정사각행렬
정의 1 \(I\times I\) 행렬을 정사각행렬square matrix이라 부른다. 이들의 모임을 \(\Mat_I(A)\)로 적는다.
특별히 \(I\)가 유한집합이고 \(A\)가 commutative일 경우, \(\Mat_{n}(A)\)는 특별한 성질을 갖는데, 이 대상은 \(A\)-module일 뿐만 아니라 그 위에 정의된 곱셈 또한 가지고 있다. 즉 \(\Mat_{n}(A)\)는 \(A\)-algebra이다.
명제 2 이러한 상황에서 \(\Mat_n(A)\)는 unital associative algebra이다.
증명
\(\Mat_n(A)\)가 associative \(A\)-algebra인 것은 §행렬, §§행렬의 곱셈에서부터 자명하다. \(\Mat_n(A)\)의 곱셈에 대한 항등원은 다음의 항등행렬
\[I_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\]임을 확인할 수 있다.
\(M_n(A)\)는 canonical basis \((E_{ij})\)를 갖는데, 이들에 대해 structure constant를 생각해보면 다음 식
\[E_{ij}E_{jk}=\delta_{jh}E_{ik}\]으로 적어줄 수 있다.
정의 3 \(\Mat_n(A)\)의 원소들 가운데 곱셈에 대한 역원이 존재하는 것들을 모아 \(\GL_n(A)\)로 적는다.
Free \(A\)-module \(M\)의 basis \(\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}\)를 고정하고, \(\lvert I\rvert=n\)이라 하자. 그럼 임의의 \(u\in \End_{\lMod{A}}(M)\)에 대하여, \(\[u\]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\Mat_n(A)\)이며, 만일 \(u\)가 isomorphism이라면 §행렬과 선형사상, ⁋따름정리 4에 의하여 \(\[u\]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\GL_n(A)\)이다. 그럼 §쌍대공간, ⁋명제 5와 §행렬과 선형사상, ⁋명제 5에 의하여 다음 식
\[\bigl([u^{-1}]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\bigr)^t=\bigl(\bigl[u^\ast\bigr]_{\mathcal{B}^\ast}^{\mathcal{B}^\ast}\bigr)^{-1}\]이 성립한다.
기저변환
명제 4 임의의 \(A\)-module \(M\)과 \(M\)의 유한한 basis \(\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음 식
\[e_i'=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i,\qquad 1\leq i\leq n\]이 \(M\)의 basis가 되는 것과, 정사각행렬 \((a_{ji})\)의 역행렬이 존재하는 것이 동치이다.
증명
주어진 행렬 \((a_{ji})\)는 단순히 다음의 식
\[u:e_i\mapsto e_i'=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i\]으로 정의되는 linear map \(u\in\End_{\lMod{A}}(M)\)의 \(\mathcal{B}\)에 대한 행렬표현 \(\[u\]_{\mathcal{B}}^\mathcal{B}\in\Mat_n(A)\)이다. 이제 이 행렬이 역행렬을 갖는 것은 \(u\)가 isomorphism인 것과 동치이고, 이는 \((u(e_i))_{i\in I}\)가 \(M\)의 basis가 되는 것과 동치이다.
위의 증명과는 반대로, 행렬 \((a_{ji})\)를 identity map \(\id_M:M \rightarrow M\)을 서로 다른 basis에 대해 행렬표현을 한 것으로 생각할 수도 있다. Basis \((e_i')\)를 \(\mathcal{B}'\)로 쓰기로 하자. 그럼
\[\id_M(e_i')=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_i\]이므로,
\[([\id_M]^{\mathcal{B}'}_\mathcal{B})=(\langle \id_M(e_i'), e_j^\ast\rangle)_{(j,i)\in J\times I}=(a_{ji})_{(j,i)\in J\times I}\]이다. 이러한 관점에서 이 행렬을 \(\mathcal{B}'\)에서 \(\mathcal{B}\)로의 기저변환 행렬change-of-basis matrix이라 부르기도 한다.
더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 5 두 \(A\)-module \(M,N\)과, 이들의 유한한 basis \(\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}\), \(\mathcal{C}=(f_j)_{j\in J}\)가 각각 주어졌다 하자. \(M\), \(N\)의 또 다른 basis \(\mathcal{B}'=(e_i')_{i\in I}\), \(\mathcal{C}'=(f_j')_{j\in J}\)에 대하여, 다음의 식
\[[u]_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=[\id_N]^\mathcal{C}_{\mathcal{C}'}[u]^\mathcal{B}_\mathcal{C}[\id_M]^{\mathcal{B}'}_{\mathcal{B}}\]이 성립한다.
닮은 행렬
정의 6 두 \(m\times n\) 행렬 \(X, X'\)가 equivalent동치인 행렬이라는 것은 정사각행렬 \(P\in\GL_m(A)\)와 \(Q\in\GL_n(A)\)가 존재하여 \(X'=PXQ\)이도록 할 수 있는 것을 뜻한다.
[기초선형대수학] §기저변환, ⁋정의 2 이전의 논의와 같은 맥락에서, equivalent matrix보다는 더 세밀한 다음의 동치관계를 생각하는 것이 좋다.
정의 7 두 \(n\times n\) 행렬 \(X, X'\)가 similar닮은 행렬이라는 것은 정사각행렬 \(P\in\GL_n(A)\)가 존재하여 \(X'=PXP^{-1}\)이도록 할 수 있는 것을 뜻한다.
그럼 위의 명제 5에서 \(M=N\), \(\mathcal{B}=\mathcal{C}\), \(\mathcal{B}'=\mathcal{C}'\)로 두면, \(\End_\rMod{A}(M)\)의 원소 \(u\)를 서로 다른 basis를 통해 행렬표현한 것은 서로 similar함임을 안다.
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