연속함수
이제 우리는 연속함수의 개념을 정의한다. 직관적으로 이는 대수적인 설정에서의 homomorphism과 마찬가지로 위상구조를 보존하는 함수라 생각할 수 있다.
정의 1 임의의 위상공간 \(X\), \(Y\) 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 \(x\in X\)에서 연속continuous이라는 것은 \(f(x)\in Y\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여, \(f(U)\subseteq V\)이도록 하는 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재하는 것이다.
임의의 집합 \(X,Y\) 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)와 임의의 \(U\subseteq X\)에 대하여 \(U\subseteq f^{-1}(f(U))\)가 성립하므로, 임의의 집합 \(V\subseteq Y\)가 \(f(U)\subseteq V\)를 만족한다면
\[U\subseteq f^{-1}(f(U))\subseteq f^{-1}(V)\]이 성립한다. 따라서 두 위상공간 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 \(x\in X\)에서 연속이라는 것을 증명하기 위해서는 \(f(x)\in Y\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여 \(f^{-1}(V)\)가 \(x\)의 근방이 된다는 것을 보이면 충분하며, 더 일반적으로는 고정된 \(f(x)\)의 local base \(\mathcal{B}(f(x))\)와 임의의 \(V\in\mathcal{B}(f(x))\)에 대하여 \(f^{-1}(V)\in\mathcal{N}(x)\)임을 보이면 충분하다.
명제 2 두 위상공간 \(X,Y\) 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 점 \(x\)에서 연속이라 하자. 만일 어떠한 \(A\subseteq X\)에 대하여 \(x\in\cl(A)\)라면, \(f(x)\in\cl(A)\)이다.
증명
\(f(x)\in Y\)의 임의의 근방 \(V\)를 택하자. 그럼 \(f^{-1}(V)\)는 \(x\)의 근방이므로 \(f^{-1}(V)\cap A\neq\emptyset\)이고 (§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6), \(x'\in f^{-1}(V)\cap A\)라 하면 \(f(x')\in V\cap f(A)\)이다. 특히 \(V\cap f(A)\neq\emptyset\)이므로, 다시 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6를 적용하면 \(f(x)\in\cl(A)\)임을 안다.
명제 3 위상공간들 \(X,Y,Z\)가 주어졌다고 하자. 만일 \(f:X\rightarrow Y\)가 점 \(x\in X\)에서 연속이고, \(g:Y\rightarrow Z\)가 \(f(x)\)에서 연속이라면 그 합성 \(g\circ f\) 또한 연속이다.
증명
\((g\circ f)(x)\)의 임의의 근방 \(W\)를 택하자. 그럼 \(g\)가 \(f(x)\)에서 연속이므로, \(g^{-1}(W)\)은 \(f(x)\)의 근방이다. 다시 \(f\)는 \(x\)에서 연속이므로, \(f^{-1}(g^{-1}(W))\)는 \(x\)의 근방이다. ([집합론] §이항관계의 연산, ⁋명제 13)
만일 \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 연속이라면, \(f\)를 연속함수continuous function라 부른다. 다음 정리는 연속함수를 정의하는 여러 방법을 보여준다.
정리 4 두 위상공간 \(X,Y\)와 함수 \(f:X\rightarrow Y\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- \(f\)가 연속이다.
- \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(f(\cl A)\subset\cl f(A)\)가 성립한다.
- \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(C\)에 대하여, \(f^{-1}(C)\)가 \(X\)에서 닫힌집합이다.
- \(Y\)의 임의의 열린집합 \(V\)에 대하여, \(f^{-1}(V)\)가 \(X\)에서 열린집합이다.
증명
첫 번째 조건이 성립하면 두 번째 조건 또한 성립한다는 것은 명제 2의 결과이다.
이제 둘째 조건을 가정하고 세 번째 조건을 보이자. \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(C\)에 대하여, 다음 포함관계
\[f(\cl(f^{-1}(C))\subseteq \cl(f(f^{-1}(C))\subseteq\cl(C)=C\]가 성립하므로,
\[\cl(f^{-1}(C))\subseteq f^{-1}(f(\cl(f^{-1}(C)))\subseteq f^{-1}(C)\]로부터 \(f^{-1}(C)\)가 닫힌집합이라는 것을 안다. 식 \((f^{-1}(A))^c=f^{-1}(A^c)\)가 임의의 부분집합 \(A\subseteq Y\)에 대해 성립하므로, 이로부터 넷째 조건 또한 얻어진다는 것이 자명하다.
따라서 넷째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 보이면 충분하다. \(x\in X\)를 임의로 택하고, \(f(x)\in Y\)의 임의의 근방 \(V\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(f(x)\subseteq V'\subseteq V\)를 만족하는 \(f(x)\)의
명제 3에 의하여, 두 연속함수 \(f:X\rightarrow Y\), \(g:Y\rightarrow Z\)가 주어진다면 \(g\circ f\) 또한 연속이라는 것을 안다.
두 위상공간 \((X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)\) 사이의 연속함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(V\in\mathcal{T}_Y\)에 대하여 \(f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X\)가 성립하므로, 다음의 식
\[f^\mathcal{T}(V):=f^{-1}(V),\qquad V\in\mathcal{T}_Y\]이 함수 \(f^\mathcal{T}:\mathcal{T}_Y\rightarrow\mathcal{T}_X\)를 잘 정의한다.
이제 \(f\)가 전단사함수라 가정하고 \(\mathcal{T}_Y\)의 서로 다른 두 원소 \(V_1,V_2\)를 생각하자. 일반성을 잃지 않고 \(y\in V_1\setminus V_2\)라 하면
\[f^{-1}(y)\in f^\mathcal{T}(V_1)\setminus f^\mathcal{T}(V_2)\]가 성립하므로 \(f^{\mathcal{T}}\)는 단사함수가 된다.
예시 5 일반적으로 \(f^{\mathcal{T}}\)가 전사함수가 될 필요는 없다. 가령 \(\mathbb{N}\)에 discrete topology \(\mathcal{T}_1\)을 준 공간을 \(X_1\), trivial topology \(\mathcal{T}_2\)를 준 공간을 \(X_2\)라 한 후, 집합으로서의 항등함수 \(\id:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)을 생각하면 \(\id\)는 연속인 전단사함수이지만 함수
\[\id^\mathcal{T}:\mathcal{T}_2\rightarrow\mathcal{T}_1\]는 전사함수가 될 수 없다. ([집합론] §기수들 사이의 연산, ⁋명제 10)
그러나 만일 전단사함수 \(f\)의 역함수 \(f^{-1}\) 또한 연속함수라면 \((f^{-1})^\mathcal{T}:\mathcal{T}_X\rightarrow\mathcal{T}_Y\)가 잘 정의되며 정의로부터
\[f^\mathcal{T}\circ (f^{-1})^\mathcal{T}=\id_{\mathcal{T}_X},\qquad (f^{-1})^\mathcal{T}\circ f^\mathcal{T}=\id_{\mathcal{T}_Y}\]임이 자명하므로 \(f^\mathcal{T}\) 또한 전단사함수가 된다. 이와 같은 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 6 연속함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 homeomorphism위상동형사상이라는 것은, 또 다른 연속함수 \(g:Y\rightarrow X\)가 존재하여 \(f\circ g=\id_Y\)이고 \(g\circ f=\id_X\)인 것이다.
즉 두 위상공간 \(X,Y\)가 homeomorphic하다는 것은 이들이 집합으로서 bijection이 존재하는 것 뿐만 아니라, 이 bijection이 두 집합의 위상구조, 즉 열린집합들까지 정확히 같은 방식으로 행동하도록 하는 것이다. 전단사인 연속함수이지만 homeomorphism은 아닌 예시는 바로 위 예시 5가 된다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
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