사영가군, 단사가군, 평탄가군

[대수적 구조]에서 우리는 임의의 ring $A$ 위에 정의된 $A$-module을 정의하고, 이에 대한 기본적인 성질들을 살펴보았다. 이제 우리는 (left) $A$-module들에 대한 성질을 더 살펴본다.

핵과 여핵

임의의 $A$-linear map $u:M \rightarrow N$에 대하여, $u$가 injective인 것은 $\ker u=0$인 것과 동치이고, $u$가 surjective인 것은 $\coker u=0$인 것과 동치이다. 한편, category $\lMod{A}$는 bicomplete category이며, 이 때 $A$-module들의 family의 product는 direct product로, coproduct는 direct sum으로 주어졌다. ([대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 1) 따라서 [범주론] §극한, ⁋명제 10에 의하여 다음 식

\[\ker \prod u_i=\prod \ker u_i,\qquad \coker \bigoplus u_i=\bigoplus \coker u_i\]

이 성립하며, 위의 논의를 통해 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 2를 다시 써보면 다음의 두 식

\[\ker \bigoplus u_i=\bigoplus \ker u_i,\qquad \coker \prod u_i=\prod \coker u_i\]

또한 얻게 된다.

비슷한 맥락에서 $\Hom$ functor와 $\otimes$ functor에 대한 성질을 다시 살펴볼 수 있으며, 여기에서 $\Hom$과 $\otimes$의 adjoint를 사용하게 된다. ([대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 6과 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 9)

직접곱과 직합

위의 adjunction을 사용하는 법을 살펴보기 위해 가장 기초적인 예시를 생각한다. 우선 $\Hom$과 $\bigoplus$, $\prod$의 관계를 살펴보자. 이를 위해 left $A$-module $M,N$과 left $A$-module들의 family $(M_i)_{i\in I}$, $(N_j)_{j\in J}$를 고정한다. 그럼 $\Hom$은 right adjoint이므로 limit을 보존한다. ([범주론] §수반함자, ⁋정리 9) 따라서 [범주론] §극한, ⁋명제 10에 의하여 abelian group들 사이의 isomorphism

\[\Hom_{\lMod{A}}\left(M, \prod_{j\in J} N_j \right)\cong\prod_{j\in J} \Hom_{\lMod{A}}(M, N_j),\qquad \Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, N\right)\cong\prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M_i, N)\]

를 얻는다. 다시 여기에 [범주론] §극한, ⁋명제 10을 적용하면 다음 식

\[\Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, \prod_{j\in J} N_j\right)\cong\prod_{(i,j)\in I\times J}\Hom_{\lMod{A}}(M_i, N_j)\tag{1}\]

을 얻는다.

비슷하게 $\otimes$와 $\bigoplus$의 관계를 살펴보자. 이번에는 right $A$-module $M$, right $A$-module들의 family $(M_i)_{i\in I}$, left $A$-module $N$, left $A$-module들의 family $(N_j)_{j\in J}$를 생각한다. 그럼 $\otimes$는 colimit을 보존하므로 abelian group isomorphism

\[M\otimes_A \left(\bigoplus_{j\in J}N_j\right)\cong\bigoplus_{j\in J} (M\otimes_AN_j),\qquad \left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A N\cong \bigoplus_{i\in I} M_i\otimes_AN)\]

그리고 이들을 종합하여

\[\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A\left(\bigoplus_{j\in J} N_j\right)\cong\bigoplus_{(i,j)\in I\times J}M_i\otimes_AN_j\]

을 얻는다. 만일 $A$가 commutative ring이었다면, [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 6 대신 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 9을 사용하여 위의 isomorphism들이 $A$-module들 사이의 isomorphism이 되도록 할 수 있다.

사영가군과 단사가군

이번에는 임의의 $A$-linear map $u:M \rightarrow M’$와 $A$-module $N$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 abelian group homomorphism

\[\Hom_{\lMod{A}}(u,N):\Hom_{\lMod{A}}(M', N) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M,N)\]

에 대하여, 그런데 $\Hom$은 right adjoint이므로

\[\ker(\Hom_{\lMod{A}}(u,N))\cong\Hom_{\lMod{A}}(\coker u, N)\tag{2}\]

이 성립한다. 비슷하게 다음의 abelian group homomorphism

\[\Hom_{\lMod{A}}(N, u):\Hom_{\lMod{A}}(M, N) \rightarrow\Hom_{\lMod{A}}(M', N)\]

에 대해서는

\[\ker(\Hom_{\lMod{A}}(N, u))\cong\Hom_{\lMod{A}}(N, \ker u)\tag{3}\]

이 성립한다. 따라서 다음이 성립한다.

명제 1 $A$-linear map $u:M \rightarrow M’$이 주어졌다 하자.

1. $u$가 injective인 것은 임의의 $A$-module $N$에 대하여 $\Hom(N, u)$가 injective인 것과 동치이다.
2. $u$가 surjective인 것은 임의의 $A$-module $N$에 대하여 $\Hom(u, N)$이 injective인 것과 동치이다.

그러나 일반적으로, $u$가 surjective이더라도 $\Hom(u, N)$이 surjective는 아닐 수도 있고, $u$가 injective이더라도 $\Hom(N, u)$가 surjective는 아닐 수도 있다.

한편 $\lMod{A}$는 abelian category이므로, 식 (2)의 isomorphism은 본질적으로 다음의 short exact sequence

\[M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0\]

가 주어졌을 때, 여기에 (contravariant) additive functor $\Hom_{\lMod{A}}(-, N):\lMod{A} \rightarrow\lMod{\mathbb{Z}}$를 취해 얻어지는 다음의 sequence

\[0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_3, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_2, N)\rightarrow\Hom_\lMod{A}(M_1,A)\]

가 exact라는 것과 같은 말이다. 비슷하게 식 (3)의 isomorphism은 다음의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3\]

가 주어졌을 때, 여기에 additive functor $\Hom_\lMod{A}(N,-):\lMod{A} \rightarrow \lMod{\mathbb{Z}}$를 취하여 얻어지는 다음의 sequence

\[0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(N, M_1)\rightarrow\Hom_\lMod{A}(N, M_2) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(N, M_3)\]

가 exact라는 것과 같은 말이다. 즉 다음이 성립한다.

명제 2 임의의 $N\in\lMod{A}$에 대하여, $\Hom_\lMod{A}(-,N)$과 $\Hom_\lMod{A}(N,-)$은 left exact functor이다.

그러나 일반적으로 $\Hom_\lMod{A}(-,N)$과 $\Hom_{\lMod{A}}(N,-)$이 right exact가 될 필요는 없다. 이러한 조건을 만족하는 $A$-module들을 다음과 같이 정의한다.

정의 3 다음을 정의한다.

1. 만일 $\Hom(-, I)$가 right exact라면 $I$를 injective module_단사가군이라 부른다.
2. 만일 $\Hom(P, -)$가 right exact라면 $P$를 projective module_사영가군이라 부른다.

그럼 식 (1)로부터 module들의 direct product가 injective인 것과 각각의 성분이 injective인 것이 동치인 것을 알고, module들의 direct sum이 projective인 것은 각각의 direct summand가 projective인 것과 동치임을 안다. 특히 다음의 homomorphism

\[\Hom(A, u):\Hom_{\lMod{A}}(A, M) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(A, M')\]

이 isomorphism이라는 사실로부터 $A$ 자기 자신은 projective임을 알고, 따라서 임의의 free module은 projective module이다.

명제 4 Left $A$-module가 projective인 것과 $P$가 free $A$-module의 direct summand인 것이 동치이다.

증명

임의의 free module의 direct summand가 projective라는 것은 위의 논증으로부터 자명하다. 따라서 $P$가 projective라 가정하자. §기저, ⁋명제 2에 의하여 적당한 free $A$-module $F$와 surjection $p:F \rightarrow P$를 택할 수 있다. 한편 $P$가 projective라는 것은 다음의 함수

\[\Hom_{\lMod{A}}(P, p):\Hom_{\lMod{A}}(P,F) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(P,P)\]

가 surjective라는 것이므로, 적당한 $i\in \Hom_{\lMod{A}}(P,F)$가 존재하여

\[\id_P=\Hom_{\lMod{A}}(P,p)(i)=p\circ i\]

이도록 할 수 있다. 이 식으로부터 $i$는 injective이므로 $P$와 $\im i$를 같은 것으로 볼 수 있고, 그럼 $F\cong\ker p\oplus\im i$인 것을 확인할 수 있다.

평탄가군

이번에는 right $A$-module $M$과 left $A$-module들 사이의 $A$-linear map $v:N \rightarrow N’$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 abelian group homomorphism

\[M\otimes_A v:M\otimes_AN \rightarrow M\otimes_AN'\]

이 존재한다. 그럼 $\otimes$는 left adjoint이므로 colimit을 보존하고, 따라서 다음 abelian group들 사이의 isomorphism

\[\coker(M\otimes_Av)\cong M\otimes_A(\coker v)\]

이 존재한다. 비슷하게 right $A$-module들 사이의 $A$-linear map $u:M \rightarrow M’$과 고정된 left $A$-module $N$에 대하여 다음의 isomorphism

\[\coker(u\otimes_AN)\cong (\coker u)\otimes_A N\]

이 존재한다.

명제 5 다음이 성립한다.

1. Right $A$-module들 사이의 linear map $u:M \rightarrow M’$이 surjective인 것은 임의의 left $A$-module $N$에 대하여, $u\otimes_A N$이 surjective인 것과 동치이다.
2. Left $A$-module들 사이의 linear map $v:N \rightarrow N’$이 surjective인 것은 임의의 right $A$-module $M$에 대하여, $M\otimes_A v$이 surjective인 것과 동치이다.

그럼 앞서 했던 것과 마찬가지로, 위의 성질은 right $A$-module들의 exact sequence

\[M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0\]

가 주어졌을 때, 임의의 left $A$-module $N$에 대해

\[M_1\otimes_AN \rightarrow M_2\otimes_AN \rightarrow M_3\otimes_AN \rightarrow 0\]

도 exact라는 것으로 쓸 수 있다. 마찬가지로 left $A$-module들의 exact sequence

\[N_1 \rightarrow N_2 \rightarrow N_3 \rightarrow 0\]

가 주어졌을 때, 임의의 right $A$-module $M$에 대하여

\[M\otimes_AN_1 \rightarrow M\otimes_AN_2 \rightarrow M\otimes_AN_3 \rightarrow 0\]

또한 exact가 된다. 즉 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 $M\in\rMod{A}$, $N\in \lMod{A}$에 대하여, $-\otimes_AN$과 $M\otimes_A-$는 각각 right exact functor이다.

그럼 정의 3과 비슷한 맥락에서 다음을 정의할 수 있다.

정의 7 Left $A$-module $N$이 flat module_평탄가군이라는 것은 임의의 right $A$-module들 사이의 injective $A$-linear map $u:M \rightarrow M’$에 대하여, $u\otimes_A N$이 injective인 것이다. 비슷하게 flat right $A$-module을 정의할 수 있다.

임의의 free module은 flat이다. 또, module들의 direct sum이 flat인 것과 각각의 summand가 flat인 것이 동치임이 자명하다. 따라서 명제 4에 의하여 projective module은 항상 flat이다. 그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.