조건을 만족하는 $\mathbb{K}$-algebra $A$를 생각하자. 우선 명제 5로부터 $A\cong \mathbb{L}_1\times\cdots \times\mathbb{L}_n$이도록 하는 extension들이 존재한다. 한편 étale algebra들의 곱은 étale이므로 주어진 주장은 임의의 finite degree field extension over perfect field $\mathbb{K}$가 étale임을 보이면 충분하다. 따라서 정리 3을 적용하여, 임의의 $\alpha\in A$에 대하여 $d\alpha=0$임을 보이면 충분하다. 예시 4의 계산에 의하여 우리는 식 $f’(\alpha)d\alpha=0$이 성립해야 함을 알고, 비슷한 논리에 의하여 우리는 $f’(\alpha)\neq 0$임을 보여야 한다.

결론에 반하여 $f’(\alpha)=0$이라 하자. 어차피 $f$가 상수인 경우에는 증명할 것이 없으므로 $f$가 일차식 이상이라 가정할 수 있고, 그럼 §체, ⁋명제 19의 결과에 의하여 $\ch(\mathbb{K})=p\neq 0$이며 $f\in \mathbb{K}[\x^p]=\mathbb{K}[\x]^p$여야 한다. 그런데 $f$는 minimal polynomial이므로 irreducible이고, irreducible polynomial은 정의에 의하여 $\mathbb{K}[\x]^p$에 속할 수 없으므로 이는 모순이다. 따라서 $f’(\alpha)\neq 0$이다.

둘째 조건이 성립하면 셋째 조건이 성립하는 것은 perfect closure의 존재성으로부터 자명하며, 첫째 조건이 둘째 조건을 함의하는 것은 §에탈대수, ⁋명제 8의 결과이다. 따라서 셋째 조건이 첫째 조건을 함의하는 것만 보이면 충분하다. 이제 셋째 결과는 다시 보조정리 6과 §에탈대수, ⁋명제 8로부터 나온다.

임의의 algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 그 자체로 finite degree reduced $\mathbb{K}$-algebra이므로, 만일 $\mathbb{K}$가 perfect라면 한쪽 주장은 보조정리 6으로부터 자명하다. 따라서 반대방향만 보이면 충분하다.

결론에 반하여 $\mathbb{K}$가 perfect가 아니라 가정하고, 따라서 characteristic $p\neq 0$을 갖는다 하자. 그럼 $\mathbb{K}$가 perfect가 아니라는 가정으로부터 (algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}/\mathbb{K}$ 안에서의 relative) $p$-radical extension $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$를 생각할 수 있다. 한편, embedding $\mathbb{K}\hookrightarrow\overline{\mathbb{K}}$로부터 얻어지는 $\mathbb{K}(a)\rightarrow\overline{\mathbb{K}}$는 §제곱근확대체, ⁋명제 6에 의하여 유일하다. 다르게 말하면, 집합 $\Hom_{\Alg{\mathbb{K}}}(\mathbb{K}(a), \overline{\mathbb{K}})$는 singleton이며 따라서

이므로 $\mathbb{K}(a)$는 étale이 아니고 따라서 separable이 아니다.

첫째 결과는 자명하므로 둘째 결과만 보이면 충분하다. 즉, $\mathbb{L}$의 임의의 finite degree subextension $\mathbb{M}$을 잡은 후 이것이 étale임을 보여야 한다. 우선 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(A)$이고 $\mathbb{M}$이 $\mathbb{L}$의 finite degree subextension이므로, $A$의 원소 중 유한개의 $x_1,ldots, x_m$을 택하여

이도록 할 수 있다. 이 때 각각의 $\mathbb{K}[x_i]$들이 separable extension인 것은 $A$의 가정으로부터 자명하므로 이들은 étale이고, 그럼 $\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_m]$은 이들의 tensor product $\mathbb{K}[x_1]\otimes\cdots\otimes \mathbb{K}[x_n]$을 이들의 associativity와 commutativity를 나타내는 relation으로 잘라서 얻어지고 $\mathbb{M}$이 이것의 subalgebra이므로 §에탈대수, ⁋따름정리 14에 의하여 $\mathbb{M}$이 étale이다.

$A$의 subalgebra들이 $A_1,\ldots, A_n$ 뿐이라 가정하자. 그럼 우선 $V$는 $A$를 생성하므로 $A_i$들을 생성할 수는 없다. 즉 $V\not\subset A_i$이다. 만일 우리가 이로부터 $V\not\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$임을 보인다면, $x\in V\setminus A_1\cup\cdots \cup A_n$에 대하여 $A$의 subalgebra $\mathbb{K}[x]$는 어떠한 $A_i$와도 같을 수 없고, 따라서 반드시 $A=\mathbb{K}[x]$여야 하므로 원하는 것을 증명할 수 있을 것이다.

결론에 반하여 $V\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$이라 가정하자. 주어진 가정으로부터 $V\not\subset A_n$이므로 적당한 $x\in V\setminus A_n$이 존재한다. 그럼 임의의 $y\in V$에 대하여, 무한집합

을 생각할 수 있다. 이 집합은 $V$의 부분집합이며 따라서 $A_1\cup\cdots\cup A_n$의 부분집합이다. 따라서, 비둘기집 원리에 의해 이들 중 적어도 두 개는 같은 $A_i$에 속해야 하며, 그럼 이 사실로부터 $x,y$를 동시에 포함하는 어떠한 $A_i$가 존재함을 안다. 가정에 의하여 $x\not\in A_n$이므로 $i$는 $n$이 될 수는 없고, 따라서 $y$는 ($x$와 마찬가지로) $A_1,\ldots, A_{n-1}$ 중 어느 하나에 속해야 한다. 이로부터 $y$가 $A_1\cup\cdots \cup A_{n-1}$에 속해야 한다는 것을 알고, $y$는 $V$의 임의의 원소이므로 $V\subset A_1\cup\cdots\cup A_{n-1}$이다.

이제 이 과정을 귀납적으로 반복해나가면 $V\subset A_1$이 되어 모순이므로 $V\not\subset A_1\cup\cdots\cup A_n$여야 한다.

우선 $\mathbb{L}$이 primitive element $x$를 갖는다 하고, $f(\x)\in \mathbb{K}[\x]$가 $x$의 minimal polynomial이라 하자. 다항식 $f(\x)$를 $\mathbb{L}[\x]$에서 나누는 monic polynomial $g(\x)\in \mathbb{L}[\x]$를 생각하면, 우리는 이러한 다항식 $g$가 주어질 때마다 $g$의 계수들로 생성되는 $\mathbb{L}$의 subextension을 생각할 수 있다. 이를 $\mathbb{K}_g$로 적자. 그럼 우리 주장은 이들 $\mathbb{K}_g$들이 정확히 $\mathbb{L}$의 subextension이라는 것이다. 특히 이러한 extension들은 $f$를 $d$차식이라 할 때, 많아야 $2^d$개이므로 둘째 조건이 성립할 것이다.

주장을 보이기 위해 임의의 subextension $\mathbb{M}$을 택하자. 그럼 $x$가 primitive element이므로 $\mathbb{M}[x]=\mathbb{L}$이 성립한다. 즉, $x$는 extension $\mathbb{L}/\mathbb{M}$의 algebraic element이므로, minimal polynomial $h(\x)\in\mathbb{M}[\x]$를 택할 수 있으며 이는 §대수적 확장, ⁋정리 15에 의하여 $\mathbb{L}[\x]$에서 $f$를 나누는 monic polynomial이다. 따라서 $\mathbb{K}_h$가 위와 같이 정의되며, 그 정의에 의하여 $\mathbb{K}_h\subset\mathbb{M}$이다. 한편 $x$가 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 primitive element이므로, 우리는 다음의 등식

을 갖는다. 그런데 정의에 의하여 $[\mathbb{L}:\mathbb{M}]=\deg h$이며, $h(\x)\in \mathbb{K}_h[\x]$가 $h(x)=0$을 만족하므로 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}_h]\leq\deg h$이다. 이로부터 반드시 $\mathbb{K}_h=\mathbb{M}$이어야 함을 안다.

이제 둘째 조건을 가정하면, $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 오직 유한히 많은 subextension들만 가지므로, $A=\mathbb{L}$로 두면 보조정리 13의 가정을 만족하고 따라서 원하는 결과를 얻는다.

만일 $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 separable이라면 그 subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable인 것은 정의로부터 자명하고, 이 때 $\mathbb{M}$의 임의의 원소는 $\mathbb{K}$에 대해 separable이므로 (명제 12), 이를 extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}$로 보았을 때 $\mathbb{L}$에 대해서도 separable이다. (명제 10) 즉, $\mathbb{M}$의 임의의 원소가 separable이므로 다시 명제 12에 의해 $\mathbb{M}/\mathbb{L}$이 separable임을 안다.

따라서 이 명제의 핵심은 반대방향이다. 우선, 만일 $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 finite degree였다면 separable algebra와 étale algebra가 같은 말이므로, 주장은 §에탈대수, ⁋명제 12의 셋째 결과로부터 자명하다. 증명의 아이디어는 위와 비슷하게, $\mathbb{M}/\mathbb{K}$는 무한한 degree를 갖더라도 특정 원소 하나만 보면 이를 finite degree로 치환할 수 있다는 것이다.

임의의 $x\in \mathbb{M}$이 주어졌다 하고, minimal polynomial $f\in\mathbb{L}[\x]$이 주어졌다 하면, $f$는 separable polynomial이다. 이제 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 subextension $\mathbb{L}’$을, $f$에 등장하는 계수들을 $\mathbb{K}$에 넣어주어 생기는 subextension으로 정의하자. 그럼 $\mathbb{L}’$는 algebraic element들 유한개로 생성되므로 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$가 finite degree extension이다. 이제 $f$는 $\mathbb{L}$과 $\mathbb{L}’$ 모두에서 $x$의 minimal polynomial이고 $\mathbb{L}$에서 separable이므로 $\mathbb{L}’$에서도 separable이다. 즉 $x$는 extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}’$의 separable element이며, $\mathbb{M}’=\mathbb{L}’(x)$라 하면 $\mathbb{M}’/\mathbb{L}’$는 finite degree separable extension, 즉 finite degree étale algebra다. 한편 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이므로 그 subextension $\mathbb{L}’$도 separable이고, 따라서 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$도 finite degree étale algebra다. 따라서 이들의 tower $\mathbb{M}’/\mathbb{K}$도 finite degree étale algebra이고, 따라서 finite degree separable extension이다. 즉 $x$가 $\mathbb{K4}$에 대한 separable element이며, $x$의 선택은 임의로 주어진 것이므로 원하는 결과를 얻는다.

1, 가정에 의해 $\mathbb{L}$의 임의의 원소가 $\mathbb{K}$에 대해 separable이므로, $\mathbb{K}’(\mathbb{L})$의 모든 원소가 $\mathbb{K}’$에 대해 separable이다.

1. 이를 보이기 위해서는 임의의 finite degree subextension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 étale임을 보여야 한다. 우선 주어진 가정으로부터 $\mathbb{M}$과 $\mathbb{K}’$는 linearly disjoint이고, 따라서 $\mathbb{M}{(\mathbb{K}’)}=\mathbb{M}\otimes\mathbb{K}\mathbb{K}’$가$\mathbb{K}’(\mathbb{M})$과 isomorphic하다. (§대수적 확장, ⁋명제 10) 한편 $\mathbb{K}’(\mathbb{M})/\mathbb{K}’$는 finite degree이므로, $\mathbb{L}’/\mathbb{K}’$가 separable이라는 가정으로부터 étale이다. 이제 étale morphism은 base change에 대해 stable하므로 원하는 결과를 얻는다. (§에탈대수, ⁋따름정리 14)