국소화

국소환

이번 글에서 우리는 localization을 정의한다. 간단히 이야기해서 localization은 ring $A$를 local ring으로 만드는 과정이라 생각할 수 있다.

정의 1 Ring $A$가 local ring_국소환이라는 것은 $A$가 유일한 maximal ideal을 갖는 것이다.

그럼 다음 동치관계를 보일 수 있다.

명제 2 Ring $A$에 대하여, 다음이 동치이다.

1. $A$가 local ring이다.
2. $A$의 임의의 non-unit은 모두 $A$의 어떠한 ideal $\mathfrak{m}\subsetneq A$에 속한다.
3. $A$의 모든 non-unit을 모아둔 것이 ideal을 이룬다.

증명

우선 1번을 가정하고, $A$의 임의의 non-unit $a\in A$가 주어졌다 하자. 그럼 $(a)$는 $A$의 ideal이므로 [대수적 구조] §환의 정의, ⁋정리 9에 의하여 어떠한 maximal ideal에 포함된다. 그런데 $A$는 유일한 maximal ideal $\mathfrak{m}$을 가지므로, $(a)\subseteq \mathfrak{m}$일 수밖에 없고, 따라서 $a\in \mathfrak{m}$이다.

이제 2번을 가정하고 3번을 보이자. 이를 위해서는 $A$의 non-unit들을 모아둔 것이 덧셈에 대해 닫혀있음만 보이면 충분하다. 우선 $\mathfrak{m}\neq A$인 것으로부터 $\mathfrak{m}$은 $A$의 unit을 포함하지 않음을 안다. 이로부터 $A$의 non-unit을 모두 모아두면 반드시 이것이 $\mathfrak{m}$과 같아야 함을 안다.

마지막으로 3번 조건을 가정하고 1번 조건을 보여야 한다. 임의의 ideal $\mathfrak{a}\subsetneq A$에 대하여, 앞선 관찰로부터 $\mathfrak{a}$는 non-unit들로만 이루어져 있다는 것을 알고, 따라서 $\mathfrak{a}$는 $A$의 모든 non-unit들을 모아둔 ideal $\mathfrak{m}$에 속한다. 한편 $\mathfrak{m}$은 maximal ideal인데, 이는 $A\setminus \mathfrak{m}$의 임의의 원소는 $A$의 unit이므로, $\mathfrak{m}$을 포함하는 ideal은 $A$ 뿐이기 때문이다.

가군의 국소화

앞선 글에서 설명한 것과 마찬가지로, ring의 localization을 보기 위해 우리는 더 일반적으로 module의 localization을 정의한다.

정의 3 Ring $A$의 부분집합 $S$가 multiplicatively closed_{곱셈에 대하여 닫혀있다}인 것은 $U$의 원소들의 임의의 곱이 다시 $S$에 속하는 것이다.

특히 $1$은 공집합으로 index가 주어진 family의 곱으로 생각할 수 있으므로 정의에 의해 $1\in S$이다.

정의 4 Ring $A$와 $A$-module $M$, 그리고 $A$의 multiplicative subset $S$에 대하여, $S$에서의 $M$의 localization_국소화는 다음과 같이 정의되는 $A$-module $S^{-1}M$이다.

1. 집합으로서 $S^{-1}M$은 $M\times S$ 위에 다음과 같은 equivalence relation

   \[(x,s)\sim (x',s')\iff \text{there exists $t\in S$ such that $t(s'x-sx')=0$}\]

   을 정의하여 얻어지는 quotient set이다. 이 때 $(x,s)$의 representative를 $x/s$로 표기한다.

2. $S^{-1}M$의 $A$-module 구조는 다음과 같이 정의된다.

\[\frac{x}{s}+\frac{x'}{s'}=\frac{s'x+sx'}{ss'},\qquad a\cdot \frac{x}{s}=\frac{ax}{s}.\]

2번 조건에서 정의한 연산들이 실제로 $A$-module 구조를 준다는 것을 확인해야 하지만 이는 어렵지 않다. 대신 몇 가지 관찰을 추가한다. 우선 임의의 $t\in S$와 $x/s\in S^{-1}M$에 대하여,

\[\frac{tx}{ts}=\frac{x}{s}\]

가 성립한다. 이는 그냥 $1(txs-tsx)=0$이기 때문이다. 또, $S^{-1}M$에서의 덧셈에 대한 항등원과 역원 또한 살펴볼 수 있는데, 우선 임의의 $s,s’\in S$에 대하여

\[\frac{0}{s}=\frac{0}{s'}\]

임을 확인할 수 있으며, 다음 식

\[\frac{0}{s'}+\frac{x}{s}=\frac{x}{s}+\frac{0}{s'}=\frac{0s+s'x}{ss'}=\frac{s'x}{s's}=\frac{x}{s}\]

으로부터 이것이 $S^{-1}M$에서의 덧셈에 대한 항등원임을 알 수 있다. 비슷한 계산으로 임의의 $x/s$의 역원은 $(-x)/s$임을 확인할 수 있다.

위의 계산들은 중학교 때부터 해오던 분수의 덧셈 및 곱셈과 다른 것이 없다. 이를 직관삼아 $M$에서 $S^{-1}M$으로의 canonical map $\epsilon: M \rightarrow S^{-1}M$을 $x\mapsto x/1$으로 정의할 수 있다. 아쉽게도 $\epsilon$은 일반적인 경우에는 inclusion이 되지 않을 수 있는데, 이는 생각해보면 자명하다.

명제 5 위와 같은 상황에서, $\epsilon(x)=0$인 것과, 적당한 $s\in S$가 존재하여 $sx=0$인 것이 동치이다. 특히 만일 $M$이 finitely generated이면 $S^{-1}M=0$인 것과 $M$이 $S$에 의해 annihilate되는 것이 동치이다.

환의 국소화

Localization의 가장 단순한 예시는 [대수적 구조] §분수체, ⁋정의 2에서 살펴본 ring of fraction이다. 여기에서는 $M=A$로 잡았다. 특별히 우리는 $A$가 integral domain이라면 그 ring of fraction $\Frac(A)$가 field가 되는 것 또한 살펴보았다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 6)

또 다른 예시로, 마찬가지로 $M=A$로 두고, $A$의 prime ideal $S=A\setminus \mathfrak{p}$로 두어 $A_\mathfrak{p}=S^{-1}A$을 생각할 수 있었다. 정의 1을 이용하여 이를 임의의 $A$-module $M$에도 적용할 수 있는데, 그렇게 하여 얻어지는 $A$-module을 $M_\mathfrak{p}$로 적는다.

위의 두 예시 모두 정의 4에서 정의한 덧셈구조 및 $A$의 스칼라곱 외에도 곱셈구조를 가지고 있다. 명시적으로 이 구조는

\[\frac{x}{s}\frac{x'}{s'}=\frac{xx'}{ss'}\]

으로 주어지므로 $S^{-1}A$를 $A$-algebra로 생각할 수 있다.

Ring의 localization은 다음과 같은 universal property를 갖는다.

Ring $A,B$와 $A$의 multiplicative subset $S$를 고정하자. 만일 ring homomorphism $f:A \rightarrow B$에 의한 $S$의 image $f(S)\subseteq B$가 $f(S)\subseteq B^\times$를 만족한다면, 유일한 ring homomorphism $\tilde{f}: S^{-1}A \rightarrow B$가 존재하여 $\tilde{f}\circ\epsilon=f$가 성립한다.

이로부터 localization의 functoriality 또한 보일 수 있다.

국소화와 아이디얼

한편, localization과 ideal 사이에는 특정한 관계가 있다. 우선 다음을 정의하자.

정의 6 Ring homomorphism $f:A \rightarrow B$와 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$, $B$의 ideal $\mathfrak{b}$에 대하여 다음을 정의한다.

1. $f$에 의한 $\mathfrak{b}$의 contraction은 $A$의 ideal $f^{-1}(\mathfrak{b})$으로 정의하고, $\mathfrak{b}^c$로 적는다.
2. $f$에 의한 $\mathfrak{a}$의 extension은 image $f(\mathfrak{a})$로 생성된 $B$의 ideal로 정의하고, $\mathfrak{a}^e$로 적는다.

첫 번째 정의를 하기 위해서는 $f^{-1}(\mathfrak{b})$가 ideal이 된다는 것을 증명해야 하지만, 이 증명은 쉽다. 위의 표기법들은 유용한 것이지만 비교적 덜 직관적이므로 이번 글이 지나면 위의 표기 대신 $f^{-1}(\mathfrak{b})$와 $f(\mathfrak{a})B$로 적을 것이다.

명제 7 임의의 ring $A$, multiplicative subset $S$와 localization $S^{-1}A$, 그리고 canonical map $\epsilon:A \rightarrow S^{-1}A$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 임의의 ideal $\mathfrak{b}\subset S^{-1}A$에 대하여, $\mathfrak{b}=\mathfrak{b}^{ce}$이 성립한다.

2. 임의의 ideal $\mathfrak{a}\subset A$에 대하여,

   \[\mathfrak{a}^{ec}=\{a\in A:\text{there exists $s\in S$ satisfying $sa\in \mathfrak{a}$}\}\]

   이 성립한다. 특히 $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A$인 것과 $\mathfrak{a}\cap S\neq\emptyset$인 것이 동치이다.

따라서, $S^{-1}A$의 prime ideal들과, $A$의 prime ideal들 중 $S$와 만나지 않는 것들 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다.

증명

1. 우선 $\mathfrak{b}^{ce}\subseteq \mathfrak{b}$는 일반적으로 항상 성립한다. 반대 방향을 보이기 위해 $a/s\in \mathfrak{b}$라 하자. 그럼 $s(a/s)=a/1$이 $\mathfrak{b}$에 속해야 하므로, $a\in \mathfrak{b}^c$가 성립한다. 따라서 $a/1\in \mathfrak{b}^{ce}$이고 이로부터 $a/s=(1/s)(a/1)\in \mathfrak{b}^{ce}$임을 안다.
2. 주어진 식의 우변을 편의상 $\mathfrak{a}’$라 적자. 그럼 우선 임의의 $a’\in \mathfrak{a}’$에 대하여, $sa’\in \mathfrak{a}$이도록 하는 $s$가 존재한다. 이제 $a’/1=sa’/s\in \mathfrak{a}^e$인 것으로부터 $a’\in \mathfrak{a}^{ec}$인 것을 안다. 반대로 임의의 $a\in \mathfrak{a}^{ec}$에 대하여, $a/1=a’/s$를 만족하는 $a\in \mathfrak{a}$와 $s\in S$를 찾을 수 있다. 그럼 적당한 $t\in S$가 존재하여 $tsa=ta’\in \mathfrak{a}$가 되며, 이제 $ts\in S$이므로 정의에 의해 $a\in \mathfrak{a}’$이 성립한다. 또

\[\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\iff 1/1\in \mathfrak{a}^e\iff 1\in \mathfrak{a}^{ec}\iff \text{there exists $s\in S$ s.t. $s1\in \mathfrak{a}$}\iff \mathfrak{a}\cap S\neq \emptyset\]

이다.

이제 2번 결과로부터 임의의 $\mathfrak{b}\subseteq S^{-1}A$가 주어졌을 때 $\mathfrak{b}^c$는 $S$와 만나지 않는 $A$의 prime ideal임을 안다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9) 반대로 $\mathfrak{a}\subseteq A$가 $S$와 만나지 않는 $A$의 prime ideal이라 하자. 그럼 \mathfrak{a}^e$는 $S^{-1}A$의 prime ideal이다. 임의의 $b/t,b’/t’$에 대하여 $(b/t)(b’/t’)\in \mathfrak{a}^e$라 하자. 그럼 적당한 $a\in \mathfrak{a}$와 $s\in S$가 존재하여 $(bb’)/(tt’)=a/s$라 할 수 있고, 따라서 적당한 $u\in S$가 존재하여 $utt’a=usbb’\in \mathfrak{a}$이다. 이제 $\mathfrak{a}\cap S=\emptyset$인 것으로부터 $us\not\in \mathfrak{a}$인 것을 알고, $\mathfrak{a}$는 prime ideal이므로 $bb’\in \mathfrak{a}$가 성립한다. 따라서 $b\in \mathfrak{a}$이거나 $b’\in \mathfrak{a}$이고 $\mathfrak{a}^e$는 prime ideal이다. 이들 대응이 서로간의 inverse가 된다는 것은 2번 결과에서 자연스레 따라나오는 것이다.

위의 명제로부터 다음이 자명하다.

따름정리 8 Noetherian ring의 localization은 noetherian이다.

한편 명제 7로부터, $A$의 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $\mathfrak{p}^e=\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$는 $A_\mathfrak{p}$의 maximal ideal이라는 것이 자명하다. 따라서 quotient field $A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$가 잘 정의된다. 이를 $A$의 $\mathfrak{p}$에서의 residue field라 부르고 $\kappa(\mathfrak{p})$로 적는다.

아이디얼의 근기

다음의 결과는 엄밀히 이야기하면 localization과는 관계가 없지만, 이를 적어주는 데에 multiplicative subset을 사용하므로 여기에서 언급하고 넘어간다.

명제 9 Ring $A$와 multiplicative subset $S$에 대하여, $\mathfrak{a}$가 $S$와 만나지 않는 ideal 중 maximal한 것이라 가정하자. 그럼 $\mathfrak{a}$는 prime ideal이다.

증명

$A$의 두 원소 $a_1,a_2$가 주어졌다 하고, $a_1,a_2\not\in \mathfrak{a}$라면 $a_1a_2\not\in \mathfrak{a}$임을 보이자. $\mathfrak{a}$의 maximality에 의하여, 두 ideal $\mathfrak{a}+(a_1)$과 $\mathfrak{a}+(a_2)$는 반드시 $S$와 만나야 하므로, 적당한 $b_1,b_2\in A$와 $x_1,x_2\in \mathfrak{a}$에 대하여 $a_ib_i+x_i\in S$가 성립해야 한다. 그런데 $S$는 곱셈에 대해 닫혀있으므로, 다음 원소

\[(a_1b_1+x_1)(a_2b_2+x_2)=a_1a_2b_1b_2+a_1b_1x_2+a_2b_2x_1+x_1x_2\]

또한 $S$에 속해있어야 한다. 만일 결론에 반하여 $a_1a_2\in \mathfrak{a}$라면, 우변의 네 항은 모두 $\mathfrak{a}$에 속하므로 이는 $\mathfrak{a}$와 $S$가 만나지 않는다는 가정에 모순이다.

비슷한 맥락에서 다음을 얻는다.

따름정리 10 Ring $A$의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $\mathfrak{a}$의 radical_근기 $\sqrt{\mathfrak{a}}$를 다음 식

\[\sqrt{\mathfrak{a}}=\{a: a^k\in \mathfrak{a}\text{ for some $k\in \mathbb{N}$}\}\]

으로 정의하자. 그럼

\[\sqrt{\mathfrak{a}}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ prime containing $\mathfrak{a}$} \mathfrak{p}\]

이 성립한다.

증명

한쪽 방향은 자명하며, 반대로 만일 $a\not\in \sqrt{\mathfrak{a}}$라면 $S=\{a^k: k\geq 1\}$로 두고 명제 9를 적용하면 된다.