이제 우리는 행렬식을 정의할 것인데, 이를 위해 우선 텐서대수와 대칭대수, 외대수를 정의한다. 이 과정에서 $A$는 항상 commutative ring인 것으로 생각한다. 그럼 특히 $A$는 IBN property를 갖는다. (§기저, ⁋명제 6)
텐서대수의 정의
우리는 임의의 $A$-module $M$에 대하여, $M$에 의해 정의되는 free algebra $F(M)$을 다음의 식
\[F(M)=\bigoplus_{n\geq 0} M^{\otimes n}\]으로 정의했었다. ([대수적 구조] §대수, ⁋명제 4) 이는 단순한 algebra일 뿐 아니라, 자연스럽게 $\mathbb{N}_{\geq 0}$-graded associative unital algebra의 구조를 갖는다. 이를 다음과 같이 이름붙인다.
정의 1 위에서 정의한 $F(M)$을 $M$의 tensor algebra텐서대수라 부르고, $T(M)$으로 표기한다.
이들 각각의 성분 $M^{\otimes n}$을 $T^n(M)$으로 표기하기로 한다. 그럼 $T^1(M)=M$이므로, $M$에서 $T(M)$으로의 canonical injection $\iota: M \rightarrow T(M)$이 존재한다.
한편 adjoint $F\dashv U$로부터 다음의 universal property를 얻는다.
명제 2 임의의 $A$-algebra $E$와 $A$-linear map $u:M \rightarrow E$가 주어졌다 하자. 그럼 유일한 $A$-algebra homomorphism $g: T(M) \rightarrow E$가 존재하여 $f=g \circ\iota$이도록 할 수 있다.
만일 위의 linear map $u$가 surjective라면, $T(N)$이 $T^1(N)$으로 생성되는 것으로부터 $T(u): T(M) \rightarrow T(N)$이 surjective가 되는 것을 안다.
탠서대수의 성질들
이제 우리는 $\rMod{A}$에서의 연산들이 functor $T:\rMod{A} \rightarrow \Alg{A}$를 통해 옮겨졌을 때, 이들이 어떻게 행동하는지를 살펴본다. 특히 direct sum과 extension of scalar에 관심이 있다.
우선 direct sum의 경우를 살펴본다. $M=\bigoplus_{i\in I} M_i$가 $A$-module들 $M_i$들의 direct sum이라 하자. 그럼 $\otimes$가 $\Hom$의 left adjoint라는 사실과 약간의 귀납법을 통해 다음의 isomorphism
\[\bigoplus_{(i_1,\ldots, i_n)\in I^n}M_{i_1}\otimes\cdots\otimes M_{i_n}\cong T^n(M)\]을 얻고, 그럼 $T(M)$은 이들의 direct sum
\[T(M)\cong\bigoplus_{n\geq 0} T^n(M)\cong\bigoplus_{n\geq 0}\bigoplus_{(i_1,\ldots, i_n)\in I^n}M_{i_1}\otimes\cdots\otimes M_{i_n}\]으로 주어진다. 이는 식으로는 복잡해보이지만, 기본적으로는 $T$가 left adjoint이므로
\[T\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\cong \coprod_{i\in I} T(M_i)\]로부터, 우변의 graded algebra들의 coproduct를 풀어쓴 것에 불과하다.1
특별히 임의의 free $A$-module $M$에 대하여, $M$의 basis를 $\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}$라 하자. 그럼
\[M=\bigoplus_{i\in I} Ae_i\]이며, 위의 설명을 적용하면 다음 명제를 얻는다.
명제 3 위와 같은 상황에서, $T(M)$은 다음의 꼴
\[e_s=e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_n},\qquad\text{$s$ a finite sequence $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ in $I$}\]들의 원소 $e_s$를 basis로 갖는다.
이는 $T^n(M)$ 각각이 길이 $n$짜리 유한한 수열 $s$를 사용해 정의한 $e_s$들을 basis로 갖고, 이들의 direct sum이 $T(M)$이기 때문이다. 한편 우리는 §기저, ⁋정의 9의 structure constant를 사용하면 $T(M)$의 곱셈을 서술할 수 있다는 것을 알고 있는데, 위의 설명에 따르면 이는 다른 것이 아니라 단순히 수열을 이어쓰기하여 얻어지는 것이다. 즉 두 수열
\[s=(i_1,\ldots, i_m),\qquad t=(j_1,\ldots, j_n)\]에 대하여, $st$를 다음의 수열
\[st=(i_1,\ldots, i_m,j_1,\ldots, j_n)\]으로 정의하면 structure constant를 정의하는 식은 다음의 식
\[e_se_t=e_{st}\]이 된다.
Extension of scalar의 경우, ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 주어졌다 하고, $M$이 $A$-module이라 하자. 그럼 extension of scalar $\phi_!: \rMod{A} \rightarrow\lMod{B}$와 두 functor $T_A: \rMod{A} \rightarrow \Alg{A}$, $T_B:\rMod{B} \rightarrow \Alg{B}$가 존재하며, 자명한 방식으로 $\phi_!:\Alg{A} \rightarrow\Alg{B}$ 또한 정의된다. 이를 통해 다음의 diagram
img
을 얻는다.
명제 4 위에서 얻어지는 $T_{B}(B\otimes_AM)\rightarrow B\otimes_AT_A(M)$은 isomorphism이다.
증명
역함수를 만들면 충분하다. 우선 $T_{B}(B\otimes_AM)$을 $A$-algebra로 보면, $T_A(M)$의 universal property로부터 다음 diagram
을 commute하도록 하는 $A$-algebra homomorphism $T_A(M)\rightarrowT_{B}(B\otimes_AM)$이 유일하게 존재한다. 이제 이렇게 얻어진 $A$-algebra homomorphism에 대하여, $B\otimes_AT_A(M)$의 universal property로부터 다음의 diagram
img
을 commute하도록 하는 유일한 $B$-algebra homomorphism $B\otimes_AT_A(M)\rightarrowT_{B}(B\otimes_AM)$이 존재한다. 이 함수가 위에서 얻은 $T_{B}(B\otimes AM)\rightarrow B\otimes_AT_A(M)$의 역함수임을 쉽게 확인할 수 있다.
Mixed tensor
이제 free $A$-module $M$을 고정하고, $M\oplus M^\ast$의 tensor algebra $T(M\oplus M^\ast)$를 생각하면, 명제 3의 결과로부터 $T^n(M\oplus M^\ast)$는
아 이게 애매하네… tensor field를 저걸로 정의하면 깔끔할 것 같은데 저럼 순서가 다르면 다른걸로 취급하게 되니까… 암튼 이걸 해결한다면 contraction 먹여서 죽이는거 설명하면 될거같다
대칭대수의 정의
정의 5 임의의 $A$-module $M$에 대하여, tensor algebra $T(M)$의 two-sided ideal
\[\mathfrak{I}=\langle x\otimes y-y\otimes x\mid x,y\in M\rangle\]을 생각하자. 그럼 quotient algebra $T(M)/\mathfrak{I}$를 $M$의 symmetric algebra대칭대수라 부르고 $S(M)$으로 적는다.
정의로부터 $\mathfrak{I}$는 homogeneous ideal이므로 $T(M)/\mathfrak{I}$가 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-graded ideal이 되는 것은 자명하다. 또, 각각의 generator들 $x\otimes y-y\otimes x$는 모두 degree $2$의 원소이므로, $\mathfrak{I}$로 quotient를 취하는 것은 $T^0(M)$과 $T^1(M)$에는 아무런 영향을 미치지 않는다. 즉, $S^0(M)\cong A$이고 $S^1(M)\cong M$이다.
정의로부터 $S(M)$이 commutative unital associative algebra인 것은 자명하다. 이는 $S(M)$이 $S^1(M)$의 원소들로 생성되는데, 임의의 $x,y\in S^1(M)\cong M$에 대해서는
\[x\otimes y\equiv y\otimes x\pmod{\mathfrak{I}}\]이기 때문이다. $S(M)$의 두 원소의 곱은 곱셈처럼 $xy$ 등과 같이 쓰는 것이 관례이다.
한편 quotient algebra의 universal property와 명제 2로부터 다음의 universal property 또한 자명하게 얻어진다.
명제 6 임의의 $A$-algebra $E$와 $A$-linear map $u:M \rightarrow E$가 다음 조건
\[u(x)u(y)=u(y)u(x)\qquad\text{for all $x,y\in M$}\]주어졌다 하자. 그럼 유일한 $A$-algebra homomorphism $g: S(M) \rightarrow E$가 존재하여 $f=g \circ\iota$이도록 할 수 있다.
더 일반적으로, 임의의 $A$-module $M,N$과 자연수 $n\geq 1$를 고정하자. $M^n$에서 $N$로의 symmetric linear map은 다음 조건
\[f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots, x_{\sigma(n)})=f(x_1,x_2,\ldots, x_n),\qquad \sigma\in S_n\]이 모든 $(x_i)\in M^n$과 $\sigma\in S_n$에 대해 성립하는 것이다.
명제 7 두 $A$-module $M,N$에 대하여, 임의의 $A$-linear map $g:S^n(M) \rightarrow N$에 대하여 다음의 식
\[(x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto g(x_1x_2\cdots x_n)\]으로 정의되는 함수는 $n$-linear이고, 이 대응을 통해 $\Hom_{\lMod{A}}(S^n(M), N)$에서, symmetric $n$-linear map $M^n \rightarrow N$들의 $A$-module로의 bijective $A$-module homomorphism이 정의된다.
이 때, $A$-module $S^n(M)$을 $M$의 $n$번째 symmetric power$n$번째 대칭곱이라 부른다. 그럼 임의의 $A$-linear map $u:M \rightarrow N$에 대하여, $S^n(u): S^n(M) \rightarrow S^n(N)$이 유도되며 이들의 direct sum을 취하면 $S(u)$를 복원할 수 있다.
대칭대수의 성질들
앞서 functor $T$와 $\rMod{A}$의 연산들이 어떻게 행동하는지를 살펴보았다. 이제 이러한 결과들이 $S$에 대해서도 성립하는 것을 증명한다.
우선 $M=\bigoplus_{i\in I} M_i$가 $A$-module들 $M_i$들의 direct sum이라 하자. 그럼 우리는 다음의 isomorphism
\[S(M)\cong \bigotimes_{i\in I} S(M_i)\]를 얻는다. 이는 $S$가 forgetful functor $U:\cAlg{A}\rightarrow \rMod{M}$의 left adjoint이므로 colimit을 보존하고, $\cAlg{A}$에서의 colimit은 ($\cRing$에서의 coproduct가 tensor product이듯) $\otimes_A$로 주어지기 때문이다. 특히 명제 3과 같이 free $A$-module의 basis $(e_i)$를 고정해두고 나면 다음의 명제를 얻는다.
명제 8 Free $A$-module $M$과 그 basis $(e_i)_{i\in I}$에 대하여, $\alpha:I \rightarrow \mathbb{N}$을 finitely supported function이라 하자.
\[e^\alpha=\prod_{i\in I} e_i^{\alpha(i)}\]라 하면, 이러한 원소들을 모두 모아둔 것이 $S(M)$의 basis가 된다.
이들의 multiplication은 $e^\alpha e^\beta=e^{\alpha+\beta}$로 주어진다. 즉 이 경우 $S(M)$은 정확하게 polynomial algebra $A[\x_i]_{i\in I}$가 된다.
명제 4에 대응되는 결과는 다음의 명제이며, 그 증명 또한 동일하다.
명제 9 $S_{B}(B\otimes_AM)\rightarrow B\otimes_AS_A(M)$은 isomorphism이다.
외대수의 정의
정의 10 임의의 $A$-module $M$에 대하여, tensor algebra $T(M)$의 two-sided ideal
\[\mathfrak{J}=\langle x\otimes x\mid x\in M\rangle\]을 생각하자. 그럼 quotient algbera $T(M)/\mathfrak{J}$를 $M$의 exterior algebra외대수라 부르고 $\bigwedge(M)$으로 적는다.
$\bigwedge(M)$에서의 원소들의 곱셈은 $\wedge$로 적는 것이 관례이다. 한편 정의 5 이후의 논의와 마찬가지로, $\mathfrak{J}$는 homogeneous ideal이고 canonical inclusion $\iota:M \hookrightarrow\bigwedge(M)$이 존재한다는 것이 자명하다. 또, 명제 6과 마찬가지 이유에서 다음의 universal property가 성립한다.
명제 11 임의의 $A$-algebra $E$와 $A$-linear map $u:M \rightarrow E$가 다음 조건
\[u(x)^2=0\qquad\text{for all $x\in M$}\]주어졌다 하자. 그럼 유일한 $A$-algebra homomorphism $g: S(M) \rightarrow E$가 존재하여 $f=g \circ\iota$이도록 할 수 있다.
명제 7과 비슷한 성질이 exterior algebra에서도 성립한다. 임의의 $A$-module $M,N$과 정수 $n\geq 1$에 대하여, $f$가 $M^n$에서 $N$로의 alternating linear map이라는 것은 다음 조건
\[f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots, x_{\sigma(n)})=\epsilon(\sigma)f(x_1,x_2,\ldots, x_n),\qquad \sigma\in S_n\]이 모든 $(x_i)\in M^n$과 $\sigma\in S_n$에 대해 성립하는 것이다. 이는 임의의 $x_1,\ldots, x_{n-1}$과 $x$에 대하여
\[f(x_1,\ldots, x_i, x,x,x_{i+1},\ldots, x_{n-1})=0\]이 성립하는 것과 동치이다.
명제 12 두 $A$-module $M,N$에 대하여, 임의의 $A$-linear map $g:S^n(M) \rightarrow N$에 대하여 다음의 식
\[(x_1,x_2,\ldots, x_n) \mapsto g(x_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_n)\]으로 정의되는 함수는 $n$-linear이고, 이 대응을 통해 $\Hom_{\lMod{A}}(\bigwedge^n(M), N)$에서, symmetric $n$-linear map $M^n \rightarrow N$들의 $A$-module로의 bijective $A$-module homomorphism이 정의된다.
외대수의 성질들
마찬가지로 $M=\bigoplus_{i\in I} M_i$가 $A$-module들 $M_i$들의 direct sum이라 하였을 때, $\bigwedge$가 left adjoint인 것으로부터 $\bigwedge(M)$이 $\bigwedge(M_i)$들의 colimit이 되어야 한다는 것을 안다. 이를 엄밀히 하기 위해서는 alternating algebra들의 category에서의 colimit을 정의해야 한다. 이는 $\cAlg{A}$와 유사하게 tensor product로 나오지만, Koszul sign convention이 붙어있다. 이는 별다른 것은 아니고, 정의로부터 exterior algbebra의 degree $m,n$의 원소를 곱하면 $(-1)^{mn}$의 부호가 생기게 되므로 이를 반영해주는 것이다. 당장은 이를 엄밀하게 쓸 이유는 없으니 다음 명제만 소개한다.
명제 13 Free $A$-module $M$과 그 basis $(e_i)_{i\in I}$에 대하여, $I$의 total ordering을 하나 고정하자. 임의의 유한한 부분집합 $J\subseteq I$에 대하여
\[e_J=e_{j_1}\wedge e_{j_2}\wedge\cdots\wedge e_{j_k},\qquad j_1<\cdots < j_k, \quad J=\{j_1,\ldots, j_k\}\]라 하면, 이러한 $e_J$들을 모아둔 것이 $\bigwedge (M)$의 basis가 된다.
예를 들어, $e_1\wedge e_2\wedge e_3$과 $e_1\wedge e_3\wedge e_2$는 나중 두 원소의 위치를 서로 바꾸어 주기만 하면 부호의 차이만 제외하고는 같은 원소가 되므로 위와 같이 $I$에 아무렇게나 order를 준 후 이에 맞추어 배열하는 식으로 무의미한 중복을 피할 수 있다. 다음 명제는 더더욱 설명할 것이 없다.
명제 14 $\bigwedge_{B}(B\otimes_AM)\rightarrow B\otimes_A\bigwedge_A(M)$은 isomorphism이다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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Category $\Ring$에서의 coproduct는 free product와 비슷한 식으로 정의되었던 것을 기억하자. (§환의 곱, 쌍대곱, 텐서곱, ⁋명제 3) 반면, 같은 글에서 우리는 category $\cRing$의 coproduct는 tensor product $\otimes$로 주어진다는 것 또한 확인하였다. ↩
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