[대수적 구조] 에서 우리는 임의의 ring A A A A A A A A A
핵과 여핵
임의의 A A A u : M → N u:M \rightarrow N u : M → N u u u ker u = 0 \ker u=0 ker u = 0 u u u coker u = 0 \coker u=0 coker u = 0 A M o d \lMod{A} A Mod A A A [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 1 ) 따라서 [범주론] §극한, ⁋명제 10 에 의하여 다음 식
ker ∏ u i = ∏ ker u i , coker ⨁ u i = ⨁ coker u i \ker \prod u_i=\prod \ker u_i,\qquad \coker \bigoplus u_i=\bigoplus \coker u_i ker ∏ u i = ∏ ker u i , coker ⨁ u i = ⨁ coker u i 이 성립하며, 위의 논의를 통해 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 2 를 다시 써보면 다음의 두 식
ker ⨁ u i = ⨁ ker u i , coker ∏ u i = ∏ coker u i \ker \bigoplus u_i=\bigoplus \ker u_i,\qquad \coker \prod u_i=\prod \coker u_i ker ⨁ u i = ⨁ ker u i , coker ∏ u i = ∏ coker u i 또한 얻게 된다.
비슷한 맥락에서 Hom \Hom Hom ⊗ \otimes ⊗ Hom \Hom Hom ⊗ \otimes ⊗ [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 6 과 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 9 )
직접곱과 직합
위의 adjunction을 사용하는 법을 살펴보기 위해 가장 기초적인 예시를 생각한다. 우선 Hom \Hom Hom ⨁ \bigoplus ⨁ ∏ \prod ∏ A A A M , N M,N M , N A A A ( M i ) i ∈ I (M_i)_{i\in I} ( M i ) i ∈ I ( N j ) j ∈ J (N_j)_{j\in J} ( N j ) j ∈ J Hom \Hom Hom [범주론] §수반함자, ⁋정리 9 ) 따라서 [범주론] §극한, ⁋명제 10 에 의하여 abelian group들 사이의 isomorphism
Hom A M o d ( M , ∏ j ∈ J N j ) ≅ ∏ j ∈ J Hom A M o d ( M , N j ) , Hom A M o d ( ⨁ i ∈ I M i , N ) ≅ ∏ i ∈ I Hom A M o d ( M i , N ) \Hom_{\lMod{A}}\left(M, \prod_{j\in J} N_j \right)\cong\prod_{j\in J} \Hom_{\lMod{A}}(M, N_j),\qquad \Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, N\right)\cong\prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M_i, N) Hom A Mod ⎝ ⎛ M , j ∈ J ∏ N j ⎠ ⎞ ≅ j ∈ J ∏ Hom A Mod ( M , N j ) , Hom A Mod ( i ∈ I ⨁ M i , N ) ≅ i ∈ I ∏ Hom A Mod ( M i , N ) 를 얻는다. 다시 여기에 [범주론] §극한, ⁋명제 10 을 적용하면 다음 식
Hom A M o d ( ⨁ i ∈ I M i , ∏ j ∈ J N j ) ≅ ∏ ( i , j ) ∈ I × J Hom A M o d ( M i , N j ) (1) \Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, \prod_{j\in J} N_j\right)\cong\prod_{(i,j)\in I\times J}\Hom_{\lMod{A}}(M_i, N_j)\tag{1} Hom A Mod ⎝ ⎛ i ∈ I ⨁ M i , j ∈ J ∏ N j ⎠ ⎞ ≅ ( i , j ) ∈ I × J ∏ Hom A Mod ( M i , N j ) ( 1 ) 을 얻는다.
비슷하게 ⊗ \otimes ⊗ ⨁ \bigoplus ⨁ A A A M M M A A A ( M i ) i ∈ I (M_i)_{i\in I} ( M i ) i ∈ I A A A N N N A A A ( N j ) j ∈ J (N_j)_{j\in J} ( N j ) j ∈ J ⊗ \otimes ⊗
M ⊗ A ( ⨁ j ∈ J N j ) ≅ ⨁ j ∈ J ( M ⊗ A N j ) , ( ⨁ i ∈ I M i ) ⊗ A N ≅ ⨁ i ∈ I M i ⊗ A N ) M\otimes_A \left(\bigoplus_{j\in J}N_j\right)\cong\bigoplus_{j\in J} (M\otimes_AN_j),\qquad \left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A N\cong \bigoplus_{i\in I} M_i\otimes_AN) M ⊗ A ⎝ ⎛ j ∈ J ⨁ N j ⎠ ⎞ ≅ j ∈ J ⨁ ( M ⊗ A N j ) , ( i ∈ I ⨁ M i ) ⊗ A N ≅ i ∈ I ⨁ M i ⊗ A N ) 그리고 이들을 종합하여
( ⨁ i ∈ I M i ) ⊗ A ( ⨁ j ∈ J N j ) ≅ ⨁ ( i , j ) ∈ I × J M i ⊗ A N j \left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A\left(\bigoplus_{j\in J} N_j\right)\cong\bigoplus_{(i,j)\in I\times J}M_i\otimes_AN_j ( i ∈ I ⨁ M i ) ⊗ A ⎝ ⎛ j ∈ J ⨁ N j ⎠ ⎞ ≅ ( i , j ) ∈ I × J ⨁ M i ⊗ A N j 을 얻는다. 만일 A A A [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 6 대신 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 9 을 사용하여 위의 isomorphism들이 A A A
사영가군과 단사가군
이번에는 임의의 A A A u : M → M ′ u:M \rightarrow M’ u : M → M ′ A A A N N N
Hom A M o d ( u , N ) : Hom A M o d ( M ′ , N ) → Hom A M o d ( M , N ) \Hom_{\lMod{A}}(u,N):\Hom_{\lMod{A}}(M', N) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M,N) Hom A Mod ( u , N ) : Hom A Mod ( M ′ , N ) → Hom A Mod ( M , N ) 에 대하여, 그런데 Hom \Hom Hom
ker ( Hom A M o d ( u , N ) ) ≅ Hom A M o d ( coker u , N ) (2) \ker(\Hom_{\lMod{A}}(u,N))\cong\Hom_{\lMod{A}}(\coker u, N)\tag{2} ker ( Hom A Mod ( u , N )) ≅ Hom A Mod ( coker u , N ) ( 2 ) 이 성립한다. 비슷하게 다음의 abelian group homomorphism
Hom A M o d ( N , u ) : Hom A M o d ( M , N ) → Hom A M o d ( M ′ , N ) \Hom_{\lMod{A}}(N, u):\Hom_{\lMod{A}}(M, N) \rightarrow\Hom_{\lMod{A}}(M', N) Hom A Mod ( N , u ) : Hom A Mod ( M , N ) → Hom A Mod ( M ′ , N ) 에 대해서는
ker ( Hom A M o d ( N , u ) ) ≅ Hom A M o d ( N , ker u ) (3) \ker(\Hom_{\lMod{A}}(N, u))\cong\Hom_{\lMod{A}}(N, \ker u)\tag{3} ker ( Hom A Mod ( N , u )) ≅ Hom A Mod ( N , ker u ) ( 3 ) 이 성립한다. 따라서 다음이 성립한다.
명제 1 A A A u : M → M ′ u:M \rightarrow M’ u : M → M ′
u u u A A A N N N Hom ( N , u ) \Hom(N, u) Hom ( N , u ) u u u A A A N N N Hom ( u , N ) \Hom(u, N) Hom ( u , N )
그러나 일반적으로, u u u Hom ( u , N ) \Hom(u, N) Hom ( u , N ) u u u Hom ( N , u ) \Hom(N, u) Hom ( N , u )
한편 A M o d \lMod{A} A Mod
M 1 → M 2 → M 3 → 0 M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0 M 1 → M 2 → M 3 → 0 가 주어졌을 때, 여기에 (contravariant) additive functor Hom A M o d ( − , N ) : A M o d → Z M o d \Hom_{\lMod{A}}(-, N):\lMod{A} \rightarrow\lMod{\mathbb{Z}} Hom A Mod ( − , N ) : A Mod → Z Mod
0 → Hom A M o d ( M 3 , N ) → Hom A M o d ( M 2 , N ) → Hom A M o d ( M 1 , A ) 0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_3, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_2, N)\rightarrow\Hom_\lMod{A}(M_1,A) 0 → Hom A Mod ( M 3 , N ) → Hom A Mod ( M 2 , N ) → Hom A Mod ( M 1 , A ) 가 exact라는 것과 같은 말이다. 비슷하게 식 (3)의 isomorphism은 다음의 short exact sequence
0 → M 1 → M 2 → M 3 0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 0 → M 1 → M 2 → M 3 가 주어졌을 때, 여기에 additive functor Hom A M o d ( N , − ) : A M o d → Z M o d \Hom_\lMod{A}(N,-):\lMod{A} \rightarrow \lMod{\mathbb{Z}} Hom A Mod ( N , − ) : A Mod → Z Mod
0 → Hom A M o d ( N , M 1 ) → Hom A M o d ( N , M 2 ) → Hom A M o d ( N , M 3 ) 0 \rightarrow \Hom_\lMod{A}(N, M_1)\rightarrow\Hom_\lMod{A}(N, M_2) \rightarrow\Hom_\lMod{A}(N, M_3) 0 → Hom A Mod ( N , M 1 ) → Hom A Mod ( N , M 2 ) → Hom A Mod ( N , M 3 ) 가 exact라는 것과 같은 말이다. 즉 다음이 성립한다.
명제 2 N ∈ A M o d N\in\lMod{A} N ∈ A Mod Hom A M o d ( − , N ) \Hom_\lMod{A}(-,N) Hom A Mod ( − , N ) Hom A M o d ( N , − ) \Hom_\lMod{A}(N,-) Hom A Mod ( N , − )
그러나 일반적으로 Hom A M o d ( − , N ) \Hom_\lMod{A}(-,N) Hom A Mod ( − , N ) Hom A M o d ( N , − ) \Hom_{\lMod{A}}(N,-) Hom A Mod ( N , − ) A A A
정의 3
만일 Hom ( − , I ) \Hom(-, I) Hom ( − , I ) I I I injective module단사가군 이라 부른다.
만일 Hom ( P , − ) \Hom(P, -) Hom ( P , − ) P P P projective module사영가군 이라 부른다.
그럼 식 (1)로부터 module들의 direct product가 injective인 것과 각각의 성분이 injective인 것이 동치인 것을 알고, module들의 direct sum이 projective인 것은 각각의 direct summand가 projective인 것과 동치임을 안다. 특히 다음의 homomorphism
Hom ( A , u ) : Hom A M o d ( A , M ) → Hom A M o d ( A , M ′ ) \Hom(A, u):\Hom_{\lMod{A}}(A, M) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(A, M') Hom ( A , u ) : Hom A Mod ( A , M ) → Hom A Mod ( A , M ′ ) 이 isomorphism이라는 사실로부터 A A A
명제 4 A A A P P P A A A
증명
임의의 free module의 direct summand가 projective라는 것은 위의 논증으로부터 자명하다. 따라서 P P P §기저, ⁋명제 2 에 의하여 적당한 free A A A F F F p : F → P p:F \rightarrow P p : F → P P P P
Hom A M o d ( P , p ) : Hom A M o d ( P , F ) → Hom A M o d ( P , P ) \Hom_{\lMod{A}}(P, p):\Hom_{\lMod{A}}(P,F) \rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(P,P) Hom A Mod ( P , p ) : Hom A Mod ( P , F ) → Hom A Mod ( P , P ) 가 surjective라는 것이므로, 적당한 i ∈ Hom A M o d ( P , F ) i\in \Hom_{\lMod{A}}(P,F) i ∈ Hom A Mod ( P , F )
i d P = Hom A M o d ( P , p ) ( i ) = p ∘ i \id_P=\Hom_{\lMod{A}}(P,p)(i)=p\circ i id P = Hom A Mod ( P , p ) ( i ) = p ∘ i 이도록 할 수 있다. 이 식으로부터 i i i P P P im i \im i im i F ≅ ker p ⊕ im i F\cong\ker p\oplus\im i F ≅ ker p ⊕ im i
평탄가군
이번에는 right A A A M M M A A A A A A v : N → N ′ v:N \rightarrow N’ v : N → N ′
M ⊗ A v : M ⊗ A N → M ⊗ A N ′ M\otimes_A v:M\otimes_AN \rightarrow M\otimes_AN' M ⊗ A v : M ⊗ A N → M ⊗ A N ′ 이 존재한다. 그럼 ⊗ \otimes ⊗
coker ( M ⊗ A v ) ≅ M ⊗ A ( coker v ) \coker(M\otimes_Av)\cong M\otimes_A(\coker v) coker ( M ⊗ A v ) ≅ M ⊗ A ( coker v ) 이 존재한다. 비슷하게 right A A A A A A u : M → M ′ u:M \rightarrow M’ u : M → M ′ A A A N N N
coker ( u ⊗ A N ) ≅ ( coker u ) ⊗ A N \coker(u\otimes_AN)\cong (\coker u)\otimes_A N coker ( u ⊗ A N ) ≅ ( coker u ) ⊗ A N 이 존재한다.
명제 5
Right A A A u : M → M ′ u:M \rightarrow M’ u : M → M ′ A A A N N N u ⊗ A N u\otimes_A N u ⊗ A N
Left A A A v : N → N ′ v:N \rightarrow N’ v : N → N ′ A A A M M M M ⊗ A v M\otimes_A v M ⊗ A v
그럼 앞서 했던 것과 마찬가지로, 위의 성질은 right A A A
M 1 → M 2 → M 3 → 0 M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0 M 1 → M 2 → M 3 → 0 가 주어졌을 때, 임의의 left A A A N N N
M 1 ⊗ A N → M 2 ⊗ A N → M 3 ⊗ A N → 0 M_1\otimes_AN \rightarrow M_2\otimes_AN \rightarrow M_3\otimes_AN \rightarrow 0 M 1 ⊗ A N → M 2 ⊗ A N → M 3 ⊗ A N → 0 도 exact라는 것으로 쓸 수 있다. 마찬가지로 left A A A
N 1 → N 2 → N 3 → 0 N_1 \rightarrow N_2 \rightarrow N_3 \rightarrow 0 N 1 → N 2 → N 3 → 0 가 주어졌을 때, 임의의 right A A A M M M
M ⊗ A N 1 → M ⊗ A N 2 → M ⊗ A N 3 → 0 M\otimes_AN_1 \rightarrow M\otimes_AN_2 \rightarrow M\otimes_AN_3 \rightarrow 0 M ⊗ A N 1 → M ⊗ A N 2 → M ⊗ A N 3 → 0 또한 exact가 된다. 즉 다음이 성립한다.
명제 6 M ∈ M o d A M\in\rMod{A} M ∈ Mod A N ∈ A M o d N\in \lMod{A} N ∈ A Mod − ⊗ A N -\otimes_AN − ⊗ A N M ⊗ A − M\otimes_A- M ⊗ A −
그럼 정의 3 과 비슷한 맥락에서 다음을 정의할 수 있다.
정의 7 A A A N N N flat module평탄가군 이라는 것은 임의의 right A A A A A A u : M → M ′ u:M \rightarrow M’ u : M → M ′ u ⊗ A N u\otimes_A N u ⊗ A N A A A
임의의 free module은 flat이다. 또, module들의 direct sum이 flat인 것과 각각의 summand가 flat인 것이 동치임이 자명하다. 따라서 명제 4 에 의하여 projective module은 항상 flat이다. 그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.
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