K

Grad. student in mathematics

Prime avoidance lemma

정의 1 Ring \(A\)와 \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 associated prime ideal동반소아이디얼이라는 것은 어떠한 \(x\in M\)에 대해 \(\mathfrak{p}=\ann(x)\)인 것이다. Associated prime들의 모임을 \(\Ass M\)으로 적는다.

단, 특별히 \(M=\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 ideal일 때에는, 관례상 \(\mathfrak{a}\)의 associated prime ideal은 \(\Ass \mathfrak{a}\)가 아니라, \(\Ass A/\mathfrak{a}\)를 의미한다.

정의에 의하여 \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 associated prime인 것과, \(A/\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 적당한 submodule인 것이 동치이다. 이는 \(A \rightarrow M\)을 \(1\mapsto x\)로 잡고 first isomorphism theorem을 적용하면 바로 알 수 있다.

이번 글에서 우리는 associated prime ideal에 대한 다양한 성질들을 살펴본다. 그 과정에서 중요한 역할을 하는 것은 다음의 보조정리이다.

보조정리 2 (Prime avoidance lemma) \(A\)의 ideal들 \(\mathfrak{a}_1,\ldots, \mathfrak{a}_n, \mathfrak{b}\)가 주어졌다 하고, \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{a}_n\)이라 하자. 만일 \(R\)이 무한한 field를 포함하거나, 많아야 두 개의 \(\mathfrak{a}_i\)만이 prime ideal이 아니라면 \(\mathfrak{b}\)는 \(\mathfrak{a}_1,\ldots, \mathfrak{a}_n\) 중 하나에 속한다.

추가로, 만일 \(A\)가 graded이고 \(\mathfrak{b}\)가 homogeneous ideal이며 모든 \(\mathfrak{a}_i\)가 prime ideal이라면, \(\mathfrak{b}\)의 homogeneous element들이 \(\mathfrak{a}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{a}_n\)에 속하는 것으로 가정해도 결론이 성립한다.

증명

만일 \(R\)이 무한한 field \(\mathbb{K}\)를 포함한다면, ideal들 각각을 \(\mathbb{K}\)-벡터공간으로 본다면

\[\mathfrak{b}=\bigcup_{i=1}^n (\mathfrak{b}\cap \mathfrak{a}_i)\]

이고 임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간은 자기 자신의 proper subspace들의 유한한 union으로 표현할 수 없으므로 자명하다.

나머지 경우는 \(n\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(n=1\)일 경우는 증명할 것이 없다.

큰 \(n\)에 대해서는, 만일 \(\mathfrak{a}_1,\ldots, \mathfrak{a}_n\) 가운데 하나를 빼도 조건의 포함관계가 성립한다면 이는 귀납적 가정으로 해결 가능하므로 그렇지 않은 경우만 고려하면 충분하다. 즉, \(x_i\not\in \bigcup_{j\neq i}\mathfrak{a}_j\)를 만족하는 \(x_i\in \mathfrak{b}\)가 항상 존재한다고 가정해도 충분하며, \(x_i\)의 조건에 의하여 반드시 \(x_i\in \mathfrak{a}_i\)이다.

이제 \(n=2\)인 경우, \(\mathfrak{b}\)의 원소 \(x_1+x_2\)를 생각하자. 만일 \(x_1+x_2\in \mathfrak{a}_1\)이라면, \(x_2=(x_1+x_2)-x_1\in \mathfrak{a}_1\)이므로 모순이고, 비슷하게 \(x_1+x_2\)는 \(\mathfrak{a}_2\)의 원소일 수도 없다. 이는 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}_1\cup \mathfrak{a}_2\)라는 가정에 모순이다.

\(n>3\)인 경우도 비슷한 아이디어를 사용한다. 주어진 조건으로부터 \(\mathfrak{a}_1,\ldots \mathfrak{a}_n\) 중 적어도 하나는 prime ideal이므로, 일반성을 잃지 않고 \(\mathfrak{a}_1\)이 prime ideal이라 가정할 수 있다. 그럼 원소 \(x_1+x_2x_3\cdots x_n\)을 생각하고, \(\mathfrak{a}_1\)이 prime ideal이라는 가정을 잘 사용하면 모순을 얻는다.

Graded ring의 경우는 \(x_i\)를 \(x_2x_3\cdots\)과 같은 degree를 갖도록 여러번 곱해서 차수만 맞춰주면 된다.

특히 위의 보조정리는 앞의 전제조건보다는 나중 전제조건을 만족하고 많이 사용하게 된다.

Associated prime ideals

이제 우리는 \(\Ass M\)에 대해 조금 더 자세히 살펴본다.

명제 3 \(A\)-module \(M\)을 하나 고정하고, \(\mathfrak{a}\)가 \(\ann(x)\) 꼴의 아이디얼들 중 maximal이라 가정하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\)는 prime ideal이다.

증명

\(ab\in \mathfrak{a}\)라 하고 \(b\not\in \mathfrak{a}\)라 한 후, \(a\in \mathfrak{a}\)임을 보여야 한다. \(\mathfrak{a}=\ann(x)\)라 하자. 그럼 가정에 의해 \(abx=0\)이고 \(bx\neq 0\)이다. 이제 \(\mathfrak{a}\subseteq\ann(bx)\)이므로 \(\mathfrak{a}\)의 maximality에 의하여 \(\mathfrak{a}=\ann(bx)\)이다. 이로부터

\[(a)+\mathfrak{a}\subseteq \ann(bx)=\mathfrak{a}\]

이므로 \(a\in \mathfrak{a}\)임을 안다.

위의 명제로부터 얻어지는 \(\mathfrak{a}\)는 prime ideal인 동시에 적당한 원소의 annihilator이므로 정의에 의해 \(\Ass M\)에 속한다.

한편 §국소화의 성질들, ⁋보조정리 3에 의하여, 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(x\in M\)이 \(0\)인 것은 localization \(\epsilon_\mathfrak{m}: M \rightarrow M_\mathfrak{m}\)에서의 image가 모두 \(0\)인 것과 동치이며, 따라서 \(x=0\)인 것을 보이기 위해서는 모든 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(\epsilon_\mathfrak{p}(x)=0\)임을 보이면 충분하다. 다음 따름정리도 같은 맥락에서 이해할 수 있다.

따름정리 4 Noetherian ring \(A\) 위에서 정의된 module \(M\)을 생각하자. 그럼 다음이 성립한다.

  1. \(M\)의 원소 \(x\)에 대하여, \(x=0\)인 것은 \(M\)의 maximal associated prime \(\mathfrak{p}\)가 주어질 때마다 \(\epsilon_\mathfrak{p}(x)=0\)인 것과 동치이다.
  2. \(M\)의 submodule \(L\)에 대하여, \(L=0\)인 것과 모든 \(\mathfrak{p}\in\Ass M\)에 대하여 \(L_\mathfrak{p}=0\)인 것이 동치이다.
  3. \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)이 injective인 것은 임의의 \(\mathfrak{p}\in \Ass M\)에 대하여 \(u_\mathfrak{p}\)가 injective인 것과 동치이다.
증명

우선 1번 결과의 경우, \(A\)가 noetherian이라는 가정으로부터 임의의 \(x\in M\)이 주어질 때마다 \(\ann(x)\)를 포함하는 annihilator ideal들 가운데 maximal인 ideal \(\mathfrak{p}\)를 하나 택할 수 있으며, 명제 3에 의해 \(\mathfrak{p}\in \Ass M\)이다. 따라서 \(M_\mathfrak{p}\)에서 \(x/1\)은 \(0\)이 되지 않는다. 2번 결과는 1번 결과에 의해 자명하며, 3번 결과는 2번 결과에서 \(L=\ker u\)로 두면 된다.

이번 글의 목표는 정리 7을 증명하는 것이다. 이를 위해 다음의 두 보조정리가 필요하다.

보조정리 5 \(A\)-module들의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \rightarrow 0\]

가 주어졌다 하자. 그럼

\[\Ass M'\subset \Ass M\subset (\Ass M')\cup (\Ass M'')\]

이 성립한다.

증명

첫 번째 포함관계는 자명하다. 두 번째 포함관계의 경우, \(\mathfrak{p}\in\Ass M\)이 \(\Ass M'\)에 속하지 않는다 가정하고 이것이 \(\Ass M''\)에 속함을 보이자. 만일 \(x\in M\)에 대하여 \(\mathfrak{p}=\ann(x)\)라면 \(Ax\cong A/\mathfrak{p}\)이다. 그런데 \(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이므로, \(0\)이 아닌 임의의 \(ax\in Ax\)에 대하여

\[a'\in\ann(ax)\iff a'ax=0\iff a'a\in \mathfrak{p}\iff a'\in \mathfrak{p}\]

가 되어 \(\ann(ax)=\mathfrak{p}\)이다. 여기서 마지막 동치는 \(ax\neq 0\)이라는 사실과 \(Ax\cong A/\mathfrak{p}\)인 것으로부터 \(a\not\in \mathfrak{p}\)를 사용하여 얻어졌다. 이제 이 등식은 특시 \(Ax\)의 임의의 \(0\)이 아닌 submodule은 annihilator로서 \(\mathfrak{p}\)를 가져야 한다는 것을 보여주는데, \(\mathfrak{p}\not\in \Ass M'\)인 사실과 종합하면 \(Ax\cap M'=0\)이어야 함을 안다. 따라서 \(Ax\)의 \(M''\)에서의 image는 \(Ax\)와 isomorphic하고, 이로부터 \(\mathfrak{p}\in \Ass M''\)임을 안다.

보조정리 6 Noetherian ring \(A\) 위에 정의된 finitely generated module \(M\)에 대하여, 다음 조건을 만족하는 filtration

\[0=M_0\subseteq M_1\subseteq\cdots\subseteq M_n=M,\qquad \text{$M_{k+1}/M_k\cong A/\mathfrak{p}_k$ for some prime $\mathfrak{p}_k$, for all $k$}\]

을 찾을 수 있다.

증명

우선 명제 3을 이용해 \(M\)의 associated prime \(\mathfrak{p}_1\in\Ass M\)을 찾을 수 있고, 따라서 \(M_1\cong A/\mathfrak{p}_1\)을 만족하는 submodule \(M_1\)이 존재한다. 똑같은 논리를 \(M/M_1\)에 적용하여 \(M_2\)를 얻을 수 있으며, 이러한 과정을 반복하다보면 \(M\)이 noetherian인 것으로부터 원하는 결론을 얻는다.

정리 7 Noetherian ring \(A\) 위에 정의된 finitely generated module \(M\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \(\Ass M\)은 공집합이 아닌 유한집합이며, 이들 각각의 원소는 \(\ann M\)을 포함한다. 뿐만 아니라, \(\ann M\)을 포함하는 prime ideal들의 집합에서 minimal한 prime ideal들은 모두 \(\Ass M\)에 포함된다.
  2. Associated prime들의 합집합은 \(0\)과, \(M\)의 어떤 zero-divisor들의 모임들로 이루어진다.

  3. 다음의 식

    \[\Ass_{S^{-1}A}S^{-1}M=\{\mathfrak{p}S^{-1}A: \mathfrak{p}\in\Ass M, \mathfrak{p}\cap S=\emptyset\}\]

    이 성립한다.

증명

우선 첫 번째 결과의 경우, \(\Ass M\)이 공집합이 아닌 것은 명제 3에 의한 것이며, \(\Ass M\)이 \(\ann M\)을 포함한다는 것은 자명하다. 한편, 보조정리 5에 의하여 다음 short exact sequence

\[0 \rightarrow M_{n-1} \rightarrow M_n \rightarrow M_n/M_{n-1} \rightarrow 0\]

를 생각하면 \(\Ass M_n \subseteq \Ass M_{n-1}\cup \Ass M_n/M_{n-1}=\Ass M_{n-1}\cup \Ass A/\mathfrak{p}_n\)이다.

한편, 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(\Ass(A/\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}\)임을 다음과 같이 보일 수 있다. \(\mathfrak{q}\in \Ass(A/\mathfrak{p})\)라 하고, \(\mathfrak{q}=\ann(x+\mathfrak{p})\)로 적자. 그럼 우선 \(\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}\)임이 자명하다. 이는 임의의 \(p\in \mathfrak{p}\)에 대하여,

\[p(x+\mathfrak{p})=px+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p}\]

이 성립하기 때문이다. 만일 \(\mathfrak{q}\not\subseteq \mathfrak{p}\)라면, \(q\in \mathfrak{q}\setminus \mathfrak{p}\)가 존재한다. 그럼

\[0=q(x+\mathfrak{p})=qx+\mathfrak{p}\]

인 것으로부터 \(qx\in \mathfrak{p}\)인 것을 알고, 그럼 \(q\not\in \mathfrak{p}\)인 것으로부터 \(x+\mathfrak{p}\)가 \(0\)이었어야 함을 안다. 그런데 이는 \(\mathfrak{q}=A\)라는 뜻이므로 모순이다.

따라서, 위와 같은 방식으로

\[\Ass M \Ass M_{n-1}\cup \{ \mathfrak{p}_{n-1}\}\subseteq \Ass M_{n-2}\cup \{\mathfrak{p}_{n-1},\mathfrak{p}_{n-2}\}\cdots\]

를 반복하면 첫 번째 결과의 유한성을 얻는다.

첫 번째 결과의 나머지 부분은 세 번째 결과를 증명하여 얻어진다. 그 전에 두 번째 결과의 경우, 만일 \(a\in A\)가 어떤 \(x\in M\)의 annihilator ideal에 속한다면, 이 annihilator ideal를 포함하는 maximal한 annihilator ideal을 생각할 수 있고 이것이 \(\Ass M\)에 속하므로 자명하다. 세 번째 결과의 경우는 표기법에 유의하며 §국소화의 성질들, ⁋명제 5를 사용하면 된다.

세 번째 결과를 가정하면 남은 부분도 자명하다. 만일 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann M\)을 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것이라면, 세 번째 결과를 이용하면 localization \(A_\mathfrak{p}\)에서의 maximal ideal \(\mathfrak{p}\)를 생각할 수 있는데, \(\ann M\)을 포함하는 유일한 prime ideal이 \(\mathfrak{p}\) 뿐이므로 반드시 \(\mathfrak{p}\in \Ass M\)이어야 한다.

이를 통해 \(M\)에 대한 많은 정보를 얻어올 수 있다. 가령 \(M=A\)이고 \(A\)가 reduced인 경우 다음 따름정리를 얻는다.

따름정리 8 Reduced noetherian ring \(A\)에 대하여, \(A\)의 total ring of fraction을 \(K\)라 하자. 그럼 \(K\)는 field들의 유한한 product이다.

증명

우선 \(M=A\)로 두면 \(\ann(A)=\{0\}\)이다. 따라서, \(A\)의 minimal prime ideal \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k\)들은 모두 \(\Ass M\)에 포함되며, 이들의 합집합은 \(A\)의 zero-divisor로 이루어져 있다.

또, 만일 \(A\)가 reduced ring이라면, 이들의 합집합이 정확히 \(A\)의 모든 zerodivisor들의 모임과 같다. 이를 확인하기 위해 우선 \(A\)가 reduced라는 가정으로부터,

\[(0)=\mathfrak{N}(A)=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime}\mathfrak{p}\supseteq \bigcap_{i=1}^k \mathfrak{p}_i\]

임을 관찰하자. 그럼 임의의 zerodivisor \(a\neq 0\)과, \(ab=0\)이도록 하는 \(b\neq 0\)에 대하여, \(b\not\in \mathfrak{p}_i\)이도록 하는 \(\mathfrak{p}_i\)가 존재해야만 하고, 이 때 \(ab=0\in \mathfrak{p}_i\)이므로 \(a\in \mathfrak{p}_i\)여야만 한다.

따라서, \(A\)의 total ring of fractions \(K\)는 \(S=A\setminus(\mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k)\)에 대하여 \(K=S^{-1}A\)이고, 이 ring의 prime ideal은 정확히 \(\mathfrak{p}_i\)들의 image이며 \(K\)는 \(S^{-1}A/\mathfrak{p}_iS^{-1}A\)들의 product임을 보일 수 있다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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