우리는 앞서 Galois extension과 Galois group을 정의했다. Galois theory의 핵심적인 결과는 field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 subgroup들의 lattice와, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 Galois subextension들의 lattice 사이에 order-preserving bijection이 존재한다는 것이다. 많은 경우에 이 결과는 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 유한한 경우만 다루지만, 우리는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)가 무한할 경우 또한 다룰 것이므로 이를 위해서는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 적절한 위상구조를 주어야 한다.
갈루아 군의 위상구조
Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 주어졌다 하고, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 이 extension의 Galois group이라 하자. Galois group은 어쨌든 집합 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로 가는 함수들의 모임이므로 우리는 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로의 함수들의 모임 \(\Fun(\mathbb{L},\mathbb{L})=\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에 위상구조를 준다면 이 집합의 부분집합으로서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 위상구조를 줄 수 있다. ([위상수학] §부분공간, ⁋정의 1)
이를 위해 \(\mathbb{L}\) 위에 discrete topology를 부여하자. ([위상수학] §열린집합, ⁋예시 2) 우리는 [위상수학] §곱공간의 결과로부터 이 집합의 subbase는 다음과 같은 꼴
\[U_{x,y}=\left\{\sigma\mid\sigma(x)=y \right\}\]로 쓸 수 있는 집합들의 모임임을 알고 있으므로, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 subspace topology를 부여하면 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여 다음과 같은 형태
\[U_{x_1,\ldots,x_n}=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \text{$\tau(x_i)=\sigma(x_i)$ for all $i$}\right\}\]의 집합들의 모임이 \(\sigma\)에서의 local base임을 안다. ([위상수학] §위상공간의 기저, ⁋정의 4)
한편 위의 조건을 만족하는 함수들은 \(\mathbb{L}\)의 finite subextension \(\mathbb{M}=\mathbb{L}(x_1,\ldots,x_n )\)으로 제한했을 때 \(\sigma\)와 일치하는 함수들이며, 거꾸로 임의의 finite subextension \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)은 이러한 방식으로 \(\sigma\)의 local base의 원소를 하나 정의한다. 즉 \(\Lambda\)를 extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 finite subextension들의 모임이라 하고 임의의 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\in \Lambda\)와 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 부분집합 \(U_\mathbb{M}(\sigma)\)를 다음의 식
\[U_\mathbb{M}(\sigma)=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \sigma\vert_\mathbb{M}=\tau\vert_\mathbb{M}\right\}\]으로 정의하면 이 집합은 \(\sigma\)의 local base의 원소가 되며, 이들을 모아둔 \((U_\mathbb{M}(\sigma))_{\sigma\in\Lambda}\)가 정확히 \(\sigma\)에서의 local base이다.
예시 1 특별히 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 finite degree Galois extension인 경우를 생각하자. 그럼 §갈루아 확장, ⁋정의 12이후의 논의로부터 우리는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 유한집합인 것을 안다. 한편 위의 local base로부터, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 finite degree이므로 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 이미 \(\Lambda\)의 원소이고 따라서
\[U_\mathbb{L}(\sigma)=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \sigma\vert_\mathbb{L}=\tau\vert_\mathbb{L}\right\}=\left\{\sigma\right\}\]이므로 이 경우 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 discrete topology가 주어진 집합이 된다.
한편, 위와 같이 정의한 위상공간 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 원래 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 합성을 연산으로 갖는 group이며, 이 때 함수들의 합성이 이 위상구조와 잘 어울리는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.
명제 2 위에서 정의한 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 topological group이다.
증명
즉 두 homomorphism
\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\times\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K});\quad (\sigma,\sigma')\mapsto \sigma\sigma',\qquad \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K});\quad \sigma\mapsto \sigma^{-1}\]이 연속임을 보여야한다. 우선 \(\sigma\sigma'\)의 임의의 local base의 원소 \(U_\mathbb{M}(\sigma\sigma')\)를 생각하면 정의에 의하여
\[U_\mathbb{M}(\sigma\sigma')=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\sigma\sigma'\vert_\mathbb{M}\right\}\]이며 따라서 당연한 이유로 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\times\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 열린집합 \(U_\mathbb{M}(\sigma)\times U_\mathbb{M}(\sigma')\)는 위의 집합의 preimage에 속하고 따라서 multiplication map은 연속이다.
비슷한 방식으로 \(\sigma^{-1}\)의 local base \(U_\mathbb{M}(\sigma^{-1})\)은 다음의 식
\[U_\mathbb{M}(\sigma^{-1})=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\sigma^{-1}\vert_\mathbb{M}\right\}\]으로 주어지며, 이 때 \(\sigma\)의 local base \(U_\mathbb{M}(\sigma)\)를 생각하면 이 집합은 위의 집합의 preimage에 속한다.
특히 임의의 \(\sigma\)에서의 local base는 identity \(\id_\mathbb{L}\)의 local base를 translation map을 따라 옮긴 것으로 주어진다. 즉 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여 다음의 식
\[U_\mathbb{M}(\sigma)=U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\sigma=\sigma U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]이 성립한다. 이로부터 우리는 위의 집합 대신 다음의 집합
\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\id_\mathbb{M}\right\}\]만 살펴보아도 되는 것을 안다. 그럼
\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\subseteq U_\mathbb{N}(\id_\mathbb{L})\iff \mathbb{M}\supseteq \mathbb{N}\]이며, 위의 표기로부터 집합으로서는
\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\]인 것을 안다. 이 때 우측의 inclusion은 단순히 \(\mathbb{M}\)-automorphism을 \(\mathbb{K}\)-automorphism으로 보아 얻어지는 것이며, 뿐만 아니라 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)에 정의된 위상구조가 정확히 \(U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)과 같다는 것을 안다.
이제 finite degree Galois extension들의 모임 \(\Lambda'\)를 생각하면 §갈루아 확장, ⁋명제 11에 의해 이것이 \(\Lambda\)의 cofinal subset임을 안다. 즉 \((U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L}))_{\mathbb{M}\in\Lambda}\)도 \(\id_\mathbb{L}\)의 local base이다. 그럼 임의의 \(\mathbb{M}\in \Lambda'\)에 대하여 §갈루아 확장, ⁋명제 13에서 살펴보았던 restriction homomorphism \(\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)을 생각하면, \(\mathbb{M}\)의 임의의 finite degree subextension은 \(\mathbb{L}\)의 finite degree extension이기도 하므로 이 restriction homomorphism은 위에서 정의한 위상구조에 대하여 연속이다. 이와 같은 상황에서 \(\rho\)는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에서 finite discrete space \(\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)로의 연속함수이므로 (예시 1), \(\ker\rho\)는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closed subgroup이다. 그런데 정의에 의해
\[\sigma\in\ker\rho\iff \sigma\vert_\mathbb{M}=\id\vert_\mathbb{M}\iff\sigma\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]이므로 각각의 \(U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)들은 clopen이다. 한편 임의의 clopen set은 항상 connected component들의 합집합으로 쓸 수 있고, 따라서 clopen set들의 공집합이 아닌 임의의 교집합은 connected component를 포함해야 한다. 그러나 다음이 성립한다.
명제 3 위의 상황에서 다음의 식
\[\{\id_\mathbb{L}\}=\bigcap_{\mathbb{M}\in \Lambda'}U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]이 성립한다.
증명
임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 주어졌다 하자. 만일 \(\sigma\neq\id_\mathbb{L}\)이라면 \(\sigma(x)\neq x\)이도록 하는 \(x\in \mathbb{L}\)이 존재한다. 그럼 \(\mathbb{M}\mathbb{K}(x)\)으로 잡으면 \(\sigma\not\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)이 성립한다. 이제 앞서 살펴본 것과 같이 \(\Lambda'\)이 \(\Lambda\)의 cofinal subset이므로 원하는 결과를 얻는다.
따라서, 이 명제의 결과에 의해 \(\id_\mathbb{L}\)을 포함하는 connected component는 \(\left\{\id_\mathbb{L}\right\}\)이며, 이로부터 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 totally disconnected space임을 안다. ([위상수학] §연결공간, ⁋정의 7) 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 4 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 compact이다.
증명
우선 각각의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)는 algebraic extension이므로 \(x\)는 algebraic이고, 따라서 \(x\)와 conjugate한 원소들은 오직 유한 개 뿐이다. (§갈루아 확장, ⁋명제 3) 바꿔 말하면,
\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\hookrightarrow \prod_{x\in \mathbb{L}}\mathbb{L}\overset{\pr_x}{\longrightarrow}\mathbb{L};\qquad \sigma\mapsto \sigma(x)\]를 생각하면 이 함수의 image는 유한집합이다. 따라서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 유한집합들의 곱의 부분집합이며, 유한집합들은 compact이므로 이 곱 또한 compact이다. ([위상수학] §옹골성, ⁋정리 2) 따라서 주어진 명제를 보이는 것은 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서 closed임을 보이는 것과 같다.
함수 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서의 closure에 포함된다 하자. 만일 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 원소가 아니라면, \(u\)는 field homomorphism이 아니거나 \(u\)가 \(\mathbb{K}\)를 fix하지 않아야 한다. 첫 번째 가정을 받아들여, 가령 \(u(x+y)\neq u(x)+u(y)\)이도록 하는 \(x,y\in\mathbb{L}\)이 존재한다 하자. 그럼 다음 집합
\[\left\{f\in \mathbb{L}^\mathbb{L}\mid f(x)=u(x),f(y)=u(y),f(x+y)=u(x+y)\right\}\]은 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)의 basis 꼴의 원소이므로 열린집합이고 뿐만 아니라 \(u\)를 포함한다. 즉, 이 집합은 \(u\)의 open neighborhood이다. 그런데 가정에서
\[f(x+y)=u(x+y)\neq u(x)+u(y)=f(x)+f(y)\]이므로 \(f\)들 또한 field homomorphism이 되지 않는다. 즉, 위의 open neighborhood는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)와 만나지 않고 이는 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closure에 속한다는 가정에 모순이다. 비슷한 논리로 다른 경우의 수 또한 모두 배제할 수 있으며 이로부터 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서 closed임을 증명할 수 있다.
한편 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 Galois extension이라 하고, 이 extension의 Galois subextension \(\mathbb{L}_i/\mathbb{K}\)들이 \(\mathbb{L}=\bigcup_{i\in I}\mathbb{L}_i\)를 만족한다 하자. 그럼 우리는 이 위에 partial order
\[i\leq j \iff \mathbb{L}_i\subset \mathbb{L}_j\]를 주고, 이러한 partial order 하에서 다음의 restriction map들
\[\rho_{ij}:\Gal(\mathbb{L}_j/\mathbb{K}) \rightarrow \Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\qquad \text{whenever $i\leq j$}\]을 정의할 수 있다. 그럼 이들은 contunuous homomorphism이며, 따라서 이들의 inverse limit
\[\varprojlim_{i\in I}\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\]과 canonical morphism들 \(\rho_i:\varprojlim \Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)들이 존재한다.
한편 restriction map들
\[\lambda_i:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\]을 생각하면, 이들은 \(\lambda_i=\rho_{ij}\circ\lambda_j\)를 만족하므로 이들이 유도하는 continuous homomorphism \(\lambda:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\varprojlim\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)이 존재한다.
명제 5 위에서 정의한 \(\lambda\)는 topological group들 사이의 isomorphism을 정의한다.
증명
명제 3에 의하여 \(\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)이 Hausdorff이며, Hausdorff space의 곱과 부분공간은 다시 Hausdorff이므로 이들의 inverse limit \(\varprojlim \Gal9\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\) 또한 Hausdorff이다. 한편 명제 4에서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 compact이므로, [위상수학] §옹골공간, ⁋명제 9에 의하여 주장은 \(\lambda\)가 전단사임만 보이면 충분하미, 이는 \(\mathbb{L}= \bigcup \mathbb{L}_i\)로부터 거의 자명하다.
특히 이 명제는 family \(\Lambda'\)에 대하여 잘 적용된다.
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