토릭 다양체의 동기
토릭 기하학(toric geometry)은 대수적 다양체의 특별한 클래스인 토릭 다양체(toric varieties)를 연구하는 분야이다. 토릭 다양체는 대수적 기하학과 볼록 기하학(convex geometry) 사이의 놀라운 연결을 제공하며, 많은 대수기하학적 문제를 조합론적인 문제로 바꾸어 해결할 수 있게 한다.
우리는 먼저 가장 간단한 형태인 아핀 토릭 다양체(affine toric varieties)부터 시작한다.
격자와 콘
토릭 기하학에서 기본이 되는 것은 격자(lattice)이다.
정의 1 격자(lattice) $N$은 $\mathbb{Z}^n$과 동형인 아벨 군이다. 쌍대 격자(dual lattice) $M$은 $N$에서 $\mathbb{Z}$로의 준동형사상들의 그룹
\[M = \operatorname{Hom}(N, \mathbb{Z})\]이다. $M$과 $N$ 사이의 쌍대 페어링(dual pairing) $\langle \cdot, \cdot \rangle: M \times N \to \mathbb{Z}$는 자연스럽게 정의된다.
우리는 $N_{\mathbb{R}} = N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$과 $M_{\mathbb{R}} = M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$을 자주 사용할 것이다.
정의 2 $N_{\mathbb{R}}$의 부분집합 $\sigma$가 다음 조건을 만족할 때 강한 정초 유리 다면체 콘(strongly convex rational polyhedral cone)이라 한다:
- $\sigma$는 원점을 꼭짓점으로 하는 콘이다: $\lambda v \in \sigma$ for all $v \in \sigma$, $\lambda \ge 0$
- $\sigma$는 유한 개의 벡터 $v_1, \ldots, v_s \in N$의 음이 아닌 실수 조합으로 생성된다: \(\sigma = \mathbb{R}_{\ge 0} v_1 + \cdots + \mathbb{R}_{\ge 0} v_s\)
- $\sigma$는 강한 정초(strongly convex)이다: $\sigma \cap (-\sigma) = {0}$
조건 3은 콘이 원점을 통과하는 직선을 포함하지 않는다는 것을 의미한다.
정의 3 콘 $\sigma$의 면(face) $\tau$는 어떤 $u \in M_{\mathbb{R}}$에 대해
\[\tau = \sigma \cap u^{\perp} = \{ v \in \sigma \mid \langle u, v \rangle = 0 \}\]로 얻어진다. $\tau$가 $\sigma$의 면일 때 $\tau \prec \sigma$라고 쓴다.
아핀 토릭 다양체
콘 $\sigma$가 주어지면, 우리는 이에 대응하는 쌍대 콘(dual cone)
\[\sigma^\vee = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v \rangle \ge 0 \text{ for all } v \in \sigma \}\]을 정의할 수 있다.
정의 4 콘 $\sigma$에 대해, 세미그룹(semigroup)
\[S_\sigma = \sigma^\vee \cap M\]을 정의한다. 이 세미그룹의 세미그룹 대수(semigroup algebra)는
\[\mathbb{C}[S_\sigma] = \mathbb{C}[\chi^u \mid u \in S_\sigma]\]이다. 여기서 $\chi^u$는 문자(character)로, $M$의 원소 $u$에 대응되는 단항식이다.
정의 5 강한 정초 유리 다면체 콘 $\sigma \subseteq N_{\mathbb{R}}$에 대해, 아핀 토릭 다양체(affine toric variety) $U_\sigma$를
\[U_\sigma = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[S_\sigma])\]로 정의한다.
예시 1 $\sigma = {0}$인 경우, $\sigma^\vee = M_{\mathbb{R}}$이므로 $S_\sigma = M$이다. 따라서
\[\mathbb{C}[S_\sigma] = \mathbb{C}[M] = \mathbb{C}[\chi^{\pm e_1^\ast}, \ldots, \chi^{\pm e_n^\ast}]\]이며, 이것은 대수적 토러스(algebraic torus) $T_N = N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}^\ast \cong (\mathbb{C}^\ast)^n$의 좌표환에 해당한다.
예시 2 $N = \mathbb{Z}^2$에서 $\sigma$가 $e_1$과 $e_2$로 생성되는 경우를 생각하자. 그러면
\[\sigma^\vee = \mathbb{R}_{\ge 0} e_1^\ast + \mathbb{R}_{\ge 0} e_2^\ast\]이므로 $S_\sigma = \mathbb{Z}_{\ge 0}^2$이고,
\[\mathbb{C}[S_\sigma] = \mathbb{C}[\chi^{e_1^\ast}, \chi^{e_2^\ast}] = \mathbb{C}[X, Y]\]이다. 따라서 $U_\sigma = \mathbb{C}^2$이다.
예시 3 (이차 원뿔) $N = \mathbb{Z}^2$에서 $\sigma$가 $e_2$와 $2e_1 - e_2$로 생성되는 경우를 생각하자.
쌍대 콘 $\sigma^\vee$를 구하기 위해, $u = ae_1^\ast + be_2^\ast \in M_{\mathbb{R}}$이 $\sigma^\vee$에 속할 조건을 생각하자. $\langle u, e_2 \rangle = b \ge 0$이고 $\langle u, 2e_1 - e_2 \rangle = 2a - b \ge 0$이어야 한다. 따라서 $b \ge 0$이고 $2a \ge b$이다.
$\sigma^\vee$의 극소 생성원은 $e_1^\ast$와 $2e_1^\ast + e_2^\ast$이다. Gordan의 보조정리에 의해 $S_\sigma = \sigma^\vee \cap M$의 생성원은 $e_1^\ast$, $e_1^\ast + e_2^\ast$, $e_1^\ast + 2e_2^\ast$이다.
따라서
\[\mathbb{C}[S_\sigma] = \mathbb{C}[\chi^{e_1^\ast}, \chi^{e_1^\ast + e_2^\ast}, \chi^{e_1^\ast + 2e_2^\ast}] = \mathbb{C}[X, XY, XY^2]\]이다. 이것을 $U = X$, $V = XY$, $W = XY^2$로 두면 $V^2 = UW$이므로,
\[\mathbb{C}[S_\sigma] \cong \mathbb{C}[U, V, W] / (V^2 - UW)\]이다. 따라서 $U_\sigma$는 이차 원뿔(quadric cone)이다.
토러스 작용
아핀 토릭 다양체의 중요한 성질 중 하나는 대수적 토러스의 자연스러운 작용이다.
명제 1 아핀 토릭 다양체 $U_\sigma$ 위에 대수적 토러스 $T_N = N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}^\ast$가 다음과 같이 작용한다:
\[t \cdot \chi^u = \chi^u(t) \cdot \chi^u\]여기서 $t \in T_N$이고 $\chi^u(t)$는 문자 $\chi^u$의 $t$에서의 값이다.
이 작용은 $U_\sigma$ 안에 열린 조밀한(dense open) 토러스 궤도(orbit)를 가진다. 이 궤도는 정확히 토러스 $T_N$ 자체이다.
명제 2 $\tau$가 $\sigma$의 면일 때, $U_\tau$는 $U_\sigma$의 주 열린 부분집합(principal open subset)이다. 구체적으로, $u \in S_\sigma$를 $\tau = \sigma \cap u^{\perp}$를 만족하는 것으로 선택하면
\[U_\tau = \{ x \in U_\sigma \mid \chi^u(x) \neq 0 \}\]이다.
이 명제는 작은 콘이 더 작은 열린 집합에 대응된다는 것을 보여준다. 이것이 바로 $N$에서의 기하학이 $M$에서의 기하학보다 선호되는 이유이다.
기본 성질
명제 3 아핀 토릭 다양체 $U_\sigma$에 대해 다음이 성립한다:
- $U_\sigma$는 정규(normal) 다양체이다. (증명은 Gordan의 보조정리를 사용한다.)
- $U_\sigma$는 기약(irreducible)이다.
- $U_\sigma$의 차원은 $n$이다 (여기서 $N \cong \mathbb{Z}^n$).
명제 4 모든 아핀 토릭 다양체 $U_\sigma$는 토러스 $T_N$을 열린 조밀한 부분집합으로 포함한다.
참고문헌
[Ful] William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1993.
[CLS] David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011.
댓글남기기