정사각행렬
정의 1 $I\times I$ 행렬을 정사각행렬square matrix이라 부른다. 이들의 모임을 $\Mat_I(A)$로 적는다.
특별히 $I$가 유한집합이고 $A$가 commutative일 경우, $\Mat_{n}(A)$는 특별한 성질을 갖는데, 이 대상은 $A$-module일 뿐만 아니라 그 위에 정의된 곱셈 또한 가지고 있다. 즉 $\Mat_{n}(A)$는 $A$-algebra이다.
명제 2 이러한 상황에서 $\Mat_n(A)$는 unital associative algebra이다.
증명
$\Mat_n(A)$가 associative $A$-algebra인 것은 §행렬, §§행렬의 곱셈에서부터 자명하다. $\Mat_n(A)$의 곱셈에 대한 항등원은 다음의 항등행렬
\[I_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\]임을 확인할 수 있다.
$M_n(A)$는 canonical basis $(E_{ij})$를 갖는데, 이들에 대해 structure constant를 생각해보면 다음 식
\[E_{ij}E_{jk}=\delta_{jh}E_{ik}\]으로 적어줄 수 있다.
정의 3 $\Mat_n(A)$의 원소들 가운데 곱셈에 대한 역원이 존재하는 것들을 모아 $\GL_n(A)$로 적는다.
Free $A$-module $M$의 basis $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$를 고정하고, $\lvert I\rvert=n$이라 하자. 그럼 임의의 $u\in \End_{\lMod{A}}(M)$에 대하여, $[u]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\Mat_n(A)$이며, 만일 $u$가 isomorphism이라면 §행렬과 선형사상, ⁋따름정리 4에 의하여 $[u]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\GL_n(A)$이다. 그럼 §쌍대공간, ⁋명제 5와 §행렬과 선형사상, ⁋명제 5에 의하여 다음 식
\[\bigl([u^{-1}]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\bigr)^t=\bigl(\bigl[u^\ast\bigr]_{\mathcal{B}^\ast}^{\mathcal{B}^\ast}\bigr)^{-1}\]이 성립한다.
기저변환
명제 4 임의의 $A$-module $M$과 $M$의 유한한 basis $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 그럼 다음 식
\[e_i'=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i,\qquad 1\leq i\leq n\]이 $M$의 basis가 되는 것과, 정사각행렬 $(a_{ji})$의 역행렬이 존재하는 것이 동치이다.
증명
주어진 행렬 $(a_{ji})$는 단순히 다음의 식
\[u:e_i\mapsto e_i'=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i\]으로 정의되는 linear map $u\in\End_{\lMod{A}}(M)$의 $\mathcal{B}$에 대한 행렬표현 $[u]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\Mat_n(A)$이다. 이제 이 행렬이 역행렬을 갖는 것은 $u$가 isomorphism인 것과 동치이고, 이는 $(u(e_i))_{i\in I}$가 $M$의 basis가 되는 것과 동치이다.
위의 증명과는 반대로, 행렬 $(a_{ji})$를 identity map $\id_M:M \rightarrow M$을 서로 다른 basis에 대해 행렬표현을 한 것으로 생각할 수도 있다. Basis $(e_i’)$를 $\mathcal{B}’$로 쓰기로 하자. 그럼
\[\id_M(e_i')=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i\]이므로,
\[([\id_M]^{\mathcal{B}'}_\mathcal{B})=(\langle \id_M(e_i'), e_j^\ast\rangle)_{(j,i)\in J\times I}=(a_{ji})_{(j,i)\in J\times I}\]이다. 이러한 관점에서 이 행렬을 $\mathcal{B}’$에서 $\mathcal{B}$로의 기저변환 행렬change-of-basis matrix이라 부르기도 한다.
더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 5 두 $A$-module $M,N$과, 이들의 유한한 basis $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$, $\mathcal{C}=(f_j)_{j\in J}$가 각각 주어졌다 하자. $M$, $N$의 또 다른 basis $\mathcal{B}’=(e_i’)_{i\in I}$, $\mathcal{C}’=(f_j’)_{j\in J}$에 대하여, 다음의 식
\[[u]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=[\id_N]^\mathcal{C}_{\mathcal{C}'}[u]^\mathcal{B}_\mathcal{C}[\id_M]^{\mathcal{B}'}_{\mathcal{B}}\]이 성립한다.
닮은 행렬
정의 6 두 $m\times n$ 행렬 $X, X’$가 equivalent동치인 행렬이라는 것은 정사각행렬 $P\in\GL_m(A)$와 $Q\in\GL_n(A)$가 존재하여 $X’=PXQ$이도록 할 수 있는 것을 뜻한다.
[기초선형대수학] §기저변환, ⁋정의 2 이전의 논의와 같은 맥락에서, equivalent matrix보다는 더 세밀한 다음의 동치관계를 생각하는 것이 좋다.
정의 7 두 $n\times n$ 행렬 $X, X’$가 similar닮은 행렬이라는 것은 정사각행렬 $P\in\GL_n(A)$가 존재하여 $X’=PXP^{-1}$이도록 할 수 있는 것을 뜻한다.
그럼 위의 명제 5에서 $M=N$, $\mathcal{B}=\mathcal{C}$, $\mathcal{B}’=\mathcal{C}’$로 두면, $\End_\rMod{A}(M)$의 원소 $u$를 서로 다른 basis를 통해 행렬표현한 것은 서로 similar함임을 안다.
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