가군

이제 우리는 임의의 ring $A$에 대하여, $A$-module을 정의하고 그 성질을 살펴본다. $A$-module에 대한 더 복잡한 내용들은 다중선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다.

정의 1 Symmetric monoidal category $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$의 monoid object $(A,\cdot, 1)$을 고정하자. 그럼 $M\in\Ab$ 위에 left $A$-action이 정의된 것을 left $A$-module_{왼쪽 $A$-가군}이라 부르고, right $A$-action이 정의된 것을 right $A$-module_{오른쪽 $A$-가군}이라 부른다.

Monoidal category $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$에서의 monoid object는 ring $A$이므로, 이 경우에 위의 정의를 다시 써 보면 $M$이 left $A$-module이라는 것은 $M$이 덧셈에 대해 abelian group이고, 다음 조건들을 만족하는 $A$의 action $\cdot:A\times M \rightarrow M$이 주어진 것이다.

1. 임의의 $\alpha\in A$와 $x,y\in M$에 대하여 $\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$가 성립한다.
2. 임의의 $\alpha,\beta\in A$와 $x\in M$에 대하여 $(\alpha+\beta)\cdot x=\alpha\cdot x+\beta\cdot x$가 성립한다.
3. 임의의 $\alpha,\beta\in A$와 $x\in M$에 대하여 $(\alpha\beta)\cdot x=\alpha\cdot(\beta\cdot x)$가 성립한다.
4. 임의의 $x\in M$에 대하여 $1\cdot x=x$가 성립한다.

여기서 $\cdot$을 $A\otimes M$에서 $M$으로의 homomorphism으로 보는 대신, 1번과 2번 조건에서 bilinear 조건을 명시적으로 적었다.

정의 2 $A$-module $M$과 그 원소들의 family $(x_i)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 일차결합_{linear combination}은

\[\sum_{i\in I} \alpha_i x_i,\qquad\text{$(\alpha_i)$ finitely supported}\]

의 꼴로 나타나는 원소를 의미한다. $M$의 원소들의 family $(x_i)_{i\in I}$가 존재하여, $M$의 임의의 원소를 이 family의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다면 $(x_i)_{i\in I}$가 $M$을 generate_생성한다고 말한다. 만일 이 family $(x_i)_{i\in I}$를 유한하게 택할 수 있다면 $M$이 finitely generated $A$-module_{유한생성 $A$-가군}이라 부른다.

부분가군과 몫가군

정의 3 임의의 $A$-module $M$과 그 부분집합 $N$에 대하여, 만일 $N$이 그 자체로 $A$-module 구조를 가지면 이를 submodule_부분가군이라 부른다.

한편, $A$-module $M$과, $M$의 임의의 submodule $N$에 대하여 quotient group $M/N$이 잘 정의된다. 한편 이 위에 정의된 $A$의 action을 생각해보면, 어차피 $N$이 $A$의 action에 대해 닫혀있으므로 $M/N$ 위에 $A$-module 구조를 주는 것에도 문제가 없다.

정의 4 임의의 $A$-module $M$과 그 submodule $N$에 대하여, $M/N$을 quotient module_몫가군이라 부른다.

예시 5 Ring $A$의 multiplication map $\mu:A\otimes A \rightarrow A$은 정확히 action이 만족해야 할 성질들을 모두 만족하나. 따라서 임의의 ring은 항상 자기 자신 위의 module이다. 만일 $A$를 left $A$-module로 본다면 $A$의 submodule은 정확히 $A$의 left ideal과 같고, 마찬가지로 $A$를 right $A$-module로 본다면 $A$의 submodule은 정확히 $A$의 right ideal과 같다.

한편 우리가 quotient ring을 정의할 때 two-sided ideal만 생각했던 이유를 다시 생각해보면, left ideal $\mathfrak{a}$에 대해 quotient module $A/\mathfrak{a}$는 (ring의 구조는 갖지 않더라도) 여전히 left $A$-module이 된다는 것을 확인할 수 있으며 right ideal의 경우도 마찬가지이다.

선형사상

정의 6 두 $A$-module $M$, $N$에 대하여, $M$에서 $N$으로의 $A$-linear map은 다음 두 조건

\[f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(\alpha x)=\alpha f(x)\]

을 모든 $x,y\in M$ 그리고 $\alpha\in A$에 대해 만족하는 함수 $f$를 의미한다. 혼동의 여지가 없을 경우 이를 간단히 linear map이라고만 쓰기도 한다.

명제 7 Linear map의 합성은 linear map이다. 또, bijective linear map은 항상 isomorphism이다.

증명

자명하다.

Left $A$-module과 $A$-linear map들의 category를 $\lMod{A}$로 적는다. Right $A$-module과 $A$-linear map들의 category는 $\rMod{A}$로 적는다. 또, $\Hom_\lMod{A}(M,N)$를 간단히 $\Hom_A(M,N)$으로 적기도 한다. 이들은 finitely generated $A$-module로 이루어진 full subcategory $\lmod{A}$와 $\rmod{A}$를 갖는다. 이들 네 category들의 zero object는 $\{0\}$이다.

한편, $\lMod{A}$의 특별한 성질 중 하나는 $\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$이 abelian group의 구조를 갖는다는 것이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 8 임의의 $\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$은 abelian group이다. 뿐만 아니라, 임의의 $A$-linear map $f:M \rightarrow M’$에 대하여

\[\Hom_{\lMod{A}}(f, N):\Hom_{\lMod{A}}(M',N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M,N)\]

은 abelian group들 사이의 homomorphism이다.

증명

$\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$의 임의의 두 원소 $g,h\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$의 덧셈 $g+h\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$은 다음 식

\[(g+h)(x)=g(x)+h(x)\qquad\text{for all $x\in M$}\]

으로 정의되며, 이것이 실제로 $A$-linear map임을 증명해야 하지만 이는 자명하다.

이제 $\Hom_{\lMod{A}}(f,N)$이 abelian group들 사이의 homomorphism이라는 것은 다음 식

\[\left(\Hom_{\lMod{A}}(f, N)(g+h)\right)(x)=(g+h)(f(x))=g(f(x))+h(f(x))=\left(\Hom_{\lMod{A}(f,N)}(g)\right)(x)+\left(\Hom_{\lMod{A}(f,N)}(h)\right)(x)\]

으로부터 자명하다.

비슷한 정리가 $\Hom_{\lMod{A}}(M, f)$, 그리고 right $A$-module들에 대해서도 성립한다. 만일 $A$가 commutative ring이었다면, 임의의 $f:M \rightarrow N$에 대하여

\[(\alpha\cdot f)(x):=\alpha\cdot f(x)\qquad\text{for all $x\in M$}\]

으로 정의된 $\cdot$이 $\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$ 위에 $A$-module 구조를 주는 것을 알지만 $A$가 commutative가 아니라면, 임의의 $\beta\in A$에 대해

\[(\alpha\cdot f)(\beta x)=\alpha\cdot f(\beta x)=\alpha\beta f(x)\]

이고, 이를 $\beta(\alpha f(x))=\beta\cdot(\alpha\cdot f)(x)$으로 바꿀 방법이 마땅치 않으므로 $\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$은 일반적으로는 $A$-module 구조를 갖지는 않는다. 그 대신 $A$가 commutative라면 명제 8의 abelian group homomorphism이 $A$-linear map이라는 것까지도 보일 수 있다.

정의 9 $A$-linear map $f:M \rightarrow N$에 대하여, $f$의 kernel과 image를 각각

\[\ker f=\{x\in M: f(x)=0\},\qquad \im f=\{f(x)\in N: x\in M\}\]

으로 정의한다.

다음은 항상 사용해왔던 isomorphism theorem이며, 그 증명 또한 이전과 동일하므로 별도로 적어두지는 않는다.

정리 10 $A$-linear map $f:M \rightarrow N$이 주어졌다 하자.

1. $\ker f$는 $M$의 submodule이며, $x+\ker f \mapsto f(x)$가 잘 정의된 isomorphism $M/\ker f \rightarrow \im f$을 정의한다.
2. $M$의 두 submodule $M’,M’‘$에 대하여, $M’+M’‘$과 $M’\cap M’‘$은 $M$의 submodule이며, isomorphism $(M’+M’’)/M’‘\cong M’/(M’\cap M’’)$이 성립한다.
3. $M$의 두 submodule $M’,M’‘$이 $M’‘\subseteq M’$를 만족한다면, $M’/M’‘$는 $M/M’‘$의 submodule이고 $(M/M’’)/(M’/M’’)\cong M/M’$이 성립한다.
4. $M$의 submodule $M’$에 대하여, $M/M’$의 submodule들의 집합과, $M’$를 포함하는 $M$의 submodule들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

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참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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