앞선 글에서 우리는 $A$-module $M$이 언제 flat인지를 판단하는 몇 가지 기준들을 살펴보았는데, 이번 글에서는 특별히 localization을 통해 이를 판단하는 기준을 살펴본다. 다음 정리는 §평탄성, ⁋명제 1을 maximal ideal에 대해서만 확인해도 충분하다는 것을 보여준다.
정리 1 Noetherian local ring $(A, \mathfrak{m})$을 고정하고, $(E, \mathfrak{n})$가 $\mathfrak{m}E\subseteq \mathfrak{n}$를 만족하는 local Noetherian $A$-algebra라 가정하자. 그럼 finitely generated $E$-module $M$에 대하여, $M$이 flat $A$-module인 것과 $\Tor_1^A(A/\mathfrak{m}, M)=0$인 것이 동치이다.
증명
만일 $M$이 flat $A$-module이라면 $\Tor_1^A(A/\mathfrak{m}, M)=0$인 것은 정확히 §평탄성, ⁋명제 1의 내용이므로, 반대 방향만 보이면 충분하다.
반대방향을 보이기 위해서도 마찬가지로 §평탄성, ⁋명제 1를 사용하여, 주어진 조건을 가정한 후 임의의 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 multiplication map $m:\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$이 injective인 것을 보이면 충분하다. 이를 위해 $x\in \mathfrak{a}\otimes_AM$이 multiplication map의 kernel $\ker m$에 속한다 가정하고, $x=0$임을 보이자. 우선 $M$ 위에 정의된 $E$-module structure로부터 $\mathfrak{a}\otimes_AM$ 위에도 자연스럽게 $E$-module 구조가 있으며, 가정 $\mathfrak{m}E\subseteq \mathfrak{n}$으로부터, 임의의 $n$에 대해 다음의 식
\[\mathfrak{m}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM )\subseteq \mathfrak{n}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM)\]이 성립하는 것을 안다. 한편, 이들은 finitely generated $E$-module이므로 §부풀림 대수, ⁋따름정리 8로부터
\[\bigcap \mathfrak{m}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM)=\bigcap \mathfrak{n}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM)=0\]이다. 따라서, $x=0$인 것을 보이는 것은 모든 $n$에 대하여 $x\in \mathfrak{m}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM)$이 성립하는 것을 보이면 충분하다. 한편, $\mathfrak{m}^n(\mathfrak{a}\otimes_AM)$은 $(\mathfrak{m}^n \mathfrak{a})\otimes_AM$과 identify할 수 있고, §부풀림 대수, ⁋보조정리 7를 다음의 $\mathfrak{m}$-stable filtration
\[\mathfrak{m}\supseteq \mathfrak{m}^2\supseteq\cdots\]과 $M’=\mathfrak{a}$에 적용하면, 다음의 filtration
\[\mathfrak{m}\cap \mathfrak{a}\supseteq \mathfrak{m}^2 \cap\mathfrak{a}\supseteq\cdots\]또한 $\mathfrak{m}$-stable이므로, 적당한 $N$이 존재하여 $m>N$일 때마다 모든 $i$에 대해
\[\mathfrak{m}^{m+i}\cap \mathfrak{a}=\mathfrak{m}^i(\mathfrak{m}^m\cap \mathfrak{a})\]가 성립하도록 할 수 있다. 따라서 임의의 $n$이 주어질 때마다, $t>N+n$이도록 잡으면
\[\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a}=\mathfrak{m}^n(\mathfrak{m}^{t-n}\cap \mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{m}^n \mathfrak{a}\]이 되고, 우리는 $x\in (\mathfrak{m}^na)\otimes_AM$가 임의의 $n$에 성립하는 것을 보이는 대신, 임의의 $t$에 대해 $x\in (\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a})\otimes_AM$가 성립하는 것을 보여도 된다.
이제 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{a} \rightarrow \frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a}} \rightarrow 0\]에 $-\otimes_AM$을 취하면 다음의 exact sequence
\[(\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a})\otimes_AM \rightarrow \mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow \frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a}}\otimes_AM \rightarrow 0\]를 얻으며, 이 상황에서 $x$는 $(\mathfrak{a}/\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a})\otimes_AM$으로 옮겨졌을 때 $0$이 된다는 것을 보이면 충분하다. 한편, 다음의 commutative diagram
에 $-\otimes_AM$을 취해 얻어지는 다음의 commutative diagram
을 생각하면, 왼쪽 $\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$은 multiplication map $m$이고, 따라서 $x\in\ker m$는 $\llcorner$ 방향으로의 합성을 통해 $0$으로 옮겨진다. 따라서 오른쪽 $(\mathfrak{a}/(\mathfrak{m}^t\cap I))\otimes_AM \rightarrow (A/\mathfrak{m}^t)\otimes_AM$이 injective인 것만 보이면 충분하다. 다음의 isomorphism
\[\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a}}\cong \frac{\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t}{\mathfrak{m}^t}\]을 통하면, 이 함수를 주는 $\mathfrak{a}/(\mathfrak{m}^t\cap \mathfrak{a}) \rightarrow A/\mathfrak{m}^t$는 정확히 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow \frac{\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t}{\mathfrak{m}^t} \rightarrow \frac{A}{\mathfrak{m}^t}\rightarrow \frac{A}{\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t} \rightarrow 0\]의 왼쪽 함수와 같다. 따라서, $\Tor$ long exact sequence
\[\cdots \Tor_1^A(A/(\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t), M) \rightarrow \frac{\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t}{\mathfrak{m}^t}\otimes_AM \rightarrow \frac{A}{\mathfrak{m}^t}\otimes_AM \rightarrow\]로부터, 우리가 보여야 할 것은 $\Tor_1^A(A/(\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t), M)=0$이다.
그런데 $A/(\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t)$는 $\mathfrak{m}^t$로 annihilate되고, $\mathfrak{m}^t$는 finitely generated이므로, 이를 통해 $A/(\mathfrak{a}+\mathfrak{m}^t)$이 finite length를 갖는다는 것을 안다. 따라서, 더 일반적으로 유한한 길이를 갖는 임의의 $A$-module $N$이 주어질 때마다 $\Tor_1^A(N, M)=0$이 성립한다는 것을 보이면 원하는 바를 얻는다.
귀납법으로 진행한다. 만일 $N$이 length $1$이라면 §조르단-횔더 정리, ⁋정의 1 이후의 논중으로부터 $N=A/\mathfrak{m}$이어야 하고, 따라서 $\Tor_1^A(N, M)=0$인 것은 정확히 정리의 가정과 일치한다. 유한한 length의 $A$-module $N$과, $N$의 임의의 proper submodule $N’$을 택하자. 그럼 다음의 exact sequence
\[0 \rightarrow N' \rightarrow N \rightarrow N/N' \rightarrow 0\]에 $\Tor$ long exact sequence를 적용하여
\[\cdots \rightarrow\Tor_1^A(N', M) \rightarrow \Tor_1^A(N, M) \rightarrow \Tor_1^A(N/N', M) \rightarrow \cdots\]를 얻는다. 이제 귀납적 가정에 의하여 $\Tor_1^A(N, M)=\Tor_1^A(N/N’,M)=0$이므로 원하는 결과를 얻는다.
한편, $M$이 flat $A$-module이라면 임의의 $A/(a)$-module $N$에 대하여
\[(M/aM)\otimes_{A/(a)}N=(A/(x)\otimes_A M)\otimes_{A/(a)} N\cong M\otimes_AN\]이므로 $M/aM$은 아무런 조건 없이도 flat $A/(a)$-module이다. 우리는 따름정리 3에서 정리 1의 조건을 가정하고 이 주장의 역을 보인다. 이를 위해서는 우선 다음 보조정리가 필요하다.
보조정리 2 $A$-module $M$이 주어졌다 하고, $a\in A$가 $A$와 $M$ 모두에서 non-zerodivisor라 하자. 그럼 임의의 $A/(a)$-module $N$에 대하여,
\[\Tor_i^{A/(a)}(N, M/aM)=\Tor_i^A(N,M)\]이 성립한다.
증명
$A$-module $M$의 free resolution
\[\cdots \rightarrow F_2 \rightarrow F_1 \rightarrow F_0\tag{1}\]을 생각하면, 정의에 의해 다음 chain complex
\[\cdots \rightarrow N\otimes_A F_2 \rightarrow N\otimes_AF_1 \rightarrow N\otimes_A F_0\]의 $i$번째 homology가 $\Tor_i^A(M,N)$이다. 한편, (1)에 $A/(a)\otimes_A-$를 취해 얻어지는 다음의 complex
\[\cdots \rightarrow F_2/aF_2 \rightarrow F_1/aF_1 \rightarrow F_0/aF_0 \rightarrow M/aM \rightarrow 0\tag{2}\]를 생각하자. 그럼 이 complex의 호몰로지는
\[\Tor_i^A(A/(a), M)=\begin{cases} M/aM&\text{if $i=0$}\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\]로 주어지므로, 이는 $M/aM$의 free resolution이 된다. 따라서 $\Tor_i^{A/(a)}(N, M/aM)$을 예산하기 위해서 (2)를 사용하면 다음의 isomorphism
\[N\otimes_{A/(a)} F_i/aF_i=N\otimes_{A/(a)} ((A/(a))\otimes_A F_i)\cong N\otimes_A F_i\]을 통해 원하는 결과를 얻는다.
이를 사용하여 다음을 보일 수 있다.
따름정리 3 Noetherian local ring $(A, \mathfrak{m})$을 고정하고, $(E, \mathfrak{n})$가 $\mathfrak{m}E\subseteq \mathfrak{n}$를 만족하는 local Noetherian $A$-algebra라 가정하자. 만일 $a\in \mathfrak{m}$이 $A$의 non-zerodivisor인 동시에 finitely generated $E$-module $M$의 zerodivisor라면, $M$이 flat $A$-module인 것과 $M/aM$이 flat $A/(a)$-module인 것이 동치이다.
증명
$M/aM$이 flat $A/(a)$-module이라 하자. $A$의 residue field를 $A/\mathfrak{m}$에 대하여, 가정으로부터
\[\Tor_1^{A/(a)}(A/\mathfrak{m}, M/aM)=0\]이 성립하고, 이제 보조정리 2를 적용하면 $\Tor_1^A(A/\mathfrak{m}, M)=0$이 성립하는 것을 안다. 따라서 정리 1에 의하여 $M$은 flat $A$-module이다.
Rees algebra
정의 4 Ring $A$와 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, Rees algebra리스 대수는
\[A[\mathfrak{a}t]=\bigoplus_{n=0}^\infty \mathfrak{a}^n t^n\subseteq A[t]\]를 의미한다. 또, 같은 상황에서 extended Rees algebra확장된 리스 대수를
\[A[\mathfrak{a}t, t^{-1}]=\bigoplus_{n=-\infty}^\infty \mathfrak{a}^nt^n\subseteq A[t, t^{-1}]\]로 정의한다.
그럼 다음 따름정리는 거의 자명하다.
명제 5 Field $\mathbb{k}$와 $\mathbb{k}$-algebra $A$를 고정하자. 그럼 Rees algebra $A[\mathfrak{a}t, t^{-1}]$은 flat $\mathbb{k}[t]$-module이다. 또, 만일 $\bigcap \mathfrak{a}^i=0$이라면, $1-t s$ ($s\in S$) 꼴의 원소들은 모두 $A[\mathfrak{a}t, t^{-1}]$에서 non-zerodivisor이다.
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