K

Grad. student in mathematics

우리는 이제 §선형계, ⁋정의 2에서 살펴본 line bundle \(\mathcal{L}\)의 complete linear system \(H^0(X, \mathcal{L})\)을 더 자세하게 살펴본다. 이는 linear system을 도입한 직후에 소개해도 되었겠지만, 증명을 위해서는 Serre duality가 필요하여 뒤로 두었다.

리만-로흐 정리

정의 1 Smooth projective curve \(C\) 위의 divisor \(D\)에 대해 Riemann–Roch dimension을

\[\ell(D) = \dim H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\]

로 정의한다.

일반적으로 우리는 \(\mathcal{O}_X(D)\)를 \(D\)를 따라 order \(1\)의 pole을 가질 수 있는 rational function들의 sheaf로 생각하므로, 이러한 관점에서 \(H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)는 \(X\) 위에서 정의된 함수들이 이루는 공간이라 생각할 수 있다.

이 공간 \(H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)는 §선형계, ⁋정의 2에서 처음 도입했던 것을 기억하자. 그에 따르면 공간 \(H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)는 주어진 divisor \(D\)와 linearly equivalent한 divisor들의 모임이며, 이를 projectivize하여 \(\mathcal{O}_C(D)\)의 complete linear system \(\lvert \mathcal{O}_X(D)\rvert\)를 얻을 수 있었다. 이 글에서는 편의상 이를 \(\lvert D\rvert\)으로 적기로 한다. 그럼 위의 Riemann-Roch dimension은 \(\lvert D\rvert\)의 projective dimension에 \(1\)을 더한 값이 된다.

이제 점 \(p\in C\)를 고정하자. 그럼 \(p\)를 지나는 \(\lvert D\rvert\)의 원소들은 그 정의에 의해 \(H^0(C,\mathcal{O}_C(D))\)의 원소들 중 \(s(p)=0\)을 만족하는 section들로 생각할 수 있다. 즉, 이러한 \(s\)는 \(\divisor(s)-p\geq 0\)을 만족하는 \(H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)의 원소이며, 이를 통해 정확히 이러한 원소들의 모임이

\[\mathcal{O}_C(D-p)\cong \mathcal{O}_C(D)\otimes \mathcal{O}_C(-p)\]

의 global section임을 확인할 수 있다. 따라서 만일 \(H^0(C,\mathcal{O}_C(D-p))\subseteq H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)에서 등호가 성립한다면, 이는 곧 \(\lvert D\rvert\)의 모든 원소가 \(p\)를 지난다는 뜻이므로 \(p\)가 \(\lvert D\rvert\)의 base point가 된다. 한편 \(\lvert D\rvert\)가 basepoint-free라면 우리는 §선형계에서 이를 사용하여 regular map \(\varphi_D:C\rightarrow \mathbb{P}^{\ell(D)-1}\)을 정의할 수 있었는데, 이러한 관점에서 \(\ell(D)\)와 \(\ell(D-p)\)의 차이는 점 \(p\)가 divisor \(D\)에 가하는 보정항이라 볼 수 있다.

그럼 이번 글과 다음 글에서 살펴볼 리만-로흐 정리는 이를 어떤 의미에서 확장한 것으로, canonical class \(K_C\)가 점 \(p\)의 역할을 대신하는 전역적인 역할을 해 준다. 구체적으로 우리가 증명하고자 하는 식은

\[\ell(D)-\ell(K_C-D)=\deg D+1-g\]

로, 여기에서 \(\deg D+1\)는 기대값이며, \(g\)는 곡선의 위상적인 데이터가 가하는 손실이며 \(\ell(K_C-D)\)는 canonical class와 \(D\)의 위치관계가 가하는 보정항이다.

이를 보기 위해 우선 Serre duality를 적용하면

\[H^1(C, \mathcal{O}_C(D)) \cong H^0(C, \omega_C \otimes \mathcal{O}_C(-D))^\vee = H^0(C, \mathcal{O}_C(K_C - D))^\vee\tag{$1$}\]

이 성립한다 (§세르 쌍대성, ⁋명제 2). 여기서 canonical divisor \(K_C\)는 canonical line bundle에 대응되는 divisor였던 것을 기억하자. 그럼 다음 보조정리에 의해 \(\mathcal{O}_C(D)\)의 Euler characteristic에서 등장하는 항은 단 두 개 뿐임을 유도할 수 있다. 이 글에서 우리는 \(\mathbb{K}\)가 infinite field임을 가정한다.

보조정리 2 Smooth projective curve \(C\) 위의 임의의 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대해

\[H^i(C, \mathcal{F}) = 0 \quad (i \ge 2)\]

가 성립한다.

증명

Embedding \(C\hookrightarrow \mathbb{P}^N\)을 고정하면, dimension count를 통해 \(C\cap H_1\cap H_2=\emptyset\)이도록 하는 hyperplane \(H_1,H_2\)가 존재한다. 따라서 \(U_i=C\setminus H_i\)로 두면 이들은 \(C\)의 affine open cover를 이루는 것을 안다.

이제 \(\{U_1,U_2\}\)에 대한 Čech cohomology를 생각하자. §층 코호몰로지, ⁋명제 12 직후에 간략하게 소개했듯, projective variety 위의 임의의 affine open cover는 §층 코호몰로지, ⁋정리 11의 전제조건을 만족하며 따라서 구하고자 하는 sheaf cohomology는 정확하게 이 affine open cover에 대한 계산으로 귀결된다. 이제 Čech complex가 단순히

\[\check{C}(\mathcal{U}, \mathcal{F}):\qquad \mathcal{F}(U_1)\oplus \mathcal{F}(U_2)\rightarrow \mathcal{F}(U_1\cap U_2)\rightarrow 0\]

으로 길이 1짜리 complex가 되므로 \(\check{H}^i = 0\ (i \ge 2)\)가 즉시 따라온다.

따라서, 이 결과에 의해 임의의 divisor \(D\)에 대해

\[\rchi(\mathcal{O}_C(D)) = h^0(C, \mathcal{O}_C(D)) - h^1(C, \mathcal{O}_C(D))\tag{$2$}\]

가 성립한다. 여기서 \(h^i\)는 \(H^i\)의 dimension에 대한 shorthand notation이다.

한편, 우리는 위상수학적 관점에서 genus \(g\) compact Riemann surface \(S\)의 Euler characteristic은

\[\rchi(S)=2(1-g)\]

로 주어진다는 사실을 잘 알고 있다. 이 때 Euler characteristic은 triangulation을 사용하여 꼭짓점 수 \(V\), 모서리 수 \(E\), 면 수 \(F\)를 사용하여 \(V-E+F\)로 생각할 수도 있고1, 혹은 Gauss-Bonnet 정리 등의 미분기하적 도구를 사용하여 정의된 것으로 생각해도 된다.

대수기하학에서 우리는 보편적으로 underlying field \(\mathbb{K}\)가 복소수인 것으로 생각하므로, 위에서의 genus \(g\) compact Riemann surface는 대수기하 관점에서는 1차원 곡선 \(C_S\)에 불과하다. 이 때, 대수기하적 관점에서의 Euler characteristic은 따라서 위의 식 (\(2\))에 \(D=0\)을 대입한

\[\rchi(\mathcal{O}_{C_S})=h^0(C_S, \mathcal{O}_{C_S})-h^1(C_S, \mathcal{O}_{C_S})\]

으로 주어진다. 한편, 위상수학에서 \(1\)차원 구멍이 \(H^1\)을 통해 나타나듯 대수기하에서의 1차원 구멍, 즉 위상수학 관점에서의 2차원 구멍인 genus는 \(g=h^1(C_S, \mathcal{O}_{C_S})\)로 정의되며, global section은 상수함수 뿐이므로 \(C_S\)의 Euler characteristic은

\[\rchi(\mathcal{O}_{C_S})=h^0(C_S, \mathcal{O}_{C_S})-h^1(C_S, \mathcal{O}_{C_S})=1-g\]

로 나타난다. 이 값이 위상수학적인 Euler characteristic의 절반이라는 것은 우연이 아니며, Hodge theory를 통해 확인할 수 있지만 이것은 우리의 목표와는 무관하므로 우선은 넘기기로 한다. 중요한 것은 대수기하에서의 Euler characteristic과, 이를 curve에서 계산했을 때의 값이 \(1-g\)가 나오는 것이 뜬금없는 것이 아니라 위상수학에서의 결과를 재해석하는 것이라는 것이다.

이번 글의 주제인 Riemann–Roch 정리는 여기에 한 가지의 작업을 추가한다. 위의 계산은 아무것도 붙이지 않은 trivial sheaf \(\mathcal{O}_{C_S}\)에 대한 것이므로, 이를 임의의 divisor \(D\)를 사용하여 twist한 sheaf \(\mathcal{O}_{C_S}(D)\)를 생각하는 것이다. 그럼 이 때의 보정항이 \(\deg D\)만큼 생긴다는 것이 Riemann-Roch 정리의 결과이다.

명제 3 (Riemann–Roch for curves) Smooth projective curve \(C\) 위의 divisor \(D\)에 대해

\[\ell(D) - \ell(K_C - D) = \deg D + 1 - g\]

이 성립한다. 여기서 \(g\)는 \(C\)의 genus, \(K_C\)는 canonical divisor이다.

증명

위의 계산들과 정의들에 의하여

\[\rchi(\mathcal{O}_C(D)) = h^0(C, \mathcal{O}_C(D)) - h^1(C, \mathcal{O}_C(D)) = \ell(D) - \ell(K_C - D)\]

이다. 한편, effective divisor \(D\)에 대해 short exact sequence

\[0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_C(D) \to \mathcal{O}_D \to 0\]

이 존재하며, 그럼 Euler characteristic의 additivity에 의해 \(\rchi(\mathcal{O}_C(D)) = \rchi(\mathcal{O}_C) + \rchi(\mathcal{O}_D)\)이다.

여기서 \(\mathcal{O}_D\)는 차수 \(\deg D\)의 skyscraper sheaf이므로 \(\rchi(\mathcal{O}_D) = \deg D\)이고, 위에서 살펴본 것과 같이 \(\rchi(\mathcal{O}_C)=1-g\)이므로 이를 앞선 식과 결합하면 원하는 결과를 얻는다. 일반적인 (effective가 아닌) divisor에 대해서는 \(D\)를 effective divisor \(D'\)과의 차이로 표현한 후 동일한 additivity 논증을 적용하면 된다.

위의 증명은 깔끔하지만 그 기하학적 내용이 Euler characterstic 안에 압축되어 있어 직관적으로 잘 와닿지 않을 수 있다. 이를 보완하기 위해 등식을 항별로 읽어보자. 우선 정의에 의해

\[\ell(D) = \dim H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\]

이며, 이 때 우변의 공간 \(H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)는 기하적으로

\[\divisor(f)+D\geq 0\]

을 만족하는 meromorphic function들의 모임이다. 즉 \(D\)는 \(f\)의 pole이 \(D\)의 support 안에서만 일어나도록, 그리고 각 점 \(p\)에서 극의 차수가 최대 \(\operatorname{ord}_p D\)가 되도록 강제하며, 따라서 \(\deg D\)가 커질수록 허용되는 pole의 차수도 커지므로 \(\ell(D)\)가 커진다.

뿐만 아니라, 우리의 상황에서 \(C\)는 \(1\)차원이므로 (effective) divisor는 \(D=\sum n_i p_i\)의 꼴이며 이를 이용하면 보다 정량적으로 다음의 부등식

\[\ell(D)\leq \deg(D)+1\tag{$3$}\]

을 얻을 수 있다. 구체적으로 \(D = \sum n_i p_i\)가 effective라 하면, \(f\in H^0(C, \mathcal{O}_C(D))\)를 각 점 \(p_i\)에서의 principal part로 보내는 선형사상

\[H^0(C, \mathcal{O}_C(D)) \longrightarrow \bigoplus_i \mathbb{K}^{n_i}\tag{$4$}\]

을 생각할 수 있다. 직관적으로, 이는 \(f\)가 점 \(p_i\)에서의 Laurent polynomial의 principal part를 다음의 식

\[\frac{a_{-n_i}}{(x-p_i)^{n_i}}+\frac{a_{-n_i-1}}{(x-p_i)^{n_i-1}}+\cdots +\frac{a_{-1}}{x-p_i}\]

과 같이 나타냈을 때,

\[f\mapsto (a_{-n_i}, \ldots, a_{-1})\]

를 모든 \(p_i\)에 대해서 한 번에 고려하는 함수이다. 그럼 위의 선형사상의 우변의 차원은 \(\sum n_i = \deg D\)이고, 이 사상의 kernel은 pole을 갖지 않는 global section, 즉 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = \mathbb{K}\)와 같으며 이로부터 \(\ell(D) \leq 1 + \deg D\)를 얻는다. \(D\)가 effective가 아니지만 \(\ell(D) > 0\)이라면, \(D\)는 어떤 effective divisor와 linearly equivalent이므로 동일한 부등식이 성립한다.

일반적으로 이 식이 등식이 되기 위해서는 선형사상이 surjective여야 하지만, 이것이 항상 성립하는 것은 아니다. 이를 확인하기 위해 명제 2의 증명에서 살펴본 short exact sequence

\[0\longrightarrow \mathcal{O}_C\overset{i}{\longrightarrow} \mathcal{O}_C(D)\overset{p}{\longrightarrow} \mathcal{O}_D\longrightarrow 0\]

으로부터 얻어지는 long exact sequence

\[0\longrightarrow H^0(C,\mathcal{O}_C)\overset{i^\ast}{\longrightarrow} H^0(C,\mathcal{O}_C(D)) \overset{p^\ast}{\longrightarrow} H^0(C,\mathcal{O}_D) \overset{\delta}{\longrightarrow} H^1(C,\mathcal{O}_C)\overset{i^\ast}{\longrightarrow} H^1(C,\mathcal{O}_C(D))\to 0\]

를 생각하자. 여기서 \(C\)는 curve이고 \(D=\sum n_i p_i\)이므로, \(\mathcal{O}_D\)는 support \(\lvert D\rvert\)를 갖는 degree \(D\)의 skyscraper sheaf이며 이로부터 \(H^0(C, \mathcal{O}_C)=\bigoplus_i \mathbb{K}^{n_i}\)임을 안다. 뿐만 아니라 위에서 살펴본 linear map (\(4\))이 실제로 이 long exact sequence에서의 \(p^\ast\)와 맞아떨어진다는 것을 알고 이로부터 \(p^\ast\)의 cokernel은 다음 isomorphism들의 chain

\[\coker p^\ast=\frac{H^0(C, \mathcal{O}_D)}{\im p^\ast}=\frac{H^0(C, \mathcal{O}_D)}{\ker\delta}\cong \im\delta\cong\ker i^\ast\]

으로 구할 수 있고, 특히 그 차원은

\[\dim\coker p^\ast =\dim \ker (i^\ast: H^1(C, \mathcal{O}_C)\twoheadrightarrow H^1(C, \mathcal{O}_C(D)))=\dim H^1(C, \mathcal{O}_C)-\dim H^1(C, \mathcal{O}_C(D))\]

이다. 만일 여기에 식 (1)을 적용한다면,

\[\dim\coker p^\ast=\dim H^1(C, \mathcal{O}_C)-\dim H^0(C, \mathcal{O}_C(K_C-D))^\vee=g-\ell(K_C-D)\]

임을 안다. 위의 부등식 (\(3\))에서 \(\deg(D)+1\)과 \(\ell(D)\)의 차이만큼이 cokernel의 차원이므로, 이 계산들이 명제 3의 결과를 복원한다. 즉, 바꿔말하면 \(\ell(K_C-D)\)는 \(\ell(D)\)가 그 upper bound \(\deg D+1\)로부터 얼마나 떨어지는지를 측정하는 양이며, 이는 본디 \(D\)를 따라 vanishing하는 \(1\)-form들의 counting 문제이지만 Serre duality를 사용하여 \(\ell(K_C-D)\)로 바꾸어 쓴 것이다.

예로 degree \(D\)가 매우 커서 \(\deg(K_C-D)<0\)을 만족하는 경우를 생각하자. 그럼 이 경우 \(\ell(K_C-D)=0\)이고 따라서 Riemann-Roch theorem은 다음의 식

\[\ell(D)=\deg D+1-g\]

을 준다. 즉 genus가 커질수록 같은 degree의 divisor가 만드는 공간이 좁아지는 것이다. 그러나 일반적인 경우는 여기에 \(\ell(K_C-D)\)의 영향이 추가되며, 이 때 주의할 것은 \(\ell(K_C-D)\) 항은 그 정의상 \(D\)의 degree 뿐만 아니라 \(D\)가 canonical class \(K_C\)와 어떤 관계가 있는지에 따라 달라질 수 있다는 것이다.

또 다른 특별한 예시로, \(D=0\)을 넣으면

\[\ell(0)-\ell(K_C)=\deg D+1-g\]

에서, \(\deg D=0\), \(\ell(0)=1\)이므로 \(\ell(K_C)=g\)가 성립하는 것을 안다. 이제 \(D=K_C\)를 넣으면

\[\ell(K_C)-\ell(0)=\deg K_C +1-g\]

이고 이로부터 §표준선다발, ⁋예시 10에서의 계산 \(\deg(K_C)=2g-2\)를 복원할 수 있다. 해당 예시에서는 degree-genus formula를 잘 알려진 공식으로 언급하고 이로부터 \(\deg(K_C)\)를 얻어냈지만 (그리고 이것이 역사적인 맥락에서는 더 타당하지만) 우리는 잠시 후 명제 7에서 degree-genus formula가 Riemann-Roch theorem의 특수한 경우임을 살펴볼 것이다.

어쨌든 지금까지의 계산을 정리하면 \(\ell(D)\)는 \(D\)의 complete linear system의 차원, \(\ell(K_C - D)\)는 \(K_C\)가 \(D\) 위에 부과하는 수정항이며, 큰 degree에서는 이 수정항이 사라지고 작은 degree에서는 \(K_C\)의 기하학적 정보를 반영한다는 것으로 생각할 수 있다.

예시 4 \(\mathbb{P}^1\): \(\mathbb{P}^1\)의 genus는 \(g = 0\)이고, canonical divisor는 \(K_{\mathbb{P}^1} = -2H\)이다 (§표준선다발, ⁋예시 8). 한편, 우리는 (§선다발과 벡터다발, ⁋예시 12)에서 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(d)\)의 global section이 차수 \(d\)의 동차다항식들임을 보였으므로,

\[\ell(dH) = d+1 \quad (d \ge 0), \qquad \ell(dH) = 0 \quad (d < 0)\]

이 성립하는 것을 안다. 이제 Riemann–Roch 식을 확인해보면, \(D = dH\)에 대해 \(\deg D = d\)이고 \(K_C - D = (-2-d)H\)이므로

\[\ell(dH) - \ell(-2H-dH) = d + 1 - 0 = d + 1\]

이 되어 양변이 모두 \(d+1\)로 일치함을 확인할 수 있다.

예시 5 (Elliptic curve) Genus \(1\) case \(g = 1\)의 경우, 우리는 위의 계산을 통해 \(\deg K_C=2g-2=0\)이고 \(\ell(K_C)=g=1\)임을 안다. \(\ell(K_C)=1>0\)이므로, 앞서 본 것처럼 \(K_C\)와 linearly equivalent한 effective divisor가 존재하는데, \(\deg K_C=0\)이고 degree가 \(0\)인 effective divisor는 \(0\)뿐이므로 \(K_C\sim 0\)이다. 이를 사용하여 Riemann-Roch를 다시 보면

\[\ell(D) - \ell(-D) = \deg D\]

이 된다. 특히 \(\deg D > 0\)이면 \(\ell(-D) = 0\)이므로 \(\ell(D) = \deg D\)이다.

\(\deg D=0\)인 경우가 위에서 언급한 작은 degree의 경우인데, 우선 부등식 (\(3\))으로부터 \(\ell(D)=0\)이거나 \(\ell(D)=1\)이어야 한다. 만일 \(\ell(D)=1\)이면 \(D\)와 linearly equivalent한 유일한 effective divisor가 존재하는데 그 degree가 \(0\)이므로 이는 \(0\)이다. 따라서 \(D\sim 0\)이고, 거꾸로 \(D\sim 0\)이면 \(\mathcal{O}_C(D)\cong \mathcal{O}_C\)이므로 \(\ell(D)=1\)이다. 즉 \(D\)가 \(0\)과 linearly equivalent할 때만 \(\ell(K_C-D)\) 항이 \(1\)이 되고, 그렇지 않으면 \(0\)이 되는 상황이 된다.

\(K_C \sim 0\)이므로 elliptic curve에서 Riemann-Roch는 특히 단순해진다. \(\deg D > 0\)이면 보정항 \(\ell(K_C-D)=\ell(-D)\)가 사라지므로 \(\ell(D)=\deg D\)로 완벽히 결정되며, 이는 genus가 커질수록 보정항의 영향이 복잡해지는 과정에서 \(g=1\)이 가장 간단한 non-trivial case임을 보여준다.

예시 6 (\(g=2\)) 이제 한 단계 더 복잡한 상황인 \(g=2\) 경우를 보자. 이 경우 \(\deg K_C = 2g - 2 = 2\)이고 \(\ell(K_C)=2\)이며, 명제 3에 \(D=p\)를 대입하면

\[\ell(p)-\ell(K_C-p)=2-g\]

이므로 \(\ell(K_C-p)=\ell(K_C)-1<\ell(K_C)\)이므로 canonical map

\[\varphi_{K_C}:C\rightarrow \mathbb{P}^1\]

이 잘 정의된다. 그럼 \(\mathbb{P}^1\)에서의 hyperplane, 즉 \(\mathbb{P}^1\)의 한 점에 대한 preimage는 \(K_C\)와 linearly equivalent한 effective divisor가 되며 이것이 degree \(2\) map이라는 사실로부터 \(K_C\)를 두 점의 합 \(p_1+p_2\)로 쓸 수 있다.

이제 한 점 \(p\)의 배수 \(D=d\cdot p\)에 Riemann-Roch를 적용하여 \(\ell(D)\)가 \(d\)에 따라 어떻게 변하는지 살펴 보자. 작은 \(d\), 즉 \(\ell(K_C-D)\)가 살아있는 곳에서는 특수한 현상이 나타나지만, \(d\)가 커지면 \(\ell(D)\)는 선형적으로 안정화된다.

  1. \(d=1\)의 경우, \(\ell(p)\ge 2\)라면 degree 1 사상 \(C\to\mathbb{P}^1\)이 존재하여 \(C\cong\mathbb{P}^1\)이 되지만 \(g=2\)와 모순이므로 \(\ell(p)=1\)이다. Riemann-Roch에 의해 \(\ell(K_C-p)=1\)이다.
  2. \(d=2\)의 경우, 만약 \(2p\sim K_C\)이면 \(\ell(2p)=2\)이다. 이 경우 \(p\)를 Weierstrass point라 부르는데, 이 조건은 정확히 위의 canonical map \(\varphi_{K_C}\)에 대한 어떤 점의 preimage가 \(p\)로 겹쳐있는 상황에 해당한다. 일반적인 점에서는 \(2p\not\sim K_C\)이므로 \(\ell(2p)=1\)이다.
  3. \(d\ge 3\)이면 \(\deg(K_C-D)=2-d<0\)이므로 \(\ell(K_C-D)=0\)이고, 따라서 \(\ell(D)=d-1\)이다.

위의 예시에서 살펴 본 \(g=2\)의 canonical map \(\varphi_{K_C}: C \rightarrow \mathbb{P}^1\)은 2:1 branched covering이었다. 더 일반적으로, 우리는 genus \(g \ge 2\)인 curve 중 \(\mathbb{P}^1\)로의 degree 2 covering이 존재하는 것을 hyperelliptic curve초타원곡선라 부르고, 그렇지 않은 경우를 non-hyperelliptic curve라 한다. 관례적으로 genus \(0,1\)인 경우는 hyperelliptic curve에서 제외하는 것에 유의하자.

이제 \(g\geq 2\)인 \(C\)에서 canonical bundle \(K_C\)의 complete linear system \(\lvert K_C\rvert\)가 정의하는 morphism \(\varphi_{K_C} : C \rightarrow \mathbb{P}^{g-1}\)의 거동을 살펴보자. 우리는 위에서 \(\deg K_C = 2g - 2\)이고 \(h^0(K_C) = g\)인 것을 확인했으므로, \(\varphi_{K_C}\)의 공역은 \(\mathbb{P}^{g-1}\)이다. 그러나 이는 일반적으로는 closed embedding이 아니며, 이는 \(g=2\)인 경우 이것이 \(2:1\) covering map이 된다는 것에서 이미 확인하였다. 이를 구체적으로 계산해보면, \(\varphi_{K_C}\)는 Veronese map \(\mathbb{P}^1 \hookrightarrow \mathbb{P}^{g-1}\)과 hyperelliptic covering \(C\rightarrow \mathbb{P}^1\)의 합성으로 나오는 것을 알 수 있다.

Degree-genus formula

우리는 §표준선다발, ⁋예시 10에서 \(\deg K_C=2g-2\)가 된다는 것을 보이기 위해 다음 명제를 잘 알려진 사실이라고 주장하며 넘겼지만, 이제는 이에 대한 증명을 엄밀하게 할 수 있다. 다만 이는 해당 예시와는 정반대로, 해당 예시에서는 adjunction formula와 degree-genus formula를 활용하여 \(\deg K_C=2g-2\)임을 증명하였지만 이제 우리는 \(\deg K_C=2g-2\)라는 사실과 adjunction formula로부터 degree-genus formula를 유도한다. \(K_C\)의 degree는 앞서 예시 4 이전에 이미 Riemann-Roch로부터 (degree-genus formula를 사용하지 않고) 얻어졌음에 유의하자.

명제 7 (Degree-genus formula) Degree \(d\)의 smooth plane curve \(C \subset \mathbb{P}^2\)에 대해

\[g(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2}\]

이 성립한다.

증명

Adjunction formula (§표준선다발, ⁋명제 9)에 의해 \(K_C = (K_{\mathbb{P}^2} + C)\vert_C = (d-3)H\vert_C\)이다. 따라서 \(\deg K_C = d(d-3)\)이고, 이를 \(\deg K_C = 2g - 2\)에 대입하면

\[d(d-3) = 2g - 2 \implies g = \frac{d(d-3) + 2}{2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}\]

을 얻는다.

이 공식은 평면곡선의 기하학적 성질을 직접적으로 계산해준다. 예를 들어 smooth plane cubic의 genus는 1이므로, 이는 예시 5에서 다룬 elliptic curve와 같다. 반면 \(d = 1, 2\)인 경우에는 \(g = 0\)으로, 직선과 원뿔곡선이 모두 \(\mathbb{P}^1\)과 birationally equivalent임을 반영한다 (§유리사상, ⁋명제 10).

예시 8 Degree \(d\)에 따른 genus를 계산해보면, degree 3 (cubic)의 경우 \(g = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1\)로 elliptic curve이고, degree 4 (quartic)의 경우 \(g = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\), degree 5 (quintic)의 경우 \(g = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\)이다. Genus가 degree에 따라 빠르게 증가하므로, 고차원의 smooth plane curve는 점점 더 복잡한 위상적 구조를 갖는다.

참고문헌

[Hart] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977. [Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.

  1. 이것은 cohomology의 alternating sum으로서 Euler characteristic을 정의하는 것과 맞아떨어진다. ↩

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