이제 우리는 완비화의 몇몇 성질들을 추가로 살펴본다.
완비화와 완전열
정리 1 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하고, \(\widehat{A}\)가 \(\mathfrak{a}\)에 대한 \(A\)의 completion이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.
- \(\widehat{A}\)는 noetherian이다.
- \(\widehat{A}/\mathfrak{a}^i\widehat{A}=A/\mathfrak{a}^i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다.
증명
우선 \(A\)가 noetherian이므로, \(A/\mathfrak{a}\) 또한 noetherian이고 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)은 finitely generated \(A/\mathfrak{a}\)-module이다. 이에 \(\gr_\mathfrak{a}A\)는 \(A/\mathfrak{a}\)-algebra로서, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)에 의해 생성되고, 따라서 ##ref##에 의하여 \(\gr_\mathfrak{a}A\)는 Noetherian이다. 이제 \(\gr_{\widehat{\mathfrak{a}}}\widehat{A}=\gr_\mathfrak{a}A\)이므로 \(\gr_{\widehat{\mathfrak{a}}}\widehat{A}\) 또한 noetherian임을 안다. 한편, 임의의 ideal \(\widehat{\mathfrak{a}}\subseteq \widehat{A}\)에 대하여, initial ideal \(\initial(\widehat{\mathfrak{a}})\)은 위의 논증에 의해 유한히 많은 원소들로 생성되므로 §완비화, ⁋명제 7에 의해 첫 번째 결과를 얻는다.
한편 두 번째 결과의 경우 우리는 다시 §완비화, ⁋명제 7에 의해 \(\widehat{\mathfrak{a}}^i\)와 \(\mathfrak{a}^i \widehat{A}\)가 같다는 것은 곧 이들의 initial ideal이 같다는 것임을 알고, 따라서 원하는 결과를 얻는다.
다음 보조정리는 §완비화, §§\(\mathfrak{a}\)진 위상에서 살펴본 completion의 위상구조 및 base와, [위상수학] §위상공간의 기저, ⁋명제 2를 사용하여 위상공간의 두 base가 언제 같은 위상을 정의하는지를 따져보면 쉽게 증명할 수 있다.
보조정리 2 Ring \(A\)의 두 filtration
\[\mathcal{J}:\qquad A=\mathfrak{a}_0\supseteq \mathfrak{a}_1\supseteq \mathfrak{a}_2\supseteq\cdots\]그리고
\[\mathcal{J}': \qquad A=\mathfrak{a}_0'\supseteq \mathfrak{a}_1'\supseteq \mathfrak{a}_2'\supseteq\cdots\]가 주어졌다 하자. 만일 각각의 \(\mathfrak{a}_i\)마다 적당한 \(\mathfrak{a}_j'\)가 존재하여 \(\mathfrak{a}_j'\subseteq \mathfrak{a}_i\)이고, 각각의 \(\mathfrak{a}_i'\)마다 적당한 \(\mathfrak{a}_j\)가 존재하여 \(\mathfrak{a}_j\subseteq \mathfrak{a}_i'\)라면 \(\widehat{A}_\mathcal{J}\cong \widehat{A}_{\mathcal{J}'}\)가 성립한다.
한편 [범주론] §극한, ⁋명제 10에 의하여, completion을 취하는 것은 left exact이다. 다음 보조정리는 적절한 종류의 유한성이 가정된다면, completion을 취하는 것은 right exact이기도 하다는 것을 보여준다.
보조정리 3 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하자. 그럼 finitely generated \(A\)-module들의 short exact sequence
\[0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]에 대하여, 다음의 sequence
\[0 \rightarrow \varprojlim A/\mathfrak{a}^i A \rightarrow \varprojlim B/\mathfrak{a}^i B \rightarrow \varprojlim C/\mathfrak{a}^i C \rightarrow 0\]는 exact sequence가 된다.
증명
앞선 논증에 의하여 우리는 \(\varprojlim B/\mathfrak{a}^i B \rightarrow \varprojlim C/\mathfrak{a}^i C\)가 surjective인 것만 보이면 된다.
\(\varprojlim C/\mathfrak{a}^i C\)의 원소 \((c_i+\mathfrak{a}^i C)\)가 주어졌다 하고, 다음 두 조건
- \(b_i\mapsto c_i\pmod{\mathfrak{a}^i C}\),
- \(b_i\equiv b_j\pmod{\mathfrak{a}^iB}\) for \(i<j\)
을 만족하는 \((b_i+\mathfrak{a}^iB)\)를 찾자. 그럼 고정된 \(i\)에 대해 첫째 조건만 만족하는 \(b_i\)를 찾을 수 있다는 것과, 두 번째 조건은 \(j=i+1\)인 경우만 보이면 된다는 것이 자명하다. 따라서 귀납적으로 이 두 조건들을 만족하는 \(b_1,\ldots, b_k\)를 찾았다 하고 \(b_{k+1}\)을 찾자. 우선 \(b_{k+1}'\mapsto c_{k+1}\pmod{\mathfrak{a}^{k+1} C}\)를 만족하는 \(b_{k+1}'\)을 택하자. 그럼 \(b_{k+1}'\)과 \(b_k\)는 \(C/\mathfrak{a}^k C\)에서는 같은 원소로 옮겨지므로, 다음의 exact sequence
\[A/\mathfrak{a}^{k}A \rightarrow B/ \mathfrak{a}^{k}B \rightarrow C/ \mathfrak{a}^{k}C \rightarrow 0\]로부터 적당한 \(a\in A\)를 찾아 \(a\)가 \(B/\mathfrak{a}^kB\)에서 \(b_k-b_{k+1}'\)로 옮겨지도록 할 수 있다. 이제 \(b_{k+1}=b_{k+1}'+\alpha_{k+1}(a_{k+1})\)로 두면 원하는 결과를 얻는다.
이로부터 다음 정리를 얻는다.
정리 4 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하고, \(\widehat{A}\)가 \(\mathfrak{a}\)에 대한 \(A\)의 completion이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.
-
임의의 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여,
\[\widehat{A}\otimes_A M \rightarrow\varprojlim_i M/\mathfrak{a}^iM\]이 isomorphism이다.
-
\(\widehat{A}\)는 flat \(A\)-module이다.
증명
\(\varprojlim\)과 \(\otimes\)는 모두 finite direct sum과 commute하므로, \(M\)이 finitely generated free module인 경우는 첫째 결과가 자명하게 성립한다. 이제 임의의 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 free presentation
\[F \rightarrow G \rightarrow M \rightarrow 0\]에 \(\widehat{A}\otimes_A-\)를 취하면 보조정리 3과 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋명제 1에 의해 원하는 결과를 얻는다.
두 번째 결과는 §평탄성, ⁋명제 1에 의해, 임의의 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 \(\widehat{a} \rightarrow \widehat{A}\)가 injective임을 보이는 것과 같아지고, 이는 다시 보조정리 3에서 살펴본 completion의 left exactness로부터 자명하다.
헨젤의 보조정리
Complete ring의 대표적인 예시는 §완비화, ⁋예시 4에서 살펴본 ring of formal power series \(A[[\x_i]] _{i\in I}\)이다. 한편 우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에서 ring of power series \(A[\x_i] _{i\in I}\)가 free functor \(\Set \rightarrow \cAlg{A}\)의 역할을 하는 것을 살펴보았는데, 비슷한 종류의 universal property가 \(A[[\x_i]]_{i\in I}\)에 대해서도 성립한다.
정리 5 Ring \(A\)와 \(A\)-algebra \(E\)를 고정하고, \(E\)가 어떠한 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq E\)에 대해 complete라 하자. \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathfrak{a}\)라 하면, 다음이 성립한다.
- 각각의 \(x_i\)들을 \(\alpha_i\)로 보내는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi:A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\rightarrow E\)이 존재한다.
- 만일 \(A \rightarrow E/\mathfrak{a}\)가 epimorphism이고, \(\alpha_i\)들이 \(\mathfrak{a}\)를 생성한다면 \(\phi\) 또한 epimorphism이다.
- 만일 \(\gr\phi: R[\x_1,\ldots, \x_n]\cong \gr_{(\x_1,\ldots, \x_n)}R[[\x_1,\ldots, \x_n]] \rightarrow \gr_\mathfrak{a}E\)가 monomorphism이라면, \(\phi\) 또한 그러하다.
증명
첫 번째 주장은 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8와 거의 동일하며, 해당 명제와 마찬가지로 무한히 많은 변수에 대해서도 성립한다.
두 번째 주장의 경우, 주어진 가정으로부터
\[(\x_1,\ldots, \x_n)/(\x_1,\ldots, \x_n)^2 \rightarrow \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\]이 surjective라는 것을 알고, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)이 \(\gr_\mathfrak{a}E\)를 생성하므로 \(\gr\phi\)가 surjective인 것을 안다. 이제 임의의 \(y\in E\)에 대하여, \(y\in \mathfrak{a}^i\)이도록 하는 가장 큰 \(i\)가 존재한다. 따라서 \(x_1\in (\x_1,\ldots, \x_n)^i\)가 존재하여 \(x_1\)의 initial form이 \(\gr\phi\)에 의해 \(y\)의 initial form으로 옮겨지도록 할 수 있고, 그럼 \(y-\phi(x_1)\in \mathfrak{a}^{i+1}\)이다. 이와 같은 과정을 반복하여 \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 원소들의 무한한 family \((x_1,x_2,\ldots)\)가 다음 합
\[y=\sum_{j=1}^\infty \phi(x_j)=\phi\left(\sum_{j=1}^\infty x_j\right)\]을 만족하도록 할 수 있다.
마지막 주장은 만일 \(x\)가 \(A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\)의 \(0\)이 아닌 원소라면, \(\initial(x)\)도 \(0\)이 아니고 따라서 \((\gr\phi)(\initial(x))\)도 \(0\)이 아니게 된다. 그런데 \(\initial(x)\)의 degree를 \(d\)라 하면,
\[x\equiv \initial(x)\pmod{(\x_1,\ldots, \x_n)^{d+1}}\]이므로
\[\phi(x)\equiv(\gr\phi)(\initial(x))\pmod{\mathfrak{a}^{d+1}}\]이 되어 \(\phi(x)\neq 0\)이 된다.
그럼 다음이 성립한다.
따름정리 6 Power series \(f\in \x A[[\x]]\)를 고정하고, \(\phi: A[[x]] \rightarrow A[[\x]]\)를 다음 식
\[\phi: A[[\x]] \rightarrow A[[\x]];\qquad \x\mapsto f\]으로 정의하자. 그럼 \(\phi\)가 isomorphism인 것은 \(f'(0)\)이 \(A\)에서 unit인 것과 동치이다.
증명
우선 \((\x)\)에 속하지 않는 \(A[[\x]]\)의 원소들은 정확히 \(0\)이 아닌 상수항을 갖는 원소들이며, 조건에서 주어진 형태의 \(\phi\)는 이런 원소를 보존한다. 이제 \(\phi\)가 isomorphism이라면, 이로부터 \(\phi((\x))=(\x)\)이다. 뿐만 아니라 \(\phi\)는 \((\x)\)의 generator를 다시 \((\x)\)의 generator로 보내야 하므로, 이로부터 \(f+(\x^2)\)이 \((\x)/(\x^2)\)를 생성해야 하는 것을 알고, 이제
\[f\equiv f'(0)\x\pmod{x^2}\]이므로, 이로부터 \(f'(0)\)이 \(A\)의 unit이어야 함을 안다.
거꾸로 \(f'(0)\)이 \(A\)의 unit이라 하자. 그럼 우선 \(\gr_{(\x)}A[[\x]]\cong \gr_{(\x)}A[\x]=A[\x]\)이고, \(\gr\phi: A[\x] \rightarrow A[\x]\)는 정의에 의해 \(x\)를 \(ux\)로 보내주게 된다. 이제 정리 5의 셋째 결과에 의해 \(\phi\)는 injective이며, 또 적당한 \(h\in A[[\x]]\)에 대해 \(f=u\x+h\x^2=(u+h\x)\x\)이라 쓰면 \(f\)가 \((\x)\)를 생성하는 것을 안다. 따라서 다시 정리 5의 둘째 결과에 의해 원하는 결론을 얻는다.
그럼 이번 절의 핵심적인 결과인 다음 정리를 얻는다.
정리 7 (Hensel) Ring \(A\)가 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 complete이라 하고, \(f(\x)\in A[\x]\)라 하자. 만일
\[f(a)\equiv 0\pmod{f'(a)^2 \mathfrak{a}}\]이라면, 적당한 \(b\in A\)가 존재하여
\[f(b)=0,\qquad b\equiv a\pmod{f'(a)\mathfrak{a}}\]이 성립하도록 할 수 있다. 뿐만 아니라, 만일 \(f'(a)\)가 non-zerodivisor라면 이러한 \(b\)는 유일하게 결정된다.
증명
편한 표기를 위해 \(f'(a)=e\)라 하자. 그럼
\[f(a+e\x)=f(a)+f'(a)e\x+\cdots\]으로부터 \(f(a+e\x)=f(a)+f'(a)e\x+h(x)(e\x)^2\)이도록 하는 $h를 택할 수 있다. 그럼
\[f(a+e\x)=f(a)+e^2(\x+\x^2h(\x))\]이며, 정리 5의 첫째 결과에 의하여 \(\x\)를 \(\x+\x^2h(\x)\)으로 보내는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi:A[[\x]] \rightarrow A[[\x]]\)이 존재한다. 한편 따름정리 6에 의하여 \(\phi\)는 isomorphism이고, 따라서 그 inverse \(\phi^{-1}\)이 존재한다. 이제 위의 식에 \(\phi^{-1}\)을 취하면
\[f(a+e\phi^{-1}(x))=f(a)+e^2x\]를 얻으며, 주어진 가정에 의해 \(f(a)=e^2\alpha\)이도록 하는 \(\alpha\in \mathfrak{a}\)가 존재한다. 다시 정리 5의 첫째 결과를 사용하여 \(\x\)를 \(-\alpha\)로 보내는 \(A\)-algebra homomorphism \(\psi: A[[\x]] \rightarrow A[[\x]]\)를 사용하면, 위의 식으로부터
\[f(a+e\psi\phi^{-1}(x))=0\]을 얻는다. 따라서 \(b=e\psi\phi^{-1}\)로 두면 원하는 결과를 얻는다.
유일성의 경우, \(e\)가 zero divisor가 아니라 가정하고 \(b,b'\)가 주어진 조건을 만족하는 두 원소라 하자. 그럼 정의에 의해 이들은 각각 \(a+er\), \(a+er'\)의 형태여야 한다. 이제 정리 5의 첫째 결과를 적용하여 \(\x\)를 각각 \(r\)과 \(r'\)로 보내는 \(\beta,\beta': A[[\x]] \rightarrow A[[\x]]\)를 택하자. 이들을 적용하면
\[f(a)+e^2(r+r^2h(r))=f(a+er)=0=f(a+er')=f(a)+e^2(r'+(r')^2h(r'))\]이므로 \(\beta(\phi(\x))=\beta'(\phi(\x))\)를 얻는다. 이제 \(\phi\)가 isomorphism이라는 사실과 정리 5의의 유일성으로부터 원하는 결과를 얻는다.
마지막으로 다음 정리를 언급하고 마친다.
정리 8 (Cohen structure theorem) Complete local noethherian ring \((A, \mathfrak{m})\)과 residue field \(\kappa\)에 대하여, 만일 \(A\)가 어떠한 field를 포함한다면 \(A\cong\kappa[[\x_1,\ldots, \x_n]]/\mathfrak{a}\)를 만족하는 적당한 \(n\)과 ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재한다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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