Extension by linearity
정리 1 (Extension by linearity) 임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와 basis \(\mathcal{B}\)가 주어졌다 하자. 또 다른 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(W\)에 대하여,
여기서 \(\iota:\mathcal{B}\rightarrow V\)는 포함관계 \(\mathcal{B}\hookrightarrow V\)를 의미한다.
증명
주어진 함수 \(g\)에 대하여, 해당 조건을 만족하는 linear map \(G\)가 유일해야 한다는 것은 자명하다. 왜냐하면, 만일 \(G':V\rightarrow W\)가 주어진 조건을 만족하는 또 다른 linear map이라면, 임의의 \(v\in V\)에 대하여
\[v=\sum_{x\in \mathcal{B}}v_xx\]라 하면
\[\begin{aligned}(G-G')\left(\sum_{x\in \mathcal{B}}v_xx\right)&=\sum_{x\in\mathcal{B}}v_x(G-G')(x)=\sum_{x\in\mathcal{B}}v_x(G-G')(\iota(x))\\&=\sum_{x\in\mathcal{B}}v_x(G\circ \iota-G'\circ\iota)(x)=\sum_{x\in\mathcal{B}}v_x(g-g)(x)=0\end{aligned}\]이 되기 때문이다.
이제 \(G\)를 실제로 만들어야 한다. 당연히 임의의 \(v=\sum_{x\in\mathcal{B}}v_xx\)에 대하여,
\[G(v)=\sum_{x\in\mathcal{B}} v_xg(x)\]로 정의하는 것이 자연스럽다. \(v\)를 \(B\)의 원소들의 일차결합으로 쓰는 방법은 유일하므로, \(G\)는 잘 정의되었으며 어렵지 않게 \(G\)가 linear map이 된다는 것을 증명할 수 있다.
즉, 다음의 diagram이 항상 commute하도록 하는 \(G:V\rightarrow W\)를 찾을 수 있다.
반대로 임의의 linear map \(G:V\rightarrow W\)가 주어진다면 이를 \(\mathcal{B}\)로 제한하여 함수 \(g=G\circ\iota\)를 정의할 수 있으며, 위 정리의 유일성 파트에 의하여 이 등식을 만족하는 linear map은 오직 \(G\) 뿐이다. 따라서 다음 두 집합 사이의 전단사함수가 존재한다.
\[\{\text{functions from $\mathcal{B}$ to $W$}\}\longleftrightarrow\{\text{linear maps from $V$ to $W$}\}\]즉 \(V\)에서 \(W\)로의 linear map은 \(L\)이 basis \(\mathcal{B}\) 위에서 어떻게 행동하는지에 의해 완벽하게 결정되며, 만일 \(V\)가 유한차원이었다면 이는 linear map \(L\)이 오직
특별히 공역 \(W\) 또한 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이라 가정하고, \(V\)의 기저 \(\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}\), 그리고 \(W\)의 기저 \(\mathcal{C}=\{y_1,\ldots,y_m\}\)를 고정하자. 그럼 앞선 논증에 의해 \(V\)에서 \(W\)로의 linear map \(L\)은 \(W\)의 \(n\)개의 벡터들
\[L(x_1),L(x_2)\ldots, L(x_n)\]에 의해 완벽하게 결정되며, \(W\)의 원소로서 이들은 다시 \(\mathcal{C}\)의 원소들의 일차결합
\[\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{11}y_1+\alpha_{21}y_2+\cdots+\alpha_{m1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{12}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{m2}y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1n}y_1+\alpha_{2n}y_2+\cdots+\alpha_{mn}y_m\end{aligned}\tag{1}\]으로 표현해줄 수 있다. 그럼 \(V\)의 임의의 원소에서의 \(L\)의 값은 스칼라들 \(\alpha_{i,j}\), 좌표표현 \(v=\sum_{i=1}^n v_ix_i\)에서 등장하는 스칼라들 \(v_1,\ldots, v_n\)들을 이용해 basis \(\mathcal{C}\)에 의한 일차결합으로 나타낼 수 있다.
\[\begin{aligned}L(v_1x_1)&=\alpha_{11}v_1y_1+\alpha_{21}v_1y_2+\cdots+\alpha_{m1}v_1y_m\\L(v_2x_2)&=\alpha_{12}v_2y_1+\alpha_{22}v_2y_2+\cdots+\alpha_{m2}v_2y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(v_nx_n)&=\alpha_{1n}v_ny_1+\alpha_{2n}v_ny_2+\cdots+\alpha_{mn}v_ny_m\end{aligned}\]이므로, 각 변을 더하면 좌변은
\[L(v_1x_1)+L(v_2x_2)+\cdots+L(v_nx_n)=L(v_1x_1+v_2x_2+\cdots+v_nx_n)=L(v)\]그리고 우변은
\[(\alpha_{11}v_1+\alpha_{12}v_2+\cdots+\alpha_{1n}v_n)y_1+(\alpha_{21}v_1+\alpha_{22}v_2+\cdots+\alpha_{2n}v_n)y_2+\cdots+(\alpha_{m1}v_1+\alpha_{m2}v_2+\cdots+\alpha_{mn}v_n)y_m\]이 된다. 따라서 \(L\)은 다음의 대응
\[v=\sum_{i=1}^n v_ix_i\quad\mapsto\quad \sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n\alpha_{ji}v_i\right)y_j=L(v)\]으로 이해할 수 있다.
위의 정리를 이용하면 [집합론] §Retraction과 section, ⁋명제 1에 대응되는 다음 명제를 증명할 수 있다.
따름정리 2 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 linear map \(L:V\rightarrow W\)가 주어졌다 하자.
- 만일 \(L\)이 단사함수라면, 적당한 linear map \(R:W\rightarrow V\)가 존재하여 \(R\circ L=\id_V\)이다.
- 만일 \(L\)이 전사함수라면, 적당한 linear map \(S:W\rightarrow V\)가 존재하여 \(L\circ S=\id_W\)이다.
증명
-
우선 \(L\)이 단사함수라 하고, \(V\)의 basis \(x_1,\ldots,x_n\)을 택하자. 그럼 \(L(x_1),\ldots, L(x_n)\)은 일차독립이고, 따라서 이들을 포함하는 \(W\)의 basis \(\mathcal{B}\)를 찾을 수 있다. 이제 함수 \(r:\mathcal{B}\rightarrow V\)를 다음의 식
\[r(v)=\begin{cases}x_i&\text{if $v=L(x_i)$}\\0&\text{otherwise}\end{cases}\]으로 정의하고, 여기에 정리 1을 적용하여 얻어진 linear map을 \(R\)이라 하자. 그럼 \(V\)의 basis \(\{x_1,\ldots,x_n\}\)의 임의의 원소 \(x_i\)에 대하여 \((R\circ L)(x_i)=x_i\)이고, 따라서 정리 1의 유일성 부분에 의하여 \(R\circ L=\id_V\)가 성립한다.
-
\(L\)이 전사함수라 하고, \(V\)의 basis \(x_1,\ldots,x_n\)을 택하자. 그럼 \(L(x_1),\ldots, L(x_n)\)은 \(W\)를 span하므로 이 벡터들 중 일부를 택하여 \(W\)의 basis \(\mathcal{B}\)를 찾을 수 있다. 일반성을 잃지 않고 \(\mathcal{B}=\{L(x_1),\ldots, L(x_m)\}\) (\(m\leq n\))이라 하자. 함수 \(s:\mathcal{B}\rightarrow V\)를 다음의 식
\[s(v)=x_k\qquad v=L(x_k)\]으로 정의하고, 여기에 정리 1을 적용하여 얻어진 linear map을 \(S\)라 하자. 이제 \(W\)의 basis \(\mathcal{B}\)의 임의의 원소 \(L(x_k)\)에 대하여 \((L\circ S)(L(x_k))=L(x_k)\)이므로 다시 정리 1의 유일성 부분에 의하여 \(L\circ S=\id_W\)가 성립한다.
선형사상들의 공간
보조정리 3 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\), \(W\)를 생각하자. \(L,L_1,L_2\)이 \(V\)에서 \(W\)로의 linear map들이고, \(\alpha\in\mathbb{K}\)라면
\[L_1+L_2:v\mapsto L_1(v)+L_2(v),\qquad \alpha L:v\mapsto \alpha L(v)\]들도 linear이다.
증명
\(v, v_1,v_2\in V\)이고, \(\alpha\in\mathbb{K}\)라 하자. 그럼
\[\begin{aligned} (L_1+L_2)(v_1+v_2)&=L_1(v_1+v_2)+L_2(v_1+v_2)\\ &=L_1(v_1)+L_1(v_2)+L_2(v_1)+L_2(v_2)\\ &=L_1(v_1)+L_2(v_1)+L_1(v_2)+L_2(v_2)\\ &=(L_1+L_2)(v_1)+(L_1+L_2)(v_2) \end{aligned}\]이고,
\[\begin{aligned} (L_1+L_2)(\alpha v)&=L_1(\alpha v)+L_2(\alpha v)=\alpha L_1(v)+\alpha L_2(v)\\ &=\alpha(L_1(v)+L_2(v))\\ &=\alpha (L_1+L_2)(v). \end{aligned}\]이므로 \(L_1+L_2\)은 linear map이 된다. 두 번째 주장도 비슷하게 보일 수 있다.
따라서, 다음을 정의할 수 있다.
정의 4 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)에 대하여, \(V\)에서 \(W\)로의 linear map들의 집합에 보조정리 3의 연산을 준 \(\mathbb{K}\)-벡터공간을 \(\Hom_\mathbb{K}(V,W)\), 혹은 문맥에 따라 field \(\mathbb{K}\)가 명확할 때는 \(\Hom(V,W)\)로 적는다.
특별히 \(W=\mathbb{K}\)일 경우, \(\Hom(V,\mathbb{K})\)를 \(V\)의 dual space쌍대공간이라 부르고 \(V^\*\)으로 적는다. \(V^\ast\)의 원소들을 linear functional들이라 부른다.
벡터공간 \(\Hom(V,W)\)에서 영벡터에 해당하는 원소는 모든 원소를 0으로 보내는 함수 \(0\)이다. (§선형사상, ⁋예시 10) 이 함수를 지칭할 때는 편의상 영함수라 지칭하자.
두 공간 \(V,W\)가 모두 유한차원이고, \(\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}\), \(\mathcal{C}=\{y_1,\ldots, y_m\}\)이 \(V,W\) 각각의 basis라 하자. \(\mathcal{B}\)에서 \(W\)로의 \(mn\)개의 함수들
\[f_i^j(x)=\begin{cases}y_j&\text{if $x=x_i$}\\0&\text{otherwise}\end{cases}\]을 생각하자. 즉 \(f_i^j\)는
명제 5 두 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)가 각각 basis \(\{x_1,\ldots,x_n\}\), \(\{y_1,\ldots,y_m\}\)을 갖는다 하자. 그럼 \(\Hom(V,W)\)는 \(mn\)차원 벡터공간이며, 이 때 위의 \(mn\)개의 linear map들 \(B_i^j\)가 \(\Hom(V,W)\)의 basis가 된다.
증명
Basis에 대한 주장만 보이면 충분하다.
우선 \(B_i^j\)들은 일차독립이다. 스칼라들 \(\alpha_{11},\ldots,\alpha_{mn}\)에 대하여,
\[\alpha_{11}B_1^1+\alpha_{12}B_2^1+\cdots+\alpha_{mn}B_n^m=0\]이라 가정하자. 즉 양 변은 \(V\)에서 \(W\)로의 영함수이며, 따라서 임의의 \(v\in V\)에 대하여 다음의 식
\[\alpha_{11}B_1^1(v)+\alpha_{12}B_2^1(v)+\cdots+\alpha_{mn}B_n^m(v)=0\]이 성립한다. 특히 이 식은 \(v=x_1,\ldots, x_n\)일 때에도 성립하며, 이 때
\[\alpha_{11}B_1^1(x_k)+\alpha_{12}B_2^1(x_k)+\cdots+\alpha_{mn}B_n^m(x_k)=0\]이다. 그런데 \(B_i^j\)의 정의에 의하여, \(B_i^j(x_k)\)는 오직 \(i=k\)일 때만 값 \(y_j\)가 나오므로 위의 식은
\[\alpha_{1k}y_1+\alpha_{2k}y_2+\cdots+\alpha_{mk}y_k=0\]이 된다. 이제 \(y_1,\ldots,y_k\)는 일차독립이므로 \(\alpha_{1k},\ldots,\alpha_{mk}\)는 모두 \(0\)이다. \(k\)는 임의로 택할 수 있으므로 \(\alpha_{11},\ldots,\alpha_{mn}\)는 모두 0이고 \(B_i^j\)는 일차독립이다.
한편 이들 \(B_i^j\)는 \(\Hom(V,W)\)를 span한다. 임의의 \(L\in\Hom(V,W)\)가 주어졌다 하자. 그럼 도입부의 식 (1)을 만족하는 스칼라들 \(\alpha_{11},\ldots,\alpha_{mn}\)을 찾을 수 있다. 이제 다음의 식
\[L'(v)=\sum_{i,j}\alpha_{ji}B_i^j(v)\]으로 정의된 \(L'\)는 linear map이다. 뿐만 아니라, \(v=x_k\)를 대입하면
\[L'(x_k)=\sum_{i,j}\alpha_{ji}B_i^j(x_k)=\sum_{j=1}^m\alpha_{jk}B_k^j(x_k)=\sum_{j=1}^m\alpha_{jk}y_j=L(x_k)\]가 된다. 이제 정리 1의 유일성 파트에 의하여 \(L'=L\)이 성립한다.
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