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Grad. student in mathematics

국소환

이번 글에서 우리는 localization을 정의한다. 간단히 이야기해서 localization은 ring \(A\)를 local ring으로 만드는 과정이라 생각할 수 있다.

정의 1 Ring \(A\)가 local ring국소환이라는 것은 \(A\)가 유일한 maximal ideal을 갖는 것이다.

그럼 다음 동치관계를 보일 수 있다.

명제 2 Ring \(A\)에 대하여, 다음이 동치이다.

  1. \(A\)가 local ring이다.
  2. \(A\)의 임의의 non-unit은 모두 \(A\)의 어떠한 ideal \(\mathfrak{m}\subsetneq A\)에 속한다.
  3. \(A\)의 모든 non-unit을 모아둔 것이 ideal을 이룬다.
증명

우선 1번을 가정하고, \(A\)의 임의의 non-unit \(a\in A\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((a)\)는 \(A\)의 ideal이므로 [대수적 구조] §환의 정의, ⁋정리 9에 의하여 어떠한 maximal ideal에 포함된다. 그런데 \(A\)는 유일한 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)을 가지므로, \((a)\subseteq \mathfrak{m}\)일 수밖에 없고, 따라서 \(a\in \mathfrak{m}\)이다.

이제 2번을 가정하고 3번을 보이자. 이를 위해서는 \(A\)의 non-unit들을 모아둔 것이 덧셈에 대해 닫혀있음만 보이면 충분하다. 우선 \(\mathfrak{m}\neq A\)인 것으로부터 \(\mathfrak{m}\)은 \(A\)의 unit을 포함하지 않음을 안다. 이로부터 \(A\)의 non-unit을 모두 모아두면 반드시 이것이 \(\mathfrak{m}\)과 같아야 함을 안다.

마지막으로 3번 조건을 가정하고 1번 조건을 보여야 한다. 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\subsetneq A\)에 대하여, 앞선 관찰로부터 \(\mathfrak{a}\)는 non-unit들로만 이루어져 있다는 것을 알고, 따라서 \(\mathfrak{a}\)는 \(A\)의 모든 non-unit들을 모아둔 ideal \(\mathfrak{m}\)에 속한다. 한편 \(\mathfrak{m}\)은 maximal ideal인데, 이는 \(A\setminus \mathfrak{m}\)의 임의의 원소는 \(A\)의 unit이므로, \(\mathfrak{m}\)을 포함하는 ideal은 \(A\) 뿐이기 때문이다.

가군의 국소화

앞선 글에서 설명한 것과 마찬가지로, ring의 localization을 보기 위해 우리는 더 일반적으로 module의 localization을 정의한다.

정의 3 Ring \(A\)의 부분집합 \(S\)가 multiplicatively closed곱셈에 대하여 닫혀있다인 것은 \(U\)의 원소들의 임의의 곱이 다시 \(S\)에 속하는 것이다.

특히 \(1\)은 공집합으로 index가 주어진 family의 곱으로 생각할 수 있으므로 정의에 의해 \(1\in S\)이다.

정의 4 Ring \(A\)와 \(A\)-module \(M\), 그리고 \(A\)의 multiplicative subset \(S\)에 대하여, \(S\)에서의 \(M\)의 localization국소화는 다음과 같이 정의되는 \(A\)-module \(S^{-1}M\)이다.

  1. 집합으로서 \(S^{-1}M\)은 \(M\times S\) 위에 다음과 같은 equivalence relation

    \[(x,s)\sim (x',s')\iff \text{there exists $t\in S$ such that $t(s'x-sx')=0$}\]

    을 정의하여 얻어지는 quotient set이다. 이 때 \((x,s)\)의 representative를 \(x/s\)로 표기한다.

  2. \(S^{-1}M\)의 \(A\)-module 구조는 다음과 같이 정의된다.

\[\frac{x}{s}+\frac{x'}{s'}=\frac{s'x+sx'}{ss'},\qquad a\cdot \frac{x}{s}=\frac{ax}{s}.\]

2번 조건에서 정의한 연산들이 실제로 \(A\)-module 구조를 준다는 것을 확인해야 하지만 이는 어렵지 않다. 대신 몇 가지 관찰을 추가한다. 우선 임의의 \(t\in S\)와 \(x/s\in S^{-1}M\)에 대하여,

\[\frac{tx}{ts}=\frac{x}{s}\]

가 성립한다. 이는 그냥 \(1(txs-tsx)=0\)이기 때문이다. 또, \(S^{-1}M\)에서의 덧셈에 대한 항등원과 역원 또한 살펴볼 수 있는데, 우선 임의의 \(s,s'\in S\)에 대하여

\[\frac{0}{s}=\frac{0}{s'}\]

임을 확인할 수 있으며, 다음 식

\[\frac{0}{s'}+\frac{x}{s}=\frac{x}{s}+\frac{0}{s'}=\frac{0s+s'x}{ss'}=\frac{s'x}{s's}=\frac{x}{s}\]

으로부터 이것이 \(S^{-1}M\)에서의 덧셈에 대한 항등원임을 알 수 있다. 비슷한 계산으로 임의의 \(x/s\)의 역원은 \((-x)/s\)임을 확인할 수 있다.

위의 계산들은 중학교 때부터 해오던 분수의 덧셈 및 곱셈과 다른 것이 없다. 이를 직관삼아 \(M\)에서 \(S^{-1}M\)으로의 canonical map \(\epsilon: M \rightarrow S^{-1}M\)을 \(x\mapsto x/1\)으로 정의할 수 있다. 아쉽게도 \(\epsilon\)은 일반적인 경우에는 inclusion이 되지 않을 수 있는데, 그 이유는 생각해보면 자명하며, 다음 명제에 녹아있다.

명제 5 위와 같은 상황에서, \(\epsilon(x)=0\)인 것과, 적당한 \(s\in S\)가 존재하여 \(sx=0\)인 것이 동치이다. 특히 만일 \(M\)이 finitely generated이면 \(S^{-1}M=0\)인 것과 \(M\)이 \(S\)에 의해 annihilate되는 것이 동치이다.

증명

만일

\[\epsilon(x)=x/1=0=0/1\]

이라면, 적당한 \(s\in S\)가 존재하여

\[s(1x-0\cdot1)=sx=0\]

이 성립한다. 위의 논리는 반대방향으로도 성립한다.

환의 국소화

Localization의 가장 단순한 예시는 [대수적 구조] §분수체, ⁋정의 2에서 살펴본 ring of fraction이다. 여기에서는 \(M=A\)로 잡았다. 특별히 우리는 \(A\)가 integral domain이라면 그 ring of fraction \(\Frac(A)\)가 field가 되는 것 또한 살펴보았다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 6)

또 다른 예시로, 마찬가지로 \(M=A\)로 두고, \(A\)의 prime ideal \(S=A\setminus \mathfrak{p}\)로 두어 \(A_\mathfrak{p}=S^{-1}A\)을 생각할 수 있었다. 정의 1을 이용하여 이를 임의의 \(A\)-module \(M\)에도 적용할 수 있는데, 그렇게 하여 얻어지는 \(A\)-module을 \(M_\mathfrak{p}\)로 적는다.

위의 두 예시 모두 정의 4에서 정의한 덧셈구조 및 \(A\)의 스칼라곱 외에도 곱셈구조를 가지고 있다. 명시적으로 이 구조는

\[\frac{x}{s}\frac{x'}{s'}=\frac{xx'}{ss'}\]

으로 주어지므로 \(S^{-1}A\)를 \(A\)-algebra로 생각할 수 있다.

Ring의 localization은 다음과 같은 universal property를 갖는다.

명제 6 Ring \(A,B\)와 \(A\)의 multiplicative subset \(S\)를 고정하자. 만일 ring homomorphism \(f:A \rightarrow B\)에 의한 \(S\)의 image \(f(S)\subseteq B\)가 \(f(S)\subseteq B^\times\)를 만족한다면, 유일한 ring homomorphism \(\overline{f}: S^{-1}A \rightarrow B\)가 존재하여 \(\overline{f}\circ\epsilon=f\)가 성립한다.

증명

주어진 조건을 만족하는 \(f\)가 주어졌다 하자. 만일 주어진 조건을 만족하는 \(\overline{f}: S^{-1}A \rightarrow B\)가 존재한다면, 임의의 \(a/s\in S^{-1}A\)에 대하여

\[\overline{f}\left(\frac{a}{s}\right)=\overline{f}\left(\frac{a}{1}\frac{1}{s}\right)=\overline{f}(\epsilon(a)\epsilon(s)^{-1})=\overline{f}(\epsilon(a))\overline{f}(\epsilon(s)^{-1})=f(a)f(s)^{-1}\]

이어야 하므로 \(\overline{f}\)가 존재한다면 위의 식에 의해 유일하게 결정된다. 이제 위의 식 \(\overline{f}(a/s)=f(a)f(s)^{-1}\)으로 정의한 \(\overline{f}: S^{-1}A \rightarrow B\)가 ring homomorphism임을 보이면 되고, 이는 단순한 계산에 불과하다.

이로부터 localization의 functoriality 또한 보일 수 있다.

국소화와 아이디얼

한편, localization과 ideal 사이에는 특정한 관계가 있다. 우선 다음을 정의하자.

정의 7 Ring homomorphism \(f:A \rightarrow B\)와 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\), \(B\)의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 대하여 다음을 정의한다.

  1. \(f\)에 의한 \(\mathfrak{b}\)의 contraction은 \(A\)의 ideal \(f^{-1}(\mathfrak{b})\)으로 정의하고, \(\mathfrak{b}^c\)로 적는다.
  2. \(f\)에 의한 \(\mathfrak{a}\)의 extension은 image \(f(\mathfrak{a})\)로 생성된 \(B\)의 ideal로 정의하고, \(\mathfrak{a}^e\)로 적는다.

첫 번째 정의를 하기 위해서는 \(f^{-1}(\mathfrak{b})\)가 ideal이 된다는 것을 증명해야 하지만, 이 증명은 쉽다. 위의 표기법들은 유용한 것이지만 비교적 덜 직관적이므로 이번 글이 지나면 위의 표기 대신 \(f^{-1}(\mathfrak{b})\)와 \(f(\mathfrak{a})B\)로 적을 것이다.

명제 8 임의의 ring \(A\), multiplicative subset \(S\)와 localization \(S^{-1}A\), 그리고 canonical map \(\epsilon:A \rightarrow S^{-1}A\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\subset S^{-1}A\)에 대하여, \(\mathfrak{b}=\mathfrak{b}^{ce}\)이 성립한다.

  2. 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\subset A\)에 대하여,

    \[\mathfrak{a}^{ec}=\{a\in A\mid\text{there exists $s\in S$ satisfying $sa\in \mathfrak{a}$}\}\]

    이 성립한다. 특히 \(\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\)인 것과 \(\mathfrak{a}\cap S\neq\emptyset\)인 것이 동치이다.

따라서, \(S^{-1}A\)의 prime ideal들과, \(A\)의 prime ideal들 중 \(S\)와 만나지 않는 것들 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

증명
  1. 우선 \(\mathfrak{b}^{ce}\subseteq \mathfrak{b}\)는 일반적으로 항상 성립한다. 반대 방향을 보이기 위해 \(a/s\in \mathfrak{b}\)라 하자. 그럼 \(s(a/s)=a/1\)이 \(\mathfrak{b}\)에 속해야 하므로, \(a\in \mathfrak{b}^c\)가 성립한다. 따라서 \(a/1\in \mathfrak{b}^{ce}\)이고 이로부터 \(a/s=(1/s)(a/1)\in \mathfrak{b}^{ce}\)임을 안다.
  2. 주어진 식의 우변을 편의상 \(\mathfrak{a}'\)라 적자. 그럼 우선 임의의 \(a'\in \mathfrak{a}'\)에 대하여, \(sa'\in \mathfrak{a}\)이도록 하는 \(s\)가 존재한다. 이제 \(a'/1=sa'/s\in \mathfrak{a}^e\)인 것으로부터 \(a'\in \mathfrak{a}^{ec}\)인 것을 안다. 반대로 임의의 \(a\in \mathfrak{a}^{ec}\)에 대하여, \(a/1=a'/s\)를 만족하는 \(a\in \mathfrak{a}\)와 \(s\in S\)를 찾을 수 있다. 그럼 적당한 \(t\in S\)가 존재하여 \(tsa=ta'\in \mathfrak{a}\)가 되며, 이제 \(ts\in S\)이므로 정의에 의해 \(a\in \mathfrak{a}'\)이 성립한다. 또
\[\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\iff 1/1\in \mathfrak{a}^e\iff 1\in \mathfrak{a}^{ec}\iff \text{there exists $s\in S$ s.t. $s1\in \mathfrak{a}$}\iff \mathfrak{a}\cap S\neq \emptyset\]

이다.

이제 2번 결과로부터 임의의 \(\mathfrak{b}\subseteq S^{-1}A\)가 주어졌을 때 \(\mathfrak{b}^c\)는 \(S\)와 만나지 않는 \(A\)의 prime ideal임을 안다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9) 반대로 \(\mathfrak{a}\subseteq A\)가 \(S\)와 만나지 않는 \(A\)의 prime ideal이라 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}^e\)는 \(S^{-1}A\)의 prime ideal이다. 임의의 \(b/t,b'/t'\)에 대하여 \((b/t)(b'/t')\in \mathfrak{a}^e\)라 하자. 그럼 적당한 \(a\in \mathfrak{a}\)와 \(s\in S\)가 존재하여 \((bb')/(tt')=a/s\)라 할 수 있고, 따라서 적당한 \(u\in S\)가 존재하여 \(utt'a=usbb'\in \mathfrak{a}\)이다. 이제 \(\mathfrak{a}\cap S=\emptyset\)인 것으로부터 \(us\not\in \mathfrak{a}\)인 것을 알고, \(\mathfrak{a}\)는 prime ideal이므로 \(bb'\in \mathfrak{a}\)가 성립한다. 따라서 \(b\in \mathfrak{a}\)이거나 \(b'\in \mathfrak{a}\)이고 \(\mathfrak{a}^e\)는 prime ideal이다. 이들 대응이 서로간의 inverse가 된다는 것은 2번 결과에서 자연스레 따라나오는 것이다.

위의 명제로부터 다음이 자명하다.

따름정리 9 Noetherian ring의 localization은 noetherian이다.

증명

\(S^{-1}A\)의 ideal들의 ascending chain

\[\mathfrak{b}_0\subseteq \mathfrak{b}_1\subseteq\cdots\]

가 주어졌다 하면,

\[\mathfrak{b}_0^c\subseteq \mathfrak{b}_1^c\subseteq\cdots\]

는 noetherian ring \(A\)의 ideal들의 ascending chain이므로 적당한 \(N\)이 존재하여, \(n>N\)일 때마다 \(\mathfrak{b}_n^c=\mathfrak{b}_{n+1}^c\)이다. 이제 그러한 \(n\)에 대하여

\[\mathfrak{b}_n=\mathfrak{b}_n^{ce}=\mathfrak{b}_{n+1}^{ce}=\mathfrak{b}_{n+1}\]

이다.

한편 명제 7로부터, \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(\mathfrak{p}^e=\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)의 유일한 maximal ideal이라는 것이 자명하다. 즉 \(A_\mathfrak{p}\)는 local ring이며, 그 quotient field \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 잘 정의된다.

정의 10 Ring \(A\)와 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, field \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)를 \(A\)의 \(\mathfrak{p}\)에서의 residue field잉여류체라 부르고 \(\kappa(\mathfrak{p})\)로 적는다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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