K

Grad. student in mathematics

이제 우리는 임의의 ring \(A\)에 대하여, \(A\)-module을 정의하고 그 성질을 살펴본다. \(A\)-module에 대한 더 복잡한 내용들은 다중선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다.

정의 1 Symmetric monoidal category \((\Ab,\otimes, \mathbb{Z})\)의 monoid object \((A,\cdot, 1)\)을 고정하자. 그럼 \(M\in\Ab\) 위에 left \(A\)-action이 정의된 것을 left \(A\)-module왼쪽 \(A\)-가군이라 부르고, right \(A\)-action이 정의된 것을 right \(A\)-module오른쪽 \(A\)-가군이라 부른다.

Monoidal category \((\Ab,\otimes, \mathbb{Z})\)에서의 monoid object는 ring \(A\)이므로, 이 경우에 위의 정의를 다시 써 보면 \(M\)이 left \(A\)-module이라는 것은 \(M\)이 덧셈에 대해 abelian group이고, 다음 조건들을 만족하는 \(A\)의 action \(\cdot:A\times M \rightarrow M\)이 주어진 것이다.

  1. 임의의 \(\alpha\in A\)와 \(x,y\in M\)에 대하여 \(\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y\)가 성립한다.
  2. 임의의 \(\alpha,\beta\in A\)와 \(x\in M\)에 대하여 \((\alpha+\beta)\cdot x=\alpha\cdot x+\beta\cdot x\)가 성립한다.
  3. 임의의 \(\alpha,\beta\in A\)와 \(x\in M\)에 대하여 \((\alpha\beta)\cdot x=\alpha\cdot(\beta\cdot x)\)가 성립한다.
  4. 임의의 \(x\in M\)에 대하여 \(1\cdot x=x\)가 성립한다.

여기서 \(\cdot\)을 \(A\otimes M\)에서 \(M\)으로의 homomorphism으로 보는 대신, 1번과 2번 조건에서 bilinear 조건을 명시적으로 적었다.

정의 2 \(A\)-module \(M\)과 그 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)에 대하여, 이들의 일차결합linear combination은

\[\sum_{i\in I} \alpha_i x_i,\qquad\text{$(\alpha_i)$ finitely supported}\]

의 꼴로 나타나는 원소를 의미한다. \(M\)의 원소들의 family \((x_i)_{i\in I}\)가 존재하여, \(M\)의 임의의 원소를 이 family의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다면 \((x_i)_{i\in I}\)가 \(M\)을 generate생성한다고 말한다. 만일 이 family \((x_i)_{i\in I}\)를 유한하게 택할 수 있다면 \(M\)이 finitely generated \(A\)-module유한생성 \(A\)-가군이라 부른다.

부분가군과 몫가군

정의 3 임의의 \(A\)-module \(M\)과 그 부분집합 \(N\)에 대하여, 만일 \(N\)이 그 자체로 \(A\)-module 구조를 가지면 이를 submodule부분가군이라 부른다.

한편, \(A\)-module \(M\)과, \(M\)의 임의의 submodule \(N\)에 대하여 quotient group \(M/N\)이 잘 정의된다. 한편 이 위에 정의된 \(A\)의 action을 생각해보면, 어차피 \(N\)이 \(A\)의 action에 대해 닫혀있으므로 \(M/N\) 위에 \(A\)-module 구조를 주는 것에도 문제가 없다.

정의 4 임의의 \(A\)-module \(M\)과 그 submodule \(N\)에 대하여, \(M/N\)을 quotient module몫가군이라 부른다.

예시 5 Ring \(A\)의 multiplication map \(\mu:A\otimes A \rightarrow A\)은 정확히 action이 만족해야 할 성질들을 모두 만족하나. 따라서 임의의 ring은 항상 자기 자신 위의 module이다. 만일 \(A\)를 left \(A\)-module로 본다면 \(A\)의 submodule은 정확히 \(A\)의 left ideal과 같고, 마찬가지로 \(A\)를 right \(A\)-module로 본다면 \(A\)의 submodule은 정확히 \(A\)의 right ideal과 같다.

한편 우리가 quotient ring을 정의할 때 two-sided ideal만 생각했던 이유를 다시 생각해보면, left ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 quotient module \(A/\mathfrak{a}\)는 (ring의 구조는 갖지 않더라도) 여전히 left \(A\)-module이 된다는 것을 확인할 수 있으며 right ideal의 경우도 마찬가지이다.

선형사상

정의 6 두 \(A\)-module \(M\), \(N\)에 대하여, \(M\)에서 \(N\)으로의 \(A\)-linear map은 다음 두 조건

\[u(x+y)=u(x)+u(y),\qquad u(\alpha x)=\alpha u(x)\]

을 모든 \(x,y\in M\) 그리고 \(\alpha\in A\)에 대해 만족하는 함수 \(u\)를 의미한다. 혼동의 여지가 없을 경우 이를 간단히 linear map이라고만 쓰기도 한다.

명제 7 Linear map의 합성은 linear map이다. 또, bijective linear map은 항상 isomorphism이다.

증명

자명하다.

Left \(A\)-module과 \(A\)-linear map들의 category를 \(\lMod{A}\)로 적는다. Right \(A\)-module과 \(A\)-linear map들의 category는 \(\rMod{A}\)로 적는다. 또, \(\Hom_\lMod{A}(M,N)\)를 간단히 \(\Hom_A(M,N)\)으로 적기도 한다. 이들은 finitely generated \(A\)-module로 이루어진 full subcategory \(\lmod{A}\)와 \(\rmod{A}\)를 갖는다. 이들 네 category들의 zero object는 \(\{0\}\)이다.

한편, \(\lMod{A}\)의 특별한 성질 중 하나는 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)이 abelian group의 구조를 갖는다는 것이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 8 임의의 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)은 abelian group이다. 뿐만 아니라, 임의의 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow M'\)에 대하여

\[\Hom_{\lMod{A}}(u, N):\Hom_{\lMod{A}}(M',N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M,N)\]

은 abelian group들 사이의 homomorphism이다.

증명

\(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)의 임의의 두 원소 \(v,w\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)의 덧셈 \(v+w\in\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)은 다음 식

\[(v+w)(x)=v(x)+w(x)\qquad\text{for all $x\in M$}\]

으로 정의되며, 이것이 실제로 \(A\)-linear map임을 증명해야 하지만 이는 자명하다.

이제 \(\Hom_{\lMod{A}}(u,N)\)이 abelian group들 사이의 homomorphism이라는 것은 다음 식

\[\left(\Hom_{\lMod{A}}(f\u, N)(v+w)\right)(x)=(v+w)(u(x))=v(u(x))+w(u(x))=\left(\Hom_{\lMod{A}(u,N)}(v)\right)(x)+\left(\Hom_{\lMod{A}(u,N)}(w)\right)(x)\]

으로부터 자명하다.

비슷한 정리가 \(\Hom_{\lMod{A}}(M, f)\), 그리고 right \(A\)-module들에 대해서도 성립한다. 만일 \(A\)가 commutative ring이었다면, 임의의 \(u:M \rightarrow N\)에 대하여

\[(\alpha\cdot u)(x):=\alpha\cdot u(x)\qquad\text{for all $x\in M$}\]

으로 정의된 \(\cdot\)이 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\) 위에 \(A\)-module 구조를 주는 것을 알지만 \(A\)가 commutative가 아니라면, 임의의 \(\beta\in A\)에 대해

\[(\alpha\cdot u)(\beta x)=\alpha\cdot u(\beta x)=\alpha\beta u(x)\]

이고, 이를 \(\beta(\alpha u(x))=\beta\cdot(\alpha\cdot u)(x)\)으로 바꿀 방법이 마땅치 않으므로 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)은 일반적으로는 \(A\)-module 구조를 갖지는 않는다. 그 대신 \(A\)가 commutative라면 명제 8의 abelian group homomorphism이 \(A\)-linear map이라는 것까지도 보일 수 있다.

정의 9 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)에 대하여, \(u\)의 kernel과 image를 각각

\[\ker u=\{x\in M\mid u(x)=0\},\qquad \im u=\{u(x)\in N\mid x\in M\}\]

으로 정의한다.

다음은 항상 사용해왔던 isomorphism theorem이며, 그 증명 또한 이전과 동일하므로 별도로 적어두지는 않는다.

정리 10 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)이 주어졌다 하자.

  1. \(\ker u\)는 \(M\)의 submodule이며, \(x+\ker u \mapsto u(x)\)가 잘 정의된 isomorphism \(M/\ker u \rightarrow \im u\)을 정의한다.
  2. \(M\)의 두 submodule \(M',M''\)에 대하여, \(M'+M''\)과 \(M'\cap M''\)은 \(M\)의 submodule이며, isomorphism \((M'+M'')/M''\cong M'/(M'\cap M'')\)이 성립한다.
  3. \(M\)의 두 submodule \(M',M''\)이 \(M''\subseteq M'\)를 만족한다면, \(M'/M''\)는 \(M/M''\)의 submodule이고 \((M/M'')/(M'/M'')\cong M/M'\)이 성립한다.
  4. \(M\)의 submodule \(M'\)에 대하여, \(M/M'\)의 submodule들의 집합과, \(M'\)를 포함하는 \(M\)의 submodule들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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