갈루아 군의 성질들

우리는 앞서 Galois extension과 Galois group을 정의했다. Galois theory의 핵심적인 결과는 field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여 Galois group $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$의 subgroup들의 lattice와, $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 Galois subextension들의 lattice 사이에 order-preserving bijection이 존재한다는 것이다. 많은 경우에 이 결과는 Galois group $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$이 유한한 경우만 다루지만, 우리는 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$가 무한할 경우 또한 다룰 것이므로 이를 위해서는 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$에 적절한 위상구조를 주어야 한다.

갈루아 군의 위상구조

Galois extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$이 주어졌다 하고, $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$이 이 extension의 Galois group이라 하자. 그럼 우선 우리는 집합 $\mathbb{L}$ 위에 discrete topology를 부여한 후, $\mathbb{L}$에서 $\mathbb{L}$로의 함수들의 모임 $\Fun(\mathbb{L},\mathbb{L})=\mathbb{L}^\mathbb{L}$에 product topology를 준다. 이 때 우리는 [위상수학] §곱공간의 결과로부터 이 집합의 subbase는 다음과 같은 꼴

\[U_{x,y}=\left\{\sigma\mid\sigma(x)=y \right\}\]

로 쓸 수 있는 집합들의 모임이며, $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$를 이 집합의 부분집합으로 보아 subspace topology를 부여하면 임의의 $\sigma\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$에 대하여 $\sigma$에서의 local base는 이러한 꼴의 집합들의 유한한 합집합 꼴로 나타나는 다음과 같은 형태

\[U_{x_1,\ldots,x_n}=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \text{$\tau(x_i)=\sigma(x_i)$ for all $i$}\right\}\]

의 집합들의 모임이다. 한편 위의 조건을 만족하는 함수들은 $\mathbb{L}$의 finite subextension $\mathbb{M}=\mathbb{L}(x_1,\ldots,x_n )$으로 제한했을 때 $\sigma$와 일치하는 함수들이며, 거꾸로 임의의 finite subextension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$은 이러한 방식으로 $\sigma$의 local base의 원소를 하나 정의한다. 즉 $\Lambda$를 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 finite subextension들의 모임이라 하고 임의의 $\mathbb{M}/\mathbb{K}\in \Lambda$와 임의의 $\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$에 대하여, $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$의 부분집합 $U_\mathbb{M}(\sigma)$를 다음의 식

\[U_\mathbb{M}(\sigma)=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \sigma\vert_\mathbb{M}=\tau\vert_\mathbb{M}\right\}\]

으로 정의하면 이 집합은 $\sigma$의 local base의 원소가 된다. 특히 만일 $\mathbb{L}$이 finite degree Galois extension이었다면 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K })$는 유한집합이며 그 위의 topology는 discrete topology가 되어 위상구조에 별다른 관심을 기울이지 않아도 된다.

위와 같이 정의한 위상공간 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$는 원래 $\mathbb{K}$-automorphism들의 합성을 연산으로 갖는 group이며, 이 때 함수들의 합성이 이 위상구조와 잘 어울리는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다. 즉

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\times\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K});\qquad (\sigma,\tau)\mapsto \sigma\tau^{-1}\]

이 연속이므로 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$는 topological group이다. 특히 임의의 $\sigma$에서의 local base는 identity $\id_\mathbb{L}$의 local base를 translation map을 따라 옮긴 것으로 주어진다. 즉 임의의 $\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$에 대하여 다음의 식

\[U_\mathbb{M}(\sigma)=U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\sigma=\sigma U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]

이 성립한다. 이로부터 우리는 위의 집합 대신 다음의 집합

\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\id_\mathbb{M}\right\}\]

만 살펴보아도 되는 것을 안다. 그럼 이 표기로부터

\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\subseteq U_\mathbb{N}(\id_\mathbb{L})\iff \mathbb{M}\supseteq \mathbb{N}\]

인 것을 안다. 뿐만 아니라, 위의 설명에서 $\Lambda$를 finite degree Galois extension들의 모임 $\Lambda’$으로 대체해도 달라지는 것은 없다. 즉 $\Lambda’$는 $\Lambda$의 cofinal subset이며 따라서 $(U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L}))_{\mathbb{M}\in\Lambda}$도 $\id_\mathbb{L}$의 local base이다. 이는 §갈루아 확장, ⁋명제 11로부터 분명하다.

이제 §갈루아 확장, ⁋명제 13에서 살펴보았던 restriction homomorphism $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})$을 생각하자. $\mathbb{M}$의 임의의 finite degree subextension은 $\mathbb{L}$의 finite degree extension이기도 하므로, 이 restriction homomorphism은 연속이다.

특별히 $\mathbb{M}\in\Lambda’$라 하자. 그럼 restriction homomorphism

\[\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\]

는 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$에서 finite discrete space $\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})$로의 연속함수이므로 이 함수의 kernel은 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$의 closed subgroup이다. 그런데 정의에 의해

\[\sigma\in\ker\rho\iff \sigma\vert_\mathbb{M}=\id\vert_\mathbb{M}\iff\sigma\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]

이므로 각각의 $U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})$들은 clopen이다. 한편 임의의 clopen set은 항상 connected component들의 합집합으로 쓸 수 있고, 따라서 clopen set들의 공집합이 아닌 임의의 교집합은 connected component를 포함해야 한다. 그러나 다음이 성립한다.

명제 1 위의 상황에서 다음의 식 \(\{\id_\mathbb{L}\}=\bigcap_{\mathbb{M}\in \Lambda'}U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)

이 성립한다.

증명

임의의 $\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$이 주어졌다 하자. 만일 $\sigma\neq\id_\mathbb{L}$이라면 $\sigma(x)\neq x$이도록 하는 $x\in \mathbb{L}$이 존재한다. 그럼 $\mathbb{M}\mathbb{K}(x)$으로 잡으면 $\sigma\not\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})$이 성립한다. 이제 앞서 살펴본 것과 같이 $\Lambda’$이 $\Lambda$의 cofinal subset이므로 원하는 결과를 얻는다.

따라서, 이 명제의 결과에 의해 $\id_\mathbb{L}$을 포함하는 connected component는 $\left\{\id_\mathbb{L}\right\}$이며, 이로부터 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$이 totally disconnected space임을 안다. [위상수학] §, ⁋