연속함수
이제 우리는 연속함수의 개념을 정의한다. 직관적으로 이는 대수적인 설정에서의 homomorphism과 마찬가지로 위상구조를 보존하는 함수라 생각할 수 있다.
정의 1 임의의 위상공간 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f:X\rightarrow Y$가 $x\in X$에서 연속continuous이라는 것은 $f(x)\in Y$의 임의의 근방 $V$에 대하여, $f(U)\subseteq V$이도록 하는 $x$의 근방 $U$가 존재하는 것이다.
임의의 집합 $X,Y$ 사이의 함수 $f:X\rightarrow Y$와 임의의 $U\subseteq X$에 대하여 $U\subseteq f^{-1}(f(U))$가 성립하므로, 임의의 집합 $V\subseteq Y$가 $f(U)\subseteq V$를 만족한다면
\[U\subseteq f^{-1}(f(U))\subseteq f^{-1}(V)\]이 성립한다. 따라서 두 위상공간 사이의 함수 $f:X\rightarrow Y$가 $x\in X$에서 연속이라는 것을 증명하기 위해서는 $f(x)\in Y$의 임의의 근방 $V$에 대하여 $f^{-1}(V)$가 $x$의 근방이 된다는 것을 보이면 충분하며, 더 일반적으로는 고정된 $f(x)$의 local base $\mathcal{B}(f(x))$와 임의의 $V\in\mathcal{B}(f(x))$에 대하여 $f^{-1}(V)\in\mathcal{N}(x)$임을 보이면 충분하다.
명제 2 두 위상공간 $X,Y$ 사이의 함수 $f:X\rightarrow Y$가 점 $x$에서 연속이라 하자. 만일 어떠한 $A\subseteq B$에 대하여 $x\in\cl(A)$라면, $f(x)\in\cl(A)$이다.
증명
$f(x)\in Y$의 임의의 근방 $V$를 택하자. 그럼 $f^{-1}(V)$는 $x$의 근방이므로 $f^{-1}(V)\cap A\neq\emptyset$이고 (§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6), $x’\in f^{-1}(V)\cap A$라 하면 $f(x’)\in V\cap f(A)$이다. 특히 $V\cap f(A)\neq\emptyset$이므로, 다시 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6를 적용하면 $f(x)\in\cl(A)$임을 안다.
명제 3 위상공간들 $X,Y,Z$가 주어졌다고 하자. 만일 $f:X\rightarrow Y$가 점 $x\in X$에서 연속이고, $g:Y\rightarrow Z$가 $f(x)$에서 연속이라면 그 합성 $g\circ f$ 또한 연속이다.
증명
$(g\circ f)(x)$의 임의의 근방 $W$를 택하자. 그럼 $g$가 $f(x)$에서 연속이므로, $g^{-1}(W)$은 $f(x)$의 근방이다. 다시 $f$는 $x$에서 연속이므로, $f^{-1}(g^{-1}(W))$는 $x$의 근방이다. ([집합론] §이항관계의 그래프, ⁋명제 13)
만일 $f$가 $X$의 모든 점에서 연속이라면, $f$를 연속함수continuous function라 부른다. 다음 정리는 연속함수를 정의하는 여러 방법을 보여준다.
정리 4 두 위상공간 $X,Y$와 함수 $f:X\rightarrow Y$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- $f$가 연속이다.
- $X$의 임의의 부분집합 $A$에 대하여, $f(\cl A)\subset\cl f(A)$가 성립한다.
- $Y$의 임의의 닫힌집합 $C$에 대하여, $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌집합이다.
- $Y$의 임의의 열린집합 $V$에 대하여, $f^{-1}(V)$가 $X$에서 열린집합이다.
증명
첫 번째 조건이 성립하면 두 번째 조건 또한 성립한다는 것은 명제 2의 결과이다.
이제 둘째 조건을 가정하고 세 번째 조건을 보이자. $Y$의 임의의 닫힌집합 $C$에 대하여, 다음 포함관계
\[f(\cl(f^{-1}(C))\subseteq \cl(f(f^{-1}(C))\subseteq\cl(C)=C\]가 성립하므로,
\[\cl(f^{-1}(C))\subseteq f^{-1}(f(\cl(f^{-1}(C)))\subseteq f^{-1}(C)\]로부터 $f^{-1}(C)$가 닫힌집합이라는 것을 안다. 식 $(f^{-1}(A))^c=f^{-1}(A^c)$가 임의의 부분집합 $A\subseteq Y$에 대해 성립하므로, 이로부터 넷째 조건 또한 얻어진다는 것이 자명하다.
따라서 넷째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 보이면 충분하다. $x\in X$를 임의로 택하고, $f(x)\in Y$의 임의의 근방 $V$가 주어졌다 하자. 그럼 $f(x)\subseteq V’\subseteq V$를 만족하는 $f(x)$의
명제 3에 의하여, 두 연속함수 $f:X\rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow Z$가 주어진다면 $g\circ f$ 또한 연속이라는 것을 안다.
두 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$ 사이의 연속함수 $f:X\rightarrow Y$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $V\in\mathcal{T}_Y$에 대하여 $f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X$가 성립하므로, 다음의 식
\[f^\mathcal{T}(V):=f^{-1}(V),\qquad V\in\mathcal{T}_Y\]이 함수 $f^\mathcal{T}:\mathcal{T}_Y\rightarrow\mathcal{T}_X$를 잘 정의한다.
이제 $f$가 전단사함수라 가정하고 $\mathcal{T}_Y$의 서로 다른 두 원소 $V_1,V_2$를 생각하자. 일반성을 잃지 않고 $y\in V_1\setminus V_2$라 하면
\[f^{-1}(y)\in f^\mathcal{T}(V_1)\setminus f^\mathcal{T}(V_2)\]가 성립하므로 $f^{\mathcal{T}}$는 단사함수가 된다.
예시 5 일반적으로 $f^{\mathcal{T}}$가 전사함수가 될 필요는 없다. 가령 $\mathbb{N}$에 discrete topology를 준 공간을 $X$, trivial topology를 준 공간을 $Y$라 한 후, 집합으로서의 항등함수 $\id:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$을 생각하면 $\id$는 연속인 전단사함수이지만 함수
\[\id^\mathcal{T}:\mathcal{T}_Y\rightarrow\mathcal{T}_X\]는 전사함수가 될 수 없다. ([집합론] §기수, ⁋명제 15)
그러나 만일 전단사함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$ 또한 연속함수라면 $(f^{-1})^\mathcal{T}:\mathcal{T}_X\rightarrow\mathcal{T}_Y$가 잘 정의되며 정의로부터
\[f^\mathcal{T}\circ (f^{-1})^\mathcal{T}=\id_{\mathcal{T}_X},\qquad (f^{-1})^\mathcal{T}\circ f^\mathcal{T}=\id_{\mathcal{T}_Y}\]임이 자명하므로 $f^\mathcal{T}$ 또한 전단사함수가 된다. 이와 같은 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 6 연속함수 $f:X\rightarrow Y$가 homeomorphism위상동형사상이라는 것은, 또 다른 연속함수 $g:Y\rightarrow X$가 존재하여 $f\circ g=\id_Y$이고 $g\circ f=\id_X$인 것이다.
이 정의에 따르면, 위의 예시 5는 전단사인 연속함수이지만 homeomorphism은 아닌 예시가 된다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
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