가군

이제 우리는 임의의 ring $A$에 대하여, $A$-module을 정의하고 그 성질을 나열한다. 직관적으로 $A$-module은 $F$-벡터공간의 정의에서, field $F$만 임의의 ring $A$로 바꾼 것이며 그 성질 또한 벡터공간과 유사하다. 특히 이들이 벡터공간과 공유하는 성질들은 그 증명 또한 벡터공간에서의 증명과 동일한 아이디어를 사용하므로, module의 기초적인 성질들에 대한 증명은 생략하고 넘어간다. 한편 $A$-module에 대한 더 복잡한 내용들은 다중선형대수 카테고리에서 찾을 수 있다.

Module의 정의

정의 1 Ring $A$를 고정하자. $E$가 left $A$-module_{왼쪽 $A$-가군}이라는 것은 $E$가 additive group이고, 다음 조건들을 만족하는 $A$의 action $\cdot:A\times E \rightarrow E$이 주어진 것이다.

1. 임의의 $\alpha\in A$와 $x,y\in E$에 대하여 $\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$가 성립한다.
2. 임의의 $\alpha,\beta\in A$와 $x\in E$에 대하여 $(\alpha+\beta)\cdot x=\alpha\cdot x+\beta\cdot x$가 성립한다.
3. 임의의 $\alpha,\beta\in A$와 $x\in E$에 대하여 $(\alpha\beta)\cdot x=\alpha\cdot(\beta\cdot x)$가 성립한다.
4. 임의의 $x\in E$에 대하여 $1\cdot x=x$가 성립한다.

만일 3번 조건이 $\beta\cdot(\alpha\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$으로 바뀐다면 $E$를 right $A$-module_{오른쪽 $A$-가군}이라 부른다. 이 경우 $A$의 action $\cdot:E\times A \rightarrow E$를 $x\cdot \alpha$와 같이 오른쪽에 적는 것이 일반적이며, 그럼 3번 조건은 $x\cdot(\alpha\beta)=(x\cdot\alpha)\cdot \beta$가 되어 조금 더 자연스럽게 보인다. 한편 임의의 ring $A$에 대하여 opposite ring $A^\op$를 생각하면, 임의의 right $A$-module $E$는 left $A^\op$-module로 생각할 수 있으므로 명제들은 모두 left $A$-module에 대한 것만 증명하여도 충분하다. 따라서 앞으로 $A$-module이라 불리는 것들은 모두 left $A$-module인 것으로 생각한다. 어쨌든 대부분의 경우 $A$는 commutative일 것이므로 실제 사용할 때에는 이를 크게 신경쓰지 않아도 된다.

정의 2 $A$-module $E$와 그 원소들의 family $(x_i)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 일차결합_{linear combination}은

\[\sum_{i\in I} \alpha_i x_i,\qquad\text{$(\alpha_i)$ finitely supported}\]

의 꼴로 나타나는 원소를 의미한다.

선형사상

정의 3 두 $A$-module $E$, $F$에 대하여, $E$에서 $F$로의 $A$-linear map은 다음 두 조건

\[f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(\alpha x)=\alpha f(x)\]

을 모든 $x,y\in E$ 그리고 $\alpha\in A$에 대해 만족하는 함수 $f$를 의미한다. 혼동의 여지가 없을 경우 이를 간단히 linear map이라고만 쓰기도 한다.

선형대수학에서는 $x\mapsto\alpha x$로 정의된 $V \rightarrow V$가 항상 linear map이었지만, 이 일반화된 상황에서는 $A$가 commutative라는 보장이 없으므로 일반적으로 이것이 linear map이 될 필요는 없다.

명제 4 Linear map의 합성은 linear map이다. 또, bijective linear map은 항상 isomorphism이다.

증명은 선형대수와 동일하다.

정의 5 두 $A$-module $E,F$에 대하여, $E$에서 $F$로의 모든 $A$-linear map들의 모임을 $\Hom_A(E,F)$로 적는다.

어렵지 않게 $\Hom_A(E,F)$가 abelian group이라는 것을 확인할 수도 있지만, 앞에서와 마찬가지로 $A$가 commutative가 아니라면 $\Hom_A(E,F)$기 $A$-module일 필요는 없다.

부분가군과 몫가군

정의 6 임의의 $A$-module $E$와 그 부분집합 $M$에 대하여, 만일 $M$이 그 자체로 $A$-module 구조를 가지면 이를 submodule_부분가군이라 부른다.

한편, $A$-module $E$와, $E$의 임의의 submodule $M$에 대하여 quotient group $E/M$이 잘 정의된다. 한편 이 위에 정의된 $A$의 action을 생각해보면, 어차피 $M$이 $A$의 action에 대해 닫혀있으므로 $E/M$ 위에 $A$-module 구조를 주는 것에도 문제가 없다.

정의 7 임의의 $A$-module $E$와 그 submodule $M$에 대하여, $E/M$을 quotient module_몫가군이라 부른다.

특히 이를 통해 linear map의 kernel, cokernel, image 등등을 정의할 수 있으며, group 혹은 ring에서의 isomorphism theorem들도 동일하게 성립한다.