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Grad. student in mathematics

이제 우리는 임의의 ring AA에 대하여, AA-module을 정의하고 그 성질을 살펴본다. AA-module에 대한 더 복잡한 내용들은 다중선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다.

정의 1 Symmetric monoidal category (Ab,⊗,Z)(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})의 monoid object (A,⋅,1)(A,\cdot, 1)을 고정하자. 그럼 M∈AbM\in\Ab 위에 left AA-action이 정의된 것을 left AA-module왼쪽 AA-가군이라 부르고, right AA-action이 정의된 것을 right AA-module오른쪽 AA-가군이라 부른다.

Monoidal category (Ab,⊗,Z)(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})에서의 monoid object는 ring AA이므로, 이 경우에 위의 정의를 다시 써 보면 MM이 left AA-module이라는 것은 MM이 덧셈에 대해 abelian group이고, 다음 조건들을 만족하는 AA의 action ⋅:A×M→M\cdot:A\times M \rightarrow M이 주어진 것이다.

  1. 임의의 α∈A\alpha\in A와 x,y∈Mx,y\in M에 대하여 α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y가 성립한다.
  2. 임의의 α,β∈A\alpha,\beta\in A와 x∈Mx\in M에 대하여 (α+β)⋅x=α⋅x+β⋅x(\alpha+\beta)\cdot x=\alpha\cdot x+\beta\cdot x가 성립한다.
  3. 임의의 α,β∈A\alpha,\beta\in A와 x∈Mx\in M에 대하여 (αβ)⋅x=α⋅(β⋅x)(\alpha\beta)\cdot x=\alpha\cdot(\beta\cdot x)가 성립한다.
  4. 임의의 x∈Mx\in M에 대하여 1⋅x=x1\cdot x=x가 성립한다.

여기서 ⋅\cdot을 A⊗MA\otimes M에서 MM으로의 homomorphism으로 보는 대신, 1번과 2번 조건에서 bilinear 조건을 명시적으로 적었다.

정의 2 AA-module MM과 그 원소들의 family (xi)i∈I(x_i)_{i\in I}에 대하여, 이들의 일차결합linear combination은

∑i∈Iαixi,(αi) finitely supported\sum_{i\in I} \alpha_i x_i,\qquad\text{$(\alpha_i)$ finitely supported}

의 꼴로 나타나는 원소를 의미한다. MM의 원소들의 family (xi)i∈I(x_i)_{i\in I}가 존재하여, MM의 임의의 원소를 이 family의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다면 (xi)i∈I(x_i)_{i\in I}가 MM을 generate생성한다고 말한다. 만일 이 family (xi)i∈I(x_i)_{i\in I}를 유한하게 택할 수 있다면 MM이 finitely generated AA-module유한생성 AA-가군이라 부른다.

부분가군과 몫가군Permalink

정의 3 임의의 AA-module MM과 그 부분집합 NN에 대하여, 만일 NN이 그 자체로 AA-module 구조를 가지면 이를 submodule부분가군이라 부른다.

한편, AA-module MM과, MM의 임의의 submodule NN에 대하여 quotient group M/NM/N이 잘 정의된다. 한편 이 위에 정의된 AA의 action을 생각해보면, 어차피 NN이 AA의 action에 대해 닫혀있으므로 M/NM/N 위에 AA-module 구조를 주는 것에도 문제가 없다.

정의 4 임의의 AA-module MM과 그 submodule NN에 대하여, M/NM/N을 quotient module몫가군이라 부른다.

예시 5 Ring AA의 multiplication map μ:A⊗A→A\mu:A\otimes A \rightarrow A은 정확히 action이 만족해야 할 성질들을 모두 만족하나. 따라서 임의의 ring은 항상 자기 자신 위의 module이다. 만일 AA를 left AA-module로 본다면 AA의 submodule은 정확히 AA의 left ideal과 같고, 마찬가지로 AA를 right AA-module로 본다면 AA의 submodule은 정확히 AA의 right ideal과 같다.

한편 우리가 quotient ring을 정의할 때 two-sided ideal만 생각했던 이유를 다시 생각해보면, left ideal a\mathfrak{a}에 대해 quotient module A/aA/\mathfrak{a}는 (ring의 구조는 갖지 않더라도) 여전히 left AA-module이 된다는 것을 확인할 수 있으며 right ideal의 경우도 마찬가지이다.

선형사상Permalink

정의 6 두 AA-module MM, NN에 대하여, MM에서 NN으로의 AA-linear map은 다음 두 조건

u(x+y)=u(x)+u(y),u(αx)=αu(x)u(x+y)=u(x)+u(y),\qquad u(\alpha x)=\alpha u(x)

을 모든 x,y∈Mx,y\in M 그리고 α∈A\alpha\in A에 대해 만족하는 함수 uu를 의미한다. 혼동의 여지가 없을 경우 이를 간단히 linear map이라고만 쓰기도 한다.

명제 7 Linear map의 합성은 linear map이다. 또, bijective linear map은 항상 isomorphism이다.

증명

자명하다.

Left AA-module과 AA-linear map들의 category를 AMod\lMod{A}로 적는다. Right AA-module과 AA-linear map들의 category는 ModA\rMod{A}로 적는다. 또, Hom⁡AMod(M,N)\Hom_\lMod{A}(M,N)를 간단히 Hom⁡A(M,N)\Hom_A(M,N)으로 적기도 한다. 이들은 finitely generated AA-module로 이루어진 full subcategory Amod\lmod{A}와 modA\rmod{A}를 갖는다. 이들 네 category들의 zero object는 {0}\{0\}이다.

한편, AMod\lMod{A}의 특별한 성질 중 하나는 Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(M,N)이 abelian group의 구조를 갖는다는 것이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 8 임의의 Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(M,N)은 abelian group이다. 뿐만 아니라, 임의의 AA-linear map u:M→M′u:M \rightarrow M’에 대하여

Hom⁡AMod(u,N):Hom⁡AMod(M′,N)→Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(u, N):\Hom_{\lMod{A}}(M',N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M,N)

은 abelian group들 사이의 homomorphism이다.

증명

Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(M,N)의 임의의 두 원소 v,w∈Hom⁡AMod(M,N)v,w\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)의 덧셈 v+w∈Hom⁡AMod(M,N)v+w\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)은 다음 식

(v+w)(x)=v(x)+w(x)for all x∈M(v+w)(x)=v(x)+w(x)\qquad\text{for all $x\in M$}

으로 정의되며, 이것이 실제로 AA-linear map임을 증명해야 하지만 이는 자명하다.

이제 Hom⁡AMod(u,N)\Hom_{\lMod{A}}(u,N)이 abelian group들 사이의 homomorphism이라는 것은 다음 식

(Hom⁡AMod(f,˘N)(v+w))(x)=(v+w)(u(x))=v(u(x))+w(u(x))=(Hom⁡AMod(u,N)(v))(x)+(Hom⁡AMod(u,N)(w))(x)\left(\Hom_{\lMod{A}}(f\u, N)(v+w)\right)(x)=(v+w)(u(x))=v(u(x))+w(u(x))=\left(\Hom_{\lMod{A}(u,N)}(v)\right)(x)+\left(\Hom_{\lMod{A}(u,N)}(w)\right)(x)

으로부터 자명하다.

비슷한 정리가 Hom⁡AMod(M,f)\Hom_{\lMod{A}}(M, f), 그리고 right AA-module들에 대해서도 성립한다. 만일 AA가 commutative ring이었다면, 임의의 u:M→Nu:M \rightarrow N에 대하여

(α⋅u)(x):=α⋅u(x)for all x∈M(\alpha\cdot u)(x):=\alpha\cdot u(x)\qquad\text{for all $x\in M$}

으로 정의된 ⋅\cdot이 Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(M,N) 위에 AA-module 구조를 주는 것을 알지만 AA가 commutative가 아니라면, 임의의 β∈A\beta\in A에 대해

(α⋅u)(βx)=α⋅u(βx)=αβu(x)(\alpha\cdot u)(\beta x)=\alpha\cdot u(\beta x)=\alpha\beta u(x)

이고, 이를 β(αu(x))=β⋅(α⋅u)(x)\beta(\alpha u(x))=\beta\cdot(\alpha\cdot u)(x)으로 바꿀 방법이 마땅치 않으므로 Hom⁡AMod(M,N)\Hom_{\lMod{A}}(M,N)은 일반적으로는 AA-module 구조를 갖지는 않는다. 그 대신 AA가 commutative라면 명제 8의 abelian group homomorphism이 AA-linear map이라는 것까지도 보일 수 있다.

정의 9 AA-linear map u:M→Nu:M \rightarrow N에 대하여, uu의 kernel과 image를 각각

ker⁡u={x∈M∣u(x)=0},im⁡u={u(x)∈N∣x∈M}\ker u=\{x\in M\mid u(x)=0\},\qquad \im u=\{u(x)\in N\mid x\in M\}

으로 정의한다.

다음은 항상 사용해왔던 isomorphism theorem이며, 그 증명 또한 이전과 동일하므로 별도로 적어두지는 않는다.

정리 10 AA-linear map u:M→Nu:M \rightarrow N이 주어졌다 하자.

  1. ker⁡u\ker u는 MM의 submodule이며, x+ker⁡u↦u(x)x+\ker u \mapsto u(x)가 잘 정의된 isomorphism M/ker⁡u→im⁡uM/\ker u \rightarrow \im u을 정의한다.
  2. MM의 두 submodule M′,M′′M’,M’‘에 대하여, M′+M′′M’+M’‘과 M′∩M′′M’\cap M’‘은 MM의 submodule이며, isomorphism (M′+M′′)/M′′≅M′/(M′∩M′′)(M’+M’’)/M’‘\cong M’/(M’\cap M’’)이 성립한다.
  3. MM의 두 submodule M′,M′′M’,M’‘이 M′′⊆M′M’‘\subseteq M’를 만족한다면, M′/M′′M’/M’‘는 M/M′′M/M’‘의 submodule이고 (M/M′′)/(M′/M′′)≅M/M′(M/M’’)/(M’/M’’)\cong M/M’이 성립한다.
  4. MM의 submodule M′M’에 대하여, M/M′M/M’의 submodule들의 집합과, M′M’를 포함하는 MM의 submodule들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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